Ing. MAURICIO GRANADA ECHEVERRI* M.Sc. ANTONIO ESCOBAR Z.** Ph.D. RAMON ALFONSO GALLEGO R.** Universidad Tecnológica de Pereira Grupo de Planeamiento de Sistemas Eléctricos Pereira – Colombia

FLUJO DE POTENCIA OPTIMO PARA SISTEMAS DE DISTRIBUCIÓN USANDO LOS METODOS DE LA CADENA Y DEL GRADIENTE

Palabras Clave: Flujo de Carga Radial, Optimización, Método del Gradiente, Sistemas de Distribución 1. INTRODUCCIÓN El flujo de potencia más conocido y aceptado para el estudio de redes eléctricas es el método de NewtonRaphson, el cual puede ser aplicado para cualquier tipo de topología, ya sea radial o enmallado. Aprovechando la característica radial de los sistemas de distribución se han desarrollado métodos más simples y con la misma calidad de respuesta, entre los cuales se destaca el Método de la Cadena, propuesto por Mesut E. Baran y Felix E. Wu [1], cuya principal característica es requerir de matrices jacobianas de tamaño 3x3 las cuales permanecen constantes durante todo el proceso y para cualquier caso, siempre y cuando no cambie la topología de la red.

ordenadas, la inversa de la matriz Jacobiana correspondiente, no genera elementos de relleno, así que el proceso de inversión puede efectuarse en función de la disposición topológica de la red. Además considera que si la potencia activa y reactiva es conocida en una barra k, entonces, la potencia activa y reactiva de la barra k+1 puede ser calculada. Las relaciones fundamentales que relacionan las potencias de la barra k con las de la barra k + 1 son: Pk +1 = Pk − PL

k +1

Qk +1 = Qk − Q L

Vk +1 = Vk 2

(r

2

k +1

2

− rk

(P

k +1 − x k

2

k

+ Qk

k

2

)

(1)

2

Vk

(P

2

+ Qk

Vk

2

)

2

(2)

− 2(rk +1 Pk + X k +1Qk ) +

)(

+ jx 2 k +1 P 2 k − jQ 2 k Vk

)

( 3)

2

*

En este trabajo se presentan mejoras al método de flujo de carga (FP) mencionado anteriormente, generalizándolo para configuraciones radiales mas complejas e involucrando conceptos de optimización basados en el método del gradiente, los cuales han sido extensamente aplicados en sistemas de transmisión, pero poco en sistemas de distribución, caracterizados por su topología radial. 2. FLUJO DE CARGA RADIAL El método se basa en el hecho de que en las redes radiales después de ser * Estudiante Maestría en Ingeniería Eléctrica UTP ** Profesores Universidad Tecnológica de Pereira

El problema en su forma más general, consiste en tener una red con un alimentador principal y r alimentadores primarios como se ilustra en la figura 1. El problema se resuelve estudiando cada uno de estos elementos por separado. Para el alimentador principal se tiene las variables de estado: P  Z 00 =  00  Q00 

(4)

Con las condiciones de frontera se cuenta con un criterio de convergencia para el algoritmo, es decir:

P0 n = 0

(5)

Q0 n = 0 Los errores se denotan por el vector: P  H 00 ( Z 00 ) =  0 n  Q0 n 

De esta forma el sistema está completamente definido con dos ecuaciones, expresiones (1) y (2) y dos incógnitas, P00 y Q00 ; lo cual permite aplicar el método iterativo de NewtonRaphson. Para cada ramal k = 1,2,..., r , se debe especificar dos nuevas variables de estado Pk 0 y Qk 0 , así como dos nuevas condiciones de frontera Pkn =0 y Qkn =0. El nuevo sistema a resolver es de la forma: P0 n ( z10 , z 20 , K , z k 0 , z 00 ) = 0

Q0 n ( z10 , z 20 , K, z k 0 , z 00 ) = 0 Pkn ( z10 , z 20 , K , z k 0 , z 00 ) = 0

Qkn ( z10 , z 20 , K , z k 0 , z 00 ) = 0

k = 1,2, K , r

(6)

k = 1,2, K, r

Se genera una matriz Jacobiana para el ramal principal así como para cada uno de los ramales laterales primarios, es decir, se generan ( r +1)x( r +1) Jacobianas. Estas matrices se ordenan en un arreglo matricial [J ] como se muestra a continuación:  J 11 J  21 K [J ] =  K K   J r1 J  01

