FRACCIONES EQUIVALENTES

3.1.1

Fracciones que nombran el mismo valor se llaman fracciones equivalentes, como 23 = 69 . Un método para encontrar fracciones equivalentes es usar la identidad multiplicativa (Propiedad de identidad de la multiplicación), es decir, multiplicar la fracción por una forma del número 1 como 22 , 55 , etc. En este curso, llamamos estas fracciones el “Uno Gigante.” Multiplicar por 1 no cambia el valor del número. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 3.1.1 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1 Halle tres fracciones equivalentes a 1⋅2 2 2

=

2 4

1 2

.

⋅ 33 =

1 2

1⋅4 2 4

3 6

=

4 8

Ejemplo 2 Use el Uno Gigante para encontrar una fracción equivalente a usando fracciones en que los denominadores son 96:

7 12

7 ? 12 ⋅     = 96

¿Cuál Uno Gigante” va a usar? 96 12

Como

= 8 , el Uno Gigante es

8 8

7 ⋅8 12 8

:

=

56 96

Problemas Use el Uno Gigante para encontrar la fracción equivalente especifica. Su respuesta debe incluir el Uno Gigante que use o el numerador equivalente. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Respuestas 1.

5 5

, 20

2.

4 4

, 20

3.

19 19

, 171

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4.

4 4

, 12

5.

6 6

, 30

6.

3 , 3

18

Core Connections en español, Curso 1

EQUIVALENTES DE FRACCIÓN-DECIMAL-PORCENTAJE 3.1.2 – 3.1.5 Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes maneras de representar a la misma porción o número. fracción

palabras o imágenes porcentaje

decimal

Representaciones de una porción Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en las Lecciones 3.1.4 y 3.1.5 del texto Core Connections en español, Curso 1. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 5 en Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplos De decimal a porcentaje:

De porcentaje a decimal:

Multiplique el decimal por 100. (0.81)(100) = 81%

Divida el porcentaje por 100. 43% ÷ 100 = 0.43

De fracción a porcentaje:

De porcentaje a fracción:

Escriba la proporción para encontrar la fracción equivalente usando 100 como el denominador. El numerador es el porcentaje.

Use el 100 como denominador. Use el porcentaje como el numerador. Simplifique según sea necesario.

4 5

=

x 100

así que

4 5

=

80 100

= 80%

22 = 22% = 100 56 = 56% = 100

11 50 14 25

De decimal a fracción:

De fracción a decimal:

Use los dígitos en decimal como el numerador. Use el valor del lugar como denominador. Simplifique cuando sea necesario.

Divida el numerador por el denominador.

2 = a. 0.2 = 10

1 5

17 b. 0.17 = 100

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3 8 3 11

= 3 ÷ 8 = 0.375

5 8

= 5 ÷ 8 = 0.625

= 3 ÷ 11 = 0.2727… = 0.27

Core Connections en español, Curso 1

Problemas Convierta las fracciones, decimales o porcentajes como sea indicado. 1.

Cambie

3.

1 4

2.

Cambie 50% a una fracción a sus términos más bajos.

Cambie 0.75 a una fracción a sus términos más bajos.

4.

Cambie 75% a un decimal.

5.

Cambie 0.38 a un porcentaje.

6.

Cambie

1 5

a un porcentaje.

7.

Cambie 0.3 a una fracción.

8.

Cambie

1 8

a un decimal.

9.

Cambie

1 3

a un decimal.

a un decimal.

10.

Cambie 0.08 a un porcentaje. 3 5

11.

Cambie 87% a un decimal.

12.

Cambie

13.

Cambie 0.4 a una fracción a sus términos más bajos.

14.

Cambie 65% a una fracción en sus términos más bajos.

15.

Cambie

1 9

a un decimal.

16.

Cambie 125% a una fracción en sus términos más bajos.

17.

Cambie

8 5

a un decimal.

18.

Cambie 3.25 a un porcentaje.

19.

1 a un decimal. Cambie 16 Cambie el decimal a un porcentaje.

20.

Cambie

21.

Cambie 43% a una fracción. Cambie la fracción a un decimal.

22.

Cambie 0.375 a un porcentaje. Cambie el porcentaje a una fracción.

23.

Cambie 87 a un decimal. Cambie el decimal a un porcentaje.

24.

Cambie 0.12 a una fracción.

25.

Cambie 0.175 a una fracción.

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1 7

a un porcentaje.

a un decimal.

Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 3.

3 4

4.

0.75

20%

7.

3 10

8.

0.125

10.

8%

11.

0.87

12.

60%

2 5

14.

13 20

15.

0. 11

16.

5 4

17.

1.6

18.

325%

19.

0.0625; 6.25%

20.

0.142859

21.

43 100

; 0.43

22.

37 12 %;

23.

0.875; 87.5%

24.

12 99

=

25.

1.

0.25

2.

5.

38%

6.

9.

0.33

13.

4 33

1 2

3 8

o 1 14

175 999

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Core Connections en español, Curso 1

OPERACIONES CON FRACCIONES

AM de 3.1.2

SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Antes de que las fracciones se puedan sumar o restar, las fracciones deben tener el mismo denominador, es decir, un denominador común. Le presentaremos dos métodos para sumar y restar fracciones.

MÉTODO DE MODELO DE ÁREA Paso 1:

Copie el problema.

Paso 2:

Dibuje y divida los rectángulos en partes iguales para cada fracción. Un rectángulo es marcado verticalmente en partes iguales basado en el primer denominador (abajo). El otro es marcado horizontalmente usando el segundo denominador. El número de rectángulos sombreados está basado en el numerador (arriba). Etiquete cada rectángulo con la fracción que representa.

Paso 3:

1  +  1 3 2

+ 1 3

Sobrepongamos las líneas de un rectángulo sobre el otro rectángulo como si uno fuera puesto sobre el otro.

Paso 4:

Renombre las fracciones en sextas, porque los nuevos rectángulos se dividen en seis partes iguales. Cambie los numeradores para igualar el número en sextos en cada figura.

Paso 5:

Dibuja un rectangulo vacío con sextos, luego cambie todos los sextos sombreados al mismo número de sextos en el rectángulo nuevo como el total que se sombrearon en los dos rectángulos en el paso anterior.

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1 2

+

+ 2 6

+

3 6

5 6

Core Connections en español, Curso 1

Ejemplo 1

1  +  2 2 5

se puede modelar como: 1 2

5+4 10 10

+ 5 10

2 5

así que 9 10

4 10

De este modo,

1  +  2  =  9 2 5 10

.

Ejemplo 2 1  +  4 2 5

seria:

+

+ 1 2

5 10

4 5

8 10

Problemas Use el método de modelo de área para sumar las siguientes fracciones. 1.

3  +  1 4 5

2.

1  +  2 3 7

3.

2  +  3 3 4

Respuestas 1.

19 20

2.

13 21

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3.

17 12

5 = 1 12

Core Connections en español, Curso 1

RAZONES

3.1.6

Una razón es una comparación de dos cantidades por la división. Se puede escribir de varias maneras: 65 millas , 65 millas: 1 hora o 65 millas a 1 hora 1 hora Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 4.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo Una bolsa contiene las siguientes canicas: 7 claras, 8 rojas y 5 azules. Las siguientes razones pueden establecerse: 5 = 1 a. Razón de azul con el número total de canicas ⇒ 20 . 4 b.

Razón de rojo a claro ⇒

c.

Razón de rojo a azul ⇒

d.

Razón de azul a rojo ⇒

8 . 7 8 . 5 5 . 8

Problemas 1.

2.

La bebida del jugo favorito de Molly se hace mezclando 3 tazas de jugo de manzana, 5 tazas de jugo de arándano y 2 tazas de gaseosa de jengibre. Determine las siguientes razones: a.

Razón de jugo de arándano al jugo de manzana.

b.

Razón de gaseosa de jengibre al jugo de manzana.

c.

Razón de gaseosa de jengibre a bebida de jugo terminada (la mezcla).

Un autobús de 40 pasajeros está llevando a 20 niñas, 16 niños y 2 maestros en un viaje de campo a la capital del estado. Determine las siguientes razones: a.

Razón entre niñas y niños.

b.

Razón entre niños y niñas.

c.

Razón de los maestros a estudiantes.

d.

Razón de los maestros a los pasajeros.

3.

Es importante para Molly (del problema uno) mantener las mismas razones cuando mezcla cantidades más grandes o más pequeñas de la bebida. De lo contrario, la bebida no sabe bien. Si ella necesita un total de 30 tazas de bebida de jugo, ¿cuántas tazas de cada líquido se debe usar?

4.

Si Molly (del problema uno) necesita 25 tazas de bebida de jugo, ¿cuántas tazas de cada líquido se debe usar? Recuerde que las razones deben seguir iguales.

