FISICA MECANICA ING. CARLOS ANDRES ACOSTA ACOSTA. CORREO: [email protected]

GUÍA ESCALARES Y VECTORES

MAGNITUD ESCALAR: es una magnitud que solo se describe con la cantidad mediante un número y una unidad. La longitud, el área, el volumen, la temperatura, el tiempo, la masa, son ejemplos de cantidades escalares. Ejemplos:

30m 2 , 125m 3 ,

0

37 C , 90 s (segundos), etc. MAGNITUD VECTORIAL: otras cantidades físicas están direccionadas, es decir, requieren para su determinación exacta especificar la magnitud, dirección y sentido; dichas cantidades las llamaremos vectores. El caso más familiar a nuestras experiencias es el desplazamiento. El desplazamiento de un cuerpo se determina por la distancia efectiva que se ha movido y la dirección en la cual se ha movido. La velocidad es también una cantidad vectorial, desde que el movimiento se determina por la rapidez del desplazamiento y la dirección del mismo. La aceleración, la fuerza, el torque de una fuerza, el campo eléctrico son, entre otras, cantidades vectoriales.

MAGNITUD

B

→

a A

θ,

ANGULO DE DIRECCIÓN EN GRADOS

• • •

La longitud entre A y B es la MAGNITUD El ángulo de inclinación θ (en grados) indica la DIRECCIÓN La flecha final indica hacia donde se dirige el vector, es decir, el SENTIDO. → → → →

NOMENCLATURA: para expresar los vectores se van a utilizar las letras minúsculas del abecedario, por ejemplo: etc. No es aconsejable utilizar la x,y,z ya que pertenecen al plano cartesiano.

h, q, d , e ,

Para expresar el calculo de resultante y operaciones entre vectores se van a utilizar las letras mayúsculas del abecedario, por →

ejemplo:

→

→

→

→

→

C = a+ c − b− f

, en este caso la

C

indica el resultado de la operación indicada.

El plano cartesiano se encuentra dividido en cuatro cuadrantes como se ilustra en la figura. La dirección o ángulo de inclinación de un vector se mide desde el eje x positivo del plano cartesiano en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Y II

I

X, eje x positivo III

EJES X Y

I + +

II +

III -

IV + -

IV

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL. MÉTODO ANALÍTICO Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector, en este caso

ax

y

ay .

Y

a

→

y

a α

a

X x

Figura 1

Figura 2 →

Si conocemos la magnitud del vector

a

y tomamos como referencia el plano cartesiano (figura 1) y utilizando las funciones →

trigonométricas seno y coseno las componentes del vector

a

corresponden a:

senα =

ay a

⇒ a y = a senα

→

El término

a cos α = x ⇒ a x = a cos α a

a

indica la magnitud del vector

a.

En este caso se realiza una descomposición vectorial. Las fórmulas de descomposición cambian de acuerdo a la letra que se utilice para describir el vector. →

Ejemplo 1: Descomponer el vector

h = 48km ∠120 o

A) El primer paso es identificar la magnitud, la dirección y el cuadrante en el que se encuentra el vector en el plano cartesiano.

Y hy

120 o

→

h hx

X

→

Descripción del vector Magnitud

h

h = 48km ∠120 o

= 48 km

Dirección

α

=

120 o

B) Descomponer el vector: Segundo Cuadrante:

hx

es negativa (-) y

hy

es positiva (+)

h y = h senα = (48km) * sen120 o = 41,56km hx = h cos α = (48km) * cos120 o = −24km

X

Si por el contrario conocemos las componentes del vector

ax

y

ay ,

para calcular la magnitud utilizamos el teorema de

Pitágoras.

a = (a x ) 2 + (a y ) 2 Y para la dirección (ángulo) utilizamos:

 ay  ax

α = tan −1 

  

Las fórmulas cambian de acuerdo a la letra que se utilice para describir el vector.

→

Ejemplo 2: Calcular la magnitud y dirección del vector

k cuyas componentes son:

k x = 9m k y = 8m

Y →

k ky

α = 41,63o

X

kx

A) El primer paso es identificar el cuadrante al que pertenece en el plano cartesiano, como ambas componentes son positivas pertenece al primer cuadrante. B) Calcular la magnitud utilizando el Teorema de Pitágoras

k = (k x ) 2 + (k y ) 2 = (9) 2 + (8) 2 = 12,04m C) Calcular la dirección utilizando:

 ky  kx

α = tan −1 

 8  = tan −1   = 41,63o 9  →

D) Descripción del vector:

k = 12,04m ∠41,63o . →

Ejemplo 3: Descomponer el vector

f = 80mm ∠225 o

A) El primer paso es identificar la magnitud, la dirección y el cuadrante en el que se encuentra el vector en el plano cartesiano.

