Física del Estado Sólido

REDES CRISTALINAS Dr. Andrés Ozols

Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2009 Dr. A. Ozols

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ÁTOMOS EN SÓLIDOS

Dr. A. Ozols

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ORDEN CRISTALINO y FORMA René Just Hauy (1743-1822): la morfología de un mineral es un reflejo de su orden interno Niels Stensen (1669): ley de Steno Los ángulos entre las caras equivalentes de los cristales de un mismo mineral son constantes Bravais: ley de Bravais la frecuencia con aparece la cara de un cristal es proporcional al números de átomos de cristal Dr. A. Ozols

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ORDEN ATOMICO Rangos de ALCANCE Estructura de corto alcance (Orden local) estructura amorfa Estructura de alcance intermedio

Estructura de largo alcance estructura cristalina Dr. A. Ozols

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TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico AMORFOS: orden atómico corto alcance

átomos o moléculas distribuidos al azar o aleatoriamente obtenidos por enfriamiento rápido del material fundido (103-107 ºK/s) Superficie rápidamente electrónico Dr. A. Ozols

metálica solidificada bombardeada con haz 5

TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico

MONOCRISTALINOS (de un solo cristal) orden atómico o molecular alto en todo el material Átomos o moléculas distribuidos regularmente en planos atómicos.

Forma macroscópica típica de un crista provisto de elementos de simetría notorios

El sólido crece como cristal muy lento y en condiciones de

equilibrio termodinámico Dr. A. Ozols

Ej. Crecimiento de monocristales de Si para las obleas semiconductoras, 6 o superconductores.

TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico

POLICRISTALINOS: formado por granos o monocristales orden atómico o molecular de largo alcance en cada grano o monocristal bordes bordes observado por microscopio

borde de grano

grano

Ej. La mayor parte de los materiales de uso cotidiano son policristalinos (cerámicos, metálicos)

Superficie pulida de acero Dr. A. Ozols

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CRISTALES PERFECTOS ≡ libres de defectos Iones enlazados en una superficie metálica

Defectos cristalinos: •contaminación (átomos extraños) •maclas (planos atómicos adicionales) •vacancias (falta aleatoria de átomos) •dislocaciones (variaciones locales de distancias interplanares) •fallas de apilamiento (discontinuidades del orden entre planos) Dr. A. Ozols

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REDES de BRAVAIS

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RED CRISTALINAS: REDES de BRAVAIS a) Una red de Bravais es un arreglo infinito de puntos discretos con un ordenamiento y orientación, que parece exactamente la misma, desde cualquier punto de observación. b) La red 3-D de Bravais consiste de todos los puntos con vectores posiciones de la forma:

R= n1 a + n2 b + n3 c

a, b, c: vectores primitivos n1, n2, n3: números enteros

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REDES de BRAVAIS en 2-D Todos los puntos pueden escribirse como una combinación lineal de los vectores primitivos. P = a1+ 2 a2 Q = -a1+ a2

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REDES de BRAVAIS en 2-D Los vértices del panal de abejas non forman una red de Bravais. Los puntos. La distribución de puntos tiene aspecto similar observada desde A o B. Sin embargo, es distinta desde C, que está rotada en 180º.

C A B

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REDES de BRAVAIS en 2-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos) Existen varias elecciones de pares de vectores primitivos.

º

º

º

º

º

º

º

º

Celda Primitiva

º

b

º P

º

º

º

TP

Primitiva

º

Primitiva doble

º

º

DP

1 átomo por celda

º 2 átomos º

º

Triple 3 átomos por celda

º

por celda a Dr. A. Ozols

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CELDA PRIMITIVA en 2-D (Ejemplos) Existen varias elecciones de celdas primitivos: El volumen de espacio que trasladado a traveés de todos los vectores de la red de Bravais cubre todo el espacio sin producir superposiciones ni dejar huecos.

