FRACCIONES: INTERPRETACIONES ESCOLARES1

La dificultad que conlleva el combinar los significados de «numerador» (a) y «denominador» (b) para generar un significado conjunto para a/b, lleva a la consideración de: DIFERENTES INTERPRETACIONES:  PARTE-TODO  COCIENTE

y MEDIDA

 RAZÓN

 OPERADOR



1: Ideas extraídas del capítulo de Llinares y Sánchez (1988) «Fracciones». Sïntesis: Madrid A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas

1

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA 

Se presenta esta situación cuando un «TODO» se divide en «partes congruentes», y la fracción a/b indica:

«La relación que existe entre un número de partes y el número total de partes en que se ha dividido el todo». El todo recibe el nombre de unidad.

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

2

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Se apoya en: La habilidad de dividir una cantidad continua o un conjunto discreto en partes o subgrupos del mismo tamaño. 3/5

5/8

3/5

A. Fernández Dpto. Didáctica Matemáticas

3

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Se apoya en: La habilidad de dividir una cantidad continua o un conjunto discreto en partes o subgrupos del mismo tamaño (congruentes).

A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas

4

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Fracciones impropias o números mixtos:

7/ 4

(siete cuartos)

número mixto: 1 3/4 ¡Cuidado cuando la fracción es > 1 ! A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas

5

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Observación: en el contexto discreto… -

Los subconjuntos que resultan al dividir el todo en varias partes pueden estar también formados cada uno por varios objetos.



En este caso, 2/5 representa la relación entre las 5 partes en las que está dividido el todo y las 2 partes señaladas. A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

6

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Otras habilidades que se necesitan previamente: • Tener interiorizada la noción de inclusión de clases • la identificación de la unidad (qué todo se considera como unidad en cada caso)

• la de realizar divisiones (conservándose la cantidad del todo aún cuando se divide) • Manejar la idea de área (en el caso de las representaciones continuas)

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

7

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Fracciones Decimales: En la interpretación parte-todo, cuando el todo se divide en 10, 100, 1000, etc: 1/10

(una décima) El cuadrado pequeño representa 1/100 (una centésima)

A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas

8

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Fracciones como ptos de la recta: En la interpretación parte-todo, podemos asociar la fracción a/b con un punto de la recta numérica.

Para ello se considera la recta numérica en la que cada segmento unidad se ha dividido en b partes congruentes. - Así se asocia una fracción a un nº abstracto (y a un pto de la recta) A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

9

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Fracciones como ptos de la recta: - Ventajas:  hace que las fracciones impropias aparezcan de forma natural (porque se ven más “todos” a la vez). 



facilita la inclusión de los números racionales en el conjunto de los números naturales. tiene conexiones con las medidas (escalas). A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas

10

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA Fracciones como ptos de la recta: - Inconvenientes:  Problemas para identificar el segmento unidad. 

Problemas cuando el segmento unidad se divide en un “múltiplo” del denominador.

Observación: Sirve también en el contexto de la interpretación de medida…

A. Fernández . Dpto. Didáctica Matemáticas

11

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA La fracción como medida: Se identifica una unidad de medida, que admite subdivisiones congruentes. La tarea de medir significa: asignar un número a una «región» (en el sentido general). Para ello hay que contar el número de veces que la unidad (o subunidades) está contenida en la región. 

Aquí las partes vienen dadas en el propio sistema de medida. A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas

12

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA  La fracción como medida: Se identifica una unidad de medida, que admite subdivisiones congruentes. Ejemplo en un contexto escolar

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

13

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA  La fracción a/b aparece cuando se desea medir una determinada magnitud, en la cual la unidad no está contenida un número entero de veces en la magnitud que se quiere medir.  Para obtener la medida exacta se deben: - Medir utilizando múltiplos y submúltiplos de la unidad. - Realizar comparaciones con la unidad. Obs.- La conceptualización de fracción como medida permite al estudiante ser capaz de identificar que una fracción a/b es a veces 1/b. A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

14

LA FRACCIÓN COMO COCIENTE 

Se presenta esta situación cuando la fracción a/b indica: «Una división indicada de dos números naturales»

En esta interpretación subyace la idea de: Reparto equitativo

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

15

LA FRACCIÓN COMO COCIENTE

a/b División indicada

Reparto equitativo: Divisiónreparto “Repartir de forma equitativa tres barras de chocolate entre cinco niños”

1/5

1/5

1/5

3/5 A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

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LA FRACCIÓN COMO COCIENTE

a/b División indicada

Reparto equitativo: Divisiónreparto

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

17

LA FRACCIÓN COMO COCIENTE

a/b División indicada Reparto equitativo: Divisiónmedida

“Tenemos tres pizzas. A cada niño le ha correspondido los ¾ de una pizza. ¿A cuántos niños hemos podido dar pizza?

