FUERZAS DE ROZAMIENTO (deslizamiento) Las fuerzas de rozamiento surgen:  Cuando a un cuerpo en reposo sobre un plano se le aplica una fuerza para intentar ponerlo en movimiento (aunque no llegue a deslizar). Fuerza de rozamiento estática (Fs)  Cuando un cuerpo desliza sobre un plano. Fuerza de rozamiento cinética (Fk). Aunque la naturaleza de la interacción responsable de las fuerzas de rozamiento no es bien conocida, parece que son debidas a interacciones entre las moléculas de ambos cuerpos en los lugares en los que las superficies están en contacto.

La fuerza de rozamiento cinética, FRK, aparece cuando un cuerpo desliza, por ejemplo, sobre un plano. De las mediciones experimentales se deduce que:      

La fuerza de rozamiento siempre se opone al deslizamiento del objeto. Es paralela al plano. Depende da la naturaleza y estado de las superficies en contacto. Es proporcional a la fuerza normal. Es independiente de la velocidad del cuerpo, mientras ésta no sea muy elevada. Es independiente del área (aparente) de las superficies en contacto. Cuerpo que desliza hacia la derecha

Froz

Cuerpo que desliza hacia la izquierda

v

Cuerpo que desciende por un plano

v

Froz

Froz

v Cuerpo que asciende por un plano

v

La fuerza de rozamiento siempre se opone al deslizamiento del cuerpo.

Froz

FR =  N Fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es ejercida por el plano sobre los cuerpos y es la responsable de que éstos disminuyan su velocidad si se dejan deslizar libremente. De aquí (primera ley de Newton) que si queremos que un cuerpo que desliza sobre un plano no disminuya su velocidad, hemos de empujarlo (aplicar una fuerza). Como se puede observar tiene un valor constante y depende del valor de la normal y del coeficiente de rozamiento.

Fuerza normal o acción del plano

Coeficiente de rozamiento. Número sin unidades. Depende de la naturaleza de las superficies y de su estado.

Algunos valores del coeficiente de rozamiento: Madera-madera: 0,25 – 0,50 Acero – acero : 0,57 Madera encerada – nieve: 0,1

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Ejemplo 1: Un bloque de madera de 250 g descansa sobre un plano. Describir lo que ocurrirá si se comienza a tirar de él con una fuerza paralela al plano de 2 N. Se sabe que el coeficiente de rozamiento cinético es 0,42. El diagrama de fuerzas será el representado a la izquierda y el cuerpo se moverá con una aceleración que se calcula de la siguiente manera:

N FR

F

FR es lo mismo que FK P F  Fk F  k N F  k m g   m m m m m 2,00 N  0,42. 0,250 kg . 10 2 (2,00  0,42. 0,250 .10) kg 2 F  k m g s  s  3,8 m a  m 0,250 kg s2 0,250 kg

F  Fk  m a ; a 

Las ecuaciones que describen el movimiento del cuerpo serán (movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado) v = 3,8 t s = 1,9 t2 Si en determinado momento (pongamos que a los 3 s de iniciarse el deslizamiento) la fuerza F se ajusta haciéndose igual a la fuerza de rozamiento ¿qué pasará? A los 3 s de iniciarse el deslizamiento el cuerpo llevará una velocidad de:v

(t = 3) =

3,8 x 3 = 11,4 m/s.

Como a partir de este instante se va a cumplir que F = FR sucederá que a = 0. Por tanto, el cuerpo continuará moviéndose con movimiento rectilíneo y uniforme. Su velocidad se mantendrá inalterada en el valor de 11,4 m/s. v (m/s) La gráfica v/t sería: 11,4 t (s) 3 Ejemplo 2: Se sitúa un cuerpo sobre un plano inclinado 250. Discutir cuál ha de ser el valor del coeficiente de rozamiento estático para que no deslice. Comentar el tipo de movimiento que llevará el cuerpo en caso de deslizamiento. El diagrama de fuerzas para el cuerpo situado sobe el plano será:

