Capítulo 9

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

9.1.1 – 9.1.7

En este capítulo se introducirá el círculo de unidad y los alumnos explorarán cómo pueden usarlo para calcular los valores exactos de funciones trigonométricas. También aprenderán a graficar y transformar y = sen(x), y = cos(x), and y = tan(x). Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 9.1.6 y 9.1.7.

Ejemplo 1 Mientras Daring Davis hace la fila para subirse a la enorme rueda, observa que esta rueda no es como otras a las que ha Punto de ascenso subido. En primer lugar, los pasajeros no ascienden a esta rueda desde el punto más bajo de la rueda sino al nivel del eje horizontal de la atracción, al que llegan tras subir varios escalones. Además, si Davis considera el punto de ascenso como la altura cero de ese eje, la altura máxima por encima del punto de ascenso a la que una persona puede llegar es de 25 pies, y la altura mínima por debajo del punto de ascenso es de –25 pies. Usa esta información para crear un gráfico que muestre cómo la altura de un pasajero sobre la rueda depende del número de grados de rotación desde el punto de ascenso a la atracción. A medida que la rueda gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se incrementa la altura de un pasajero por encima del eje horizontal y alcanza un máximo de 25 pies por encima del eje después de 90° de rotación. Luego, la altura del pasajero disminuye respecto del eje horizontal, y alcanza los 0 pies después de 180° de rotación, y continúa disminuyendo respecto de ese eje. Se llega a la altura mínima de –25 pies cuando el pasajero ha rotado 270°. Al rotar 360°, el pasajero vuelve al punto inicial y el viaje continúa.

90° 135°

60° 45° 30° 0°

210° 225°

Para crear este gráfico, calculamos la altura del pasajero en diversos puntos a lo largo de la rotación. Estas alturas se muestran usando los segmentos de recta grises dibujados desde la ubicación del pasajero sobre la rueda de forma perpendicular al eje horizontal de la atracción. Ángulo de rotación (grados) Altura (pies)

0°

30°

45°

0

60°

90° –25

135°

180° 0

210°

225°

270°

315°

360°

–25

0

A 0°, la altura por encima del eje horizontal es de 0 pies. A 90°, la altura es de 25 pies. Para completar el resto de la tabla, calcula las alturas utilizando la trigonometría de triángulos rectángulos. Tres de estos valores se demuestran a continuación: 30°, 135°, y 225°. Guía para padres con práctica adicional

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Para cada uno de estos cálculos debes concentrarte en la porción de la imagen que forma un triángulo rectángulo. Para el ángulo de 30°, usa un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 25 pies. (El radio del círculo es de 25 pies porque es tanto la altura máxima como la altura mínima que alcanza el pasajero). Para este triángulo rectángulo, podemos usar la función seno:

25 pies

Para el ángulo de 135°, usa el triángulo rectángulo de la parte “exterior” de la curva. Dado que los ángulos son suplementarios, el ángulo que usamos mide 45°.

h

25 pies 45° 135°

Para el ángulo de 225°, el triángulo que usamos queda trazado por debajo del eje horizontal. Usa el ángulo de 45° que está dentro del triángulo rectángulo, de forma que h ≈ –17.68, usando cálculos previos y cambiando el signo para indicar que el pasajero se encuentra por debajo del punto de inicio. Ahora completa el resto de los valores de la tabla.

Ángulo de rotación (grados) Altura (pies)

h

30°

180° 45° h

25 pies

0°

30°

45°

60°

90°

135°

180°

210°

225°

270°

315°

360°

0

12.5

17.68

21.65

25

17.68

0

–12.5

–17.68

–25

–17.68

0

Traza estos puntos y conéctalos con una curva suave; el gráfico debería verse como el de la derecha. Nota: esta curva muestra dos revoluciones de la rueda. Esta curva continúa, repitiendo el ciclo para cada revolución de la rueda. También representa una función seno particular: y = 25sen(θ ).

y

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90°

180° 270° 360°

450° 540° 630°

θ

Capítulo 9

Ejemplo 2 Sobre un círculo de unidad, representa y luego calcula cos(60°), cos(150°), y cos(315°). Luego grafica y = cos(θ ). y

Las funciones trigonométricas (funciones “trig”) surgen naturalmente en círculos como vimos en el primer ejemplo. Un círculo con un radio de 1 unidad recibe el nombre de círculo de unidad y es el que más más se usa con las funciones trigonométricas.