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

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LA FRACCIÓN COMO RAZÓN  a/b

se considera: “Un índice comparativo entre dos cantidades de magnitud’ ◦ Puede ser:

PARTE-PARTE Se comparan dos partes que conforman un todo Ejemplos: “La relación entre el número de bolas rojas y verdes es de tres quintos (3/5)” “la relación entre el número de triángulos y rectángulos es de tres cuartos (3/4)”

A. Fernández Dpto. Didáctica Matemáticas

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LA FRACCIÓN COMO RAZÓN  a/b

se considera: “Un índice comparativo entre dos cantidades de magnitud’ ◦ Puede ser:

TODO-TODO No existe un „todo‟, sino que la comparación puede ser bidireccional Ejemplo:  „la escala en los dibujos de este mapa es 1:20000‟.

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

20

LA FRACCIÓN COMO OPERADOR a/b se considera: “Una transformación, algo que actúa sobre una situación y la modifica’ 

1/2

1/6

2/3

1/3

1/3 1/2 A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

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MECANISMOS CONSTRUCTIVOS (Kieren, 1988)

entendidos

como

Los aspectos del conocimiento que se deben poseer para resolver una tarea en la que esté involucrada la noción de fracción.

IDEA DE: Unidad Partes equivalentes Reparto equitativo A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

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LA IDEA DE UNIDAD «El desarrollo de la idea de unidad se pone de manifiesto en tareas de reconstruir la unidad». Contexto continuo: Ej.1: “Si es 2/3 de la unidad. 

¿Cuál es la unidad?” Ej. 2: “ es 4/3 de la figura. ¿Cuál es la figura? Contexto discreto: Ej.3: “Si son 2/3 de la unidad. ¿Cuál es la unidad? A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

23

EQUIVALENCIA 

Equivalencia en el sentido de misma cantidad:



En contextos continuos:



En contextos discretos: Repartir en grupos iguales 3/5 = 6/10

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas

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LA IDEA DE FRACCIONES EQUIVALENTES

Se apoya en la idea de realizar diferentes divisiones que dan lugar a la misma relación entre la parte y el todo.  En contextos continuos: 



2/3



2/5



 

0

½

4/6 4/10

1

2/4

En contextos discretos: 3/5 = 6/10 A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas

25

LA IDEA DE REPARTO EQUITATIVO



La actividad de realizar divisiones múltiples debe emparejarse con la actividad de realizar repartos equitativos

Ej. 1: Dividir en cuatro grupos iguales 12 fichas Ej. 2: Repartir equitativamente dos tabletas de chocolate entre tres niños.

A. Fernández,. Dpto. Didáctica Matemáticas

26

CITAS PERCEPTUALES Behr et al, 1983

entendidas como

La información visual procedente de las figuras, modelos o diagramas que acompañan a las tareas escolares. pueden ser

consistentes

inconsistentes

“Sombrear ½ de ….” A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas

27

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA

A. Fernández

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA:  Se presenta la necesidad de plantear los procesos de enseñanza de las fracciones desde todas las perspectivas e interpretaciones posibles  Los procesos de enseñanza que se desarrollen deben guardar un equilibrio entre: • El significado de las fracciones en contextos prácticos, y • El significado de las fracciones en situaciones más abstractas  La habilidad para hacer traslaciones dentro y entre los distintos modos de representación posibilita la adquisición y uso de los conceptos A. Fernández

SUGERENCIAS PARA UNA SECUENCIA DE ENSEÑANZA •

Empezar con situaciones cotidianas en las que se conecte con la idea de fracción (conocimiento informal de los niños).

