Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales y As´ıntotas Carlos A. Rivera-Morales

Prec´ alculo II

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Tabla de Contenido

1

Objetivos

2

Funci´on Racional

3

As´ıntotas As´ıntotas Verticales y As´ıntotas Horizontales

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Objetivos: Discutiremos: qu´e es una funci´on racional

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Objetivos: Discutiremos: qu´e es una funci´on racional as´ıntotas verticales y sus ecuaciones

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Objetivos: Discutiremos: qu´e es una funci´on racional as´ıntotas verticales y sus ecuaciones as´ıntotas horizontales y sus ecuaciones

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Objetivos: Discutiremos: qu´e es una funci´on racional as´ıntotas verticales y sus ecuaciones as´ıntotas horizontales y sus ecuaciones la relaci´on entre la gr´ afica de una funci´ on racional y las as´ıntotas

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Funciones Racionales Definici´ on: Una funci´ on racional r en una variable real x P (x) , donde P (x) y Q(x) son es una funci´on de la forma r(x) = Q(x) polinomios.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Funciones Racionales Definici´ on: Una funci´ on racional r en una variable real x P (x) , donde P (x) y Q(x) son es una funci´on de la forma r(x) = Q(x) polinomios. Nota: Supondremos que la fracci´ on racional forma m´as simple.

Rivera-Morales, Carlos A.

P (x) Q(x)

est´a en su

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Funciones Racionales Definici´ on: Una funci´ on racional r en una variable real x P (x) , donde P (x) y Q(x) son es una funci´on de la forma r(x) = Q(x) polinomios. Nota: Supondremos que la fracci´ on racional forma m´as simple.

P (x) Q(x)

est´a en su

El dominio de r es el conjunto de n´ umeros reales excepto aquellos para los cuales el denominador es igual a cero. Esto es, Dr = {x ∈R|Q(x) 6= 0}

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Aunque las funciones racionales se construyen con polinomios, sus gr´aficas son, en general, diferentes a las gr´ aficas de funciones polinomiales. Veamos algunos ejemplos.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Aunque las funciones racionales se construyen con polinomios, sus gr´aficas son, en general, diferentes a las gr´ aficas de funciones polinomiales. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1: r(x) = x1 ; Dr = {x ∈R|x 6= 0}

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Aunque las funciones racionales se construyen con polinomios, sus gr´aficas son, en general, diferentes a las gr´ aficas de funciones polinomiales. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1: r(x) = x1 ; Dr = {x ∈R|x 6= 0}

Figura: r(x) = Rivera-Morales, Carlos A.

1 x

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales r(x) = x1 ; Dr = {x ∈R|x 6= 0}

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales r(x) = x1 ; Dr = {x ∈R|x 6= 0}

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Podemos indicar lo anterior como sigue:

r(x) → +∞ seg´ un (o cuando) x → 0+

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Podemos indicar lo anterior como sigue:

r(x) → +∞ seg´ un (o cuando) x → 0+ r(x) → −∞ seg´ un (o cuando) x → 0−

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Podemos indicar lo anterior como sigue:

r(x) → +∞ seg´ un (o cuando) x → 0+ r(x) → −∞ seg´ un (o cuando) x → 0− r(x) → 0 seg´ un (o cuando) x → +∞

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Podemos indicar lo anterior como sigue:

r(x) → +∞ seg´ un (o cuando) x → 0+ r(x) → −∞ seg´ un (o cuando) x → 0− r(x) → 0 seg´ un (o cuando) x → +∞ r(x) → 0 seg´ un (o cuando) x → −∞ Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Usando notaci´on de c´ alculo:

l´ım r(x) = +∞

x→0+

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Usando notaci´on de c´ alculo:

l´ım r(x) = +∞

x→0+

l´ım r(x) = −∞

x→0−

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Usando notaci´on de c´ alculo:

l´ım r(x) = +∞

x→0+

l´ım r(x) = −∞

x→0−

l´ım r(x) = 0

x→+∞

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales Usando notaci´on de c´ alculo:

l´ım r(x) = +∞

x→0+

l´ım r(x) = −∞

x→0−

l´ım r(x) = 0

x→+∞

l´ım r(x) = 0

x→−∞

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Para la funci´on r(x) = x1 : Los ejes de coordenadas son as´ıntotas de la gr´afica de r(x) = x1 .