(0, 1)

P 1

Q (–1, 0)

60°

30°

45°

(1, 0) x

En el círculo de unidad de la derecha se marcaron diversos R puntos. El punto P corresponde a una rotación de 60°, el punto (0, –1) Q corresponde a 150°, y el punto R a 315°. Las rotaciones se miden desde el punto (1, 0) en sentido contrario a las agujas del reloj para determinar el ángulo. Si se crean triángulos rectángulos en cada uno de estos puntos, se puede usar la trigonometría de triángulos rectángulos para y determinar las longitudes de los catetos del triángulo. En el ejemplo anterior, se halló la altura del triángulo usando el seno. P Aquí el coseno nos da la longitud del otro cateto del triángulo. Q 1

30°

60°

1

45°

x

R

60° cos 60°

cos 45° 45°

1 30° –cos 30°

1

Para comprender totalmente por qué a la longitud del cateto horizontal se la nombra “coseno”, analiza el siguiente triángulo. En el primer triángulo, si marcamos el cateto corto con x, escribiríamos: 1 60° x y

Por lo tanto, la longitud del cateto horizontal del primer triángulo es cos(60°). Nota: el segundo triángulo que representa 150° se encuentra en el segundo cuadrante donde los valores de x son negativos. Por lo tanto, cos (150°) = –cos (30°). Verifica esto usando tu calculadora. Sobre un círculo de unidad, el punto P corresponde a la rotación de θ grados. Si se crea un triángulo rectángulo trazando su altura desde el punto P hasta el eje x, la longitud de esta altura siempre es sen(θ ). La longitud del cateto horizontal es siempre cos(θ ). Además, esto significa que las coordenadas del punto P son (cos (θ ), sen (θ )). Esto es lo magnífico de usar el círculo de unidad: las coordenadas de cualquier punto del círculo se encuentran determinando el seno y coseno del ángulo. El gráfico de la derecha muestra la curva de coseno para dos rotaciones alrededor del círculo de unidad. Guía para padres con práctica adicional

P 1

θ x

y

90° 180° 270° 360° 450° 540° 630° θ

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Ejemplo 3 Sobre un círculo de unidad, determina los puntos que corresponden a los siguientes radianes. Luego convierte cada ángulo dado en radianes a grados. a.

π 6

b.

11π 12

5π 4

c.

d.

5π 3

Piensa en el círculo de unidad y recuerda que una rotación es igual que ir alrededor del círculo de unidad una vez, que equivale a la circunferencia. La circunferencia del círculo de unidad es C = 2πr = 2π(1) = 2π. Por lo tanto, una rotación alrededor del círculo, 360°, es lo mismo que recorrer 2π radianes alrededor del círculo. Los radianes no solo se aplican a círculos de unidad. Un círculo con cualquier tamaño de radio también tiene 2π radianes en una rotación de 360°. Coloca estos puntos alrededor del círculo de unidad en los lugares correspondientes, sin convertirlos. Si 2π radianes es igual a 360°, la mitad de eso, 180°, corresponde a π radianes. La mitad de eso, 90°, es π2 radianes. Usando un razonamiento similar, 270° corresponde a 3π radianes. Las otras medidas de radianes alrededor del círculo 2 pueden indicarse con un simple conocimiento de fracciones. Por ejemplo, π6 es un sexto de la distancia hasta π.

y

π

x

A veces es útil poder convertir medidas de radianes a grados y viceversa. Para hacerlo, podemos usar una razón de radianes . Para grados π convertir 6 radianes a grados crea una razón y resuelve como se π muestra arriba a la derecha. Usa 180 como una forma más simple de 2π π radianes equivale a 30°. Análogamente, . Por lo tanto, 6 360 convierte los ángulos precedentes a grados:

a.

π 180º

= πx/6

xπ = 180º xπ = 30π x = 30º

b.

( π6 )

π 180º

= 11πx/12

xπ = 180º

c.

( 1112π )

xπ = 165º π x = 165º

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π 180

=

5π /4 x

xπ = 180º

d.

( 54π )

xπ = 225º π x = 225º

π 180º

=

5π /3 x

xπ = 180º

( 53π )

xπ = 300º π x = 300º

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Capítulo 9

Ejemplo 4 Grafica y = tan(θ ). Explica qué sucede en los puntos θ = π2 , 32π , 52π , 72π , ... . ¿Por qué sucede esto? Como con los gráficos de y = sen(θ ) e y = cos(θ ), y = tan(θ ) se repite, es decir, es periódico. El gráfico no tiene, sin embargo, las colinas y los valles familiares que muestran las otras dos funciones trigonométricas. En θ = π2 , el gráfico se aproxima a una asíntota vertical. Esto también ocurre en θ = − π2 , y como el gráfico es periódico, pasa repetidamente en θ = 32π , 52π , 72π ,… . De hecho, pasa en todos los valores de

θ de la forma

(2k−1)π 2

y

θ

para todos los valores enteros de k.

