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ACTIVIDADES
FRACCIONES: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CONTENIDO 1. Representación de la multiplicación de fracciones como suma de sumandos iguales 2. Fracción de un número entero mayor que la unidad 3. Visualización y deducción de la regla de la multiplicación de fracciones 4. Visualización y deducción de la regla de la división de fracciones
1. REPRESENTACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES COMO SUMA DE SUMANDOS IGUALES A. OBJETIVO: Visualizar la multiplicación de una fracción por un número entero B. MATERIALES
Fracciones
Ficha 1 de actividades
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Ficha 1 de actividades soluciones
C. ACTIVIDADES El propósito de este recurso didáctico es visualizar las reglas para multiplicar y dividir fracciones, de manera que se memoricen “con sentido” o “con comprensión”. En esta sección se parte de la noción de la multiplicación como la “suma de sumandos iguales o unión de cantidades iguales”, para luego demostrar en la siguiente sección, que la multiplicación de una fracción es equivalente a determinar la fracción de una cantidad, como paso previo para deducir la regla de la multiplicación de fracciones. Se organizan los aprendices en grupos de 4 integrantes, para que realicen las propuestas presentadas en la ficha 1, utilizando para ello las fracciones recortadas (1 unidad, 2 fracciones de 1/2, 3 fracciones de 1/3, 4 fracciones de 1/4, 6 fracciones de 1/6, 12 fracciones de 1/12, 24 fracciones de 1/24 ). El facilitador orientará a los aprendices durante las actividades, a través de preguntas (ver respuestas esperadas en ficha 1 soluciones). Una vez finalizadas las actividades, el facilitador plantea preguntas conducentes a visualizar la regla de la multiplicación de fracciones: Expresa como multiplicación 1/3 +1/3 (1/3 x 2) ¿Qué significa 1/3 x 2? (1/3 repetido 2 veces) ¿De qué otra manera se lee 1/3 x 2? (1/3 de 2) Expresa como multiplicación 2/5 +2/5+2/5 (2/5 x 3) ¿Qué significa 2/5 x 3? (2/5 repetido 3 veces) ¿De qué otra manera se lee 2/5 x 3? (2/5 de 3) Expresa como multiplicación 5/7 +5/7+5/7+5/7 (5/7 x 4) ¿Qué significa 5/7 x 4? (5/7 repetido 4 veces) ¿De qué otra manera se lee 5/7 x 4? (5/7 de 4)
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El facilitador reta: “en las actividades decía que 1/2 x 3 también se lee como 1/2 de 3, ¿será 1/2 de 3 igual a 1/2 x 3?, vamos a demostrarlo con este material”. Y a continuación, realiza la experiencia de la siguiente sección.
2. FRACCIÓN DE UN NÚMERO ENTERO MAYOR QUE LA UNIDAD A. OBJETIVOS: Representar gráficamente la fracción de un número entero mayor que la unidad Demostrar que la fracción de un número entero mayor que la unidad es equivalente a multiplicar a la fracción por el número entero
B. MATERIALES
1 hoja de cintas y patrón (una por aprendiz)
Ficha 2 de actividades (una por aprendiz)
Ficha 2 de actividades soluciones
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C. ACTIVIDADES El propósito de esta actividad es demostrar que “1/2 de 3” es equivalente a “1/2 x 3”, que “1/3 de 4 es equivalente a 1/3 x 4”, que “2/3 de 4 es equivalente a 2/3 x 4”… Esto sirve de “puente” para deducir la regla de la multiplicación de fracciones, que se trabajará luego. Se organizan grupos de 4 aprendices y se entrega a cada aprendiz una cinta de 3 unidades, una cinta de 4 unidades recortadas y el patrón de fracciones. El facilitador retoma el reto anterior: “¿será 1/2 de 3 igual a 1/2 x 3?, demuéstrenlo con este material. Para ello hay que aplicar el concepto de fracción a una cinta, doblándola en partes iguales y comparar con el patrón de fracciones” El proceso consiste en doblar la cinta de 3 unidades en 2 partes iguales y considerar una, la cual se coloca sobre la división de las unidades en medios del patrón de fracciones, y se observa que equivale o cubre 3 medios. se dobla la cinta en dos partes iguales
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cinta doblada en dos partes iguales
se compara con el patrón de fracciones una de las partes iguales patrón de fracciones para comparar 1 2
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Se demuestra que 1/2 de 3 es equivalente a 3 medios, es decir, 1/2 + 1/2 +1/2, por lo tanto es igual a 1/2 x 3. El facilitador plantea un nuevo reto: “¿será 2/3 de 4 igual a 2/3 x 4?, demuéstrenlo con este material. Para ello hay que aplicar el concepto de fracción a una cinta, doblándola en partes iguales y comparar con el patrón de fracciones” El proceso consiste en doblar la cinta de 4 unidades en 3 partes iguales y considerar dos, las cuales se colocan sobre la división de las unidades en tercios del patrón de fracciones, y se observa que equivale o cubre 4 “grupos” de dos tercios. se dobla la cinta en tres partes iguales
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cinta doblada en tres partes iguales
se compara con el patrón de fracciones dos de las partes iguales patrón de fracciones para comparar 1 2