N

P sen 



N

Fs

 P cos 

Fs P sen 

P cos 

P

FS es lo mismo que FR Por lo tanto según el eje x actúan dos fuerzas en sentido contrario, la fuerza de rozamiento estática y la componente del peso según esa dirección. Para que no haya movimiento deberá de cumplirse:

p sen   Fs  0 ; Fs  m g sen  La fuerza de rozamiento estática no tiene valor definido y ajusta su valor al de la fuerza aplicada que tiende a poner el cuerpo en movimiento. Ahora bien, puede crecer hasta un valor máximo dado por:

Fs  s N  s m g cos 

Si la fuerza aplicada (componente del peso que tiende a que el peso deslice hacia abajo) adquiere un valor superior, entonces el cuerpo deslizará. Por tanto, podremos escribir: Si :

m g sen   s m g cos 

el cuerpo no desliza, permanecerá en reposo sobre el plano

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Operando:

m g sen   s m g cos  ; m g sen   s m g cos  ;

s  tan 

Por tanto podemos concluir :

Si s  tan  el cuerpo no desliza Si s  tan  el cuerpo desliza Ejemplo 3: Un cuerpo de masa 300 g se encuentra apoyado en un plano inclinado 15 0. Si el coeficiente de rozamiento estático vale 0,40. Comentar si el cuerpo deslizará por el plano o permanecerá quieto. Si no desliza comentar qué se podría hacer para que bajara. El diagrama de fuerzas será: N

P sen 



N

Fs

 P cos 

Fs P sen 

P cos 

P

La fuerza de rozamiento estática puede tomar un valor máximo dado por: Fs = s N = s m g cos  = 0,40 . 0,300 kg .10 m/s2 cos 15 0 = 1,16 N La fuerza que tiende a hacerlo deslizar vale: P sen  = m g sen  = 0,300 kg. 10 m/s2 sen 15 0 = 0,78 N Por tanto la fuerza de rozamiento estática puede compensar a la componente del peso (la fuerza de rozamiento estática adquirirá un valor de 0,78 N ) y el cuerpo no deslizará. Para que el cuerpo descienda la componente del peso deberá ser mayor que el valor máximo de la fuerza de rozamiento estática. Cuando sea igual se cumplirá: P sen  = Fs

m g sen    s m g cos  s 

sen   tg  cos 

Por tanto cuando tg = 0,40 ;  = 21,8 0 Si el plano se inclina hasta este ángulo, el cuerpo (en teoría) no deslizaría, aunque bastaría tocarlo o una pequeña vibración para que se rompiera el equilibrio y comenzara a moverse. Si el ángulo supera este valor la fuerza de rozamiento estática no puede compensar a la componente del peso y el cuerpo comenzaría a deslizar. Imaginemos que inclinamos el plano hasta 30 0. La fuerza de rozamiento estático tendrá ahora un valor máximo dado por: Fs = s N = s m g cos  = 0,40 . 0,300 kg .10 m/s2 cos 30 0 = 1,04 N Y la componente del peso paralela al plano valdrá: P sen  = m g sen  = 0,300 kg. 10 m/s2 sen 30 0 =1,50 N Su valor es superior al valor máximo que puede adquirir la fuerza de rozamiento estático. Por tanto la fuerza de rozamiento estática no puede compensar la componente del peso y el cuerpo deslizará.

Ejemplo 4: Estudiar las fuerzas actuantes sobre un motorista que toma una curva, los factores que intervienen y cómo influyen en la velocidad máxima a la que se puede tomar la curva. Para que un motorista describa una curva debe existir una fuerza dirigida hacia el centro de la misma (fuerza centrípeta) que sea la responsable del cambio en la dirección de la velocidad (acelera-

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ción centrípeta). Si dicha fuerza no existe, o es insuficiente, no se podrá curvar la trayectoria y será imposible tomar la curva. La fuerza centrípeta es suministrada por el rozamiento de los neumáticos contra el suelo (ver figura). La fuerza de rozamiento que se muestra es una fuerza de rozamiento estática, ya que fija instantáneamente el neumático al suelo impidiendo que deslice hacia el exterior de la curva. En consecuencia esta fuerza podrá tomar como máximo el valor: FRS = s N. Normalmente existe una fuerza adicional que contribuye a la fuerza centrípeta y es la componente de la normal que aparece como consecuencia de la inclinación del motorista (ver diagrama de fuerzas) Con este gesto (inclinarse hacia el interior de la curva) se logra aumentar considerablemente la fuerza centrípeta. N N N sen 

