FLUJO COMPRESIBLE INTRODUCCION: En la mayoría de los casos no se consideraban los efectos de compresibilidad en problemas dinámicos. Debido a que la variación de la densidad es acompañada por cambios de temperatura y transferencia de calor, será necesario utilizar la segunda ley de la termodinámica principalmente, así como el resto de la termodinámica. Al estudiar el flujo compresible se consideraran las mismas características que para el flujo incompresible, estas son: Flujos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Flujos permanentes y no permanentes. Flujos rotacionales e irrotacionales. Además, se establece la siguiente clasificación: Flujo incompresible; el número de Mach es mucho menor que 1. Flujo compresible subsónico; el numero de Mach en alguna parte de la región del flujo excede un valor aprox. de 0,4 y no excede 1 en ningún lugar de la región de flujo. Flujo transónico; este flujo incluye números de Mach ligeramente menores y ligeramente mayores que 1. Flujo supersónico; el número de Mach del flujo excede a 1 pero es menor que 3. Flujo hipersónico; el número de Mach es mayor que un valor aprox. que 3. Cuando el número de Mach es mayor que 1 ocurre un cambio notable en el comportamiento del fluido, comparado con un flujo con numero de Mach menor que 1. RELACIONES TERMODINAMICAS PARA UN GAS PERFECTO Se define el gas perfecto (Ideal) como un fluido que tiene colores específicos constantes y que siguen la ley p=.R.T, donde R es la constante de los gases, es la densidad, p es la presión absoluta y T es la temperatura absoluta. Los experimentos con gases que se comportan casi como un gas perfecto, muestran que la energía interna se comporta de acuerdo a la relación: ( du / dv )T = 0 Esto se puede interpretar como que la energía interna de un gas perfecto solo depende de la temperatura, es decir: u = u(T) Para los gases perfectos, esto se convierte en:

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du = Cv . dT ^ dh = Cp . dT u2 − u1 = Cv . ( T2 − T1 ) ^ h2 − h1 = Cp . ( T2 − T1 ) Entonces a partir de: h=u+(p/ )=u+(R.T) dh = du + R . dT Cp = Cv + R La entalpía ( h ) solo depende de la temperatura. La relación entre los calores específicos es un parámetro adimensional, definido como: k = Cp / Cv ; depende del fluido Cp = ( k / ( k − 1 ) ) . R ^ Cv = R / ( k − 1 ) El gas perfecto no necesita tener un calor especifico constante, estos dependen principalmente de la temperatura; sin embargo si el rango de temperatura no es grande, puede considerarse que los calores específicos son constantes. En función de la entropía las ecuaciones toman la forma: • T . dS = du + p . d(1/) dS = Cv . ( dT ) / T + R . . d(1/) S2 − S1 = Cv . Ln ( T2 / T1 ) + R . Ln ( / ) = Cv . Ln ( ( T2 / T1 ) . ( / )k − 1 ) = Cv . Ln ( ( p2 / p1 ) . ( / )k ) = Cv . Ln ( ( T2 / T1 )k . ( p2 / p1 )1 − k ) • T . dS = dh − (dp) / dS = Cp . ( dT ) / T − R . (dp) / p S2 − S1 = Cp . Ln ( T2 / T1 ) − R . Ln ( p2 / p1 ) Se puede considerar procesos con transferencia de calor nula hacia los alrededores, conocidos como procesos adiabáticos. Puede encontrarse una relación útil entre p y v en un gas perfecto para un proceso adiabático reversible (isoentrópico). T . dS = dq dS = 0 S2 − S1 = 0 : cte.

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dQ = du + p . dv Cv . dT = − p . dv dQ = dh − v . dp Cp . dT = v . dp ( dp ) / p = − ( Cp / Cv ) . ( dv ) / v = − k . ( dv ) / v Ln p = Ln ( v )−k + cte. p . vk : cte. Otra forma de expresar esta última expresión es: ( V2 / V1 )k = p2 / p1 T1 / T2 = ( / )k − 1 = ( p1 / p2 )( k −1 ) / k La experiencia indica que es permisible utilizar estas relaciones en condiciones de no equilibrio en la mayor parte de las situaciones prácticas, sin embargo en condiciones extremas, como explosivos u ondas de choque, la desviación del equilibrio es tan grande que se hace imposible utilizar las relaciones termodinámicas mostradas. PROPAGACION DE UNA ONDA ELASTICA Una consecuencia inmediata de la variación de la densidad radica en que un sistema de elementos fluidos puede ocupar volúmenes que varían en el espacio, y esta posibilidad significa que un grupo de elementos fluidos puede extenderse en una región más grande en el espacio sin requerir un cambio simultáneo en todos los elementos fluidos del flujo, pero se sabe que un pequeño desplazamiento de elementos de fluido de un medio compresible producirá pequeños movimientos similares en elementos adyacentes y en esta forma una perturbación, conocida como onda acústica, se propaga con una velocidad relativamente alta, que corresponde a la velocidad de sonido a través del medio. P (Vz)t z Vzt/2 ct En la figura se muestra un ducto de área constante que contiene un fluido inicialmente en reposo. Supóngase que se produce un incremento infinitesimal de presión dp y se mantiene de alguna forma en el lado izquierdo de la posición A−A. Ahora suceden 2 cosas: debido a la acción molecular, la presión se incrementara a la derecha de A−A y este incremento se moverá hacia aguas abajo en el canal a una alta velocidad c , conocida como celeridad acústica. Luego, se obtiene una onda de presión de velocidad c que se mueve hacia la derecha debido a la acción microscópica. El segundo efecto se localiza en un nivel macroscópico. De acuerdo con la ley de Newton, el fluido localizado inmediatamente a la derecha del frente de onda descrito debe acelerarse como resultado de la diferencia de presión dp a una velocidad dVz. Una vez que el aumento en la presión dp se ha establecido en el fluido, no 3