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Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 5 3

b.

2 3

c.

2 10

=

1 5

1.

a.

3.

9 tazas jugo de manzana, 15 tazas jugo de arándano, 6 tazas gaseosa de jengibre

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20 16

=

5 4

b.

16 20

=

4 5

c.

2 36

2.

a.

d.

4.

7 12 tazas jugo de manzana, 12 12 tazas jugo de arándano, 5 tazas gaseosa de jengibre

2 38

Core Connections en español, Curso 1

OPERACIONES CON ENTEROS

3.2.1 y 3.2.2

SUMA DE ENTEROS Los estudiantes repasan las sumas de enteros usando dos modelos concretos: el movimiento de un número a través de una recta númerica y azulejos de enteros negativos y positivos. Para sumar dos números enteros usando una recta númerica, empiece con el primer número y después mueva el número apropiado de espacios hacia la derecha o izquierda dependiendo si el segundo número es positivo o negativo. Su ubicación final es la suma de los dos números enteros. Para sumar dos números usando azulejos, un número positivo es representado por el número apropiado de azulejos positivos (+) y el número negativo está representado por el número apropiado de azulejos negativos (–). Para sumar los dos empieza con la representación de azulejos del primer entero en un diagrama y luego ponga la representación de azulejos del segundo número en el diagrama. Cualquier número igual de azulejos (+) y azulejos (–) iguala a cero y pueden ser quitado del diagrama. Los azulejos que quedan representa la suma. Para más información vea el recuadros de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.2.3 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

–4 + 6

–2 + (–4)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

–4 + 6 = 2

–2 + (–4) = –6

Ejemplo 3

Ejemplo 4

5 + (–6)

–3 + 7

Empiece con los azulejos representando el primer número. + + + + + Añada al diagrama los azulejos representando el segundo número. + + + + + – – – –– – Circule los pares de azulejos de suma cero. –1 es la respuesta.

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ –

+ –

+ –

+ + + +

–3 + 7 = 4

–

5 + (–6) = –1 © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

Core Connections en español, Curso 1

SUMA DE ENTEROS EN GENERAL Cuando suma enteros usando el modelo de azulejos, los pares de azulejos de suma cero son formados solamente si los dos números tienen diferentes signos. Después que encierre en un círculo los pares de azulejos de suma cero, cuente los azulejos que no están circulados para encontrar la suma. Si los signos son iguales, no se forman pares de azulejos de suma cero y encuentra la suma de azulejos. Los enteros se pueden sumar sin hacer un modelo y siguiendo las siguientes reglas. •

Si los signos son iguales, suma los números y deje el mismo signo.

•

Si los signos son diferentes, ignore los signos (es decir, use el valor absoluto de cada número). Reste el número más cerca al cero del número más lejos del cero. El signo de la respuesta es el mismo que el número que está más lejos del cero, es decir, el número con más valor absoluto.

Ejemplo Para –4 + 2, –4 está más lejos del cero en la recta númerica que el 2, así que reste: 4 – 2 = 2. La respuesta es –2, ya que “4,” es decir, el número más lejos del cero, es negativo en el problema original.

Problemas Use cualquier modelo o las reglas anteriores para encontrar estas sumas. 1.

4 + (–2)

2.

6 + (–1)

3.

7 + (–7)

4.

–10 + 6

5.

–8 + 2

6.

–12 + 7

7.

–5 + (–8)

8.

–10 + (–2)

9.

–11 + (–16)

10.

–8 + 10

11.

–7 + 15

12.

–26 + 12

13.

–3 + 4 + 6

14.

56 + 17

15.

7 + (–10) + (–3)

16.

–95 + 26

17.

35 + (–6) + 8

18.

–113 + 274

19.

105 + (–65) + 20

20.

–6 + 2 + (–4) + 3 + 5

21.

5 + (–3) + (–2) + (–8)

22.

–6 + (–3) + (–2) + 9

23.

–6 + (–3) + 9

24.

20 + (–70)

25.

12 + (–7) + (–8) + 4 + (–3)

26.

–26 + (–13)

27.

–16 + (–8) + 9

28.

12 + (–13) + 18 + (–16)

29.

50 + (–70) + 30

30.

19 + (–13) + (–5) + 20

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Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1.

2

2.

5

3.

0

4.

–4

5.

–6

6.

–5

7.

–13

8.