 Fs



N cos 

Fs P

P

Eje Y:

N sen   m g  0 ; N 

mg sen 

Eje X : Para describir la curva debe cumplirse FN = m . aN

N cos   Fs  m an ; N cos   Fs  m N cos   s N  m

v2 ; N  cos    s R

v2 R

m

v2 R

Sustituyendo el valor de N llegamos a la siguiente expresión para el cálculo de la velocidad:

N  cos    s

m

mg  cos    s sen v

v2 R

 m

v2 R

 cos    s  gR   sen  

Como se puede ver la máxima velocidad depende del radio de la curva, del ángulo de inclinación y del coeficiente de rozamiento estático. Si suponemos una curva cerrada (R = 30 m), que el máximo ángulo de inclinación es de 40 0 y un coeficiente estático de rozamiento de 0,80:

v

 cos   s  gR    sen  

10

 cos 400  0,80  m 30 m   s2 sen400  

 27,0

m km  97,3 s h

Es conocido que con el paso de la carrera los neumáticos se degradan (desgaste, derrapes, funcionamiento a temperatura inadecuada…) razón por la cual el coeficiente de rozamiento se verá afectado. Para la misma curva si suponemos que el coeficiente de rozamiento disminuye hasta un valor de 0,50 la máxima velocidad con la que hay garantías de poder describir la curva desciende hasta los 24,3 m/s. Esto es 87,5 km/h.

Ejemplo 5: Peralte de curvas. Las curvas se peraltan para aumentar la seguridad, de tal manera, que se pueda dar la curva aún en ausencia total de rozamiento (carretera helada). Como se observa en el dibujo al peraltar la curva la reacción del plano N, posee una componente que apunta en la dirección del centro de la tra-

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yectoria con lo que se suministra una fuerza centrípeta (N sen ) capaz de curvar la trayectoria del automóvil.



N

N cos  

N sen 

P

P



EjeY :

N cos   m g  0 ; N 

mg cos 

Eje X:

N sen   m a N  m

v2 R

mg v2 sen   m cos  R v

g R tg 

Como se puede ver la velocidad depende ahora del ángulo de peralte y del radio de la curva. Por ejemplo para una curva de 30 m de radio y un ángulo de peralte de 10 0 podríamos dar la curva, con una fuerza de rozamiento nula, si vamos a una velocidad máxima de:

v

g R tg  

10

m m km 30 m tg 100  7,3  26,3 2 s h s

Si existe rozamiento al aumentar la fuerza centrípeta aumentará también la velocidad con la que se puede describir la curva. Ejemplo 6: Una persona de 85 kg se encuentra sobre una balanza en el interior de un ascensor. Calcular los

valores indicados en ella en las siguientes situaciones e interpreta los resultados

a. sube con una aceleración inicial de 2 m/s2 Cuando el ascensor asciende, la fuerza que aparece en la dirección del movimiento es la reacción de la balanza sobre la persona, N, que coincidirá con la indicación de la balanza (3ª ley de Newton). Por tanto, aplicando la 2ª ley de Newton N–P=ma siendo a la aceleración con que sube el ascensor. Por tanto, N = P + m · a = m g + m a Así, N = m ( g + a ) = 85 kg ( 9,8 m / s2 + 2 m / s2 ) = 85 × 11,8 N = 1003 N Si dividimos esa fuerza por la gravedad, obtenemos una masa equivalente de

N  mg  m 

N 1003 N   102 kg g 9,8 m/s 2

Esto se puede interpretar como que al comenzar a ascender el ascensor, la sensación de la persona es como si “pesara” más (equivalente a una persona de 102 kg aproximadamente). La indicación de la balanza será superior al peso de la persona b. baja con una aceleración inicial de 2 m/s2 Cuando el ascensor desciende, la fuerza que aparece ahora en la dirección del movimiento es el peso, mientras que la reacción de la balanza sobre el cuerpo, es decir, su indicación, será opuesta a la dirección del movimiento P – N = m · a siendo a la aceleración con que baja el ascensor. Por tanto, N = P - m a = m g - m a 5

