Unidad dos

Geometría y Trigonometría

8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8.1 El círculo trigonométrico o unitario En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es decir con cocientes de los lados de un triángulo rectángulo, pero también es posible representar esas funciones como segmentos de recta. Para ello es necesario definir el círculo trigonométrico. Un círculo trigonométrico es aquel que se construye sobre un sistema de coordenadas cartesiano, de manera que el centro del círculo coincida con el origen del sistema y su radio mida una unidad de longitud. Y

1 X (0,0)

Es conveniente señalar que el círculo trigonométrico queda dividido en cuatro partes por los ejes ⎛π ⎞ coordenados; cada parte abarca 90° ⎜ ⎟ , recibe el nombre de cuadrante y se designa con un ⎝2⎠ número romano; la numeración va en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj a partir del eje X. 90°

CUADRANTE I II III IV

RANGO De 0°a 90° De 90°a 180° De 180°a 270° De 270°a 360°

I

II

0°

180° III

IV

270° 104

Geometría y Trigonometría

Funciones trigonométricas

8.2 Identificación de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes Para generalizar el estudio de las relaciones trigonométricas, empezaremos por ubicar los ángulos en el plano de coordenadas cartesianas. Y Lado terminal θ X Lado inicial

En las siguientes figuras se representa a los ángulos que tienen su lado terminal en el primero, segundo, tercer y cuarto cuadrante, considerando sus coordenadas horizontal y vertical así como la distancia de un punto en el lado terminal hacia el origen, dando lugar a la formación de un triángulo de referencia para cada ángulo. PRIMER CUADRANTE

Y

d θ

Función y senθ = d x cos θ = d y tan θ = x x cot θ = y d sec θ = x d csc θ = y

Ordenada (y) + X

Abscisa (x) +

105

Signo + + + + + +

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

SEGUNDO CUADRANTE

Y d

(+) y

θ X (-) x

Función y senθ = d −x cos θ = d y tan θ = −x −x cot θ = y d secθ = −x d cscθ = y

Signo +

Función −y senθ = d −x cos θ = d −y tan θ = −x −x cot θ = −y d secθ = −x d csc θ = −y

Signo -

+

TERCER CUADRANTE

Y θ (-) x X (-) y d

106

+ + -

Geometría y Trigonometría

Función −y senθ = d x cos θ = d −y tan θ = x x cot θ = −y d sec θ = x d csc θ = −y

CUARTO CUADRANTE Y

θ

(+) x

Funciones trigonométricas

X (-) y

d

Signo + + -

8.2.1 Signos de las funciones trigonométricas Para determinar los signos de las funciones trigonométricas representadas por rectas, tomamos en consideración el concepto referente al sistema coordenado cartesiano siguiente: •

Todos los segmentos perpendiculares al eje de las abscisas son positivos si están arriba de él y negativos si están abajo.

•

Todos los segmentos perpendiculares al eje de las ordenadas son positivos si están a la derecha de él y negativos si están a la izquierda.

De acuerdo a la identificación de las funciones trigonométricas en los cuadrantes los signos resultantes son:

SEN COS TAN COT SEC CSC

I

II

III

IV

+ + + + + +

+ +

+ + -

+ + -

107

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

8.2.2 Funciones trigonométricas de ángulos de cuadrante Se establece que un ángulo pertenece a un determinado cuadrante cuando su lado terminal detiene su giro en dicho cuadrante; en el caso en que coincida con los ejes de 90°, 180°, 270°, 360°, se establece que el ángulo es límite de dos cuadrantes. Del ángulo de 0° Consideremos el triángulo El mismo triángulo con el ángulo θ = 0°, rectángulo: queda, en consecuencia: x = d, y = 0 Y

