FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. INTRODUCCIÓN. El termino trigonometría proviene de las palabras griegas trigono y metrón, que quieren decir “Triángulo” y “medida” respectivamente. Sin embargo, el estudio de la trigonometría no se limita a la medición de los lados de un triángulo. La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos, comenzando con un ángulo de 7º y llegando hasta 180º, con incrementos de 7º, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a otra circunferencia de radio r . Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero si se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Ptolomeo utilizó r = 60, ya que los Griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los Babilonios.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados. Razón. La razón de un número “a” con respecto a otro número “b” distinto de cero, es el cociente que resulta de dividir “a” entre “b”, esto es, que la razón es el número que resulta de comparar por cociente dos magnitudes. a = Razón b Las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo varían según el ángulo del que se trate, a estas razones se les conoce como funciones trigonométricas. Existen seis funciones trigonométricas las cuales son: Nombre de la función Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

Abreviatura. Sen Cos Tan Cot Sec Csc

Si consideramos a un triángulo rectángulo cuyos ángulos son ∠ A, ∠ B y ∠ C, y a, b, y c como las longitudes de los lados opuestos a dichos ángulos. La hipotenusa se designa como c y al ángulo recto como ∠ C.

B

c

a

C

b

Para el ángulo ∠ A.

Para el ángulo ∠ B

c es la hipotenusa, a es el cateto opuesto y b es el cateto adyacente

c es la hipotenusa, b es el cateto opuesto y a es el cateto adyacente.

A

Las funciones trigonométricas se definen como:

Seno =

cateto opuesto c.o = hipotenusa h

Coseno =

Cotangente =

cateto adyacente c.a = hipotenusa h

Tangente =

cateto opuesto c.o = cateto adyacente c.a

Secante =

cateto adyacente c.a = cateto opuesto c.o

hipotenusa h = cateto adyacente c.a

Cosecante =

hipotenusa h = cateto opuesto c.o

ÁNGULOS Y MEDIDA DE LOS ÁNGULOS. El ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado “vértice”. Las semirrectas reciben el nombre de “lados”. Los ángulos se pueden designar por una letra mayúscula ( ∠ A, ∠ B, ∠ C, ∠ D etc.) situada en el vértice, a veces se usa una letra griega dentro del ángulo ( θ , α , β , etc.), también podemos usar tres letras mayúsculas de manera que quede en medio la letra que está situada en el vértice del ángulo.

A

θ

A

B

C

Medidas de ángulos. Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad de medida; existen tres formas de medirlo las cuales se explican a continuación. Sistema sexagesimal. Se considera a una circunferencia y se divide en 360 partes iguales de tal manera que un grado es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas. Cada división de la circunferencia se llama grado. Un grado a su vez se puede dividir en sesenta partes iguales llamadas minuto, cada minuto se puede dividir en sesenta partes iguales llamada segundos. Los símbolos para estas unidades son: Grados °, Minutos ’ y Segundos ”. Sistema centesimal. También se puede considerar a la circunferencia dividida en 400 partes iguales llamadas “grados centesimales”. Cada grado se divide en 100 partes iguales llamadas “minutos centesimales” y cada minuto se divide en 100 partes iguales llamada “segundo centesimales”. Este sistema es el que menos se utiliza por eso sólo lo mencionamos. Sistema Circular. En este sistema se utiliza como unidad de medida el ángulo llamado “radian”. Un radián es el ángulo cuyos lados comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Así, si la longitud del arco AC de la siguiente figura es igual a r, entonces ∠ ABC = 1 radián

A r

r

B r

C

Como el perímetro de cualquier circunferencia es 2 π r, resulta entonces que un ángulo de 360º equivale a 2 π r, es decir, si a π se le asigna un valor de 3.1416 entonces 360º = 6.28 radianes, por lo que 1radián = 360 / 6.28, quedando que 1radián = 57.3º.

GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS. Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente x, que ha de estar expresada en radianes. La función seno. Se denomina función seno, y se denota por y=f(x)=senx, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio es el conjunto de todos los números reales. 0 π =0

y=senx

x

0.7071 1 0.7071

y=senx -0.7071 -1 -0.7071 0

0 Nota: Para realizar estos cálculos, verifica que tu calculadora este en el modo de radianes (R).

π 2

4

π

y

4

2π

π 5π 4

5π = 3.92 4 3π =4.71 2 7π = 5.49 4 2π =6.283

0

1π = 0.7853 4 1π = 1.57 2 3π =2.35 4 π =3.1416

3π

x

7π 3π 2

4

x

Gráfica de la función coseno. La función coseno, se denota por f(x)=cosx, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, continua, y su dominio es el conjunto de los números reales. 0 π =0

x

y=cosx

5π = 3.92 4 3π =4.71 2 7π = 5.49 4 2π =6.283

1

1π = 0.7853 4 1π = 1.57 2 3π =2.35 4 π =3.1416

0.7071 0 -0.7071

y=cosx -0.7071 0 0.7071 1

-1 Nota: Para realizar estos cálculos, verifica que tu calculadora este en el modo de radianes (R).

2π 1π

7π

4

4

y

π

3π

2

2 3π 4

x

5π

π

4

x

Gráfica de una función tangente. tangente La función tangente se denota como y= f(x)=tanx, f(x)=tan siendo x la variable independiente expresada en radianes. y

x

3.3.5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS. Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes: •

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el período odo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es 1π .

•

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números número reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente). tangente

•

Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. 1,1]. La función tangente no está acotada.

•

Las funciones seno y tangente tan son simétricas respecto al origen, ya que sen(-x) sen( =-senx; tangente(-x)=- tangentex. En cambio, la función coseno o es simétrica respecto al eje y: coseno (-x)) = cos coseno x.