Capítulo 7

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

7.1.1 – 7.1.7

Este capítulo amplía los conocimientos de trigonometría de los alumnos. Los alumnos ya han estudiado la trigonometría de triángulos rectángulos utilizando el seno, el coseno y la tangente en sus calculadoras para hallar longitudes desconocidas de lados de triángulos. Ahora los alumnos explorarán estos mismos términos trigonométricos como funciones. Se les presentará el círculo de unidad e investigarán cómo hallar funciones trigonométricas dentro del círculo de unidad. Asimismo, aprenderán una nueva forma de medir ángulos utilizando la medida radián. Para más información, consulta los recuadros cuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 7.1.2, 7.1.5, 7.1.6, y 7.1.7.

Ejemplo 1 Mientras Daring Davis hace la fila para subirse a la enorme rueda, observa que esta rueda no es como otras a las que ha Punto de ascenso subido. En primer lugar, los pasajeros no ascienden a esta rueda desde el punto más bajo de la rueda sino al nivel del eje horizontal de la atracción, al que llegan tras subir varios escalones. Además, si Davis considera el punto de ascenso como la altura cero de ese eje, la altura máxima por encima del punto de ascenso a la que una persona puede llegar es de 25 pies, y la altura mínima por debajo del punto de ascenso es de –25 pies. Usa esta información para crear un gráfico que muestre cómo la altura de un pasajero sobre la rueda depende del número de grados de rotación desde el punto de ascenso a atracción. A medida que la rueda gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se incrementa la altura de un pasajero por encima del eje horizontal y alcanza un máximo de 25 pies por encima del eje después de 90° de rotación. Luego, la altura del pasajero disminuye respecto del eje horizontal, y alcanza los cero pies después de 180° de rotación, y continúa disminuyendo respecto de ese eje. Se llega a la altura mínima de –25 pies cuando el pasajero ha rotado 270°. Al rotar 360°, el pasajero vuelve al punto inicial y el viaje continúa.

90° 135°

60° 45° 30° 0°

210° 225°

Para crear este gráfico, calculamos la altura del pasajero en diversos puntos a lo largo de la rotación. Estas alturas se muestran usando los segmentos de recta grises dibujados desde la ubicación del pasajero sobre la rueda de forma perpendicular al eje horizontal de la atracción. Nota: algunos de estos valores se pueden completar fácilmente. A 0°, la altura por encima del eje es de cero pies. A 90°, la altura es de 25 pies. Rotación, grados Altura, pies

0° 0

30°

45°

Guía para padres con práctica adicional

60°

90° 25

135°

180° 0

210°

225°

270° -25

315°

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360° 0

77

Para completar el resto de la tabla, calculamos las alturas utilizando la trigonometría de triángulos rectángulos. Demostraremos tres de estos valores (30°, 135°, y 225°), y dejaremos que verifiques el resto. Para cada uno de estos cálculos debes concentrarte en la porción de la imagen que forma un triángulo rectángulo. Para el punto de 30°, observamos el triángulo rectángulo con una hipotenusa de 25 pies. (El radio del círculo es de 25 pies porque es tanto la altura máxima como la altura mínima que alcanza el pasajero). En este triángulo rectángulo, podemos usar la función seno: 25 pies

h 30°

En el punto de 135°, usamos el triángulo rectángulo de la parte “exterior” de la curva. Dado que los ángulos son suplementarios, el ángulo que usamos mide 45°.

A 225° (225 = 180 + 45), el triángulo que usamos queda trazado por debajo del eje horizontal. Utilizaremos el ángulo de 45° que está dentro del triángulo rectángulo, de forma que h ≈ –17.68, usando cálculos previos y cambiando el signo para indicar que el pasajero se encuentra por debajo del punto de inicio. Ahora podemos completar todos los valores de la tabla. Rotación, grados Altura, pies

0° 0

30° 12.5

45° 17.68

60° 21.65

90° 25

Traza estos puntos y conéctalos con una curva suave. Tu gráfico debería verse como el de la derecha. Nota: esta curva muestra dos revoluciones de la rueda. Esta curva continúa, repitiendo el ciclo para cada revolución de la rueda. También representa una función seno particular: y = 25 sen x.

