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ENCUENTRO # 8 TEMA:Radicales. Propiedades. CONTENIDOS: 1. Propiedades de las potencias de exponente racional. 2. Radicales. Propiedades. 3. Simplificación de radicales. 4. Operaciones con radicales. DESARROLLO

EJERCICIO RETO 1. ¿En cuál de las siguiente operaciones es incorrecto el resultado de la operación? 0 0 0 A) 3 +330 +3 = 3 0 0 0 B) 3 +33 +3 = 30 0 0 = 30 C) 3 3+3 0 D) 3+3+3 = 32 30 = 2 · 30 E) 303+3+3 +30 +30 1,8×102015

2. Al calcular la expresión 2×82014×( 5 )2014 el resultado es: 4 A) 1 B)9 × 102014 C) 3,6 × 102015 D) 9

A)9 × 102015

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL Sea {a; b ∈ R/a > 0 ∧ b > 0} y {m, n, p, q ∈ Z/n > 1 ∧ q > 1}, entonces se cumple que: m

p

m

m

m

p

m

p

m

1. a n × a q = a n + q

m

m

p

3. a n ÷ a q = a n − q

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m

p

m

m

1 m an

p

5. (a n ) q = a n × q

2. a n × b n = (a × b) n m

m

4. a n ÷ b n = (a ÷ b) n

6. (a)− n =

1

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EJERCICIOS PROPUESTOS Aplica las propiedades de las potencias y simplifica en los casos posibles: 1

1

1

5. (x5 )− 2

1. a 3 × a 2 1

4

3 4

2

2. a− 4 × a 6 × a 3 1

2

6. [a 2 ] 9

1

3

7. [2a4 b6 ] 2

3. x 3 × y 6 × x 2 1

1

4. (x6 ) 2

1

8. a− 2 × b− 2

Radicación Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de radicando. Para lo anterior se define:

√ n

m

am = a n , donde a es el radicando(cantidad subradical), m exponente del radicando y n índice de la raíz.

Ejemplo: 2

1. Expresa las siguiente potencias como radicales x 3 . Solución La base de la potencia x es la cantidad subradical su exponente es 2 y el índice de la raíz es 3. 2

x3 =

√ 3

a2 4

2. Convierte a radical la siguiente expresión 3 5 Solución La base de la potencia 3 es la cantidad subradical su exponente es 4 y el índice de la raíz es 5. √ 5

4

35 =

34 =

√ 5

81

√ 7

23 como una potencia. 3. Expresa el siguiente radical Solución La cantidad subradical es la base de la potencia y su exponente es la división del exponente de la cantidad subradical con el índice de la raíz o sea 37 . √ 7

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3

23 = 2 7

2

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EJERCICIOS PROPUESTOS Convierte de potencia a radical o viceversa según el caso. 1.

√ 4

27

5.

4

√ 6

64 1

2. 7 3

6. 100 2 √ 3 7. 8x6

1

3. 81 5 √ 4. 12

1

8. (25y 4) 4

PROPIEDADES DE LOS RADICALES √ √ √ n a× nb= na×b √ √ √ n a÷ nb= na÷b √ √ (qn a)m = n am Simplificación 1 √ √ 1 1 n n×m m ⇒ (a n ) m = a n×m a= a √ √ km m kn n a kn = a n ⇒ akm = am Procedimiento que consiste en expresar un radical en su forma más simple. Para simplificar un radical, el exponente de la base debe ser mayor que el índice del radical. Ejemplo: √ 1. Simplifica 8 Solución Se descompone el radicando en factores primos. 1

1

1

a n × b n = (a × b) n 1 1 1 a n ÷ b n = (a ÷ b) n m 1 (a n )m = a n

⇒ ⇒ ⇒

√

8=

√

23

23 se expresa como 22 · 2y se aplica la propiedad correpondiente de los radicales. √

8=

√

23 =

√

22 · 2 =

√

22 ·

√

√ 2=2 2

√ √ Por consiguiente, la simplificación de 8 es 2 2 √ 2. Simplifica 45 Solución Se descompone el radicando en factores primos y se procede a aplicar los propiedades. √ Por tanto, Portal de Matemática

√

√ 45 = 3 5

45 =

√

32 · 5 =

3

√

32 ·

√

√ 5=3 5

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√ 3. Simplifica 3 72 Solución Se descompone la base en factores primos y se simplifica la expresión. √ 3

72 =

√ 3

23 · 32 =

√ 3

23 ·

√ 3

√ 32 = 2 3 9

√ 4. Simplifica 12 5 96 Solución Se simplifica el radical y el resultado se multiplica por la fracción para obtener el resultado de la operación. 1 2

√ 5

96 =

1 2

√ 5

25 · 3 =

1 2

√ 5

25 ·

√ 5

3=

1 2

·2·

√ 5

3=

√ 5

3

EJERCICIOS PROPUESTOS Simplifica las siguientes expresiones: 1.

√

20

√

72 √ 3. 3 16 √ 4. 3 135 2.

5.

√ 3

6.

√

7.

√

9.

250

2 7

10.

1 3

12.