J 22 K K K J r2 J 02

K

Donde cada matriz siguiente forma:  ∂Pin  P k0 [J ik ] =  ∂∂Q  in  ∂Pk 0

∂Pin  ∂Qk 0   ∂Qin  ∂Qk 0 

J 10  J 20  K  K K  J r0  J 00 

J rr J 0r

[J ik ]

asume

i = lateral k = barra

(7)

la

(8)

Es posible configurar una versión simplificada de la matriz Jacobiana (esta matriz se denomina Jacobiana dos, por motivos que se explican mas adelante). Lateral1...........  Lateral 2...........    .  .  Lateral r..........    Principal y amarresl . . . . . 

J 11 0 0 0 0 J 01

0 J 22 0 0 0 J 02

0 0 . 0 0 .

0 0 0 0 0 0 . 0 0 J rr . J 0r

0 0 0 0 0 J 00

  ∆Z10   H1 ( z)   ∆      Z 20   H 2 ( z)  .   .    = −   .   .   ∆Z r 0   H r ( z)       ∆Z 00   H 0 ( z ) 

(9)

El sistema total se resuelve de la siguiente manera:

J kk ∆Z k 0 = H k ( Z )

k = 1,2, K, r

J 00 ∆Z 00 = H 0 ( Z ) − d p r t

(10) (11)

Donde:  J 01    J 01 d =   M     J 0r 

∆Z 10t   t  ∆Z p r =  20  M   ∆Z rt 0 

 Pkn  Hk =   Qkn 

(12)

La figura 2 ilustra el algoritmo completo del FP radial descrito anteriormente.

3. FLUJO DE POTENCIA OPTIMO RADIAL Para clasificar los diferentes métodos y procedimientos es conveniente decir que la Jacobiana que se construye usando el método de Newton-Raphson para sistemas de transmisión [5] se denomina “Jacobiana uno” y a la que se construye usando el método de Baran-Wu se le llama “Jacobiana dos”. Los sistemas de distribución radial con un alimentador principal y n laterales primarios (para el caso más general), se denominan “sistemas Baran-Wu” y los sistemas de potencia cerrados se denominan “sistemas Newton”. La “Jacobiana dos” no puede ser usada para el proceso de optimización planteado en este trabajo, por lo tanto ésta sólo se utiliza para la solución del FP. Una vez se tienen el punto de operación del sistema se utilizan los valores de los voltajes nodales encontrados para calcular la “Jacobiana uno”. Este simple cambio agiliza considerablemente el proceso de optimización en “sistemas Baran-Wu”, debido a que para la solución del FP

tanto la “Jacobiana dos” como la Jacobiana uno” se calculan y se invierten sólo una vez en cada iteración del FPO.

3

En la figura 3 se muestra el diagrama de flujo del proceso de optimización.

Calcular matriz de admitancias Ybarra.

La forma canónica del modelo matemático es: min f ( x, u ) (13)

Inicializar el vector Gradiente: [Gradiente] = Tolerancia FPO + 1 Se asigna este valor al vector [Gradiente] para asegurar que en la primera iteración se cumpla que [Gradiente] > Tolerancia FPO

s.a. [ g ( x, u )] = 0 u min ≤ [u ] ≤ u max

[ ]

DATOS DE ENTRADA

Datos de línea Datos de barra Tolerancia FP Tolerancia FPO Restricciones en los parámetros de control

[ ]

Donde x representa las variables de estado (V ,θ ) y u los parámetros de control (desde el punto de vista de los sistemas eléctricos es interesante definir como parámetros de control u los voltajes en los nodos generadores).

Salida

no

Max(abs[Gradiente]) es mayor que Tolerancia FPO ?

FPO

si El sistema es un sistema Baran-Wu ?

Solución FP por el método de Baran-Wu. Se utiliza algoritmo de la figura 2.

Una adecuada función objetivo es:

Solución FP por el método de Newton-Raphson.

Con los valores de voltaje y ángulo del FP anterior se calcula la “Jacobiana uno” necesaria para el FPO.