Un punto de la red por celda

Dos elecciones de celdas primitivos La elección debe representar mejor las simetrías de la red Dr. A. Ozols

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REDES de BRAVAIS en 3-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos) Sitios de la red de Bravais cúbica centrada en el cuerpo ≡ dos redes cúbicas simples superpuestas con sitios A y B como centros de red anterior La red cúbica simple está generada por los vectores primitivos:

 ax

 by

 cz

La red cúbica centrada en el cuerpo (BCC, body centered cubic) generada por los vectores primitivos:

 a1 = ax

 a2 = by

a    a3 = ( x + y + z ) 2 Dr. A. Ozols

A

A

A B B B

A

A

B

B B

B B BCC, body centered cubic)

a1

a3 a2

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REDES de BRAVAIS en 3-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos) La red cúbica centrada en las caras (FCC, face centered cubic) generada por los vectores primitivos:

a   a1 = ( x + z ) 2

a   a2 = ( x + z ) 2

FCC, face centered cubic

a   a3 = ( x + y) 2

a1 La expresión de los puntos de la red en la base de los vectores primitivos:

P = a1 + a2 + a3

Q = 2a1

R = a2 + a3

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a2 a3

S = −a1 + a2 + a3

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ELECCION de la CELDA PRIMITIVA La elección de la celda primitiva recae en la celda de simetría completa: CELDA de WIGNER SEITZ

La región del espacio que es más próxima aun dado punto que a cualquier punto

La construcción de la celda de WIGNER SEITZ: Los 6 lados de la celda bisectan las líneas que unen el punto central con los 6 vecinos más próximos Dr. A. Ozols

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REDES en 3-D Los 3 vectores primitivos ai se toman perpendiculares entre sí

a3 a1

a2

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REDES de BRAVAIS en 3-D Existen 14 formas de ordenar puntos en el espacio 3-D, manteniendo las mismas relaciones entre éstos ≡ sistemas de Bravais Ángulos de referencia

1.

SISTEMA CUBICO

a = b = c α = β = γ =90º

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REDES de BRAVAIS 2. SISTEMA HEXAGONAL

a = b ≠ c α = β = 90º; γ =120º

3. SUB- SISTEMA ROMBOHÉDRICO (TRIGONAL)

a=b=c α=β=γ Dr. A. Ozols

≠ 90º< 120º 20

REDES de BRAVAIS 4.

SISTEMA TETRAGONAL

a = b ≠ c α = β = γ = 90º

5. SISTEMA ORTOROMBICO

a ≠ b ≠ c α = β = γ =90º

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REDES de BRAVAIS 6. SISTEMA MONOCLINICO

a≠b≠c

α = γ ≠ 90º ≠ β

7. SISTEMA TRICLINICO

a≠b≠c α≠β≠γ Dr. A. Ozols

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ELEMENTOS de SIMETRIA

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ELEMENTOS de SIMETRIA Las relaciones geométricas entre las caras planas de los cristales permitió su agrupación y su clasificación de acuerdo a elementos de simetría u operaciones de simetría.

Las operaciones de simetría son transformaciones matemáticas que llevan a un objeto en congruencia (en coincidencia) con sí mismo, manteniendo invariantes las dimensiones del objeto:

objeto simétrico ⇔ invariante por una transformación

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TIPO DE OPERACIÓN DE SIMETRÍA realizada por un operador Básicas No pueden descomponerse en más elementales

•

Traslación

•

Reflexión (simetría de espejo)

•

Rotación

•

Inversión

•

rotación + inversión (Eje roto-inversión)

•

rotación + traslación (Eje helicoidal del ADN)

Compuestas reflexión + traslación (Plano de deslizamiento en la deformación de un metal) …. etc. •

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OPERACIONES DE SIMETRÍA

TRASLACIÓN Situación inicial

Situación intermedia

Situación final

Celda primitiva

R

z

vector desplazamient o coincidente con un punto de la red

a vector desplazamiento coincidente con un punto de la red

y

z

R

R’=R+ a

x

x Dr. A. Ozols

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OPERACIONES DE SIMETRÍA

REFLEXIÓN (simetría de espejo)

Plano de simetria

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OPERACIONES DE SIMETRÍA

INVERSIÓN produce un objeto invertido respecto al centro de inversión

El trazado de segmentos lineales desde puntos del objeto, pasando por el centro de inversión, hasta una extensión igual del otro lado del centro.

p centro de inversión

p Dr. A. Ozols

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OPERACIONES DE SIMETRÍA

.

ROTACIÓN

.

∞

Rotación de orden n

6

(n = número de rotaciones para completar 2π)

Operación de simetría ≡ rotación que deja invariante al objeto por una rotación respecto al eje de simetría (único punto fijo de la transformación) ROTACIÓN EN 2-D (el eje de rotación es perpendicular al plano)

. .

