Kata Pengantar Puji Syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan E-modul interaktif disertai nilai islam pada materi program linear. E-Modul ini disusun berdasarkan kurikulum yang berlaku. E-Modul ini juga dilengkapi dengan peta konsep, materi pembelajaran, contoh soal, latihan soal dan evaluasi. Dalam e-modul matematika ini akan dibahas tentang materi Program Linear Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan emodul ini. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan dan kesempurnaan e-modul ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu proses penyelesain e-modul ini, terutama dosen pembimbing Ibu Nurul Farida, M.Pd. dan Ibu Yeni Rahmawati, M.Pd yang telah membimbing penulis dalam pembuatan e-modul ini. Semoga e-modul ini dapat bermanfaat bagi para pendidik, calon pendidik dan peserta didik.

Penulis

i

PETUNJUK PENGGUNAAN

1. Petunjuk bagi Peserta Didik Untuk memperoleh hasil belajar secara maksimal dalam menggunakan e-modul ini, maka langkah-langkah yang perlu dilaksanakan antara lain:  Bacalah dan pahami dengan seksama uraian-uraian materi yang ada pada masing-masing kegiatan belajar. Bila ada materi yang kurang jelas atau dirasa sulit oleh peserta didik, maka peserta didik dapat bertanya kepada guru.  Kerjakan soal latihan untuk mengetahui seberapa besar pemahaman yang telat dimiliki peserta didik terhadap materi dalam setiap kegiatan belajar. 2. Petunjuk bagi Fasilitator ( guru ) Dalam setiap kegiatan belajar, fasilitator berperan untuk:  

Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar. Membimbing dan membantu peserta didik dalam memahami konsep dan menjawab pertanyaan.

ii

KI, KD, Tujuan Pembelajaran Kompetensi Inti 3

Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedur, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

4

Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya disekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar 3.2 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual

Indikator  Menjelaskan pengertian program linear dua variabel  Menjelaskan sistem pertidaksamaan linier dua variabel  Menjelaskan nilai optimum fungsi objektif  Menjelaskan penerapan program liniear dua variabel dalam menyelesaikan masalah

4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual  Memecahkan masalah yang berkaitan dengan yang berkaitan dengan program program linear dua variabel linear dua variabel  Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan program linear dua variabel

iii

Tujuan Pembelajaran

1. 2. 3. 4.

Menjelaskan pengertian program linear dua variabel Menjelaskan sistem pertidaksamaan linier dua variabel Menjelaskan nilai optimum fungsi objektif Menjelaskan penerapan program liniear dua variabel dalam menyelesaikan masalah 5. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan program linear dua variabel 6. Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan program linear dua variabel

iv

Peta Konsep

Program Linear

Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penerapan Program Linear Dua Variabel

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Nilai Optimum Fungsi Objektif

v

Daftar Isi Kata Pengantar .......................................................................................... i Petunjuk Penggunaan ...............................................................................ii KI, KD, Tujuan Pembelajaran ................................................................iii Peta Konsep ............................................................................................... v Daftar Isi................................................................................................... vi Pendahuluan .............................................................................................. 1 Program Linear ......................................................................................... 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel .................................................. 3 A. Contoh Soal ................................................................................. 4 B. Soal Latihan................................................................................. 4 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.......................................... 5 A. Contoh Soal ................................................................................. 6 B. Soal Latihan................................................................................. 8 Nilai Optimum Fungsi Objektif ................................................................ 9 A. Contoh Soal ............................................................................... 10 B. Soal Latihan............................................................................... 14 Penerapan Program Linear Dua Variabel ............................................. 15 A. Contoh Soal ............................................................................... 16 B. Soal Latihan............................................................................... 20 Daftar Pustaka ........................................................................................ 22

vi

Pendahuluan

“Muslimah Store” akan memproduksi pakaian muslimah berupa gamis cantik. Bahan yang dimiliki yaitu 4 m satin dan 5 m

/

kain prada. Dari bahan tersebut akan dihasilkan 2 buah baju muslimah cantik. Baju muslimah I membutuhkan 1 m kain satin dan m kain prada. Sedangkan baju muslimah II membutuhkan 2 m kain satin dan 1 m kain prada. Baju muslimah 1 akan dijual dengan harga RP. 500.000,00 dan baju muslimah II akan dijual dengan harga RP. 450.000,00

Kita dapat membuatkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika dan menentukan hasil penjualan maksimum dari penjualan dari baju muslimah tersebut dengan menggunakan program linear. Sebelumnya mari kita memahami kembali sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel

1

PROGRAM LINEAR

Program Linear adalah suatu model atau program untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala – kendala atau batasan – batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear, yang disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian.