existe un cambio adicional en la velocidad, de tal manera que permanece igual a dVz. Por detrás del frente de onda, el fluido se mueve hacia la derecha a una velocidad dVz. Considérese lo que ocurre durante un intervalo de tiempo dt en el aparato, la onda ha avanzado una distancia c. dt y se mueve a la posición B. Mientras tanto, las partículas de fluido en A se mueven una distancia dVz. dt hasta la posición A1. En una posición intermedia, como la mitad de A y B, y que se señala en la figura como D, la velocidad del fluido, dVz, persiste durante un intervalo de tiempo dt / 2. En consecuencia, el fluido inicialmente en D se ha movido una distancia ( dVz . dt ) / 2 hasta la posición D1. • Frente de Onda Estacionario con volumen de control Y Volumen de control Velocidad = c − Vz Velocidad = c Presión = P+ð Presión = P Densidad = ð Densidad = z Frente de Onda Con el fin de hacer un análisis de flujo permanente, se coloca un eje de referencia sobre el frente de onda y se establece un volumen de control infinitesimal. La ecuación de continuidad para este volumen es: C . . A = ( + d ) . ( c − dVz ) . A dVz = c . ( d ) / Ahora, la ecuación de momentum lineal para el fluido dentro del volumen de control. Nótese que la fuerza de fricción actúa sobre un área infinitesimal y, con la velocidad infinitesimal dVz relativa a la parte del ducto, dicha velocidad es de segundo orden, y por consiguiente, se ignora. Luego, se tiene: dp . A = . c2 . A − . A . c . ( c − dVz ) . dVz = ( dp ) / c c2 = dp / d = ( dp / d )s Tomando : k = − dp / ( dV / V ) = . dp / d c2 = k / p En un gas perfecto, utilizando la ecuación p . (1 / )k : cte. en un proceso isoentropico, se obtiene: Ln p − k . Ln = Ln cte. dp / p − k . ( d ) / = 0 ( dp / d )s = k . p / = k . R . T c2 = k . p / = k . R .T 4

A pesar que la deducción aquí sea algo artificial, los resultados son validos para cualquier perturbación de una fluctuación de presión. Se supuso que la celeridad c es un valor cte., es decir, se utilizó un volumen de control inicial con un flujo permanente con respecto a este volumen de control. Luego se considero un fluido isotermo. Puede demostrarse que para cualquier caso no isotermo los resultados desarrollados son aplicables debido a que los efectos no inerciales y las contribuciones no permanentes al análisis de volumen de control seria de 20 orden. Las ondas consideradas involucran variaciones de presión infinitesimales. CONO DE MACH Considérese que en algún punto P en un fluido estacionario se emite una perturbación instantánea, pequeña y simétricamente esférica. El frente se propagará en forma esférica con la velocidad del sonido. c(4t) c(2t) c(t) c(3t) Flujo estacionario Ahora, considérese que la perturbación se emite en un fluido que se mueve de izquierda a derecha con una velocidad uniforme Vo que es menor que c. Al observar el frente de onda desde una posición estacionaria a intervalos de tiempo sucesivos, no habrá círculos concéntricos para este caso, debido a que la propagación se mueve hacia fuera esféricamente con respecto al fluido y por consiguiente se mueve hacia aguas abajo con una velocidad Vo; si una persona se moviera con el fluido, se verían círculos concéntricos. c(3ðt) c(2ðt) c(ðt) c(4ðt) Vo(ðt) Vo(2ðt) Vo(3ðt) Vo(4ðt) Esto significa que el centro para trazar círculos se mueve con velocidad Vo de izquierda a derecha. Resulta que como Vo < c, los círculos nunca se intersecan. Esto representa una acción simple en un flujo subsónico. Ahora considérese cuando el fluido se mueve con una velocidad Vo que excede al valor de c. Esto representara una acción simple en un flujo supersónico, de nuevo se observará el frente de onda de una perturbación en intervalos sucesivos. El centro para construir los círculos se mueve hacia aguas abajo más rápido que la tasa a la cual la propagación procede hacia fuera radialmente con respecto a la corriente, y se 5

observara que los círculos forman una superficie tangente cónica que se conoce como Cono de Mach. cðt c2ðt c3ðt c4ðt Vo>c Vo(ðt) Vo(2ðt) Vo(3ðt) Vo(4ðt) El ángulo medio de este cono se denomina Angulo de Mach ( ), puede verse: Sen ( ) = c / V = 1 / M M = V / c: Numero de Mach Elevando el número de Mach al cuadrado resulta V2 / c2, que puede interpretarse como la relación de la energía cinética del fluido a su energía térmica. En un fluido incompresible k es infinito y M = 1. Para los gases ideales k = kp, cuando la compresión es isoentrópico. Hasta ahora se ha considerado una perturbación instantánea única. Supóngase que la fuente emite sonido continuamente. En flujo supersónico un observador por fuera del cono de Mach no oye esta señal, de manera que esta región se conoce como Zona de silencio. Por otro lado, dentro del cono existirá una evidencia grande de la perturbación, por lo que esta región se conoce como Zona de acción. En el caso de flujo subsónico la perturbación se extenderá en todas las direcciones y, aunque lo hace en una forma no simétrica, no puede existir una cantidad como una zona de silencio. En el fluido estacionario hay una distribución simétrica de las ondas de sonido como resultado de la perturbación continua. Un flujo incompresible también tendrá una respuesta simétrica a la señal, pero esta vez la señal se oye en todas partes en el mismo instante en que se produce, como resultado de una velocidad de propagación infinita. De este análisis resulta porque un observador estacionario no oye un avión que se mueve con una velocidad supersónica hasta que el avión ha pasado. La importancia del número de Mach como un parámetro en el flujo compresible considerando las ecuaciones de gas ideal: To / T = 1 + ( V2 / ( 2 . Cp . T ) ) Relación entre Temperatura de Estancamiento total y T. Estática V2 / (2 . Cp . T ) = ( k − 1 ) . V2 / ( 2 . c2 ) = ( k − 1 ) . M2 / 2