4

Cada rotación de 2π/n radianes conduce a una situación equivalente o indistinguible de la anterior Dr. A. Ozols

3

.

.

2 1

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OPERACIONES DE SIMETRÍA

ROTACIÓN

2º orden

Ejes de rotación de orden n

rotación de 180º

4º orden

3º orden

rotación de 120º rotación de 90º Dr. A. Ozols

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OPERACIONES DE SIMETRÍA

c

ROTACIÓN EN 3-D b

a triclínico

3 ejes a, b, c ortogonales entre sí. Estos pasan por el centro de la celda primitiva y son paralelos a sus caras

c b a hexagonal

monoclínico

c

cúbico

rómbico

b a tetragonal Dr. A. Ozols

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CRISTALES

Dr. A. Ozols

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ESTRUCTURA CRISTALINA

CRISTAL

RED CRISTALINA BASE

=

+

Átomos, iones o molécula (sistema físico)

arreglo periódico de puntos

+al que se le asocia la base =

sólido con un arreglo periódico de átomos o moléculas

(abstracción matemática) Dr. A. Ozols

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ESTRUCTURAS CRISTALINAS (ejemplos) ESTRUCTURA del DIAMANTE ≡ FCC + Base de 2 átomos z Átomos compartidos

a    ( x + 3 y + 3z ) 4 a    ( x + 3y + z ) 4

a    ( x + y + 3z ) 4 Átomos internos

a    ( 3x + y + z ) 4

y

x Base de 2 átomos 0,

a    ( 3x + y + z ) 4 Dr. A. Ozols

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ESTRUCTURA HAXAGONAL SIMPLE Vectores primitivos z x a = az 3 y

a1 600

x a1

a2 y

600

 a2 = ay

y

  a1 = asen ( 60 ) x + a cos ( 60 ) y ⎛1  3 ⎞ a1 = a ⎜⎜ x + y ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝2 Dr. A. Ozols

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APLILAMIENTO HEXAGONAL COMPACTO (HCP, Hexagonal Compact Packing)

Capa de átomos adicionales a la estructura hexagonal simple

a3

1 ( a1 + a2 + a3 ) 3

Vectores primitivos

a2

Dr. A. Ozols

a1

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ESTRUCTURA HEXAGONAL COMPACTA Apilamiento por capas H.C.P.

Capas ABAB…. Dr. A. Ozols

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EMPAQUETAMIENTOS CUBICOS CUBICO de CARAS CENTRADAS (F.C.C. Face Centered Cubic)

CÚBICO de CUERPO CENTRADO (B.C.C. Body Centered Cubic)

Capas ABAB…..

Capas ABCABC….. Dr. A. Ozols

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ESTRUCTURA de los METALES METALES FCC Co, Fe, Ni, Cu, Ag, Au, Pt, Al,..

METALES HCP Zn, Cd, Mg, ...

METALES BCC Cr, Fe, V, K...

Dr. A. Ozols

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ELEMENTOS con ESTRUCTURA CRISTALINA CUBICA DE CARAS CENTRADAS (Ejemplos) Elemento

a (A)

Elemento

a (A)

Elemento

a (A)

Ar

5.26

Ir

3.81

Pt

3.92

Ag

4.09

Kr

5.72

Pu

4.64

Al

4.05

La

5.30

Rh

3.80

Au

4.08

Ne

4.43

Sc

4.54

Ca

5.58

Ni

3.52

Sr

6.08

Ce

5.16

Pb

4.95

Th

5.08

Co

3.55

Pd

3.89

Xe

6.20

Cu

3.61

Pr

5.16

Yb

5.49

Dr. A. Ozols

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ELEMENTOS con ESTRUCTURA CRISTALINA CUBICA DE CUERPO CENTRADO (Ejemplos) Elemento

a (A)

Elemento

a (A)

Elemento

a (A)

Ba

5.02

Li

3.49

Ta

3.31

Cr

2.88

Mo

3.15

Tl

3.88

Cs

6.05

Na

4.23

V

3.02

Fe

2.87

Nb

3.30

W

3.16

K

5.23

Rb

5.59

Dr. A. Ozols

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