(14)

f = P1 (V ,θ )

Cálculo del Gradiente. Se resuelve el sistema (17)

Se redefine la función objetivo a través de la función Lagrangeana sin restricciones

Actualización de voltajes de control . Expresiones (19) y (20)

L( x, u, λ ) = f ( x, u ) + [λ ]T [ g ( x, u )]

(15)

y se calcula el vector gradiente de la función Lagrangeana en un punto mínimo: (16) ∇L( x, u, λ ) = 0 De lo anterior surge el conjunto de condiciones necesarias para un mínimo:

Figura 3. Diagrama de flujo para el problema de FPO.

Con la dirección del gradiente negativo (minimización) y un paso exploratorio c , se calcula el nuevo valor de los parámetros de control:

 ∂L   ∂f   ∂g   ∂x  =  ∂x  +  ∂x  [λ ] = 0 T

 ∂L   ∂f   ∂g   ∂u  =  ∂u  +  ∂u  [λ ] = 0        ∂L   ∂λ  = [ g ( x, u , p )] = 0 T

(17)

El sistema anterior se resuelve para encontrar el vector gradiente de la función objetivo:

[∇f ] =  ∂f  −  ∂g   ∂u 

 ∂g     ∂u   ∂x  T

T −1

 ∂f   ∂x   

(18)

ui

nuevo

u i max ,  min = u i ,  viejo + ∆u i , u i

viejo

+ ∆u i > u i

viejo

+ ∆u i < u i

si

ui

si

ui

max.

min.

(19)

en los otros casos.

y la dirección factible dada por el vector gradiente es: max 0, si ∇f i < 0 y u i = u i  min ∇f i = 0, si ∇f i > 0 y u i = u i − ∇f en los otros casos i 

El proceso anterior constituye una iteración del FPO.

(20)

La tolerancia del FP es 1e-6. La tolerancia del FPO es 0.005. Las restricciones en los parámetros de control (voltajes en las barras generadoras) son V min=0.9 y Vmax=1.2 [pu].

DATOS DE ENTRADA Ø Ø Ø Ø

Datos de línea Datos de Barra Tolerancia FP Tensión en la subestación (generalmente es 1 p.u.)

•

i= 0 Calcular valores iniciales

P00 , Q00 , Pk 0 y Qk 0

Los datos, en pu se muestran en las tablas 1 y 2: Tabla 1. Datos de barras [pu]

Calcular, para el principal, los errores

P0 n y Q0 n

y para los laterales primarios las tensiones Vk 0 .

Se utilizan las expresiones (1), (2) y (3)

Calcular los errores

Pkn y Qkn

en los laterales. Se utilizan las expresiones (1), (2) y (3)

no

Max(Errores) ≥ Tolerancia FP ?

SALIDA FP

si i=i+1

no

i=1 ?

Tabla 2. Datos de línea [pu]

si Cálculo de la matriz “Jacobiana dos”. Expresión (9)

Resolver el sistema linealizado:

[J ][∆Z ] = −[H (z )]

Actualizar variables de estado: Pk+1=Pk+ ∆ P ; Qk+1= Qk+ ∆ Q

Figura 2. Diagrama del FP usando el método de la cadena.

4.

APLICACIÓN

Se propone resolver el FPO del sistema de 13 barras y 12 líneas con un ramal lateral saliendo de la barra 4 mostrado en la figura 4. 1

2

3

Datos de barra Barra Generación Demanda Voltaje Tipo 1 0+0i 0.000+0.000i 1 Slack 2 0+0i 0.184+0.046i 1 Carga 3 0+0i 0.098+0.034i 1 Carga 4 0+0i 0.179+0.045i 1 Carga 5 0+0i 0.160+0.184i 1 Carga 6 0+0i 0.161+0.060i 1 Carga 7 0+0i 0.078+0.011i 1 Carga 8 0+0i 0.115+0.006i 1 Carga 9 0+0i 0.098+0.013i 1 Carga 10 0+0i 0.164+0.020i 1 Carga 11 0+0i 0.161+0.060i 1 Carga 12 0+0i 0.115+0.006i 1 Carga 13 0+0i 0.098+0.034i 1 Carga

4

5

10

6

11

7

12

8

9

13

Figura 4. Sistema de distribución radial con un alimentador principal y un lateral primario

Datos de línea Envío Recibo Impedancia de la línea Y/2 1 2 0.00230+0.00780i 0i 2 3 0.00030+0.01140i 0i 3 4 0.01410+0.02280i 0i 4 5 0.01320+0.01150i 0i 5 6 0.03750+0.03270i 0i 6 7 0.01710+0.01490i 0i 7 8 0.03890+0.02200i 0i 8 9 0.09060+0.05130i 0i 4 10 0.10100+0.05720i 0i 10 11 0.01410+0.02280i 0i 11 12 0.03750+0.03270i 0i 12 13 0.01710+0.01490i 0i