Y 225 o fx fy

→

f

→

Descripción del vector

f = 80mm ∠225 o

X

Magnitud

f

= 80mm

Dirección

α

=

225 o

B) Descomponer el vector: Tercer Cuadrante:

fx

es negativa (-) y

fy

es negativa (-)

f y = f senα = (80mm) * sen225 o = −56,56mm f x = f cos α = (48mm) * cos 225 o = −33,94mm →

Ejemplo 4: Calcular la magnitud y dirección del vector

b cuyas componentes son:

bx = −50m b y = −30m

Y

α ´/ = 180 o + 30,96 o = 210,96 o bx by

→

b

X

A) El primer paso es identificar el cuadrante al que pertenece en el plano cartesiano, como ambas componentes son negativas el vector pertenece al tercer cuadrante. B) Calcular la magnitud utilizando el Teorema de Pitágoras

b = (bx ) 2 + (b y ) 2 = (−50) 2 + (−30) 2 = 58,30m C) Calcular la dirección utilizando:

 by  bx

α = tan −1 

 − 30  o  = tan −1   = 30,96  − 50  

con el eje x, luego el ángulo real corresponde a:

α ´/ = 180 o + 30,96 o = 210,96 o →

D) Descripción del vector:

b = 58,30m ∠210,96 o . →

OPUESTO DE UN VECTOR: el opuesto de un vector contrario.

a es

→

otro vector

→

Ejemplo 5: Si el vector

a = 10km ∠50 o .

→

¿Cuál es el vector

−a?

−a

con la misma magnitud pero con sentido

α = 50 o + 180 o = 230 o

Y →

a 50

o

X →

−a

En este caso la magnitud es la misma, es decir 10km y la dirección corresponde a →

−a

α = 50 o + 180 o = 230 o , luego el vector

→

corresponde a:

− a = 10km ∠230 o . →

Ejemplo 6: Si el vector

→

q = 56mm ∠320 0 , el vector − q = 56mm ∠140 o . Esto resulta de sumarle 180 o a los 320 o .

SUMA DE VECTORES. MÉTODO GRÁFICO Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial. La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente: (1) Use una misma escala para las magnitudes. (2) Trace uno de los vectores, digamos V1 (3) Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta. (4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo. Este método se llama suma de vectores de cola a punta. Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante. Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V1, V2, y V3 representados a continuación:

VR = V1 + V2 +V3 es el vector resultante destacado con línea gruesa. Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

2.- Resta de Vectores Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

La diferencia de dos vectores A y B se define como A - B = A + (-B) De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos. RESULTANTE Y OPERACIONES ENTRE VECTORES. METODO ANALITICO VECTORES UNITARIOS Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Para expresar un vector utilizando la nomenclatura de vectores unitarios es necesario conocer las componentes del vector, por ejemplo:

k x = 9m

→

Ejemplo 7: Expresar el vector

k cuyas

componentes son:

k y = 8m

utilizando la nomenclatura de vectores unitarios.

Solución: a la componente de el eje x le agregamos una ( i ) y a la componente del eje y una ( j ), por lo tanto el vector se →

expresa:

k = 9i + 8 j →

Ejemplo 8: Expresar el vector

b cuyas

componentes son:

bx = −50m b y = −30m

utilizando la nomenclatura de vectores unitarios.

Solución: a la componente de el eje x le agregamos una ( i ) y a la componente del eje y una ( j ), por lo tanto el vector se →

expresa:

k = −50i − 30 j

OPERACIONES ENTRE VECTORES 1. La resultante: se calcula sumando las componentes en (x) de todos los vectores teniendo en cuenta su signo y las componentes en (y) teniendo en cuenta su signo. →

R = (a x + bx + c x ....)i + (a y + b y + c y ....) j 2. Para realizar una operación: se calcula realizando la operación indicada con las componentes en (x) de todos los vectores y las componentes en (y). →

Q = (a x − bx + c x − d x )i + (a y − b y + c y − d y ) j →

Ejercicio 9: Dados los vectores:

c = 45m ∠40 0

→

y

d = 55m ∠320 0 , calcular

→

a) Resultante

a) Resultante. 1) Dibujar cada uno de los vectores en plano cartesiano con punto de origen (0,0)

Y

→

c X →

R →

d →

Q

R

→

b)

→

→

Q = (d − c )