La verdadera pregunta es: ¿por qué se produce una asíntota en estos puntos? Recuerda que θ tan θ = sen cos θ . En cada punto en el que cos(θ ) = 0, y = tan(θ ) es una función indefinida (cero no puede estar en el denominador).

Problemas Grafica cada una de las siguientes funciones trigonométricas. 1.

y = sen(θ )

2.

y = cos(θ )

3.

y = tan(θ )

Determina cada uno de los siguientes valores usando lo que sabes sobre trigonometría de triángulos rectángulos, círculos de unidad, y triángulos rectángulos especiales. 4.

cos(180°)

5.

sen(360°)

6.

tan(45°)

7.

cos(–90°)

8.

sen(150°)

9.

tan(240°)

Convierte cada una de las medidas de ángulos. 10.

60° a radianes

11.

170° a radianes

12.

315° a radianes

13.

π 15

14.

13π 8

15.

−

radianes a grados

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radianes a grados

3π 4

radianes a grados

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Respuestas y

y

1.

2. θ

θ

θ

4.

–1

5.

0

6.

7.

0

8.

1 2

9.

10.

π 3

11.

17π 18

13.

12°

14.

292.5°

radianes

y

3.

radianes

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12.

1 3 7π 4

radianes

15. –135°

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Capítulo 9

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 9.2.1 – 9.2.4 Los alumnos aplican sus conocimientos de transformación de gráficos madre a los gráficos de funciones trigonométricas. Generan ecuaciones generales para la familia de funciones seno, coseno, y tangente, y aprenden sobre una propiedad de las funciones trigonométricas denominada período. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 9.2.4.

Ejemplo 1 Para cada una de las siguientes funciones, indica la amplitud, el número de ciclos en 2π, el desplazamiento horizontal, y el desplazamiento vertical del gráfico. Luego grafica cada función. a.

y = 3 cos [2(x –

π 3

)] – 2

b.

y = – sen[ 14 (x + π)] + 1

La forma general de una función seno es y = asen[b(x – h)] + k. El valor de a determina la amplitud de la función: la mitad de la distancia que la función se estira desde el punto máximo y el punto mínimo de forma vertical. El valor de h es el desplazamiento horizontal y el valor de k es el desplazamiento vertical. El valor de b proporciona información sobre el período de la función. Los gráficos de y = sen(x) e y = cos(x) tienen un período de 2π cada uno, lo que significa que un ciclo (antes de repetirse) tiene una longitud de 2π. b indica el número de ciclos que se producen en la longitud 2π. y

a.

La función tiene una amplitud de 3, y dado que es positiva, no se refleja a través del eje x. El gráfico está desplazado hacia la derecha π3 unidades, y hacia abajo 2 unidades. Ya que b = 2, sabemos que hay dos ciclos en 2π unidades. Si el gráfico realiza dos ciclos en 2π unidades, la longitud del período es de π unidades. A la derecha se muestra el gráfico de esta función.

x

y

b.

Esta función tiene una amplitud de 1, pero se refleja a través del eje x. Está desplazada hacia la izquierda π unidades, y hacia arriba 1 unidad. Aquí vemos que dentro de un espacio de 2π, solo aparece un cuarto de ciclo. Esto significa que el período es cuatro veces más largo que lo normal, es decir, 8π. El gráfico se muestra a la derecha.

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x

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Ejemplo 2 Para el desfile del 4 de Julio, Vicki decoró su triciclo con serpentinas y globos. Ató un globo en el borde externo de una de sus ruedas traseras. El globo comienza su recorrido al nivel del suelo. A medida que ella pedalea en su triciclo, el globo sube y baja en altura de forma sinusoidal (es decir, como una curva seno). El diámetro de su rueda es de 10 pulgadas. a.

Realiza un gráfico que muestre la altura del globo por encima del suelo cuando Vicki monta su triciclo.

b.

¿Cuál es el período de este gráfico?

c.

Escribe la ecuación de esta función.

d.

Usa tu ecuación para predecir la altura del globo luego de que Vicki recorre 42 pulgadas.