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Para la funci´on r(x) = x1 : Los ejes de coordenadas son as´ıntotas de la gr´afica de r(x) = x1 . El eje vertical es una as´ıntota vertical y el eje horizontal es una as´ıntota horizontal.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Para la funci´on r(x) = x1 : Los ejes de coordenadas son as´ıntotas de la gr´afica de r(x) = x1 . El eje vertical es una as´ıntota vertical y el eje horizontal es una as´ıntota horizontal. Tambi´en se dice que la gr´ afica tiene un comportamiento asint´ otico con respecto a esas dos l´ıneas.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Para la funci´on r(x) = x1 : Los ejes de coordenadas son as´ıntotas de la gr´afica de r(x) = x1 . El eje vertical es una as´ıntota vertical y el eje horizontal es una as´ıntota horizontal. Tambi´en se dice que la gr´ afica tiene un comportamiento asint´ otico con respecto a esas dos l´ıneas.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Hay tres tipos de as´ıntotas:

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Hay tres tipos de as´ıntotas: 1

verticales

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Hay tres tipos de as´ıntotas: 1

verticales

2

horizontales

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Hay tres tipos de as´ıntotas: 1

verticales

2

horizontales

3

oblicuas

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas As´ıntotas Hay tres tipos de as´ıntotas: 1

verticales

2

horizontales

3

oblicuas

S´olo estudiaremos los primeros dos tipos.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales: As´ıntotas Verticales Ejemplo 2: r(x) =

1 x+2 ;

Dr = {x ∈R|x 6= −2}

Figura: r(x) =

Rivera-Morales, Carlos A.

1 x+2

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales: As´ıntotas Verticales r(x) =

1 x+2 ;

Dr = {x ∈R|x 6= −2}

Nota: La l´ınea vertical x = −2 es una as´ıntota vertical de la gr´afica de r.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales: As´ıntotas Verticales r(x) =

1 x+2 ;

Dr = {x ∈R|x 6= −2}

Nota: La l´ınea vertical x = −2 es una as´ıntota vertical de la gr´afica de r. As´ıntotas Verticales Definici´ on: La l´ınea x = a es una as´ıntota vertical de la funci´on y = f (x) si y tiende a ±∞ cuando x tiende a por la derecha o por la izquierda.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales: As´ıntotas Verticales As´ıntotas Verticales Nota: En general, la l´ınea vertical con ecuaci´ on x = a es una as´ıntota vertical para la gr´ afica de una funci´ on racional P (x) r(x) = Q(x) , en su forma m´ as simple o reducida, si a ∈ / Dr .

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales: As´ıntotas Verticales As´ıntotas Verticales Nota: En general, la l´ınea vertical con ecuaci´ on x = a es una as´ıntota vertical para la gr´ afica de una funci´ on racional P (x) r(x) = Q(x) , en su forma m´ as simple o reducida, si a ∈ / Dr . Esto es, si a es un cero de Q(x).

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas Verticales Ejemplo 3: r(x) =

x+2 x−3 ;

Dr = {x ∈R|x 6= 3}

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas Verticales Ejemplo 3: r(x) =

x+2 x−3 ;

Dr = {x ∈R|x 6= 3}

Figura: r(x) =

Rivera-Morales, Carlos A.

x+2 x−3

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas Horizontales r(x) =

x+2 x−3 ;

Dr = {x ∈R|x 6= 3}

La l´ınea vertical x = 3 es una as´ıntota vertical y la recta y = 1 es una as´ıntota horizontal de la gr´ afica de r.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

Funciones Racionales:As´ıntotas Horizontales r(x) =

x+2 x−3 ;