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To / T = 1 + ( k − 1 ) . M2 / 2 Po / p = ( 1 + ( k − 1 ) . M2 / 2 )k / ( k − 1 ) o / = ( 1 + ( k − 1 ) . M2 / 2 )1 / ( k − 1 ) FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL: Partimos del estudio de un flujo sencillo y simple, el flujo unidimensional compresible, el cual se describe en función de una coordenada espacial y del tiempo. Cabe resaltar que no es igual un flujo de este tipo al que un flujo paralelo. Para el flujo paralelo podrán existir varias coordenadas espaciales para definirlo, sin restricción alguna como es el caso del flujo dentro de tuberías. Por otra parte a diferencia del flujo paralelo, en el flujo unidimensional las líneas de corriente no serán necesariamente rectas. s A A En la figura anterior se puede considerar unidimensional el flujo si sus parámetros son aproximadamente constantes en cada sección A−A, para cualquier instante y cambiar solamente con la posición S y el tiempo t. Si el flujo que se analice no cumple con la uniformidad requerida para asumirque es un flujo unidimensional, al analizarlo como tal se obtendrán valores promedios de sus parámetros en cada sección genérica A−A a lo largo de la posición definida por S. Usaremos este tipo de flujo en el análisis de boquillas, difusores, ductos de alta velocidad y túneles de viento. Los efectos que pueden alejar el modelo de flujo unidimensional compresible serán: la fricción, la cual se confinará dentro de la capa límite y regiones dentro de las zonas de choque. También estamos asumiendo que el flujo, por ser unidimensional no presenta rotacionalidad. FLUJO ISENTROPICO CON CAMBIO DE AREA A continuación se hará un breve repaso de ciertos términos estudiados en termodinámica los cuales nos serán útiles para el desarrollo de flujo compresible. Para un gas ideal se cumple que: P = * R * T P: Presión absoluta, : Densidad, R: Constante de los gases , T: Temperatura. Calor específico a volumen constante: Cv = (U / T)v Calor específico a presión constante: Cv = (ð / T)p Para gases ideales o perfectos, Cv y Cp solamente dependerán de la temperatura, por tanto: Cv = dU / dT Cp = dH / dT

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Por termodinámica sabemos que se cumple la expresión h = u + p/ , diferenciando esta ecuación y utilizando las anteriores obtendremos: Cp = Cv + R Relación de calores específicos: k = Cp / Cv. Con esto obtenemos: Cp = (k /k−1) * R ( a ) Cv = R / (k−1) ..( b ) ENTROPIA No trataremos entropía en forma muy detallada, ya que se vió a esta propiedad con detenimiento en los anteriores cursos de termodinámica, pero si haremos un pequeo repaso de las propiedades fundamentales y en especial de aquellas que nos servirán para un flujo isoentrópico. Desigualdad de Clausius: Para procesos reversibles que es lo que nos interesa tomaremos la igualdad de la expresión: Q / T 0. 2 b a 1 Para la trayectoria de la figura se debe cumplir que: Q / T = 0. Q / T =a " dQ / T + b " dQ /T = 0 entonces a " dQ / T = b " dQ /T De este último resultado podemos darnos cuenta que la integral me representa una propiedad, pues no importa el camino seguido. En consecuencia podremos asociar a cualquier estado de una sustancia de manera que la diferencia de estas cantidades en dos puntos cualesquiera represente la integral anterior, es decir: S2 − S1 = ( " dQ /T ) Donde S será la entropía. Para una variación diferencial de entropía tendremos: dS = dQ / T . Ordenando términos tendremos que dQ = T dS ( 1 ) Aplicando esto a la primera ley de la termodinámica diferenciada se obtiene:

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dQ = dE + dW TdS= dU +pdV TdS= dU + pd(1/)..( 2 ) PROCESOS ISOENTROPICOS Para que un proceso cualquiera sea isoentrópico deberá cumplirse que, el proceso sea reversible y adiabático, es decir, que no existirá variación de calor en el sistema, es decir, dQ=0 , por tanto de la ecuación 1 llegamos a la conclusión que un proceso es isoentrópico si se cumple que: dS=0 , o lo que es lo mismo S constante. De la ecuación 5, para S2= S1 se obtendrá: (p1 / p2) = (1/2)^k ..( 7 ) Con las relaciones de Poisson de gases ideales obtenemos: (T2 /T1) = ( P2/P1)^(1−1/K) = (2/1)^k−1 ( 8 ) FLUJO ISOENTROPICO CON CAMBIO SIMPLE DE AREA: LEYES BASICAS Y SECUNDARIAS PARA FLUJO ISOENTROPICO. Propiedades de Estancamiento: Son aquellas que obtendría el fluido si se llevara a este a una condición de velocidad cero y elevación cero, mediante un proceso reversible sin transformación de calor ni trabajo. En ese estado la presión será la máxima posible. Consideraremos un ducto con un eje central recto en el que existe a través de él un flujo permanente isoentrópico (Fig.2). En la región ensanchada a la izquierda puede considerarse que la velocidad es muy pequea , por lo tanto se supone condiciones de estancamiento, denotadas generalmente con el subíndice cero. El ducto será dividido en dos volúmenes de control y aplicando las leyes básicas a estos obtendremos: Primera ley de la termodinámica: ho = h 1+ V1^2 /2 = h2 + V2^2 /2 En esta fórmula no importará si existe o no fricción. Segunda ley de termodinámica: So = S . Es decir la entropía será constante a lo largo de todo el ducto. Ecuación de continuidad: *V*A = m = cte. Ecuación de momento lineal:

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P 1*A1 − P2*A2 + R = 1*V1^2*A1 −2*V2^2*A2 En esta ecuación R es la fuerza ejercida por la pared del ducto sobre el fluido. La reacción a esta fuerza es el empuje sobre la pared ejercido por el flujo entre las secciones escogidas. Ecuación de estado: Sabemos por termodinámica que un estado específico de cualquier sustancia pura y gaseosa, se puede determinar a partir de dos propiedades. Para nuestro caso y a modo de ejemplo nos interesarán las siguientes ecuaciones de estado: H = h (s, p) = (s, p) Para un flujo isoentrópico con un conjunto dado de condiciones de estancamiento, podrá asociarse un área para cada presión menor que la presión de estancamiento y con un flujo de masa conocido. Por lo general es posible conocer las propiedades en el punto de estancamiento (ho, So , etc ) así como el flujo másico. Ahora, si tomamos P1 y S1 podremos hallar por medio de las ecuaciones de estado anteriores h1 y 1, con lo cual se puede hallar fácilmente V1 y A1 de las ecuaciones de continuidad y primera ley. Podremos entonces formular flujos teóricos, tomando en cuenta la disminución de presión a lo largo de una línea central de un ducto, de tal modo la presión descienda entre el punto de estancamiento hasta la presión ambiente (Fig. 3) y calculando luego las áreas como se indicó anteriormente para una expansión isoentrópica. Po,To P1
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PRESION SECCION (Lb/pulg^2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