Y d

y

0°

θ X

X

x De donde: 0 =0 d x cos 0° = = 1 d 0 tan 0° = = 0 x sen 0° =

Del ángulo de 90° Consideremos el rectángulo:

x = ±∞ 0 d sec 0° = = 1 x d csc 0° = = ±∞ 0 cot 0° =

triángulo El mismo triángulo con el ángulo queda, en consecuencia: y = d, x = 0

Y

θ

=

Y d

y

90

θ

X

X x

De donde: y =1 d 0 cos 90° = = 0 d y tan 90° = = ±∞ 0 sen 90° =

108

0 =0 y d sec 90° = = ±∞ 0 d csc 90° = = 1 y cot 90° =

90°,

Geometría y Trigonometría

Funciones trigonométricas

Del ángulo de 180°

Consideremos rectángulo:

el

triángulo El mismo triángulo con el ángulo queda, en consecuencia: d = x, y = 0 Y

Y

d

=

180°,

180°

θ

y

θ

X

X (-)x

De donde: 0 =0 d −x cos180° = = −1 d 0 tan 180° = =0 −x sen 180° =

−x = ±∞ 0 d sec180° = = −1 −x d csc180° = = ±∞ 0 cot 180° =

Del ángulo de 270°

Consideremos rectángulo:

el

triángulo El mismo triángulo con el ángulo queda, en consecuencia: d = y, x = 0 Y

Y

θ

=

270° θ

(-)x

X

X y (-) d

De donde: −y = −1 d 0 cos 270° = = 0 d −y tan 270° = = ±∞ 0 sen 270° =

109

0 =0 −y d sec 270° = = ±∞ 0 d csc 270° = = −1 −y cot 270° =

270°,

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

Del ángulo de 360°

Consideremos rectángulo:

el Y

triángulo El mismo triángulo con el ángulo queda, en consecuencia: d = x, y = 0 Y

θ

360° θ

x X

X d

y (-)

De donde: 0 =0 d x cos 360° = = 1 d 0 tan 360° = = 0 x sen 360° =

110

x = ±∞ 0 d sec 360° = = 1 x d csc 360° = = ±∞ 0 cot 360° =

=

360°,

Geometría y Trigonometría

Funciones trigonométricas

EJERCICIO 8-1 INSTRUCCIONES.- Escribe el signo que le corresponde al valor de las siguientes funciones y el cuadrante donde se ubican.

FUNCIÓN

CUADRANTE

sen 38°

cos 70°

tan 92° =

cos 135° =

tan 245° =

sen 290° =

cos 280° =

111

SIGNO

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

8.2.3 Funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60° Trazamos un triángulo equilátero ABC de 2 unidades por lado, bisectamos el ángulo C y formamos dos triángulos rectángulos iguales. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, cada ángulo del triángulo mide 60°. C

2

2 30°

30°

60° C

60°

B

A 2

Calcularemos el segmento CD por el teorema de Pitágoras.

2 30°

CD = (2) 2 − (1) 2 CD = 4 − 1 = 3

60° B D

1

Las funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60° son: sen 30° =

1 2

3 2 1 3 tan 30° = = 3 3 3 cot 30° = = 3 1

cos 30° =

sec 30° =

2

3 2

sen 60° =

=

3 2 csc 30° = = 2 1

2 3 3

cos 60° = tan 60° =

1 2 3 = 3 1

1 3 = 3 3 2 sec 60° = = 2 1 cot 60° =

csc 60° =

112

2 2 3 = 3 3

Geometría y Trigonometría

Funciones trigonométricas

Para determinar los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45°, se considera un cuadrado de 1 unidad, trazamos una diagonal. 1 B