Dr = {x ∈R|x 6= 3}

La l´ınea vertical x = 3 es una as´ıntota vertical y la recta y = 1 es una as´ıntota horizontal de la gr´ afica de r. As´ıntotas Horizontales Definici´ on: En general, la l´ınea horizontal con ecuaci´on y = b es una as´ıntota horizontal para la gr´ afica de una funci´on racional r, en su forma m´ as simple o reducida, si r(x) tiende a b seg´ un x tiende a ±∞.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas x−2 Ejemplo 4: r(x) = x2 −3x−4 = Dr = {x ∈R|x 6= −1, 4}

Rivera-Morales, Carlos A.

x−2 (x+1)(x−4) ;

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas x−2 Ejemplo 4: r(x) = x2 −3x−4 = Dr = {x ∈R|x 6= −1, 4}

x−2 (x+1)(x−4) ;

Figura: r(x) = Rivera-Morales, Carlos A.

x+2 (x+1)(x−4) Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas r(x) =

x−2 (x+1)(x−4) ; Dr

= {x ∈R|x 6= −1, 6= 4}

La gr´afica de r tiene dos as´ıntotas verticales con ecuaciones x = −1 y x = 4 y una as´ıntota horizontal con ecuaci´on y = 0.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

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As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales: As´ıntotas Nota: Sea r la funci´on racional P (x) r(x) = Q(x) = o reducida.

an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 , bm xm +bm−1 xm−1 +···+b1 +b0

Rivera-Morales, Carlos A.

en su forma m´as simple

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales: As´ıntotas Nota: Sea r la funci´on racional P (x) r(x) = Q(x) = o reducida. 1

an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 , bm xm +bm−1 xm−1 +···+b1 +b0

en su forma m´as simple

Las as´ıntotas verticales de la gr´ afica de r son las l´ıneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales: As´ıntotas Nota: Sea r la funci´on racional P (x) r(x) = Q(x) = o reducida. 1

an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 , bm xm +bm−1 xm−1 +···+b1 +b0

en su forma m´as simple

Las as´ıntotas verticales de la gr´ afica de r son las l´ıneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. As´ıntotas horizontales:

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales: As´ıntotas Nota: Sea r la funci´on racional P (x) r(x) = Q(x) = o reducida. 1

an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 , bm xm +bm−1 xm−1 +···+b1 +b0

en su forma m´as simple

Las as´ıntotas verticales de la gr´ afica de r son las l´ıneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. As´ıntotas horizontales:

2

a) Si n < m, entonces r tiene as´ıntota horizontal y = 0.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales: As´ıntotas Nota: Sea r la funci´on racional P (x) r(x) = Q(x) = o reducida. 1

an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 , bm xm +bm−1 xm−1 +···+b1 +b0

en su forma m´as simple

Las as´ıntotas verticales de la gr´ afica de r son las l´ıneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. As´ıntotas horizontales:

2

a) Si n < m, entonces r tiene as´ıntota horizontal y = 0. b) Si n = m, entonces r tiene as´ıntota horizontal y = bamn

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales: As´ıntotas Nota: Sea r la funci´on racional P (x) r(x) = Q(x) = o reducida. 1

an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 , bm xm +bm−1 xm−1 +···+b1 +b0

en su forma m´as simple

Las as´ıntotas verticales de la gr´ afica de r son las l´ıneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. As´ıntotas horizontales:

2

a) Si n < m, entonces r tiene as´ıntota horizontal y = 0. b) Si n = m, entonces r tiene as´ıntota horizontal y = bamn c) Si n > m, entonces r no tiene as´ıntota horizontal.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales: As´ıntotas Nota: Sea r la funci´on racional P (x) r(x) = Q(x) = o reducida. 1

an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 , bm xm +bm−1 xm−1 +···+b1 +b0

en su forma m´as simple

Las as´ıntotas verticales de la gr´ afica de r son las l´ıneas verticales x = a, donde a es un cero de Q(x), el denominador. As´ıntotas horizontales:

2

a) Si n < m, entonces r tiene as´ıntota horizontal y = 0. b) Si n = m, entonces r tiene as´ıntota horizontal y = bamn c) Si n > m, entonces r no tiene as´ıntota horizontal.