300 275 250 225 200 175 150 125 100

TEMPERA TURA (R) 815 790 764 735 704 670 630 584 530

ENTALPIA (Btu/Lbm) 1428 1417 1404 1391 1375 1359 1341 1319 1295

VELOCI DAD(pies/s) 0 735 1092 1335 1623 1850 2080 2330 2570

VOL. AREA ESPECIFICO (pie^3 /lbm) 2.47 2.65 2.85 3.07 3.39 3.77 4.24 4.84 5.78

(pulg^2) − 0.520 0.376 0.326 0.301 0.294 0.294 0.300 0.324

• Tabla tomada de libro de Shames, Mecánica de fluidos. Con los datos de la tabla podemos construir de manera esquemática las secciones longitudinales (fig. 4), a partir de esta figura podemos sacar conclusiones importantes que a continuación describimos. • La expansión proviene de la zona de estancamiento como flujo subsónico con una disminución en la sección transversal hasta alcanzar un área mínima, momento en el cual M=1. A esta sección se le conoce con el nombre de Garganta o sección sónica y las propiedades en dicho punto son conocidas como PROPIEDADES CRITICAS. Esta zona es una porción convergente. • Después de la sección sónica el área se incrementa y se encuentra condiciones de flujo supersónico. Esta zona es llamada porción divergente. Una aplicación de los resultados es echo en el uso de boquillas. Una boquilla convergente será aquella diseñada para conducir un fluido en una expansión isoentrópica hasta una presión ambiente que exceda a la presión crítica. Una boquilla convergente− divergente tendrá como función conducir al fluido en una expansión isoentrópica hasta una presión ambiente que será menor que la presión crítica. Estas últimas son conocidas como boquillas de Laval. En conclusión, podemos decir que la función de una boquilla es convertir la entalpía de un fluido en energía cinética en forma eficiente. En el caso en que la energía cinética sea transformada a entalpía estaremos hablando de un DIFUSOR. 123456789 (fig. 4) PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO O DE REMANSO El estado termodinámico de una partícula de fluido se define por sus propiedades (p, T, u, h, s); pero desde el punto de vista de la mecánica, también se requiere saber la velocidad de la partícula y, posiblemente, su posición en un campo gravitatorio. Las propiedades termodinámicas se denominan propiedades de estado; son los valores que se medirán con instrumentos que son estáticos respecto al fluido. Las propiedades estáticas representan la estructura molecular del fluido y obedecen a todas las ecuaciones de estado y otras leyes relacionadas con las propiedades y las ecuaciones termodinámicas. La velocidad de la partícula y la elevación se especifican 11

aparte. Un enfoque útil es la combinación de las propiedades termodinámicas (estáticas) con la velocidad y elevación, para obtener propiedades termodinámicas equivalentes que representan el estado total (termodinámico y mecánico). Esto se realiza empleando las propiedades de estancamiento o de remanso. Las cuales quedan definidas como: Las propiedades de estancamiento o de remanso son las propiedades que obtendría un fluido si se llevara a una condición de velocidad cero y elevación cero, en un proceso reversible sin transferencia de calor y energía. OBTENCIONES DE LAS PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO Como se mencionó anteriormente las presiones y temperaturas de estancamiento pueden variar de punto a punto. Para el cálculo de las propiedades de estancamiento utilizaremos dos métodos: Mediante el uso de instrumentos, tales como el Tubo de Pitot y el Tubo de Prandtl Y, el otro método, mediante un análisis termodinámico al fluido. a) Con instrumentación: Tal como se muestra en el gráfico, se utiliza un Tubo de Pitot simple, con el cual determinaremos la presión de estancamiento. Tubo de Pitot simple 12 Se observa en el gráfico que las líneas de corriente alrededor del Tubo de Pitot están orientadas paralelas al eje del Tubo, con lo cual se logra un retardo casi isentrópico del flujo hasta la condición de estancamiento en la entrada del Tubo (punto 1). Como la presión se transmite a través del tubo y con la ayuda de la medida h en el manómetro se determina la presión total o de estancamiento, que es la suma de la presión estática y la presión dinámica. Como se mencionó, en el punto 1 se muestra, que se forma un punto de estancamiento o de remanso: la velocidad allí se reduce a cero y la presión se puede calcular mediante: P1 = pt = po + vo2 g g g 2g donde: pt, Presión total o presión de estancamiento o de remanso. Po, vo, Presión y velocidad de la corriente imperturbada (teóricamente en el Infinito) Suponemos que el punto 0 y 1 se encuentran en el mismo plano horizontal (misma línea de corriente), y despreciamos las perdidas. Hacemos el mismo análisis para el punto 1 y 2:

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Pt + v1^2 + z1 = p2 + v2^2 + z2 g 2g g 2g Como en el punto 1 y 2 se dan condiciones estáticas, es decir, v1 = v2 = 0 y z2 − z1 = h Entonces Pt = g h (presión total o de estancamiento) Luego la presión será: Pt = po + vo 2/2 Donde po presión estática En el cálculo de la presión estática (llamada presión no perturbada) es preciso que el procedimiento de medida no perturbe apreciablemente las condiciones de flujo en la posición de medida. Esto esta en oposición con la medición de la presión total, que se crea en la posición que interesa una perturbación cuidadosamente deliberada. Cabe mencionar que hay una tercera presión, llamada presión dinámica que es la diferencia entre la presión total y la estática. Estas tres presiones pueden medirse en una región del flujo si se añaden orificios a las superficies laterales de un tubo de Pitot (que entonces se transforma en un tubo de Pitot estático). Tubo de Pitot estático La medida de presión en B da la presión estática, y la diferencia entre pa y pb determina la presión dinámica. La medida en este procedimiento, no se hace, evidentemente, en un punto, sino en una región suficientemente pequeña para ser considerada como un punto en muchos cálculos. 1 z1 0 nivel de referencia De fluido al reposo y a una elevación cero. Al aplicar la ecuación de la energía a la línea de corriente entre 1 y 0, se tiene. q − w3 = ho − hi + Vo2 − V12 + gz0 = gz1 2 Por definición q, w3, V0, y Zo son cero, por lo que se obtiene ho = h1 + V21 + gz1 2 donde h0 se denomina entalpía de estancamiento o de remanso. En el análisis del flujo comprensible, la energía potencia y la fuerza de la gravedad casi siempre son despreciados y la definición de la entalpía de 13