78

135° 17.68

180° 0

210° –12.5

25 pies

h

45° 135°

180° 45° h

25 pies

225° –17.68

270° –25

315° –17.68

360° 0

y

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90°

180° 270° 360°

450° 540° 630°

x

Core Connections, Álgebra 2

Capítulo 7

Ejemplo 2 Sobre un círculo de unidad, representa y luego calcula cos 60°, cos 150°, y cos 315°. Luego grafica y = cos x . Las funciones trigonométricas (funciones “trig”) surgen naturalmente en círculos como vimos en el primer ejemplo. El círculo más simple es un círculo de unidad, es decir, un círculo con un radio de 1 unidad, y es este círculo el que a menudo usamos con las funciones trigonométricas.

y (0, 1)

P 1

Q (–1, 0)

60°

30°

45°

(1, 0) x

En el círculo de unidad de la derecha se marcaron diversos puntos. El punto P corresponde a una rotación de 60°, el punto R Q corresponde a 150°, y el punto R a (0, –1) y 315°. Medimos rotaciones desde el punto (1, 0) en sentido contrario a P las agujas del reloj para determinar el ángulo. Si creamos triángulos Q 1 rectángulos en cada uno de estos puntos, podemos usar la 60° trigonometría de triángulos rectángulos que aprendimos en 30° 45° x geometría para determinar las longitudes de los catetos del triángulo. En el ejemplo anterior, se halló la altura del triángulo usando el seno. Aquí el coseno nos dará la longitud del otro cateto del R triángulo. 1 60° cos 60°

1 30° –cos 30°

cos 45° 45° 1

Para comprender totalmente por qué a la longitud del cateto horizontal la nombramos “coseno”, analiza el siguiente triángulo. En el primer triángulo, si marcamos el cateto corto con x, escribiríamos: 1

y

60° x

P

Por lo tanto, la longitud del cateto horizontal del primer triángulo es cos 60°. Nota: El segundo triángulo que representa 150° se encuentra en el segundo cuadrante donde los valores de x son negativos. Por lo tanto, cos 150° = –cos 30°. Verifica esto con tu calculadora.

Guía para padres con práctica adicional

1

θ

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x

79

Es importante destacar qué significa esto. Sobre un círculo de unidad, podemos hallar un punto P rotando q grados. Si creamos un triángulo rectángulo trazando su altura desde el punto P hasta el eje x, la longitud de esta altura siempre es q. La longitud del cateto horizontal es siempre cos q. Además, esto significa que las coordenadas del punto P son (cos q, sen q). Esto es lo magnífico de usar el círculo de unidad: las coordenadas de cualquier punto del círculo se encuentran tomando el seno y coseno del ángulo. El gráfico de la derecha muestra la curva de coseno para dos rotaciones alrededor del círculo de unidad.

y

90° 180° 270° 360° 450° 540° 630° x

Ejemplo 3 Sobre un círculo de unidad, halla los puntos correspondientes a los siguientes radianes. Luego convierte cada ángulo dado en radianes a grados.

a.

π 6

b.

11π 12

c.

5π 4

d.

5π 3

Un radián mide aproximadamente 57°, aunque esa no es la forma de recordar cómo convertir los grados en radianes. En lugar de ello, piensa en el círculo de unidad y recuerda que una rotación sería igual que recorrer una circunferencia alrededor del círculo de unidad. La circunferencia del círculo de unidad es C = 2πr = 2π(1) = 2π. Por lo tanto, una rotación alrededor del círculo, 360°, es lo mismo que recorrer 2π radianes alrededor del círculo. Los radianes no solo se aplican a círculos de unidad. Un círculo con cualquier tamaño de radio y también tiene 2π radianes en una rotación de 360°. Podemos ubicar estos puntos alrededor del círculo de unidad en lugares apropiados sin convertirlos. En primer lugar, recuerda que la medida de 2π radianes está en el mismo punto que una rotación de 360°. En consecuencia, la mitad de eso, 180°, corresponde a π radianes. La mitad de eso, 90°, es π2 radianes. Siguiendo un razonamiento similar, 270° corresponde a 32π radianes. Usar lo que sabemos sobre fracciones nos permite colocar las otras medidas de radianes alrededor del círculo. Por ejemplo, π6 es un sexto de la distancia hasta π.