Así, N = m ( g - a ) = 85 kg ( 9,8 m / s2 - 2 m / s2 ) = 85 × 7,8 N = 663 N Si dividimos esa fuerza por la gravedad, obtenemos una masa equivalente de N 663 N N  mg  m    68 kg g 9,8 m/s2 Esto se puede interpretar como que al comenzar a descender el ascensor, la sensación de la persona es como si “pesara” menos (equivalente a una persona de 68 kg aproximadamente). La indicación de la balanza será inferior al peso de la persona c. Se rompe el cable que sujeta el ascensor y desciende en caída libre Ahora, la aceleración con la que desciende el ascensor será la de la gravedad, g P–N=m·g N=P-m·g=m·g-m·g=0 Esto quiere decir que al caer libremente, la indicación de la balanza será 0

Ejemplo 7: Dos masas de 10 y 20 kg penden de los extremos de una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable y que no ofrece rozamiento. Calcula a. la tensión de la cuerda Suponiendo que m2 > m1, el giro de la polea coincidirá con el movimiento de las agujas de un reloj. Aplicando la 2ª ley de Newton a cada una de las masas P2 – T = m2 · a  m2· g – T = m2 · a T – P1 = m1 · a  T – m1· g = m1 · a siendo a la aceleración con que desciende la masa m2 (la misma con la que asciende m1). Si despejamos a de ambas ecuaciones e igualamos m g T T  m1 g a 2 ;a  m2 m1 m 2 g  T T  m1 g   m1 (m2g – T) = m2 (T – m1g) m2 m1 m1 m2 g – T m1 = m2 T – m1 m2 g  2 m1 m2 g = T m1 + T m2 = T (m1 + m2) mm 10 kg  20 kg T  2 1 2 g  2  9 ,8 m / s 2  130 ,67 N m1  m 2 10 kg  20 kg b. la aceleración del conjunto Sabemos que m2· g – T = m2 · a T – m1· g = m1 · a Si sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones, las T se cancelan m  m1 20 kg 10 kg g  9 ,8 m / s 2  3 ,27 m / s 2 m2g – m1g = m2a + m1a  (m2 – m1) g = (m1 + m2) a  a  2 m 2  m1 20 kg  10 kg c. el tiempo que transcurrirá para que ambas masas se encuentren separadas 1 m de distancia si inicialmente se encuentran equilibradas Habrá que calcular el tiempo que tardará cualquiera de las masas en recorrer 0,5 m, ya que para que estén separadas 1 m es necesario que una ascienda 0,5 m y la otra descienda la misma distancia. Sabemos que la relación que existe entre el tiempo y la distancia en un movimiento uniformemente acelerado es at 2 2s 2s 2  0 ,5 m s t2  t    0 ,55 s 2 a a 3 ,27 m / s 2

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Ejemplo 8: Sobre una mesa hay un bloque de masa 4 kg del que tira otro de 1 kg de masa unido al anterior mediante una polea sin rozamiento. Calcula a. la aceleración y la tensión de la cuerda si el bloque desliza sin rozamiento Como no hay rozamiento, los bloques se moverán hacia la derecha, ya que no hay ninguna fuerza que se oponga al deslizamiento. Aplicando la 2ª ley de Newton a ambos bloques Bloque 1 T = m1a N – P1 = 0 Bloque 2 P2 – T = m2a  m2g – T = m2a Sustituyendo la 1ª ecuación en la 3ª tenemos que m2g – m1a = m2a  m2g = (m1 + m2) a  m2 1kg a g  9 ,8 m / s 2  1,96 m / s 2 m1  m 2 4kg  1kg Para calcular la tensión, basta con sustituir los datos en la 1ª ecuación T = m1a = 4 kg · 1,96 m/s2 =7,84 N b. la aceleración y la tensión de la cuerda si el coeficiente de rozamiento es  = 0,2 Lo único que cambia con respecto al apartado anterior es que ahora aparece la fuerza de rozamiento, que se opone al deslizamiento del bloque 1 T – Fr = m1a  T –  N = m1a N – P1 = 0  N = P1 = m1g Sustituyendo esta expresión en la anterior tenemos que T –  N = m1a  T –  m1g = m1a  T =  m1g + m1a Bloque 2 P2 – T = m2a  m2g – T = m2a  T = m2g – m2a Igualando ambas expresiones  m1g + m1a = m2g – m2a  m1a + m2a = m2g – m1g a (m1 + m2) = (m2 – m1) g  ( m 2  m1 ) 1kg  0 ,2  4kg a g  9 ,8 m / s 2  0 ,39 m / s 2 m1  m 2 4kg  1kg Usando ahora la expresión de la tensión T =  m1g + m1a = m1 (g + a) = 4 kg (0,2 · 9,8 m/s 2 + 0,39 m/s2) = 9,4 N Bloque 1