estancamiento generalmente se simplifica a hg = h + V2 2 Para obtener una definición de la entalpía de estancamiento se ha omitido el sub índice 1. Obsérvese que para obtener la entalpía de estancamiento no se requirió emplear la especificación de reversibilidad. Si el fluido es un gas ideal con calor específico constante, la ecuación se convierte en. Cpto = Cpt + V2 2 Y la temperatura de estancamiento o de remanso está dada por To = T + V2 2cp Las ecuaciones para la presión y la densidad de estancamiento se pueden obtener notando que, por definición, el proceso de estancamiento es isentrópico. Para un gas ideal. Po = To k(k−1) PT Po = To 1/(K−1) T Al dividir La ecuación entre T, se obtiene To = 1 + V2 T 2 cptT Al sustituir en las ecuaciones, se tiene Po = p 1 + V2 k / (k −1) 2cpt Po = p 1 + V2 l / (k − 1) 2cpt Las ecuaciones demuestran que las propiedades de estancamiento se determinan por medio de las propiedades estáticas y la velocidad del fluido. Como cualquier partícula de fluido siempre tiene una presión, una 14

velocidad (que podría ser cero) dicha partícula se puede describir por medio de sus propiedades estáticas como de sus propiedades de estancamiento. Se podría decir que "el fluido tiene una presión de 100 kPa y una presión de estancamiento de 125 kPa". Las propiedades estáticas son realmente las propiedades fluido, y las propiedades de estancamiento son las que tendría el fluido si se lleva a una velocidad cero en un proceso isentrópico sin trabajo. Si (y sólo sí) la partícula de fluido tiene una velocidad cero, sus propiedades estáticas y de estancamiento iguales. A menos que se agregue energía al fluido por transferencia de calor o las propiedades de estancamiento representan los valores máximos posibles de propiedades del fluido. El proceso de estancamiento postulado representa la versión ideal de las energías cinética y potencial del fluido en presión y interna. En ocasiones a las propiedades de estancamiento se les llama propiedades totales. Como el proceso de estancamiento (esto se lleva el fluido, puede realizar mediante un proceso irreversible, así como también estancamiento se emplea en los casos donde se consideran los procesos de flujo viscoso. La ambigüedad se puede remediar empleando el término propiedades de estancamiento isentrópicas. Gas Perfecto El gas perfecto es la sustancia que satisface la ley de los gases perfectos o ideales, es decir que cumple con la relación: PV=RT Donde la presión P es absoluta, v es el volumen específico, R es la constante de los gases ideales (perfectos) y T es la temperatura absoluta. A estos gases se les considera con el calor específico constante, además se considera que tiene viscosidad, y es compresible por lo que cumple con la ecuación: P=RT Siendo la densidad. Para bajas presiones los gases tienden a seguir la ley de los gases ideales, donde están incluidas las leyes de Charles y de Boyle. La Ley de Charles establece que a presión constante, el volumen del gas varía proporcionalmente a la variación de la temperatura. Por su parte la Ley de Boyle establece que a temperatura constante la presión y el volumen variarán proporcionalmente. El calor específico de un gas perfecto cuando el volumen es constante se define por la fórmula: Cv=(dU/dT)v Donde U es la energía interna por unidad de masa. Esto significa que Cv es la energía interna necesaria para elevar un grado a la temperatura cuando el volumen es constante, que es indicado por el índice v. Por el contrario, cuando la presión es constante el calor específico se define por: Cp=(dH/dT)p Donde H es la entalpía del gas por unidad de masa. Esta se define por la fórmula H=U+PV. El índice p indica que la presión es constante. H es función de la temperatura, ya que para un gas perfecto PV=RT, y U es 15

función de la temperatura. Gran parte de los gases corrientes experimentan un cambio muy pequeño en un rango de temperaturas entre 270 a 560 ºK, y para su empleo se toma un valor intermedio, considerándolos como gases perfectos. Para los gases perfectos se sabe que: U=(Cv)T ya que Cv es una constante. Además se sabe que: H=(Cp)T ya que Cp también es una constante. Y de la definición de entalpía tenemos: H= U+PV Reemplazando: (Cp)T= (Cv)t + PV, Pero para los gases perfectos PV=RT Entonces se cumple que: (Cp)T=(Cv)T+RT, donde se anulan las temperaturas y tenemos: Cp=Cv+R Para los gases perfectos existe la relación: K=Cp/Cv que, con la ecuación que relaciona Cp, Cv, y R obtenemos la siguiente relación: Cp=Rk/(k−1) Entropía para los gases ideales: Por medio del primer principio de la termodinámica establecemos que el aumento de energía interna mas el trabajo realizado por el sistema es igual al calor cedido al sistema, este principio en función de la entropía queda de la forma: T(dS)=dU+PdV que cumple para todas las sustancias puras. De la ecuación que relaciona la energía interna y la temperatura tenemos que el cambio de energía interna es: U2−U1=Cv(T2−T1)

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y, de la misma forma el cambio de entalpía es: H2−H1=Cp(T2−T1) El cambio de entropía será: dS=dU/T+Pd(1/p)=CvdT/T+Rpd(1/p) de donde si integramos obtendremos: S2−S1=Cvln(T2/T1)+Rln(p1/p2) que se puede convertir en: k−1 S2−S1=Cvln(T2/T1(p1/p2) ) que es lo mismo que: k S2−S1=Cvln(P2/P1(p1/p2) que a su vez se puede transformar en: k 1−k S2−S1=Cvln((T2/T1) (P2/P1) Estas ecuaciones son formas del segundo principio de la termodinámica. Para el caso de un proceso reversible dS=dQ/dT, pero si además el proceso fuera adiabático dQ=0, por lo que dS=0, es decir que para un proceso adiabático y reversible S es constante. Por consiguiente si S = constante entonces se cumple que: kk P1/(p1) = P2/(p2) Mediante esta ecuación podemos determinar las relaciones de Poisson: (k−1)/k (k−1) T2/T1 = (P2/P1) = (p2/p1) Estas relaciones se cumplen para un proceso politrópico para el cual el cambio de entalpías es: (k−1)/k H2−H1 = Cp(T2−T1) = CpT1(T2/T1 − 1) = CpT1((P2/P1) − 1) Un proceso politrópico se define mediante la ecuación