Pada pokok bahasan e-modul mari kita pelajari bersama macam macam program linear yang terdiri dari pengertian program linear dua variabel, sistem pertidaksamaan linear dua variabel, nilai optimum fungsi objektif dan penerapan program linear dua variabel.

2

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Sistem persamaan linear dua variabel merupakan materi awal yang harus kita pahami pada kajian materi program linear. Persamaan linear dua variabel ini memiliki kaitan dengan harta warisan. Di dalam kehidupan dimisalkan dengan pembagian harta warisan. Sebagaimana terdapat dalam Qs. An-nisa ayat 11 yaitu :

“Allah mensyari’atkan bagimu tentang (pembagian pusaka untuk) anak-anakmu. Yaitu : bagian seorang anak lelaki sama dengan bagian dua orang anak perempuan”

Penafsiran ayat oleh Ibnu Katsir: “Bagian laki-laki dua kali bagian perempuan adalah karena kewajiban laki-laki lebih berat dari perempuan, seperti kewajiban membayar maskawin dan memberi nafkah”

Istilah nilai minimum atau nilai maksimum disebut juga nilai optimum atau nilai ekstrim. Nilai-nilai islam yang terdapat dalam program linear mengajarkan Nilai Ibadah berupa menginfakkan sebagian dari keuntungan atau rezeki yang diperoleh.

3

Sebagaimana terdapat dalam Qs. Ali-‘Imran ayat 92:

“kamu sekali-kali tidak sampai kepada kebajikan (yang sempurna), sebelum kamu menafkahkan sebagian harta yang kamu cintai dan apa saja yang kamu nafkahkan Maka Sesungguhnya Allah mengetahuinya”

Contoh Soal 1. Rina membeli 3 kg apel dan 2 kg jeruk. Uang yang harus dibayarkan adalah Rp 65.000,00. Jika diubah menjadi persamaan linear dua variabel, maka pernyataan tersebut menjadi...

Penyelesaian: Misal

x = apel y = jeruk

Harga 3 kg apel dan 2 kg = 65.000

Jika dijadikan persamaan linear dua variabel adalah 3𝑥 + 2𝑦 = 65.000 Soal Latihan 1. Seorang pedagang menjual 3 buah pensil dan buah buku seharga Rp 19.500,00. Jika diubah menjadi persamaan linear dua variabel, maka pernyataan tersebut menjadi...

4

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dikatakan membentuk kendala program linear jika dan hanya jika variabelvariabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap pertidaksamaan

linear

pada

sistem

tersebut.

Sistem

pertidaksamaan ini disebut sebagai kendala.

Nilai-nilai variabel (x,y) disebut sebagai himpunan penyelesaian pada masalah suatu program linear jika nilai (x,y) memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala program linear. Pertidaksaamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 dengan :

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0

𝑎, 𝑏 ∶ 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 (𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅) 𝑐 ∶ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 (𝑐 ∈ 𝑅) 𝑥, 𝑦 ∶ 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 (𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅)

5

Untuk lebih memahami Pertidaksamaan Linear Dua Variabel mari kita lihat contoh soal dan pembahasan berikut ini. Contoh soal : Mirna mengikuti ujian CPNS pada tahun 2014. Sistem ujian yang selektif dan kompetitif, mengharuskan setiap peserta ujian harus memiliki nilai gabungan tes SKD dan SKB minimal 350, dengan bobot SKD 40% dan SKB 60%. Tapi setiap ujian harus memiliki nilai minimal 275. Nyatakanlah masalah ini dalam simbol matematik dan tentukanlah himpunan penyelesaiannya!