80

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x

π

Core Connections, Álgebra 2

Capítulo 7

A veces queremos poder convertir medidas de radianes a grados y viceversa. Para hacerlo, podemos usar una razón de radianes . Para grados π convertir 6 radianes a grados creamos una razón y resolvemos x. π 2π Usaremos 180 como una forma más simple de 360 . Por lo tanto, π6 radianes equivale a 30°. Análogamente, podemos convertir los ángulos precedentes a grados: π 180 xπ

= 11π/12 x

π = 180 ( 11 12 )

xπ = 165 π x = 165

π 180 xπ

xπ

5π /4 x = 180 ( 54π ) = 225 π

=

x = 225

π 180 xπ

xπ

π 180°

=

π /6 x

xπ = 180

( π6 )

xπ = 30π x = 30°

5π /3 x = 180 ( 53π ) = 300 π

=

x = 300

Ejemplo 4 Grafica T (θ ) = tan θ . Explica qué sucede en los puntos θ = π2 , 32π , 52π , 72π , ... . ¿Por qué sucede esto? Como con los gráficos de S(θ ) = sen θ y C(θ ) = cos θ , T (θ ) = tan θ se repite, es decir, es cíclico. El gráfico no tiene, sin embargo, las colinas y los valles familiares que muestran las otras dos funciones trigonométricas. El gráfico de la derecha muestra en parte el gráfico de una ecuación cúbica como f (x) = x3. No obstante, esto no es una ecuación cúbica, lo cual resulta evidente por el hecho de que tiene asíntotas y se repite. En θ = π2 , el gráfico se aproxima a una asíntota vertical. Esto también ocurre en θ = − π2 , y como el gráfico es cíclico, pasa repetidamente en θ = 32π , 52π , 72π ,… . De hecho, pasa en todos los valores de θ de la π forma (2k−1) para todos los valores enteros de 2 k (valores impares).

y 1

x

–1

La verdadera pregunta es: ¿por qué se produce una asíntota en estos puntos? Recuerda que sen θ tan θ = cos θ . En cada punto en el que cos θ = 0, esta función es indefinida (no podemos tener cero en el denominador). De modo que en cada punto en el que cos θ = 0, la función T (θ ) = tan θ también resulta indefinida. Si examinamos el gráfico de C(θ ) = cos θ, podemos (2k −1)π ver que este gráfico es cero (cruza el eje x) en el mismo tipo de puntos que antes: para 2 todos los valores enteros de k. Guía para padres con práctica adicional

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Problemas Grafica cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas. 1.

y = sen x

2.

y = cos x

3.

y = tan x

Halla cada uno de los siguientes valores sin usar calculadora, pero usando lo que sabes sobre trigonometría de triángulos rectángulos, círculos de unidad, y triángulos rectángulos especiales. 4.

cos (180°)

5.

sen (360°)

6.

tan (45°)

7.

cos (–90°)

8.

sen (150°)

9.

tan (240°)

Convierte cada una de las medidas de ángulos. 10.

60° a radianes

11.

170° a radianes

12.

315° a radianes

13.

π 15

14.

13π 8

15.

−

radianes a grados

radianes a grados

3π 4

radianes a grados

Respuestas 1.

y

y

2. x

x

4.

–1

5.

0

7.

0

8.

1 2

10.

π 3

13.

12°

82

radianes

y

3.

x

6. 1 9.

11.

17π 18

14.

292.5°

radianes

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12.

3 7π 4

radianes

15. –135°

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Capítulo 7

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 7.2.1 – 7.2.4 Los alumnos aplican a las funciones trigonométricas sus conocimientos de transformación de gráficos madre. Generarán ecuaciones generales para la familia de funciones seno, coseno, y tangente, y aprenderán sobre una nueva propiedad específica de las funciones cíclicas denominada período. El recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 7.2.4 ilustra las diferentes transformaciones de estas funciones.

