DERIVE

5 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 5.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para introducir una función pulsa el icono

y escribe su expresión.

Para representarla, resalta la función colocando el cursor sobre ella. A continuación se pulsa el icono para abrir la ventana de gráficos 2D. Una vez abierta es necesario volver a pulsar el mismo icono (pero en la ventana 2D-plot) para que se dibuje realmente la gráfica. Cada vez que se pulse el icono se redibuja la función activa en un nuevo color. Una función se introduce directamente en la forma y = f(x). Por ejemplo, y=sinx (si se omite “y=” se asume por defecto). También podemos tratar varias funciones simultáneamente incluyéndolas entre corchetes. Los iconos de la barra de herramientas de la ventana de gráficos 2D permiten centrar la gráfica y hacer zoom. Dibujar la función activa Borrar la última función Centrar la imagen en la posición del cursor-cruz

Ver mayor intervalo en los ejes = reducir la imagen Ver mayor intervalo del eje OY = reducir la imagen en vertical Volver a la pantalla de álgebra o de expresiones

Centrar la imagen en el origen de coordenadas

En la parte inferior izquierda aparecen las coordenadas de la posición del cursor. Practica 1. Introduce la expresión SIN x y represéntala. Haz algún zoom si es preciso. Sitúa el cursor en los puntos de corte con el eje OX y en los de máxima “altura”. Anota sus coordenadas. ¿En qué intervalos es negativa? Elimina la gráfica antes de representar las siguientes. 2. Introduce y representa la expresión entre corchetes [SIN x , 2SIN x, 3SIN x]. Analiza el efecto de los coeficientes.

Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas

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3. Elimina las gráficas anteriores, regresa a la pantalla de “álgebra” (introducción de expresiones) y repite la práctica con: [SIN(x),SIN(2x),SIN(3x)] y a continuación con [SIN(x),SIN(x+π π),SIN(π π-x)]. 4. Después de eliminar las gráficas anteriores introduce y representa [SINx,COSx, TAN]. Haz un zoom en el eje vertical y comprueba los valores máximos que alcanzan cada una de las funciones. 5. Introduce y representa la función sin^2(x) + cos^2(x). ¿Puedes interpretar el resultado? 6. Introduce y representa sucesivamente las funciones tan x y (sin x)/(cos x). ¿Puedes interpretar el resultado? 7. Comprueba cómo interpreta DERIVE las expresiones sin^2x, sin x^2, sin^2x^2, (sin x)^2, sin(x^2). Ténlo en cuenta. 8. Introduce y representa sucesivamente las funciones xsinx, (sinx)/x, |sinx| y sin(1/x). ¿Puedes explicar por qué se obtienen esas gráficas?

5.2 COMPROBACIÓN GRÁFICA DE LA EXPRESIÓN DE sen(a+b) Para comprobar la expresión sen (a+b) = sen a cos b + cos a sen b vamos a representar sucesivamente las funciones correspondientes a cada uno de los miembros de la expresión y observar como sus gráficas se superponen. Como representamos en el plano XY y solo podemos utilizar una variable independiente, x, fijamos un valor para b. Introduce b:=30º, por ejemplo, y, a continuación, introduce y representa las funciones: sin(x+b)

sin x cos b + cos x sin b

Cambia el valor de b y repite la práctica. Basta que introduzcas, por ejemplo, b:=45º (no olvides º, para que DERIVE no interprete radianes y usa := en vez de = porque se trata de una asignación, no de una ecuación). Una vez cambiado b, sitúa el cursor sobre las funciones anteriores para resaltarlas y vuelve a representarlas sin tener que repetir su introducción. Quizás debas eliminar previamente las gráficas anteriores y hacer algún zoom horizontal. Prueba con otros valores de b (incluido alguno negativo). Si quieres evitar que las gráficas se superpongan, prueba a representar sin(x+b) +1. La gráfica se desplazará una unidad hacia arriba.

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Para comprobar la expresión de cos(a+b) representa las gráficas de cos(x+b) y de cos x cos b - sin x sin b. También puedes introducir entre corchetes [cos(x+b) , cos x cos b - sin x sin b, cos(x+b) + 1 ] para “simplificar” la expresión, representarlas simultáneamente. Eso y tras pulsar facilita el “redibujado” tras cualquier cambio en el valor de b. Practica: 9. Representa simultáneamente [sin (2x) , 2 sin x cos x , sin (2x) +1]. 10. Realiza una práctica análoga para comprobar la expresión de sen (a/2). 11. Comprueba gráficamente que cos 2x = 2 (cos x)2 –1. 12. Comprueba gráficamente que tan x = sin 2x /(1+ cos x). 13. Comprueba la expresión de TAN(a+b) que aparece en la página 132 del libro. (En DERIVE la tangente se escribe TAN). 14. Comprueba gráficamente la expresión del ejercicio 9 de la página 133 del libro y el ejercicio 15 de la página 134. 15. Comprueba las expresiones de los ejercicios 23, 24, 27 y 29 de la página 143 del libro. 16. Comprueba las expresiones de sumas y diferencias de senos y cosenos (V.1, V.2, V.3 y V.4) de la página 135 del libro.