Pembahasan : Diketahui bahwa bobot untuk setiap nilai tes berturut-turut adalah 40% dan 60%. Untuk dinyatakan lulus, maka nilai minimal gabungan SKD dan SKB Mirna minimal 350, secara matematik dapat dituliskan : (40% × 𝑆𝐾𝐷 ) + (60% × 𝑆𝐾𝐵) ≥ 350 275 ≤ 𝑆𝐾𝐷 ≤ 500 275 ≤ 𝑆𝐾𝐵 ≤ 500

6

Misalkan nilai SKD memenuhi minimal yaitu 275 : (40% × 𝑆𝐾𝐷) + (60% × 𝑆𝐾𝐵) ≥ 350 (40% × 275) + (60% × 𝑆𝐾𝐵) ≥ 350 110 + (60% × 𝑆𝐾𝐵) ≥ 350 (60% × 𝑆𝐾𝐵) ≥ 240 𝑆𝐾𝐵 ≥ 400 Misalkan nilai SKB memenuhi minimal yaitu 275 :

(40% × 𝑆𝐾𝐷 ) + (60% × 𝑆𝐾𝐵) ≥ 350 (40% × 𝑆𝐾𝐷 ) + (60% × 275) ≥ 350 (40% × 𝑆𝐾𝐷 ) + 165 ≥ 350 (40% × 𝑆𝐾𝐷 ) ≥ 185 𝑆𝐾𝐷 ≥ 462,5

Himpunan penyelesaian = {(275, 400), (462,5, 275), … } Jadi himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel tersebut adalah {(275, 400), (462,5, 275), … }.

7

Contoh soal 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. 𝑎) 6 − 4𝑥 ≥ 2𝑥 + 24 𝑏) 4𝑥 + 1 < 2𝑥 − 11

Penyelesaian: 𝑎) 6 − 4𝑥 ≥ 2𝑥 + 24 6 − 4𝑥 ≥ 2𝑥 + 24 −4𝑥 − 2𝑥 ≥ 24 − 6 −6𝑥 ≥ 18 𝑥 ≤ −3

𝑏) 4𝑥 + 1 < 2𝑥 − 11 4𝑥 + 1 < 2𝑥 − 11 2𝑥 < (−1) − 11 −2𝑥 < 12 𝑥 < −6

Jadi, himpunan penyelesaian dari bilangan 6 − 4𝑥 ≥ 2𝑥 + 24 adalah (𝑥 ≤ −3)

−4𝑥 −

Jadi, himpunan penyelesaian dari bilangan 4𝑥 + 1 < 2𝑥 − 11 adalah (𝑥 < −6)

Soal Latihan

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. 𝑎) 2𝑥 + 4 < 0 𝑏) 4𝑥 − 12 > 0

8

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Suatu fungsi objektif terdefinisi pada daerah penyelesaian suatu masalah program linear. Fungsi objektif memiliki nilai jika sistem kendala memiliki daerah penyelesaian atau irisan. Konsep sistem pertidaksamaan dan persamaan linear berlaku juga untuk sistem kendala masalah program linear. Artinya jika sistem tersebut tidak memiliki solusi, maka fungsi sasaran tidak memiliki nilai.

Masalah program linear dua variabel adalah menentukan nilai 𝑥1 , 𝑥2 yang memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi tujuan : 𝑍(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝐶1 𝑥1 + 𝐶2 𝑥2

Dengan kendala :

𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 (≤, =, ≥)𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 (≤, =, ≥)𝑏2 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 (≤, =, ≥)𝑏𝑚 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0

9

Daerah Layak/ Daerah Penyelesaian/ Daerah Optimum Daerah penyelesaian masalah program linear merupakan himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi

kendala

suatu masalah

program

linear.

Garis Selidik Garis selidik merupakan salah satu cara untuk menentukan nilai objektif suatu fungsi sasaran masalah program linear dua variabel. Garis selidik ini merupakan persamaan garis fungsi sasaran,

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘, yang

digeser

di

sepanjang

daerah

penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi sasaran masalah program linear.

Contoh soal : 1. Bu Lala membutuhkan dua meter kain A dan tiga meter kain B untuk membuat mukena, sedangkan untuk membuat gaun Bu Lala membutuhkan satu meter kain A dan satu meter kain B. Jika Bu Lala memiliki sepuluh meter kain A dan sepuluh kain B, tentukan berapa banyak jumlah mukena dan gaun maksimal yang bisa dibuat dari kain tersebut oleh Bu Lala !