Adem´as, los interceptos-x de la gr´ afica de r son los ceros de P (x), el numerador. Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas Ejemplo 5: Graficar r(x) =

x−1 . x2 −x−6

Primero, se expresa la funci´ on r en forma factorizada. x−1 r(x) = (x+2)(x−3)

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas Ejemplo 5: Graficar r(x) =

x−1 . x2 −x−6

Primero, se expresa la funci´ on r en forma factorizada. x−1 r(x) = (x+2)(x−3) Dr = {x ∈R|x 6= −2, 3}

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas Ejemplo 5: Graficar r(x) =

x−1 . x2 −x−6

Primero, se expresa la funci´ on r en forma factorizada. x−1 r(x) = (x+2)(x−3) Dr = {x ∈R|x 6= −2, 3} Interceptos: intercepto-x = 1 ; intercepto-y =

Rivera-Morales, Carlos A.

1 6

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas Ejemplo 5: Graficar r(x) =

x−1 . x2 −x−6

Primero, se expresa la funci´ on r en forma factorizada. x−1 r(x) = (x+2)(x−3) Dr = {x ∈R|x 6= −2, 3} Interceptos: intercepto-x = 1 ; intercepto-y =

1 6

Ecuaciones de las as´ıntotas: Verticales: x = −2; x = 3 ; Horizontal: y = 0

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas r(x) =

x−1 x2 −x−6

=

x−1 (x+2)(x−3) .

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas r(x) =

x−1 x2 −x−6

=

x−1 (x+2)(x−3) .

Se determinan los intervalos de prueba para luego construir un esquema de signos haciendo uso de los valores para los cuales r(x) = 0 y los valores para los cuales no est´ a definida. Intervalos de prueba:(−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), (3, +∞)

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas r(x) =

x−1 x2 −x−6

=

x−1 (x+2)(x−3) .

Se determinan los intervalos de prueba para luego construir un esquema de signos haciendo uso de los valores para los cuales r(x) = 0 y los valores para los cuales no est´ a definida. Intervalos de prueba:(−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), (3, +∞)

Figura: Gr´ afica de los Intervalos de Prueba

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas r(x) =

x−1 x2 −x−6

=

x−1 (x+2)(x−3) .

Esquema de signos:

Figura: Signos de r(x) =

Rivera-Morales, Carlos A.

x−1 (x+2)(x−3)

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas r(x) =

x−1 x2 −x−6

=

x−1 (x+2)(x−3) .

Luego, se juntan todas las piezas y se construye un esquema de la gr´afica de r.

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas r(x) =

x−1 x2 −x−6

=

x−1 (x+2)(x−3) .

Luego, se juntan todas las piezas y se construye un esquema de la gr´afica de r.

x−1 Figura: Gr´ afica der(x) = (x+2)(x−3) Funciones Racionales y As´ ıntotas

Rivera-Morales, Carlos A.

Contenido Objetivos Funci´ on Racional As´ ıntotas

As´ ıntotas Verticales y As´ ıntotas Horizontales

Funciones Racionales:As´ıntotas Ejercicios: Grafique cada funci´ on racional r a continuaci´on e indique su dominio y rango. Construya un esquema de signos para determinar en qu´e intervalos del dominio la gr´afica est´a sobre el eje-X y en qu´e intervalos est´ a por debajo. Identifique cada as´ıntota y marque cada intercepto de la gr´afica con los ejes de coordenadas. 1

r(x) =

2

r(x) =

3

r(x) =

4

r(x) =

5

r(x) =

−12 x4 +4 x2 −4 x2 −1 x x2 −4 x+1 x2 +2x−3 2x2 −3x−2 x2 −3x−4

Rivera-Morales, Carlos A.

Funciones Racionales y As´ ıntotas