–12

9.

–27

10.

2

11.

8

12.

–14

13.

7

14.

73

15.

–6

16.

–69

17.

37

18.

161

19.

60

20.

0

21.

–8

22.

–2

23.

0

24.

–50

25.

–2

26.

–39

27.

–15

28.

1

29.

10

30.

21

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Core Connections en español, Curso 1

VALOR ABSOLUTO

3.2.3

El valor absoluto de un número es la distancia del número al cero. Ya que el valor absoluto representa la distancia, sin tener en cuenta la dirección, el valor absoluto siempre será no negativo.

–5

0

5

El símbolo del valor absoluto es . En la recta númerica arriba, ambos 5 y –5 están a 5 unidades del cero. La distancia esta mostrada como −5 = 5 y se lee, “el valor absoluto de cinco negativo es igual a cinco.” Similarmente 5 = 5 significa, “el valor absoluto de cinco es igual a cinco.”

x = 5 significa que x podría ser cualquier 5 o –5 porque los dos puntos están a cinco unidades del cero. El problema x = −5 no tiene solución porque el valor absoluto del numero debe ser positivo. No confunda este hecho cuando un signo negativo aparezca afuera del signo del valor absoluto. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.2.2 del texto Core Connections en español, Curso 1.

Ejemplos a.

−6 = 6

d.

x = −3 ⇒ no hay solución e. − x = −3 ⇒ x = –3 o 3

b.

7 =7

c.

x = 9 ⇒ x = –9 o 9

f.

3 − 8 = −5 = 5

La parte (d) no tiene solución, ya que cualquier valor absoluto es positivo. En la parte (e), el problema pide el “el opuesto de x ,” que es negativo.

Problemas Determine si el valor absoluto o el valor de x. 1.

−11

2.

12

3.

x =4

4.

x = 16

6.

x = 13

7.

−9

8.

x = −13

9.

− x = −13

10.

− 7

11.

x =7

12.

−7

13.

−6 − 3

15.

−6 + 3

5−8

14.

5.

x = 24

Haga una tabla usando los valores de x de –4 al 4 para dibujar una gráfica para cada ecuación. 16.

y= x

17. y = x − 2

18. y = x + 2

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19. y = x + 2

20. y = − x

Core Connections en español, Curso 1

Respuestas 1. 6. 11.

11 13, –13 7, –7

16.

2. 7.

12 9

12.

7

3. 4, –4 8. no hay solución 13.

17. y

14.

18.

16, –16 13, –13

5. 24, –24 10. –7

9

15.

19.

x

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x

3

20. y

y

y

y

x

3

4. 9.

x

x

Core Connections en español, Curso 1

GRAFICAR EN CUATRO CUADRANTES

3.2.4

La grafica que se empezó en los últimos grados ahora será extendida para incluir valores negativos y los estudiantes graficarán ecuaciones algebraicas con dos variables. Para más información, vea el problema 3-122 del texto Core Connections en español, Curso 1.

GRAFICANDO PUNTOS Los puntos en una gráfica coordinado son identificados por dos números en un par ordenado escrito como (x, y). El primer número es la coordenada x y el segundo es la coordenada y. Así juntos, las dos coordenadas nombran un punto exacto en la gráfica. Los ejemplos a continuación enseñan como poner un punto en un gráfico de coordenadas xy.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Grafique el punto A(2, –3).

Grafique el punto C(–4, 0) en una red de coordenadas.

Vaya 2 unidades a la derecha del origen (0, 0), después vaya 3 unidades abajo. Marque el punto.

Vaya 4 unidades a la izquierda del origen, pero no vaya arriba o abajo. Marque el punto. y

y

C x

x

A(2, –3)

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Core Connections en español, Curso 1

Problemas 1.

Nombre el par ordenado para cada punto mostrado en el gráfico a continuación.

2.

K(0, –4) L(–5, 0) M(–2, –3) N(–2, 3) O(2, –3) P(–4, –6) Q(4, –5) R(–5, –4) T(–1, –6)

y

U Z U

S U

W U

Use los pares ordenados para localizar cada punto en la red de coordenadas. Coloque un punto y nómbrelo con su letra.

x

V T

y

x

Respuestas 1.

S(2, 2) T(–1, –6) U(0, 6) V(1, –4) W(–6, 0) Z(–5, 3)

2.

y

N L x

M

R

K P

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O Q

T

Core Connections en español, Curso 1