10

Pembahasan : Mukena : 2A ≤ 10 dan 3B ≤ 10 Gaun : A ≤ 10 dan B ≤ 10 Misalnya kain dimaksimalkan untuk dibuat mukena : 2A ≤ 10 A≤5 3B ≤ 10 B≤

Maksimal bisa membuat 3 mukena. Kebutuhan kain B = 3x3 = 9 Kebutuhan kain A = 2x3 = 6 Masih menyisakan satu meter kain A dan empat meter kain B, dapat dioptimasi dengan membuat satu gaun. Kebutuhan kain B = 3 x 3 + 1 = 10 Kebutuhan kain A = 2 x 3 + 1 = 7 Jadi maksimal bisa membuat 3 mukena, 1 gaun, dan menyisakan 3 meter kain B.

11

10 3

Misalnya kain dimaksimalkan untuk dibuat gaun : A ≤ 10 B ≤ 10 Maksimal bisa membuat 10 gaun, tanpa sisa kain. Jumlah maksimal yang bisa dibuat dari kain tersebut oleh Bu Lala adalah 3 mukena dan 1 gaun atau 10 gaun.

Contoh Soal 2. Daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.

Nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 3x+2y untuk daerah yang diarsir diatas adalah... Penyelesaian: Berdasarkan grafik diatas diperoleh persamaan garis sebagai berikut: 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 12 … (persamaan 1) 2𝑥 + 6𝑦 ≤ 12 atau 𝑥 + 3𝑦 ≤ 6 (persamaan 2)

12

Cara menentukan persamaan garis diatas sebagai berikut:

Kemudian tentukan titik potong kedua garis dengan cara substitusi persamaan 2 ke persamaan 1:

𝑥 + 3𝑦 = 6 atau 𝑥 = 6 − 3𝑦 4𝑥 + 3𝑦 = 12 4 (6 − 3𝑦) + 3𝑦 = 12 24 − 12𝑦 + 3𝑦 = 12 −9𝑦 = 12 − 24 = −12 𝑦=

−12 −9

4

=3

4 𝑥 = 6 − 3𝑦 = 6 − 3. = 6 − 4 = 2 3

Titik potong daerah yang diarsir sebagai berikut (0,0) ; (0,2) ; 4

(3;0) dan (2,3). Kemudian subtitusi titik-titik potong tersebut ke fungsi objektif sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

13

Nilai terbesar data diatas adalah 9. Jadi nilai maksimumnya 9.

Soal Latihan 1. Nilai maksimum fungsi objektif 𝑧 = 4𝑥 + 5𝑦 dengan syarat 𝑥, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10, 𝑥 + 𝑦 ≤ 7 adalah ...

14

Penerapan Program Linear Dua Variabel Hadits dalam Sahih al-Bukhari

Artinya:“Dari ‘Urwah al-Bariqi”Bahwasannya Nabi saw. Memberinya uang satu dinar untuk dibelikan kambing. Maka dibelikannya dua ekor kambing dengan uang satu dinar tersebut, kemudian dijualnya yang seekor dengan harga satu dinar. Setelah itu ia datang kepada Nabi saw. Dengan membawa satu dinar dan seekor kambing. Kemudian beliau mendo’akan semoga perdagangannya mendapat berkah. Dan seandainya uang itu dibelikan tanah, niscaya mendapat laba pula” Berdasarkan ayat diatas dapat dikaitkan dalam kehidupan sehari-hari. Banyak masalah yang berkaitan dengan perhitungan, seperti dalam ekonomi, sosial, industri dan militer. Misalnya dalam berdagang seorang pedagang

pasti

ingin

mendapat

keuntungan

atau

laba

yang

besar/maksimum, maka dengan menggunakan program linear pedagang tersebut dapat menghitung maksimum laba yang bisa diperoleh seorang pedagang.

Untuk

lebih

memahami

program

linear

perhatikanlah 3 contoh soal program linear metode grafik.

15

dua

variabel,

Contoh Soal Program Linear Metode Grafik : 1. Pak Djuna memiliki area parkir seluas 1.960 m2 . Luas rata-rata untuk mobil berukuran kecil adalah 4 m2 dan mobil besar adalah 20 m2 . Daya tampung maksimum hanya 220 adalah Rp 5.000,-/ jam dan mobil besar adalah Rp 10.000,-/ jam. Jika dalam 1 jam area parkir Pak Djuna terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah

Pembahasan : K + B ≤ 220 4K + 20B ≤ 1.960 K≥0 B≥0

Gambarkan garis dari pertidaksamaan tersebut dengan membuat titik-titik ! temukan titik-titik tersebut dengan nilai K = 0 dan B = 0.