Ejemplo 1 Para cada una de las siguientes ecuaciones, indica la amplitud, el número de ciclos en 2π, el desplazamiento horizontal, y el desplazamiento vertical del gráfico. Luego grafica cada una en ejes separados.

y = −sen ⎡⎣ 14 ( x + π ) ⎤⎦ + 1

y = 3 cos ⎡⎣ 2(x − π3 ) ⎤⎦ − 2

La forma general de una función seno es y = a sen[b(x – h)] + k. Algunas de las transformaciones de las funciones trigonométricas son las estándares que los alumnos aprendieron en el Capítulo 2. La a determinará la orientación, en este caso, ya sea si está en la forma estándar o si el gráfico ha sido reflejado a través del eje x. En las funciones trigonométricas, a también representa la amplitud de la función: la mitad de la distancia que la función se estira desde el punto máximo y el punto mínimo de forma vertical. Como antes, h es el desplazamiento horizontal y k es el desplazamiento vertical. Esto solo deja a b, lo que nos habla del período de la función. Los gráficos de y = sen θ e y = cos θ tienen un período de 2π cada uno, lo que significa que un ciclo (antes de repetirse) tiene una longitud de 2π. Sin embargo, b afecta esta longitud dado que b indica el número de ciclos que se producen en la longitud 2π. La primera función, entonces, tiene una amplitud de 3, y dado que es positiva, no se refleja a través del eje x. El gráfico está desplazado horizontalmente hacia la derecha π3 unidades, y hacia abajo (verticalmente) 2 unidades. El 2 antes del paréntesis nos indica que realiza dos ciclos en 2π unidades. Si el gráfico realiza dos ciclos en 2π unidades, la longitud del período es de π unidades. A la derecha se muestra el gráfico de esta función.

y = 3 cos ⎡⎣ 2(x − π3 ) ⎤⎦ − 2

La segunda función tiene una amplitud de 1, pero se refleja a través del eje x. Está desplazada hacia la izquierda π unidades, y hacia arriba 1 unidad. Aquí vemos que dentro de un espacio de 2π, solo aparece un cuarto de ciclo. Esto significa que el período es cuatro veces más largo que lo normal, es decir, 8π. El gráfico se muestra a la derecha.

y = −sen ⎡⎣ 14 (x + π ) ⎤⎦ + 1

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y x

y

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x

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Ejemplo 2 Para el desfile del 4 de Julio, Vicki decoró su triciclo con serpentinas y globos. Ató un globo en el borde externo de una de sus ruedas traseras. El globo comienza su recorrido al nivel del suelo. A medida que ella pedalea en su triciclo, el globo sube y baja en altura de forma sinusoidal (es decir, como una curva seno). El diámetro de su rueda es de 10 pulgadas. a.

Realiza un gráfico que muestre la altura del globo por encima del suelo cuando Vicki monta su triciclo.

b.

¿Cuál es el período de este gráfico?

c.

Escribe la ecuación de esta función.

d.

Usa tu ecuación para predecir la altura del globo luego de que Vicki recorre 42 pulgadas.

Este problema es similar al del ejemplo de la atracción al comienzo de este capítulo. El globo sube y baja de la misma forma en que una curva coseno sube y baja. A la derecha se muestra un dibujo simple.

El globo comienza a la altura del suelo y a medida que la rueda del triciclo gira, el globo sube hasta la parte superior de la rueda y luego baja. Si consideramos que el suelo representa el eje x, el globo estará en su punto más alto cuando esté en la parte superior de la rueda, que es una distancia equivalente a la altura o el diámetro de una rueda, 10 pulgadas. Así que ahora sabemos que la distancia desde el punto más alto hasta el punto más bajo es de 10. La amplitud es la mitad de esta distancia, es decir, 5. Para determinar el período, necesitamos pensar en el problema. El globo comienza a nivel del suelo, se eleva cuando la rueda gira y baja nuevamente al suelo. ¿Qué sucede cuando el globo regresa al suelo? La rueda ha realizado una revolución completa. ¿Cuánto ha recorrido entonces la rueda? Ha recorrido la distancia de una circunferencia. La circunferencia de un círculo con un diámetro de 10 pulgadas es de 10π pulgadas. Por lo tanto, el período de este gráfico es de 10π. Para obtener la ecuación para este gráfico, necesitamos tomar algunas decisiones. Los gráficos de seno y coseno son similares. De hecho, uno es igual al otro desplazado 90° (o π2 radianes). En este punto, necesitamos decidir si queremos utilizar el seno o el coseno para modelar estos datos. Cualquiera de los dos funcionará pero las respuestas se verán diferentes. Dado que el gráfico comienza en el punto más bajo y no en el medio, sería recomendable usar el coseno. (Sí, el coseno comienza en el punto más alto pero podemos multiplicarlo por un número negativo para dar vuelta el gráfico y comenzar en el punto más bajo). También sabemos que la amplitud es de 5 y que no hay desplazamiento horizontal. Toda esta información puede escribirse en la ecuación como y = –5 cos [bx] + k. Podemos determinar k recordando que consideramos al eje x como el suelo. Esto significa que el gráfico se desplaza hacia arriba 5 unidades. Para determinar el número de ciclos en 2π (es decir, b), recuerda que hallamos que el período de este gráfico es de 10π. Por lo tanto, 210π = 15 de la curva aparece dentro del espacio de 2π. Finalmente, uniendo toda la información podemos escribir y = –5 cos [ 15 x] + 5, como se muestra en el siguiente gráfico. 84