2. Descomponer cada uno de los vectores utilizando la nomenclatura de vectores unitarios. →

Vector

→

c = 45m ∠40 0

Magnitud

c

= 45m

Vector Dirección

α

=

40 o

Magnitud

Descomponer el vector: Primer Cuadrante:

cx

d = 55m ∠320 0

d

= 55m

Dirección

α

=

320 o

Descomponer el vector: (+) y

cy

(+)

Cuarto Cuadrante:

dx

(+) y

dy

(-)

c y = c senα = (45m) * sen40 o = 28,92m

d y = d senα = (55m) * sen320 o = −35,35m

c x = c cos α = (45m) * cos 40 o = 34,47m

d x = d cos α = (55m) * cos 320 o = 42,13m

Vectores unitarios →

→

c = 34,47i + 28,92 j

d = 42,13i − 35,35 j

3. En este caso la RESULTANTE seria: →

R = (c x + d x )i + (c y + d y ) j →

R = (34,47 + 42,13)i + (28,92 − 35,35) j →

R = 76,6i − 6,43 j 4. Con las componentes del vector resultante calculamos ahora la magnitud y la dirección: La magnitud:

R = ( R x ) 2 + ( R y ) 2 = (76,6) 2 + (−6,43) 2 = 76,86m C) Calcular la dirección utilizando:

 Ry  Rx

α = tan −1 

  − 6,43   = tan −1   = −4,79 o 76 , 6   

con el eje x, cuarto cuadrante, luego el ángulo real corresponde a:

α ´/ = 360 o − 4,79 o = 355,21o →

Descripción del vector: →

b) Operación

→

R = 76,86m ∠355,21o . →

Q = (d − c ) , tomando como base los vectores anteriores:

Vectores unitarios

→

→

c = 34,47i + 28,92 j

d = 42,13i − 35,35 j

Regresamos al paso 3. En este caso la OPERACION sería: →

Q = (d x − c x )i + (d y − c y ) j →

Q = (42,13 − 34,47)i + (−35,35 − 28,92) j →

Q = 7,66i − 56,61 j

4. Con las componentes del vector resultante calculamos ahora la magnitud y la dirección: La magnitud:

Q = (Q x ) 2 + (Q y ) 2 = (7,66) 2 + (−56,61) 2 = 57,12m C) Calcular la dirección utilizando:

 Qy  Qx

α = tan −1 

  − 56,61   = tan −1   = −82,29 o  7,66  

con el eje x, cuarto cuadrante, luego el ángulo real corresponde a:

α ´/ = 360 o − 82,29 o = 277,71o →

Descripción del vector:

Q = 57,12m ∠277,71o .

Ejemplo 10: Problema de aplicación. Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto. Obsérvese que el desplazamiento corresponde a la unión del punto inicial y el punto final. Diagrama inicial del problema: solución gráfica. Cola a punta.

1) Dibujar cada uno de los vectores en plano cartesiano con punto de origen (0,0)

Y

→

R → →

a X

b

2. Descomponer cada uno de los vectores utilizando la nomenclatura de vectores unitarios. →

Vector

→

a = 20km ∠90 0

Magnitud

a

= 20km

Vector

α

Dirección

=

90 o

Descomponer el vector: Primer Cuadrante:

cx

b = 35km ∠150 0

Magnitud

b

= 35km

Dirección

α

=

150 o

Descomponer el vector: = 0 (+) y

cy

(+)

Segundo Cuadrante:

bx

(-) y

by

(+)

a y = a senα = (20km) * sen90 o = 20km

b y = b senα = (35km) * sen150 o = 17,5km

a x = a cos α = (20km) * cos 90 o = 0km

bx = b cos α = (35km) * cos 150 o = −30,31km

Vectores unitarios →

a = 20 j

→

b = −30,31i + 17,5 j

3. En este caso la RESULTANTE seria: →

R = (a x + bx )i + (a y + b y ) j →

R = (0 − 30,31)i + (20 + 17,5) j →

R = −30,31i + 37,5 j 4. Con las componentes del vector resultante calculamos ahora la magnitud y la dirección: La magnitud:

R = ( R x ) 2 + ( R y ) 2 = (−30,31) 2 + (37,5) 2 = 48,21km C) Calcular la dirección utilizando:

 Ry  Rx

α = tan −1 

  37,5   = tan −1   = −51,05 o  − 30,31  

con el eje x, segundo cuadrante, luego el ángulo real corresponde a:

α ´/ = 180 o − 51,05 o = 128,95 o →

Descripción del vector:

R = 48,21km ∠128,95 o .

→

En puntos cardinales

R = 48,21km 38,95 o

al oeste del norte