FUNCIONES CUADRÁTICAS

A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax2+ bx + c, siendo a, b, c, números reales y a ≠ 0 se la denomina función cuadrática. Dominio de una función cuadrática es el conjunto de los reales: D (f) = R Imagen de la función cuadrática, depende del coeficiente a: Si a > 0, entonces I (f) = [ yv,∞ ) Si a < 0, entonces I (f) = ( -∞, yv ] Los términos de la función reciben los siguientes nombres: f (x) = ax2 + bx +c término cuadrático

término lineal

término independiente

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. 1) Funciones de la forma : y = ax2

a > 0, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba Ramas de la parábola a < 0, las ramas se dirigen hacia abajo 0 < IaI < 1; la parábola se abre respecto del eje y Amplitud de la parábola IaI >1; la parábola se cierra respecto a dicho eje.

2) Funciones de la forma: y = ax2+ c

c > o; la gráfica se desplaza hacia arriba. Corrimiento con el eje vertical c < o; la gráfica se desplaza hacia abajo.

3) Funciones de la forma y = ax2 + bx

Corrimiento sobre el eje horizontal si a y b tienen el mismo signo, la gráfica de la parábola se desplaza hacia la izquierda. Si a y b tienen distinto signo, la gráfica se desplaza hacia la derecha.

Gráfica de la parábola

Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = ax2+ bx +c, se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla.

 Raíces de la parábola: Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, ello ocurre cuando f(x) = 0 Para hallar esos valores se emplea la fórmula resolvente de Bhaskara:

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎  Vértices de la parábola: Es el punto donde la función alcanza su máximo o mínimo valor. Las coordenadas del vértice son: V = (xv, yv) Xv =

𝒙𝟏+𝒙𝟐 𝟐

ó

xv =

−𝒃 𝟐𝒂

yv = f (xv) Este método solo se podrá emplear cuando la función tenga dos raíces reales distintas; en caso de que ello no sea así haremos completación de cuadrados.

 Eje de simetría: es la recta que tiene por ecuación x = xv. Divide a la parábola en dos ramas simétricas.  Ordenada al origen: Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, es decir, f (0) = c

Posiciones relativas respecto del eje de abscisas

Las raíces de la función cuadrática, f (x) = ax2 + bx + c, se calculan mediante la −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 fórmula 𝑥 = 2𝑎 Al radicando b2- 4ac se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las raíces de la función y se lo simboliza con la letra griega Δ (delta) Δ = b2 – 4ac

1) Cuando Δ > 0, la gráfica tiene dos puntos de intersección con el eje x. la función tiene dos raíces reales distintas. Por ejemplo: f(x) = x2+ 2x -3  Δ = 16

2) Cuando Δ = 0, la gráfica tiene un punto de intersección con el eje x. La función tiene dos raíces iguales o raíz doble (vértice de la parábola). Por ejemplo: f(x) = x2 + 2x +1  Δ = 0

3) Cuando Δ < 0, la gráfica no tiene puntos de intersección con el eje x. Es decir, no tiene raíces reales. Por ejemplo: f(x) = x2+ 2x + 2  Δ = -4

Ecuación polinómica, canónica y factorizada.

La ecuación cuadrática puede ser expresada de distintas maneras:

Se desarrolla el cuadrado del binomio

Se aplica propiedad distributiva

CANÓNICA

POLINÓMICA

FACTORIZADA

f (x) = a (x – xv)2+ yv

f (x) = ax2 + bx + c

f (x) = a (x – x1) (x – x2)

Se busca el vértice o se completa cuadrados

Se buscan las raíces

Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento.

Decimos que una función es creciente en un intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores de la variable independiente (x), aumentan los valores de la variable dependiente (y = f (x)). f (x) es creciente si: x1 > x2, entonces f (x1) > f (x2)

Decimos que una función es decreciente en un intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente. f (x) es decreciente si: x1 > x2, entonces f (x1) < f (x2) En general, dada la función f (x) = ax2+ bx + c, se verifica que:

Alcanza un mínimo en el vértice de la parábola. 1) Si a > 0, la función :

Decrece en el intervalo ( -

∞, xv)

Crece en el intervalo (xv, ∞)

Alcanza un máximo en el vértice de la parábola. 2) Si a < 0, la función:

∞, xv) Decrece en el intervalo (xv, ∞)

Crece en el intervalo (-