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FUNCIONES LINEAL Y POTENCIA La función lineal La función lineal puede describirse en forma genérica con la fórmula y = ax + c, donde a (la pendiente) y c (la ordenada al origen) son constantes. La gráfica de abajo representa dos ejemplos; en ambos casos c = 0; para la línea con puntos negros a = 1 y para la línea con puntos huecos a = 2. Nótese que ambas líneas cruzan el punto (0, 0) y crecen en forma diferente, de acuerdo con el valor de la pendiente a. 45

y = 2x

40 35 30 25

y=x

20 15 10 5 0 0

5

10

15

20

25

Tomando dos puntos arbitrarios sobre la recta, se puede calcular empíricamente la pendiente. Por ejemplo, para la función y = 2x, tomando los puntos (15, 30) y (20, 40), la pendiente viene dada por: m=

∆ y 40 − 30 = =2 ∆ x 20 − 15

En este caso sabemos de antemano que m = a = 2. Otra forma de obtener la pendiente es calculando la derivada de y con respecto a x:

m=

dy d = (2 x) = 2 dx dx H. T. Arita 2005

Con lo que corroboramos que la pendiente es constante e igual al parámetro a. (O sea, corroboramos que estamos lidiando con una línea recta). Veamos ahora qué pasa si cambiamos el valor de la constante c. Las dos líneas, por tener la misma pendiente (2), son paralelas. Lo que cambia es la altura, o sea, la distancia desde el eje de las abscisas. Como bien sabía Euclides desde hace mucho tiempo, las líneas paralelas están separadas en cualquier tramo por una distancia constante. En este ejemplo, la distancia entre las dos líneas es igual a 10 – 2 = 8 unidades. Para un valor de x = 0, el valor de y es igual a la c correspondiente, es decir, 2 y 10, que son las ordenadas al origen. 60

y = 2x +10

50 40

y = 2x +2

30 20 10 0 0

5

10

15

20

25

La función potencia Después de aburrirlos con conceptos básicos sobre las líneas rectas, pasemos a la parte divertida, la función potencia. Los conceptos fundamentales sobre la función lineal nos servirán para entender las propiedades de la función potencia. La fórmula general de la función potencia es: y = axb + c Aunque generalmente el parámetro c se ignora, lo pongo aquí para ver la analogía con la función lineal. De entrada, podemos ver que la función lineal es un caso particular de la función potencia en la que b = 1. Es importante recalcar que la forma de la función potencia depende tanto del exponente b como de a y c. Veamos ejemplos para entender el concepto. Los casos diferentes son: b < -1 b = -1 -1 < b < 0 b=0 0 1. Claro está, en estos casos la pendiente es más pequeña (noten los valores en la escala de log(y)). El ejemplo típico de la función potencia para 0 < b < 1 es la curva especies-área (SAR). En esta relación, el exponente b se expresa como z, la que generalmente tiene valores de entre 0.1 y 0.5.