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Se demuestra que 2/3 de 4 es equivalente a cuatro “grupos” de 2 tercios, es decir, 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3, por lo tanto es igual a 2/3 x 4. Luego se invita a los aprendices a realizar la ficha 2. Se entrega una a cada aprendiz. Una vez que cada aprendiz haya completado la ficha 2, se propone que compartan y comparen sus respuestas con el resto de sus compañeros de 5
grupo. El facilitador dispone de las respuestas esperadas de la ficha (ficha 2 soluciones). Se cierra la actividad con preguntas como: ¿Se puede expresar como una multiplicación 2/5 de 4? ¿cuál y por qué? (2/5 x 4, porque es igual a 2/5 + 2/5 + 2/5 + 2/5) ¿De qué otra manera se lee 3/7 x 8? (3/7 de 8) ¿Se puede expresar como una multiplicación 4/9 de 7? ¿cuál y por qué? (4/9 x 7, porque es igual a 4/9+4/9+4/9+4/9+4/9+4/9+4/9) ¿De qué otra manera se lee 3/10 x 7? (3/10 de 7)
3. VISUALIZACIÓN Y DEDUCCIÓN DE LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES A. OBJETIVOS: Representar gráficamente la multiplicación de dos fracciones Deducir y expresar verbalmente cómo se multiplican fracciones
B. MATERIALES
8 tarjetas transparentes de fracciones
Ficha 3 de actividades
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Ficha 3 de actividades soluciones
C. ACTIVIDADES En esta sección se deduce la regla de la multiplicación de fracciones, aplicando el proceso de hallar la fracción de una fracción. Este proceso se hace con tarjetas transparentes, para visualizar la división de la unidad que resulta y las partes iguales que se consideran después de la hacer la nueva división. Se organizan los aprendices en grupos de 4 integrantes, para que realicen las propuestas presentadas en la ficha 3, utilizando para ello las 8 tarjetas transparentes de fracciones, que deben imprimirse en acetato y recortar. El facilitador orientará a los aprendices durante las actividades, a través de preguntas (ver respuestas esperadas en ficha 3 soluciones). A continuación se da un ejemplo de cómo se usan las tarjetas transparentes para hallar la fracción de una fracción.
EJEMPLO: Determinar con las tarjetas transparentes cuánto es
Se considera la opción de hallar 2/3 de 1/4. Se divide la porción de 1/4 en tres partes iguales superponiendo la tarjeta de 2/3:
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Un cuarto se divide en tres partes iguales, dividiendo toda la unidad.
1 se divide superponiendo 4 la tarjeta de 2 3
Se consideran 2 de las partes iguales en que se dividió el cuarto, que con respecto a la unidad es igual a 2 doceavos.
Una vez finalizadas las actividades, el facilitador plantea preguntas como la siguiente para aplicar la regla de la multiplicación de fracciones: ¿Cuánto es 1/5 por 3/4? ¿cómo lo calculas? (3/20, se multiplican los numeradores y obtengo el numerador del producto, multiplico los denominadores y obtengo el denominador del producto)
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4. VISUALIZACIÓN Y DEDUCCIÓN LA REGLA DE LA DIVISIÓN DE FRACCIONES A. OBJETIVOS: Visualizar gráficamente la división con fracciones Deducir la regla de la división de fracciones
B. MATERIALES
Fracciones
Ficha 4 de actividades (3 hojas)
Ficha 4 de actividades soluciones
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C. ACTIVIDADES Multiplicar es “unir” cantidades iguales. La división, como operación inversa de la multiplicación, es “separar” cantidades iguales. La división también se puede ver como “cuántas veces está contenida una cantidad en otra”, que sigue siendo lo mismo de “cuántas veces se puede “separar” una cantidad. En esta sección se visualizará la división de fracciones como cuántas veces una fracción está contenida en otra fracción, para luego observar el patrón matemático de cómo se llega al resultado y escribir la regla de la división de fracciones. Se organizan los aprendices en grupos de 4 integrantes, para que realicen las propuestas presentadas en la ficha 4, utilizando para las fracciones recortadas (1 unidad, 2 fracciones de 1/2, 3 fracciones de 1/3, 4 fracciones de 1/4, 6 fracciones de 1/6, 12 fracciones de 1/12, 24 fracciones de 1/24). Se recomienda entregar primero las páginas 1 y 2, y al final la página 3. El facilitador orientará a los aprendices durante las actividades, a través de preguntas (ver respuestas esperadas en ficha 4 soluciones). Es importante que el facilitador verifique si los aprendices logran expresar un número entero como fracción y la fracción inversa de una fracción, lo cual se introduce en la ficha 4.
Una vez finalizadas las actividades, el facilitador plantea preguntas para consolidar la regla de división de fracciones: ¿Cómo se expresa 4 como fracción y qué significa? (4/1, significa que “no se divide en partes iguales” y se considera “todo”) ¿Cuál es la fracción inversa de 2/5? (5/2) ¿Cuánto es 2/5 entre 1/2? ¿cómo lo resuelves?(4/5, multiplico la fracción dividendo por la fracción inversa del divisor: 2/5 por 2/1, por lo tanto, el numerador de la fracción resultante es igual al producto de los numeradores 2 x 2 y el denominador es igual al producto de los denominadores 5 x 1) ¿Cuánto es 2/3 entre 4/5? ¿cómo lo resuelves? (10/12, multiplico la fracción dividendo por la fracción inversa del divisor: 2/3 por 5/4, por lo tanto, el numerador de la fracción resultante es igual al producto de los numeradores 2 x 5 y el denominador es igual al producto de los denominadores 3 x 4) 10