1

EN RELACIÓN A LA UNIDAD:

* identificar el número de unidades. * identificar cantidades mayores o menores de la unidad. 2

PARTES DE LA UNIDAD USANDO MATERIALES CONCRETOS:

* identificar el número de partes de una unidad. * identificar partes del mismo tamaño (equivalencia en el sentido de cantidad). * dividir una unidad en partes iguales (contexto continuo). * dividir en grupos iguales (contexto discreto). 3

NOMBRES PARA PARTES DE LA UNIDAD:

* establecer el nombre de las fracciones. * usar las fracciones para contestar a ¿cuántos?. * identificar fracciones iguales a uno. 4

ESCRIBIR FRACCIONES PARA REPRESENTAR PARTES DE LA UNIDAD:

* diferentes modos de representación y traslaciones entre ellos: forma oral, forma escrita, materiales concretos. 5

REPRESENTAR FRACCIONES CON DIBUJOS:

* transición de objetos a diagramas. * repetición de los pasos anteriores pero con diagramas. 6

AMPLIAR LA NOCIÓN DE FRACCIÓN:

* fracciones mayores que uno. * números mixtos. * comparación de fracciones. * fracciones equivalentes.

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA:

Familia de Tareas f

U

R

A) Dados U y f ( 1). Hallar R

B) Dada U y R. Hallar f (1)

C) Dada R y f (1). Hallar U

A. Fernández

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA:

Familia de Tareas

A) Dados U y f ( 1). Hallar R

Ejemplos: •En contexto continuo: Ej.1: Sombrea ½ de Ej. 2: Tomada como unidad la regleta rosa. ¿Qué regleta es 1/2 de la unidad? •En contexto discreto: Ej.3: Encontrar 2/3 de Ej.4: Encontrar 3/2 de 6 fichas A. Fernández

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA:

Familia de Tareas

B) Dada U y R. Hallar f (1) Ejemplos: • En contexto continuo: Ej.1: ¿Qué fracción del total representa la parte coloreada Ej. 2: Si la regleta marrón es la unidad, ¿Cuánto mide la regleta rosa?. ¿Y la verde oscura?

• En contexto discreto: Ej.3: ¿Qué cantidad del total representan las fichas coloreadas A. Fernández

?

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA:

Familia de Tareas

C) Dada R y f (1). Hallar U Ejemplos: • En contexto continuo: Ej.1:“Si es 3/4 de la unidad. ¿Cuál es la unidad?” Ej. 2: La regleta azul mide 3/2 de otra regleta de las que constituyen el juego de regletas ¿De qué regleta se trata? • En contexto discreto: Ej.3: ¿Las fichas verdes representan 4/3 del total de fichas de un juego. ¿Cuántas fichas intervienen en dicho juego?

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA: Procedimientos de Equivalencia y Orden

• Equivalencia de fracciones: «Varios nombres para la misma

relación». La relación entre la parte y el todo puede venir descrita por parejas de números distintas:

Ejemplo de tarea: Dada la fracción 9/12, encontrar una fracción equivalente con numerador 6 (9/12= 6/?): a) Utiliza folios para describir el proceso seguido b) Utiliza fichas para describir el proceso seguido

• En un contexto continuo: hay que establecer nuevas divisiones en el todo o ignorar parte de las que existen • En un contexto discreto: hay que realizar nuevas reordenaciones de los elementos (física o mentalmente)

• Orden en las fracciones: – Reducir a fracciones equivalentes – Apoyarnos en el nº de fracciones unitarias A. Fernández

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA: Operaciones con fracciones • Primeros pasos: Utilizando como apoyo las fracciones unitarias y la secuencia de contar • Uso de la recta numérica Ejemplos de tareas: SUMA: Modelar la operación 2/3 + 4/6 con distintos materiales . Especifica las relaciones entre las acciones con material y los pasos en la representación simbólica PRODUCTO: Dada la expresión numérica 1/2 x 2/5 Modela con folios cada uno de los pasos dados en el nivel de símbolos para obtener el producto

COCIENTE: Modelar ¾ : ½ (Podría verse como «¿Cuántas veces cabe la mitad de la unidad en ¾ de la unidad?» A. Fernández