5.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS TRIGONOMÉTRICOS Introduce la ecuación sin x = 0.5. A continuación, pulsa el icono Resolver, especifica x como variable a despejar.

y

Pulsa Simplificar para terminar. Observa que si a las soluciones obtenidas le sumas un múltiplo de 2π, obtendrás nuevas soluciones. Resuelve las siguientes ecuaciones: sin x = −0,5

cos x = 0,5

cos (2x) + sin x = 4 (sin x)2

cos (2x) – 4 sin x = 3 cos (2x) = sin x

(sin x)2 – (cos x)2 = 1 / 2

2 sin x +1 = 0

Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas

sin x = cos x

sin x = 2 (Interprétalo)

3

(Si no consigues resolverlo sustituye cos 2x y sin 2x por sus expresiones equivalentes y resuelve entonces). Practica: 17. Resuelve las ecuaciones trigonométricas que aparecen en las páginas 136 y 137 del libro. 18. Resuelve las ecuaciones de los ejercicios 5 y 6 de las páginas 140 y 141 del libro. 19. Resuelve los ejercicios 31 a 36 de las páginas 143 y 144 del libro. En DERIVE la herramienta Resolver significa en realidad Despejar. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones : x+y = π/2 sin x + cos y = 1 Para ello, introduce la primera ecuación y resuélvela especificando la variable y. A continuación, introduce la segunda ecuación sustituyendo y por el resultado obtenido. Por último, resuelve esta última ecuación en la variable x. 20. Resuelve el ejercicio 7 de la página 141 del libro y compara las soluciones. 21. Resuelve el ejercicio 39 de la página 144 del libro.

5.4 FAMILIA DE FUNCIONES sen nx. FUNCIÓN DE ONDAS f(x)= A sen (ω t + φ) Introduce la expresión VECTOR (sin (nx), n, 1,3 ) y confirma con Sí. A continuación simplifica. Obtendrás (entre corchetes) tres funciones sin x, sin 2x y sin 3x. Se ha sustituido n por 1, 2 y 3. Resalta el resultado anterior y represéntalo. Obtendrás la gráfica de las tres funciones simultáneamente. ¿Qué gráfica corresponde a cada una? Haz algún zoom si es preciso. Elimina las gráficas y regresa a la pantalla de datos. Repite la práctica con las siguientes familias de funciones: VECTOR(sin(nx), n, 1, 5)

VECTOR(cos(nx), n, 1, 5)

VECTOR(n+sin x, n, 1, 5)

VECTOR(sin (x+n), n, 1, 5)

VECTOR(sin x+cos(nx), n, 1, 5) VECTOR((sin x)/n, n, 1, 5)

VECTOR(n sin(nx), n, 1, 5) VECTOR(n sin x, n, 1, 5)

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La función RANDOM(n) genera en DERIVE un número entero al azar entre 0 y n. Introduce la siguiente expresión y pulsa Sí: RANDOM(5)SIN((RANDOM(5) x)+RANDOM(5)) A continuación simplifícala, represéntala y trata de analizar el efecto de cada uno de los cinco números generados al azar. Regresa a la ventana de expresiones. Vuelve a situar el cursor sobre la expresión de RANDOM y repite la práctica. Hazlo varias veces.

5.5. CONVERSIÓN GRADOS−RADIANES La función DERIVE SIN(x) precisa que x se proporcione en radianes. Sin embargo, podemos incluir grados con las siguientes expresiones: SIN (x deg)

SIN(30º)

SIN(xπ π/180)

(No olvides los paréntesis).

Practica: 22. Halla el seno de 30º con las siguientes expresiones: SIN(π π/6)

SIN(30π π/180).

SIN(30deg)

23. Introduce, simplifica y aproxima las siguientes expresiones: 30º

30deg

pi

pi

pideg

Los últimos valores obtenidos ¿son grados o radianes? 24. Define las siguientes funciones para convertir grados en radianes y viceversa: GR(x):= πx/180

RG(x):=180x/π π

Utilízalas para pasar a radianes 30º, 45º, 60º, 90º, 120º, 135º, 150º, 180º y 270º y para pasar a grados π/4, 3π/4, 5π/6, π/2 y 4π/3 radianes. 25. Introduce y representa la expresión sin (xº). ¿Qué unidades aparecen en el eje OX? A continuación, sin eliminar la gráfica anterior, representa la función sin x. Haz un zoom si es preciso y trata de explicar la relación entre las dos gráficas. ¿Qué significan para cada gráfica las unidades del eje OX?

Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas

5

EXCEL

5 5.1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON HOJA DE CÁLCULO

Vamos a elaborar una hoja de cálculo que obtenga y represente el seno, el coseno y la tangente para 90 ángulos. Para ello, rellena las siguientes celdas: A

B

C

D

1

ÁNGULO INICIAL

-180

2

ÁNGULO FINAL

180

4

ÁNGULO

SENO

COSENO

TANGENTE

5

=B1

=SENO(A5*PI()/180)

=COS(A5*PI()/180)

=B5/C5

6

=A5+($B$2-$B$1)/90

E

3

7

Los valores de B1 y B2 señalan los ángulos inicial y final. Podemos introducir los valores que deseemos. La columna A presenta los ángulos en grados. A5 contiene el ángulo inicial. A partir de A6 cada ángulo es el anterior más el incremento (la diferencia entre los ángulos final e inicial dividida entre 90). Para extender la fórmula selecciona el rango A6:A95 y “rellena hacia abajo” con CTRL+J o con la opción correspondiente del menú Editar. Las columnas B, C y D obtienen el seno, coseno y tangente de cada valor de la columna A (convertidos previamente de radianes a grados). Para extender las fórmulas selecciona el rango B5:D95 y “rellena hacia abajo”. Para mejorar la legibilidad puedes fijar 4 cifras decimales (menú Formato/Celda). Para completar la hoja inserta un gráfico seleccionando el rango A4:C95 y eligiendo la opción Insertar/gráfico. Selecciona el tipo Dispersión XY. Para la tangente debes realizar un gráfico separado porque la escala en el eje OY debe ser distinta de la del seno y coseno que solo toman valores entre –1 y 1.

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