B

D

45°

1

1

1

45°

C

45°

C

A

1

A 1

Aplicando el teorema de Pitágoras para calcular el segmento AB. AB = (1) 2 + (1) 2 AB = 1 + 1 = 2 Entonces las funciones trigonométricas son: 1 2 = 2 2 1 2 cos 45° = = 2 2 1 tan 45° = = 1 1

sen 45° =

113

1 cot 45° = = 1 1 2 = 2 1 2 csc 45° = = 2 1

sec 45° =

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

8.2.4 Funciones trigonométricas de ángulos múltiplos de 30°, 45° y 60° Utilizando las mismas figuras con que representamos los ángulos de 30°, 45° y 60° podemos calcular cualquier múltiplo de ellos, siempre y cuando el lado terminal no coincida con uno de los ejes coordenados. Ejemplos Cálculo del ángulo de 120° El ángulo de 120° se encuentra en el segundo cuadrante por lo tanto 180°-120° = 60°, de donde el ángulo del triángulo que se forma es de 60°. Por lo tanto las funciones son: 2 3

3 2 −1 cos120° = 2 3 tan 120° = =− 3 −1

sen 120° =

120° 60° -1

−1 3 =− 3 3 2 sec 120° = = −2 −1 2 2 3 csc 120° = = 3 3 cot 120° =

Cálculo del ángulo de 225°

El ángulo de 225° se encuentra en el tercer cuadrante por lo tanto 225°-180° = 45°, de donde el ángulo del triángulo que se forma es de 45°. 225°

Por lo tanto las funciones son:

-1 -1

−1 − 2 = 2 2 −1 − 2 cos 225° = = 2 2 −1 tan 225° = =1 −1

sen225° =

45°

2

114

cot 225° =

−1 =1 −1

2 =− 2 −1 2 csc 225° = =− 2 −1

sec 225° =

Geometría y Trigonometría

Funciones trigonométricas

Cálculo del ángulo de 330°

El ángulo de 330° se encuentra en el cuarto cuadrante por lo tanto 360°-330° = 30°, de donde el ángulo del triángulo que se forma es de 30°. 330°

Por lo tanto las funciones son:

3

30°

sen330° =

−1 2

cos 330° =

3 2

-1

2

tan 330° =

115

−1 3 =− 3 3

3 =− 3 −1 2 2 3 sec 330° = = 3 3 2 csc 330° = = −2 −1 cot 330° =

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

EJERCICIO 8-2 INSTRUCCIONES.- Grafica y determina los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos indicados a partir de los ángulos de 30°,60° y 45°. 1) 135°

2) 150°

3) 210°

116

Geometría y Trigonometría

4) 240°

5) 300°

6) 315°

117

Funciones trigonométricas

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

EJERCICIO 8-3 INSTRUCCIONES.- Grafica y determina los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos indicados a partir de los ángulos de 30°,60° y 45°.

GRADOS

sen

cos

FUNCIONES tan cot

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

118

sec

csc

Geometría y Trigonometría

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

119

Funciones trigonométricas

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

8.2.5 Funciones para un ángulo cualquiera En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y), corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano corresponde un par único de coordenadas (x, y). En el proceso de la gráfica hay que tomar en cuenta los signos de las coordenadas para ubicarse en cada cuadrante. Aplicando lo anterior en los siguientes ejemplos, tenemos que: 1) Localiza el punto (4, 3) en un sistema coordenado y determina las funciones trigonométricas del ángulo θ que se forma. (4, 3)

Primero obtenemos la distancia “d” por el teorema de Pitágoras:

d

d = (3) 2 + (4) 2 θ

4

3

AB = 9 + 16 = 25 = 5

Por lo tanto las funciones trigonométricas son: 3 4 senθ = cot θ = 5 3 4 5 cosθ = secθ = 5 4 3 5 tan θ = cscθ = 4 3

120

Geometría y Trigonometría

Funciones trigonométricas

EJERCICIO 8-4 INSTRUCCIONES.- Determina las funciones trigonométricas del ángulo θ sabiendo que guarda relación con los siguientes puntos. 1)A(6,7)

2)B(-4,5)

3)C(6,3)

4)D(2,-5)

121

Unidad dos

Geometría y Trigonometría

5)E(-3,-1)

6)F(-5,-7)

7)G(-6,2)

8)H(2,2)

122