16

0 × 5.000 + 98 × 10.000 = 980.000 152,5 × 5.000 + 67,5 × 10.000 = 1.437.500 220 × 5.000 + 0 × 10.000 = 1.100.000

Jadi hasil maksimum tempat parkir Pak Djuna selama satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang adalah Rp 1.437.500,-

17

Contoh Soal Program Linear Metode Grafik : 2. Seorang pedagang minuman memiliki modal Rp 180.000,00. Ia berencana membeli dua jenis minuman yaitu minuman A dan minuman B. Minuman A dibeli sehargaRp 6.000,00 per botol dan dijual dengan untung Rp 500,00 per botol, minuman B dibeli dengan harga Rp 9.000,00 per botol dan dijual dengan untung Rp 1.000,00 per-botol. Bila tempatnya hanya mampu menampung 25 botol minuman maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh jika semua minuman terjual adalah

Pembahasan : Misalkan: Minumam A = a Minumam B = b Model matematikanya: Maksimum f(a,b) = 500a + 1000b Dengan kendala: 6000𝑎 + 9000𝑏 ≤ 180000 ↔ 2𝑎 + 3𝑏 ≤ 60 𝑎 + 𝑏 ≤ 25 𝑎, 𝑏 ≥ 0 Titik potong kedua garis: 2𝑎 + 3𝑏 = 60|𝑥1|2𝑎 + 3𝑏 = 60 |𝑥2|2𝑎 + 2𝑏 = 50 𝑎 + 𝑏 = 25 𝑏 = 10 𝑎 + 10 = 25 → 𝑎 = 15 Titik potong = ( 15,10 ) Terdapat 4 titik pojok yaitu (0,0), (25,0), (15,10) dan (0,20) 18

Titik Pojok (0,0) (25,0) (15,10) (20,0)

Maksimum f(a,b) = 500a + 1000b f(0,0)=0 f(25,0)=12.500 f(15,10)=17.500 f(0,20)=20.000 (maksimum)

Grafiknya:

19

Soal Latihan :

1. Bu Dewi mempunyai gudang yang hanya dapat menampung paling banyak 70 peti barang. Setiap peti barang A dibeli dengan harga Rp 300.000,- dan akan dijual dengan untung Rp 50.000,-. Setiap peti barang B dibeli dengan harga Rp 200.000,- akan dijual dengan untung Rp 30.000,-. Jika modal yang tersedia Rp 15.000.000,maka untung maksimum yang diperoleh adalah 2. Seorang pedagang makanan memiliki modal Rp 200.000,00. Ia berencana membeli dua jenis makanan yaitu makanan A dan makanan B. Makanan A dibeli seharga Rp 8.000,00 per porsi dan dijual dengan untung Rp 500,00 per porsi, makanan B dibeli dengan harga Rp 11.000,00 per porsi dan dijual dengan untung Rp 1.000,00 per porsi. Bila tempatnya hanya mampu menampung 25 botol makanan maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh jika semua makanan terjual adalah

20

INFO PENTING!!!

Leonid Kantorovich adalah seorang ahli matematika dan ekonomi dari Uni Soviet yang dikenal karena teori dan pengembangan teknik untuk alokasi sumber daya yang optimal. Beliau adalah pemenang hadiah Nobel Ekonomi pada tahun 1975, dan menjadi satusatunya peraih Nobel Ekonomi dari Soviet. Kantorovich bekerja untuk pemerintah Soviet untuk mengoptimalkan produksi dalam industri kayu lapis. Pada tahun 1939 ia mengaplikasikan teknik matematika yang sekarang kita kenal sebagai pemrograman linear

Mari berlatih untuk menambah wawasan kalian mengenai materi program linear dengan cara mengklik link yang sudah tersedia dibawah ini.

Selamat Mengerjakan !!!

https://www.liveworksheets.com/c?a=s&t=i16bzjjqfoi&mn=xz&m=d&sr=y&ms=u z&l=by&i=donodnz&r=ay&db=0&f=dzddzddu&cd=po71fgqqtejomgnifinjljnlgdi2ng nngnnxxg

21

Daftar Pustaka Manullang, S., dkk. 2017. Studi dan Pengajaran. Edisi Revisi. Jakarta. Ngapiningsih., Miyanto., dan Santoso, N. 2019. Matematika. PT Penerbit Intan Pariwara. Yogyakarta Sinaga, B., dkk. 2014. Buku Guru Matematika. Cetakan Ke 1. Balitbang.

22