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n P/(p) = constante Para los procesos irreversibles el cambio de calor con el entorno será cero siempre que n sea igual a k. Flujo isentrópico de un gas ideal Se harán las siguientes suposiciones: • El flujo es estacionario. • La fuerza de gravedad y las demás derivadas de la masa son despreciables. • No existen esfuerzos cortantes. • No hay transferencia de calor. • El tubo de corriente no pasa a través de una onda de choque. Las tres últimas suposiciones implican que la transferencia de calor es nula, es decir que es adiabático y reversible, o que la entropía se mantiene constante. Esto significa que el flujo es isentrópico. Para un flujo con éstas características la ecuación de la energía se transforma en: 22 Q−W = (H2+V2/2)−(H1+V1/2) Por nuestras suposiciones sabemos que Q es nula, entonces la ecuación se convierte en: 22 −W = (H2+V2/2) − (H1+V1/2) Para un gas ideal: −W = Cp(To2 − To1) Donde To es la temperatura de estancamiento del fluido. Pero si consideramos que el gas está en el punto de estancamiento, tenemos: Cp/R k(k−1) Po2/Po1 = (To2/To1) = (To2/To1) Pero para nuestro caso sólo que nos interesa es el flujo isentrópico sin trabajo, por lo que las propiedades de estancamiento son constantes, esto debido al hecho de que es adiabático y reversible. Por ejemplo, para el cálculo de la temperatura en dos puntos en un flujo isentrópico, se puede asumir la temperatura de estancamiento como constante, y quedaría la siguiente fórmula, partiendo de la primera ley de la termodinámica: 22 To1 = T1 + V1/(2Cp) = T2 + V2/(2Cp) =To2 18

Pero a veces es mejor usar el número de Mach en lugar de la velocidad: 22 T2/T1 = (To2(1+((k−1)/2)M1 ) /(To1(1+((k−1)/2)M2 ) También se pueden relacionar las tablas con el número de Mach mediante tablas. Para un flujo isentrópico la presión y la velocidad (o el número de Mach) se pueden relacionar mediante la expresión: 2 k/(k−1) 2 k/(k−1) P1(1 + V1/(2CpT1) ) = P2(1+V2/(2CpT2) ) Que, reemplazando el número de Mach tenemos: 2 2 [k/(k−1)] P1/P2 = {[1+((k−1)/2(M1)] / [1+((k−1)/2)M2)]} Pero, además sabemos que: k P2/P1 = (2/1) Reemplazando en la ecuación anterior tenemos: 2 2 (1/(k−1) 1/2 = {[1+((k−1)/2)M1 ]/[1+((k−1)/2)M2 ]} Estas dos últimas expresiones son útiles aún para el caso de un flujo no isoentrópico para el gas perfecto, donde las presiones y temperaturas locales se pueden calcular mediante los números de Mach, las presiones y temperaturas locales reales. Finalmente podemos encontrar la relación entre las áreas de la tubería y de la garganta A/A*. Tomamos la ecuación de la continuidad y tenemos: G = pV = PV/(RT) De aquí que G puede expresarse en función del número de Mach y de las condiciones de estancamiento. 1/2 G = PM(k/(RT)) 1/2 Multiplicamos la ecuación por (To/To) y por Po/Po y obtenemos la siguiente expresión:

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1/2 1/2 2 (k+1)/[2(k−1)] G = (k/R) PoM/{(To) [1+((k+1)/2)M ] Para hallar G en la garganta se hace M=1 y obtenemos: 1/2 1/2 (k+1)/[2(k−1)] G* = (k/R) Po/(To) {2/(k+1)} Sabemos que G = w/A, entonces podemos hacer la división: 2 (k+1)/[2(k−1)] G*/G = A/A* = 1/M[2(1+(k−1)M/2)/(k+1)] Para un flujo isentrópico se pueden formar un número infinito de geometrías de flujo, de manera analítica, para sus condiciones de estancamiento, pero todas tendrán un área de garganta y un área de salida comunes. Además, podemos concluir que la presión de salida nos indica el número de Mach de salida, de manera que necesitará un área definida para un flujo de masa. FLUJO COMPRESIBLE EN BOQUILLAS Y DIFUSORES Es un conducto de área variable, cuya misión es acelerar un flujo convirtiendo entalpía (energía térmica) en energía cinética (energía mecánica); en ella se convierte la energía de presión (que forma parte de la entalpía) en energía de velocidad. El proceso referencial ideal es el proceso isentrópico, que es el que permitirá la máxima conversión de energía cinética. Sin embargo, en la operación real existe cierta fricción en la capa limite que impide que la boquilla opere en la forma antes indicada. Afortunadamente esta diferencia entre los casos reales y el ideal no es muy significativa lo cual requiere solo de unas pequeñas correcciones para ajustarlo al modelo isentrópico. Podemos ilustrar la fricción en la boquilla analizando un volumen de control en la boquilla y ubicando el punto 1 en la entrada de la boquilla y el punto 2 en la salida de ésta. Haciendo un análisis de la primera ley de termodinámica entre dichos puntos obtenemos la siguiente expresión: .h1+ V12 = h2 + V22 Como no hay flujo de calor con el exterior la fricción en una boquilla real incrementara la temperatura del fluido por encima de la temperatura en condiciones isentrópicas, produciendo así un aumento de la entalpía, y si analizamos el punto 2 con un aumento de entalpía generara que disminuya la velocidad, haciendo que el propósito de la boquilla de acelerar el fluido quede olvidado, entonces lo que nosotros buscamos es disminuir la fricción. Esto también lo podemos observar examinado un diagrama de entalpía−entropía, característico de un gas. Una expansión isentrópica desde una presión 1 hasta una presión 2 se demostraría como una línea vertical, pero en el caso de un proceso adiabático irreversible (un proceso real) la segunda ley nos indica que la entropía aumenta, por lo tanto al estar en la misma presión 2 se debe ubicar a la derecha del punto 2 original, como se mostrará en el siguiente gráfico, en el cual se puede observar un incremento de la entalpía y, en consecuencia, una menor conversión en energía cinética (menor velocidad): Para medir los efectos de la fricción en la boquilla se utiliza la eficiencia de boquilla, la cual se define como la relación entre la energía cinética real que sale de la boquilla por unidad de flujo de masa, con respecto a la 20