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Capítulo 7

y = −5 cos ⎡⎣ 15 x ⎤⎦ + 5

y

x

Nota: si decidiste utilizar la función seno para estos datos, te habrás dado cuenta de que el gráfico está desplazado hacia la derecha 104π unidades. Una ecuación con la que se obtiene este gráfico es y = 5 sen ⎡⎣ 15 (x − 104π ) ⎤⎦ + 5 . Otras ecuaciones también funcionan, de modo que si no obtienes la misma ecuación que se muestra aquí, grafica la tuya y compáralas.

y = −5 cos ⎡⎣ 15 ⋅ 42 ⎤⎦ + 5

Para hallar la altura del globo luego de que Vicki recorre 42 pulgadas, reemplazamos la x de la ecuación por 42.

≈ −5 cos(8.4) + 5 ≈ 7.596 pulgadas

Si no obtienes esta respuesta, asegúrate de que tu calculadora esté configurada para usar radianes.

Problemas Examina cada uno de los siguientes gráficos. Para cada uno, realiza el gráfico de un ciclo, y luego indica la amplitud y el período. 1.

3

y

2.

y

.

2 1

x

π 2

–1

π

3π 2

x

2π

–2 –3

3.

y

4.

3

y

2 1

x

x –1

π 2

π

3π 2

2π

–2 –3

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85

Para cada una de las siguientes ecuaciones, indica la amplitud y el período. 5.

y = 2 cos(3x) + 7

6.

y = 12 sen x − 6

8.

y = sen ⎡⎣ 13 x ⎤⎦ + 3.5

9.

f (x) = − cos x + 2π

7. f (x) = −3 sen(4 x) 10. f (x) = 5 cos(x − 1) − 14

A continuación se presentan los gráficos de y = sen x e y = cos x. y

y = sen x

y

x

x

Utilízalos para graficar cada una de las siguientes ecuaciones y funciones a mano. Usa tu calculadora gráfica para verificar tus respuestas. 11.

y = −2 sen(x + π )

13.

f (x) = cos 4 x − π4

15.

f (x) = 7 sen

( (

))

12.

f (x) = 12 sen(3x)

14.

y = 3 cos x + π4 + 3

(

)

( 14 x ) − 3

16.

Una rueda de agua de madera se encuentra al lado de un viejo molino de piedra. La rueda de agua realiza 10 revoluciones por minuto, se sumerge 2 pies por debajo de la superficie del agua, y en su punto más alto se encuentra a 18 pies por encima del agua. Un caracol se adhiere al borde de la rueda cuando esta llega a su punto más bajo y gira con la rueda una y otra vez. A medida que transcurre el tiempo, el caracol asciende y desciende; de hecho, la altura del caracol por encima de la superficie del agua va variando sinusoidalmente. Utiliza esta información para escribir la ecuación particular con la que se obtiene la altura del caracol según pasa el tiempo.

17.

Para mantener entretenida a la beba Cristina, su madre a menudo la coloca en un brincolín Johnny Jump Up, un asiento en el extremo de un fuerte resorte que se coloca en el marco de una puerta. Cuando Mamá coloca a Cristina en el brincolín, observa que el asiento baja hasta 8 pulgadas por encima del piso. Un segundo y medio después (1.5 segundos), el asiento llega a su punto más alto, 20 pulgadas, por encima del piso. A medida que pasa el tiempo, el asiento continúa rebotando. Usa esta información para escribir la ecuación particular con la que se obtiene la altura del brincolín Johnny Jump Up de la beba Cristina a medida que pasa el tiempo. (Nota: puedes comenzar el gráfico en el punto más bajo que alcanza el asiento).