Este problema es similar al del ejemplo de la atracción al comienzo de este capítulo. El globo sube y baja de la misma forma en que una curva coseno sube y baja. A la derecha se muestra un dibujo simple. El globo comienza a la altura del suelo y a medida que la rueda del triciclo gira, el globo sube hasta la parte superior de la rueda y luego baja. Si el eje x representa el suelo, el globo estará en su punto más alto cuando esté en la parte superior de la rueda, que es una distancia equivalente a la altura o el diámetro de una rueda, 10 pulgadas. Así que la distancia desde el punto más alto hasta el punto más bajo es de 10. La amplitud es la mitad de esta distancia, es decir, 5. Para determinar el período, piensa en la situación. El globo comienza a nivel del suelo, se eleva cuando la rueda gira y baja nuevamente al suelo. ¿Cuánto ha recorrido la rueda en una revolución completa? La distancia de una circunferencia. La circunferencia de un círculo con un diámetro de 10 pulgadas es de 10π pulgadas. Por lo tanto, el período de este gráfico es de 10π. Para escribir la ecuación para esta situación, hay que tomar algunas decisiones. Los gráficos de seno y coseno son similares. De hecho, uno es igual al otro desplazado 90° (o π2 radianes). En este punto, hay que decidir si queremos utilizar el seno o el coseno para modelar esta situación. Cualquiera de los dos funcionará pero las ecuaciones se verán diferentes. Dado que el gráfico comienza en el punto más bajo y no en el medio, esto sugiere y que el coseno sería más fácil. Si usas el coseno, la amplitud es 5, el gráfico es reflejado verticalmente y no hay desplazamiento horizontal. Toda la información puede escribirse en la ecuación como y = –5cos[bx] + k. Determina k recordando que el eje x representa el suelo. Esto significa que el gráfico se desplaza hacia arriba 5 unidades. Para determinar el número de ciclos en 2π (es decir, b), recuerda que el período de este gráfico es de 10π. Por lo tanto, 210π = 15 de la curva aparece dentro del espacio de 2π. Finalmente, la ecuación se puede escribir como x y = –5 cos[ 15 x] + 5. Puedes ver el gráfico de la derecha. © 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

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Capítulo 9

Nota: si decidiste utilizar la función seno para esta situación, te habrás dado cuenta de que el gráfico está desplazado hacia la derecha 104π unidades. Una ecuación con la que se obtiene este gráfico es y = 5 sen[ 15 (x – 104π )] + 5. Otras ecuaciones también funcionan, de modo que si no obtienes la misma ecuación que se muestra aquí, grafica la tuya y compáralas. Para calcular la altura del globo luego de que Vicki recorre 42 pulgadas, reemplazamos la x de la ecuación por 42.

y = −5 cos ⎡⎣ 15 ⋅ 42 ⎤⎦ + 5 ≈ −5 cos(8.4) + 5 ≈ 7.596 pulgadas

Si no obtienes esta respuesta, asegúrate de que tu calculadora esté configurada para modo radián.

Problemas Indica la amplitud y el periodo de cada una de las siguientes funciones: 1.

2.

3

y

2 1

π 2

–1

π

3π 2

2π

x

–2 –3

3.

4.

y

3 2 1

x

π 2

–1

π

3π 2

2π

–2 –3

1 2

5.

y = 2cos(3x) + 7

6.

y=

7.

f(x) = –3sen(4x)

8.

y = sen[ 13 x] + 3.5

9.

f(x) = –cos(x) + 2π

10.

f(x) = 5 cos(x – 1) –

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sen(x) – 6

1 4

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Grafica cada una de las siguientes funciones a mano. Usa una calculadora gráfica para verificar tus respuestas. 11.

y = –2sen(x + π)

13.

f(x) = cos[4(x –

15.

f(x) = 7 sen( 14 x ) – 3

16.

Una rueda de agua de madera realiza 10 revoluciones por minuto. En su punto más bajo, se sumerge 2 pies por debajo de la superficie del agua, y en su punto más alto se encuentra a 18 pies por encima del agua. Un caracol se adhiere al borde de la rueda cuando esta llega a su punto más bajo y gira con la rueda. Utiliza esta información para escribir una ecuación con la que se obtiene la altura del caracol según pasa el tiempo.

17.