Para realizar la primera iteración del FPO se debe calcular la Jacobiana uno, para ello se consideran las n ecuaciones que describen el sistema eléctrico y se deriva cada una con respecto a cada una de las variables de estado:  ∂f1 ( x)  ∂x 1  ∂f 2 ( x)  ∂f i ( X ) = J ( X ) =  ∂x1 ∂X k  M  ∂f ( x)  n  ∂x1

∂f1 ( x) ∂f1 ( x )  L ∂x2 ∂xn   ∂f 2 ( x) ∂f 2 ( x )  L ∂x2 ∂xn  M M  ∂f n ( x ) ∂f n ( x)  L ∂x2 ∂xn 

Se pudo comparar el desempeño de FPO usando tanto el método de Newton como

el de la cadena en la solución del FP. Se obtuvieron los siguientes resultados; el sistema sin optimizar tiene pérdidas activas en pu de 0.110942 y reactivas de 0.161458. Optimizando por el método de Newton convencional, éste convergió en 12 iteraciones del FPO y 51 iteraciones del FP, consumiendo 2.864 segundos. Usando el FPO con el método de la cadena se emplearon 9 iteraciones de FPO y 48 de FP consumiendo 1.102 segundos. Esto indica que el segundo método mejoró el tiempo computacional, para este caso, cerca de tres veces. Un tercer método, consistente en dejar la Jacobiana dos, del método de la cadena, constante durante todo el proceso de optimización lo cual mostró mejores resultados al encontrar el optimo en 0.65 segundos. Lo anterior se muestra en la tabla 3. Tabla 3. Resultados de los diferentes Metodo FPO-Newton FPO-Cadena FPO-Cad J cte

4.

iteraciones FP FPO 51 12 48 9 50 9

T. (seg.) 2.864 1.102 0.65

metodos Perdidas [pu] P Q 0.07086 0.10388 0.07086 0.10388 0.07086 0.10388

CONCLUSIONES.

La metodología propuesta por Mesut E. Baran y Felix E. Wu se especializa en sistemas radiales de distribución de forma tal que no es necesario implementar estrategias de dispersidad (contrario al método de Newton tradicional). Esta característica es aprovechada en este trabajo. Para la solución del FP tanto la “Jacobiana dos” como la “Jacobiana uno” se calculan y se invierten sólo una vez en cada iteración del FPO. Para el caso de la “Jacobiana dos” las matrices resultan ser de dimensión 3 x 3. Esta Jacobiana permanece constante durante todo el proceso (siempre y cuando no cambie la configuración del sistema). Esta característica hace al método muy eficiente y especialmente útil en el problema de la colocación optima de reactivos en sistemas de distribución o en problemas donde deben ser evaluados muchos FP para una misma configuración.

Se muestra que el método propuesto alcanza la misma respuesta que el método convencional en un tiempo mucho menor, mostrando ser más eficiente, al mismo tiempo que es de más fácil implementación. 5. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen a la Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia, por el apoyo prestado al grupo de planeamiento de sistemas eléctricos de la maestría en ingeniería eléctrica. BIBLIOGRAFÍA [1] M. E. BARAN, F. F. WU., Optimal sizing of capacitors placed on a radial distribution, IEEE Transaction on Power Delivery, Vol 7, No 3, July 1992. [2] MAURICIO GRANADA E. , Flujo de potencia para sistemas radiales de distribución usando el método de la cadena, SCIENTIA ET TECHNICA, Universidad Tecnológica de Pereira, año VIII, No. 20, Octubre 2002. [3] HERMANN W. DOMMEL, WILLIAM F. TINNEY. , Optimal power flow solutions, IEEE Transaction on Power Apparatus and System, October 1968. [4] MAURICIO GRANADA E. , Flujos de potencia usando MATLAB, SCIENTIA ET TECHNICA, Universidad Tecnológica de Pereira, Año VI, No 13, II semestre 2000. [6] DAVID I. SUN, BRUCE ASHLEY, BRIAN BREWER, ART HUGHES, W. TINNEY., Optimal power flow by Newton, IEEE Transactions on Power Apparatus and System, October 1984.