Ejemplo 9: Calcula la aceleración con que deslizan los bloques y la tensión de la cuerda suponiendo que el coeficiente de rozamiento es  = 0,15

Aplicando la 2ª ley de Newton a ambos bloques Bloque 1T – Fr1 = m1a  T –  N1 = m1a N1 – P1 = 0  N1 = m1g Sustituyendo esta última ecuación en la primera T –  m1g = m1a Bloque 2 P2sen – T – Fr2 = m2a  m2 g sen – T –  N2 = m2a N2 – P2cos= 0  N2 = m2gcos Sustituyendo esta última ecuación en la primera m2 g sen – T –  m2gcos = m2a Sumando miembro a miembro con la ecuación T –  m1g = m1a m2 g sen –  m2gcos –  m1g = m2a + m1a = (m1 + m2) a  (m2 sen –  m2cos –  m1)g = (m1 + m2) a 7

[m2 sen –  (m2cos+ m1)] g = (m1 + m2) a  a 

m 2 sen  ( m 2 cos   m1 )

g m1  m 2 m sen  ( m 2 cos   m1 ) 2 kg  sen30º 0 ,15  ( 2 kg  cos 30º 1kg ) a 2 g  9 ,8 m / s 2  1,93m / s 2 1kg  2 kg m1  m 2 Como T –  m1g = m1a  T =  m1g + m1a = m1 (g + a) = 1 kg (0,15 · 9,8 m / s2 + 1,93 m / s2) = 3,4 N Ejemplo 10: Una cuerda de 80 cm se rompe cuando un objeto de 10 kg sujeto a ella gira a 100 rpm al pasar por el punto más bajo de su trayectoria circular. Calcula la tensión máxima que soporta la cuerda Teniendo en cuenta que en el movimiento circular uniforme la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es la fuerza centrípet, que apunta hacia el centro de la trayectoria, si aplicamos la 2ª ley de Newton en el punto más bajo de la trayectoria, que es cuando se rompe la cuerda mv 2 T – P = Fc  T  mg   m2 R R Si despejamos la tensión  T = mg + m2R = m (g + 2R) Hay que tener en cuenta que la cuerda mide 80 cm, que será el radio de la trayectoria, y que hay que poner la velocidad angular en rad / s, que está expresada en rpm vueltas 2 rad 1 min 10  rad   100 rpm  100    min 1vuelta 60 s 3 s Sustituyendo en la expresión de la tensión 10  rad 2 T  m( g  2 R )  10 kg  ( 9 ,8 m / s 2  ( )  0 ,8 m )  975 ,3N 3 s Ejemplo 11: Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta de masa 10 25 kg y de diámetro 5000 km En la superficie de un planeta de masa M y radio R, la fuerza gravitatoria que experimenta un objeto de masa m coincidirá con el peso del cuerpo, es decir Nm 2 6 ,67 10 11 10 25 kg 2 GMm GM kg  mg  g  2   106 ,72 m / s 2 2 6 2 R R ( 2 ,5 10 m ) Ejemplo 12: Calcula la elongación de un resorte de k = 1000 N / m del que cuelga una masa de 20 kg Cuando el resorte está en equilibrio, el peso del objeto está compensado por la fuerza elástica del resorte mg 20 kg  9 ,8 m / s 2 Fe  P  kx  mg  x    0 ,196 m  19 ,6 cm k 1000N / m

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