Para mantener entretenida a la beba Cristina, su madre a menudo la coloca en un brincolín Baby Jump Up, un asiento en el extremo de un fuerte resorte que se coloca en el marco de una puerta. Cuando su mamá coloca a Cristina en el brincolín, observa que el asiento baja hasta 8 pulgadas por encima del piso. Cristina comienza a corres y 1.5 segundos después, el asiento llega a su punto más alto, 20 pulgadas, por encima del piso. A medida que pasa el tiempo, el asiento continúa rebotando. Usa esta información para escribir una ecuación particular con la que se obtiene la altura del brincolín Baby Jump Up de Cristina a medida que pasa el tiempo. (Nota: puedes comenzar el gráfico en el punto más bajo que alcanza el asiento).

π 4

)]

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1 2

12.

f(x) =

sen(3x)

14.

y = 3 cos(x +

π 4

)+3

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Capítulo 9

Respuestas 1.

La amplitud es de 2, el período es de π.

2.

La amplitud es de 0.5, el período es de 2π.

3.

La amplitud es de 3 y el período es de 4π.

4.

La amplitud es de 2.5, el período es de

5.

Amplitud: 2, período:

6.

Amplitud:

7.

Amplitud: 3, período:

8.

Amplitud: 1, período: 6π.

9.

Amplitud: 1, período: 2π.

10.

Amplitud: 5, período: 2π.

11.

1 2

2π 3

π 3

.

.

, período: 2π. π 2

.

12.

y

y

x

x

¿Sorprendido? El negativo refleja el gráfico verticalmente, ¡pero el “+ π ” lo desplaza nuevamente y vuelve a verse como era originalmente! 13.

14.

y

y

x

x

15.

y

x

16.

1 x) + 8. Hay otras ecuaciones posibles y = –10 cos( 10

17.

Si el eje x representa el suelo, entonces una ecuación posible sería y = –6 cos( 23π x) + 14.

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PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT 1.

Si un “pentaminuto” es lo mismo que cinco minutos de tiempo, ¿cuántos pentaminutos equivalen a cuatro horas de tiempo? a.

2.

240

c.

60

d.

48

e.

20

60

b.

36

c.

16

d.

9

e.

–52

e.

No existe s.

El promedio (la media aritmética) de 4 y s es igual al promedio de 3, 8 y s. ¿A qué es igual s? a.

4.

b.

Si a = 12 y b = –4, ¿cuál es el valor de 4a – 3b? a.

3.

1200

3

b.

5.5

c.

9

d.

10

En la figura de la derecha, AB = CD. ¿A qué es igual k? C(–3, 6)

5.

a.

–6

b.

–5

d.

–3

e.

–2

–4

1

b.

2.25

B(2, 4)

A(–8, 4)

x

El término inicial de una progresión es de 36. Cada término posterior es equivalente a la mitad del término anterior si dicho término es par. Si el término anterior es impar, el término siguiente es la mitad de ese término, más 0.5. ¿Cuál es el sexto término de esta progresión? a.

6.

c.

y

c.

2

d.

D(–3, k)

3.5

e.

4

En un spa, se le ofrecen al cliente cinco tipos diferentes de masajes y ocho tipos distintos de tratamientos para pies. ¿Cuántas combinaciones diferentes existen que incluyan un masaje y un tratamiento para pies? a.

3

b.

13

c.

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16

d.

28

e.

40

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Capítulo 9

7.

Una caja rectangular mide 12 cm de largo, 20 cm de ancho, y 15 cm de alto. Si se pueden almacenar exactamente 60 cajas rectangulares idénticas pero más pequeñas perfectamente en el interior de la caja grande, ¿cuál de las siguientes podrían ser las dimensiones, en cm, de estas cajas más pequeñas? a.

5 por 6 por 12

b.

4 por 5 por 6

c.

3 por 5 por 6

d.

3 por 4 por 6

e.

2 por 5 por 6

8.

Cuando Harry regresó su libro a la biblioteca, Madam Pince le dijo que debía pagar una multa de $6.45. Esto incluía $3.00 por el préstamo de tres semanas, más una multa de $0.15 diaria por cada día de retraso en la devolución del libro. ¿Cuántos días adicionales tuvo Harry el libro?

9.

¿Cuál es la pendiente de la recta que atraviesa los puntos (0, 2) y (–10, –2)?

10.

A la derecha se encuentra el gráfico completo de la función f. ¿Para cuántos valores positivos de x es f(x) = 3?

y

1 x

Respuestas 1.

D

2.

A

3.

D

4.

C

5.

C

6.

E

7.

E

8.

23 días

9. 10.

2 5

2

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