energía cinética isentrópica por unidad de flujo de masa, para las mismas condiciones de entrada y presión de salida. Y utilizando la primera ley de termodinámica, podemos expresar tal definición como: = (V22/2)real [V12/2 +(h1 −h2)]isoen Tomando, como lo determinado anteriormente, el punto 1 ubicado a la entrada de la boquilla y el punto 2 a la salida de ésta. Los casos más frecuentes son aquellos en que la energía cinética que entra a la boquilla es muy pequeña en comparación con la diferencia de entalpías reales, por lo cual podemos eliminarla de la ecuación, entonces la eficiencia de la boquilla se convierte en: = ( V22/ 2 )real ( h1 − h2)isoen Y si fuese un gas perfecto sería: = ( V22 / 2 ) real Cp(T1 − T2 )isoen Como la diferencia entre el proceso ideal y el real son los efectos disipativos (irreversibilidades por fricción, choque, etc.) una medida de estos efectos es la diferencia entre la entalpía de salida real menos la ideal, que se puede interpretar como reconversión irreversible de energía mecánica en energía térmica. Estos efectos se toman en cuenta definiendo el grado de recalentamiento, utilizado generalmente al emplear vapores. Está dado por: = (h2 )real − (h1 )isoen (h1 − h2 )isoen Y fácilmente puede demostrarse que: =1− Se puede lograr que boquillas bien diseñadas que operan en condiciones de diseño pueden alcanzar a tener eficiencias entre el 90 y 95%, debido a que la presión decreciente en una boquilla es favorable para crear una capa límite más delgada para dicho fin. También conociendo las eficiencias de boquilla y los factores de recalentamiento, es posible hacer ajustes a condiciones isentrópicas para tener en cuenta los efectos de fricción que están estrechamente relacionados con la porción divergente de la boquilla, y es ahí donde podemos usar las ecuaciones anteriores para corregir principalmente el área de salida. La parte convergente es arbitraria, mientras que la divergente depende de la longitud, la cual, si es corta, implica que el flujo tendrá una velocidad apreciable en dirección perpendicular a la línea central, pero produciendo una pérdida de empuje. Mientras que una sección divergente larga produce menor divergencia, pero la desventaja es que se produce mayor contacto entre el fluido y las paredes, apareciendo así más fricción. En un difusor sucede lo opuesto a las toberas y boquillas. Como se verá su finalidad es la transformación de 21

energía cinética en presión. Esto es de mucha utilidad en motores a chorro, en ellos el aire que entra debe ser frenado para lograr una parte de alta presión necesaria en el motor y permitir a un compresor trabajar adecuadamente para lograr después un buen aumento de presión. El hecho que exista un aumento de presión en dirección al flujo hace al difusor menos efectivo en su comportamiento que una tobera, ya que habrá capas limites mas gruesas como resultado del gradiente desfavorable de presión, con la consecuencia de mayores efectos de rozamiento. Existen expresiones comunes en cuanto a difusores, siendo las mas comunes: a)Relación de presión total: o = (po )2 (po )1 siendo 1 a la entrada del difusor y 2 a la salida del mismo. LEYES BÁSICAS PARA FLUJO ISOENTRÓPICO El movimiento de un fluido a través de un ducto, por varios motivos: cambios de área en la sección transversal del ducto, fricción en las paredes y transferencias de calor y/o trabajo. Por ser difícil el determinar todos los efectos simultáneamente se harán ciertas simplificaciones en el análisis, para tener un modelo más simplificado. CONSIDERACIONES: • Flujo interno de un flujo compresible. • No existe fricción, trabajo o transferencia de calor. • Sólo consideraremos efectos por cambio de área. • Flujo unidireccional y unidimensional. El efecto principal con cambio de área será la desaceleración o aceleración del fluido. Se dará aceleración cuando se trate de una tobera o boquilla, mientras que existirá una desaceleración cuando estemos trabajando con un difusor. Las suposiciones echas son de gran ayuda para difusores, mas no para toberas, pues en estos último, el gradiente de presión es adverso y crea un crecimiento rápido de la capa límite (superior o inferior del fluido) y su separación. Los análisis son principalmente hechos en una tobera, además se supondrá al flujo como estacionario o cuasiestático (régimen permanente). FLUJO ISOENERGETICO E ISOENTROPICO CON SECCION VARIABLE: El término isoenergético se refiere a que no existirá transferencia de calor, mientras que cuando se habla de flujo isoentrópico se refiere a que no existirán ondas de choque ni fricción. PROPIEDADES PARA UN FLUJO ISOENERGETICO E ISOENTROPICO: Las siguientes propiedades no se limitan a un tipo de fluido en especial, como podría ser un líquido un gas ideal, sino que se cumplirá para todo flujo isoentrópico. 22

EC. DE CONTINUIDAD: *V*A = m/t = cte EC. DE ENERGIA: Ho +V^2/2 +h1 = cte Donde: Ho: entalpía especifica h1: entalpía en el punto de estancamiento EC GIBBS: H − P/ = TS Si tomamos logaritmo de la ecuación de continuidad y diferenciamos: ð + V/V +A/A = 0 Diferenciando la ecuación de la energía: H + VV = 0 Ecuación de Gibbs H = P/ P/ +VV = 0........(1) Por ser flujo isentrópico y c^2 = (P/ðs podemos escribir: P = (P/r)s = c^2 c^2(ð) + VV = 0...............(2) Resolviendo la ecuación diferencial de continuidad para ð en (2) ((V/c)^2 −1)V/V = A/A o con el número de Mach: V/V = (1/(M^2−1))A/A...............(3) OBSERVACIONES: En las ecuaciones 1, 2 y 3 las variaciones de la entalpía, presión y densidad deben de tener un signo opuesto al de la variación de la velocidad. De la ecuación 4, el diferencial de velocidad y el diferencial de área dependen del número de Mach. Esta relación cambia de signo para M= 1. EFECTOS DE CAMBIO DE AREA EN UN FLUJO:

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Podemos resumir los efectos y las conclusiones del análisis de las ecuaciones anteriores en el siguiente cuadro. CONDUCTO

PROPIEDAD Velocidad

M>1 Disminuye

M<1 Aumenta

Entalpia

Aumenta

Disminuye

Presión

Aumenta

Disminuye

Densidad

Aumenta

Disminuye

Conducto actúa como Velocidad

Difusor Aumenta

Tobera Disminuye

Entalpía

Disminuye

Aumenta

Presión

Disminuye

Aumenta

Densidad

Disminuye

Aumenta

Conducto actúa como

Tobera

Difusor

Conducto convergente (Area disminuye)

Conducto divergente (Area aumenta)

Si la velocidad aumenta, entonces el número de Mach también lo hace y si la velocidad disminuye, el Mach también lo hará También podemos darnos cuenta que para un conducto convergente, M se acerca a la unidad, mientras que si es divergente, se aleja de la unidad. Como conclusión de esto podemos decir que el número de Mach no será igual a uno, solo se aproximará, para un conducto convergente−divergente. Si M=1, en algún punto del flujo existiría un aceleración infinita, pero esto no es posible a menos que exista una onda de choque lo cual se excluye por las suposiciones iniciales que se hicieron, entonces la únicas posibilidad es que cuando Mach se igual a uno, el diferencial de área sea cero. Si queremos acelerar un gas desde el reposo (campo subsónico, o sea Mach muy bajo) en un conducto solo convergente, el máximo valor de Mach será uno, el cual ocurrirá al final del conducto convergente. Si el flujo es isoentrópico, entonces solo puede ocurrir un flujo sónico (M=1) en un área mínima, entonces para desacelerar de un punto subsónico a un punto supersónico se requerirá un ducto convergente−divergente. RESUMEN: • La respuesta de un flujo a una variación de área específica es exactamente opuesta en los flujos subsónicos y supersónicos. • Para los flujos sónicos (M=1) puede ocurrir solamente en un área mínima. Las áreas mínimas se representan a la entrada de un conducto divergente, a la salida de uno convergente y en la garganta de uno convergente− divergente, como es el caso del tubo de Venturí. • Es posible, aunque no necesario, que M en la garganta de un conducto convergente− divergente sea 1.Si M en la garganta no es uno, la velocidad debe pasar a través de un máximo o un mínimo. Sí M en la garganta es uno, el fluido puede acelerar o desacelerar corriente abajo en la garganta. • Se usa relación de propiedades generales, (Ecuación de Gibbs), por lo tanto, estas conclusiones son válidas para cualquier flujo isentrópico, isoenergético y unidimensional de cualquier fluido 24

APLICACIONES Los campos de aplicación del flujo compresible se dan generalmente en la potencia de los controles hidráulicos y neumáticos, ya que estos son muy usados en la actualidad. Podemos enumerarlas de esta forma, aunque sea incompleta: • Máquinas Herramientas: Movimientos de la tabla de fresadoras, etc., avance de herramientas en tornos automáticos, descenso de los taladros a la pieza, giro de los mismos, amordazamiento y sujeción de las piezas, movimientos diversos de traslación y rotación en tornos, fresadoras, brochadoras, etc. Las máquinas herramientas modernas incluso las pequeñas incorporan frecuentemente controles hidráulicos. • Máquinas Agrícolas: Palas o palancas mecánicas, cosechadoras, plantadoras, sembradoras, cavadoras, recogedoras, etc. • Máquinas de Obras Públicas: Máquinas para remover basura, tierras, rocas; para construcción de carreteras, túneles, presas y construcciones portuarias; niveladoras de carreteras, cavadoras, trituradoras, taladradoras de rocas, dragadoras, etc. Este como es sabido es un campo fecundo de aplicación de la hidráulica industrial. • Aplicaciones Militares Los aviones y barcos militares utilizan la hidráulica para el giro de torretas, apunte de las baterías, acccionamientos múltiples de toda clase de dispositivos de los portaaviones, etc. Es triste reconocer que el gran impulso de la industria de los controles hidráulicos tuvo su origen y causa en la ultima guerra europea. • Industria Minera En las minas modernas se hace hidráulicamente desde la excavación hasta la clasificación, manejo del refinamiento del material. La trituradora, clasificadoras, palas mecánicas, grúas, montacargas, etc., incorporan controles y transmisiones hidráulicas. • Industria Química Control remoto de válvulas, control de puertas en las tolvas, accionamiento de las puertas de descarga en mezcladoras y cámaras de tratamientos, regulación de La presión de los rodillos en las maquinas mezcladoras, empaquetadoras de productos químicos y alcohol. Finalmente las industrias de la alimentación, del automóvil, de la madera, del papel, de los plásticos; así como las industrias textil, del caucho, artes gráficas, etc., utilizan en multitud de procesos y operaciones semiautomáticas y automáticas, controles hidráulicos y neumáticos. INDICE • INTRODUCCION.........................................................................................1 • RELACIONES TERMODINAMICAS PARA UN GAS PERFECTO........2 • PROPAGACION DE UNA ONDA ELASTICA..........................................3 • CONO DE MACH.........................................................................................6 • FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL.........................................10 25

• Flujo isentropico con cambio de area..................................10 • Entropia..................................................................................................11 • Desigualdad de cclausius............................................................11 • Procesos isentropicos.....................................................................13 • Flujos isentropicos con cambio simple de area...............13 • Propiedades en el punto de estancamiento.......................17 • Obtenciones de las propiedades de estancamiento......17 • Gas perfecto.........................................................................................23 • Entropia para los gases ideales...............................................24 • FLUJO COMPRESIBLE EN BOQUILLAS Y DIFUSORES.....................29 • LEYES BASICAS PARA FLUJO ISENTROPICO....................................32 • fLUJO ISOENERGETICO E ISOENTROPICO CON SECCION VARIABLE...................................................................................................33 • eFECTOS DEL CAMBIO DE AREA DE UN FLUJO..............................34 • aPLICACIONES.........................................................................................35

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