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Capítulo 7

Respuestas

La amplitud es de 2, el período es de π.

1.

2.

La amplitud es de 0.5, el período es de 2π.

3.

El gráfico ya muestra un ciclo. La amplitud es de 3 y el período es de 4π.

4.

La amplitud es de 2.5, el período es de

2π 3

5.

Amplitud: 2, período:

6.

Amplitud:

7.

Amplitud: 3, período:

8.

Amplitud: 1, período: 6π.

9.

Amplitud: 1, período: 2π.

10.

Amplitud: 5, período: 2π.

11.

2

1 2

π 3

.

.

, período: 2π. π 2

.

12.

y

y

1

x

–1

π 2

π

3π 2

x

2π

–2

¿Sorprendido? El negativo lo da vuelta, ¡pero el “+ π” lo desplaza nuevamente y vuelve a verse como era originalmente!

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13.

14.

y

y

x

x

15.

y

x

16.

1 x) + 8 , y hay otras posibles ecuaciones que también funcionan. y = −10 cos( 10

17.

y = −6 cos( 23π x) funciona si hacemos que el gráfico sea simétrico respecto del eje x. El eje x no tiene que representar el suelo. Si haces que el eje x represente el suelo, tu ecuación podría verse como y = −6 cos( 23π x) + 14 .

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Capítulo 7

PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT 1.

Si un “pentaminuto” es lo mismo que cinco minutos de tiempo, ¿cuántos pentaminutos equivalen a cuatro horas de tiempo? a.

2.

240

c.

60

d.

48

e.

20

60

b.

36

c.

16

d.

9

e.

–52

e.

No existe s.

El promedio (la media aritmética) de 4 y s es igual al promedio de 3, 8 y s. ¿A qué es igual s? a.

4.

b.

Si a = 12 y b = –4, ¿cuál es el valor de 4a – 3b? a.

3.

1200

3

b.

5.5

c.

9

d.

10

En la figura de la derecha, AB = CD. ¿A qué es igual k? a.

–6

b.

–5

c.

y

C(–3, 6)

–4 B(2, 4)

A(–8, 4)

d.

–3

e.

–2 x

5.

a. 6.

D(–3, k)

El término inicial de una progresión es de 36. Cada término posterior es equivalente a la mitad del término anterior si dicho término es par. Si el término anterior es impar, el término siguiente es la mitad de ese término, más un medio. ¿Cuál es el sexto término de esta progresión? 1

b.

2.25

c.

2

d.

3.5

e.

4

En un spa, se le ofrecen al cliente cinco tipos diferentes de masajes y ocho tipos distintos de tratamientos para pies. ¿Cuántas combinaciones diferentes existen que incluyan un masaje y un tratamiento para pies? a.

3

b.

13

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c.

16

d.

28

e.

40

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7.

Una caja rectangular mide 12 cm de largo, 20 cm de ancho, y 15 cm de alto. Si se pueden almacenar exactamente 60 cajas rectangulares idénticas pero más pequeñas perfectamente en el interior de la caja grande, ¿cuál de las siguientes podrían ser las dimensiones, en cm, de estas cajas más pequeñas? a.

5 por 6 por 12

b.

4 por 5 por 6

d.

3 por 4 por 6

e.

2 por 5 por 6

c.

3 por 5 por 6

8.

Cuando Harry regresó su libro a la biblioteca, Madam Pince le dijo que debía pagar una multa de $6.45. Esto incluía $3.00 por el préstamo de tres semanas, más una multa de $0.15 diaria por cada día de retraso en la devolución del libro. ¿Cuántos días adicionales tuvo Harry el libro?

9.

¿Cuál es la pendiente de la recta que atraviesa los puntos (0, 2) y (–10, –2)?

10.

A la derecha se encuentra el gráfico completo de la función f(x). ¿f(x) = 3 para cuántos valores positivos de x?

y

1

x

Respuestas 1.

D

2.

A

3.

D

4.

C

5.

C

6.

E

7.

E

8.

23 días

9.

2 5

10.

2

90

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