1 3

√ 3

648

√

540 √ 11. 25 4 1250

162

180 √ 8. 2 4 405

q√

3600

Suma y resta Estas operaciones se pueden efectuar si y sólo si el índice del radical y el radicando son iguales (radicales semejantes). √ √ √ √ a n d + b n d − c n d = (a + b − c) n d Ejemplos: √ √ 1. Efectúa 2 3 5 + 11 3 5. Solución Los radicales son semejantes, por tanto se realizan las operaciones con los números que les anteceden (coefi cientes del radical). √ √ √ √ 2 3 5 + 11 3 5 = (2 + 11) 3 5 = 13 3 5

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4

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√ √ √ 2. ¿Cuál es el resultado de la operación 2 2 + 7 2 − 4 2. Solución Al ser semejantes los radicales, se efectúan las operaciones con los coeficientes. √ √ √ √ √ 2 2 + 7 2 − 4 2 = (3 + 7 − 4) 2 = 6 2 √ √ 3. Efectúa 34 6 − 16 6. Solución Se realizan las operaciones con las fracciones y se obtiene el resultado. 3 4

√

6−

1 6

√

√ 6 = ( 34 − 61 ) 6 =

7 12

√

6

NOTA: Si los radicandos son diferentes, no se pueden sumar o restar los radicales de primera instancia, entonces se simplifican; si resultan semejantes se efectúan las operaciones, de lo contrario, se dejan indicadas. Ejemplos: √ √ √ 1. ¿Cuál es el resultado de 20 + 45 − 80. Solución Se simplifican los radicales y se realiza la operación. √ √ √ √ √ 20 + 45 − 80 = 22 · 5 + 32 · 5 − 24 · 5 √ √ √ √ √ = 2 5 + 3 5 − 22 5 = (2 + 3 − 4) 5 = 5

√

√ √ 2. Efectúa 3 189 + 3 56. Solución Se simplifi can los radicales, se realizan las operaciones y se obtiene el resultado final. √ 3

189 +

√ 3

56 =

√ 3

33 · 7 +

√ 3

√ √ √ 23 · 7 = 3 3 7 + 2 3 7 = 5 3 7

EJERCICIOS PROPUESTOS Realiza las siguientes operaciones. √ √ 1. 5 2 + 7 2 2.

√

√ √ 3+2 3+4 3

√ √ 3. 3 5 + 41 5 Portal de Matemática

5

√ 3

4.

1 3

5.

5 3

6.

√

√ 4

9+

1 2

7−

1 2

8+

√

√ 3

9+

√ 4

1 6

√ 3

9

7

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7. 8. 9. 10. 11. 12.

√

√ 12 − 3 √ √ 2 5 + 80 √ √ √ 4 32 − 7 8 − 3 18 √ √ √ 27 + 48 − 45 √ √ √ √ 3 12 − 2 5 − 7 3 + 125 √ √ √ √ 200 + 50 − 98 − 338

√

13.

1 4

14.

3 4

15.

√ 3

√

192 −

2 5

176 −

2 3

√ 3

24 −

√

75 +

1 7

√

45 +

1 8

81 −

√ 3

√

147

√

320 +

250 +

√ 3

1 5

√

275

192

√ √ √ 16. 3 3 16 − 2 3 54 + 15 3 375 17.

2 5

√ 3

250 +

3 4

√ 3

128 −

1 3

√ 3

54

Multiplicación Multiplicación de radicales con índices iguales. Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica el resultado. √ √ √ √ n a· nb· nc= na·b·c Ejemplos: √ √ 1. Efectúa 3 · 5 Solución Se multiplican ambos factores: √

3·

√

5=

q

(3)(3) =

√

15

√ √ √ 2. ¿Cuál es el resultado del producto 6 · 3 · 2? Solución Se realiza el producto y se simplifica el resultado. √

6·

√

3·

√

2=

q

(6)(3)(2) =

√

36 = 6

√ √ 3. Realiza (2 3 4)(3 3 10). Solución Se multiplica y simplifica el resultado. q √ √ √ √ √ √ √ √ 63 3 (2 3 4)(3 3 10) = 6 3 4 · 3 10 = 6 3 (4)(10) = 6 3 40 = 6 23 · 5 = 6 263 · 3 5 √ √ = 6 · 2 · 3 5 = 12 3 5

Multiplicación de radicales con índices diferentes. Para multiplicar radicales con índices diferentes se busca un índice común, que resulta del mínimo común múltiplo de los índices de los radicales y recibe el nombre de“mínimocomún índice”. Ejemplos: Portal de Matemática

6

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√ √ 1. ¿Cuál es le resultado de 3 2 · 5. Solución El mínimo común índice es 6, entonces los índices de los radicales se convierten a dicho índice. √ 3

2=

√ 6

q

(2)2 =

3×2

22 además

√

q

5=

2×3

(5)3 =

√ 6

53

Se efectúa el producto y se observa que no se puede simplificar el radical, por consiguiente se desarrollan las potencias y se realiza la multiplicación. √ 3

2·

√

5=

√ 6

22 ·

√ 6

53 =

√ 6

√ 6

22 · 53 =

4 · 125 =

√ 6

500

√ √ 2. Efectúa 2 · 4 8. Solución Se descompone 8 en factores primos y el mínimo común índice es 4, por lo tanto, al transformar los radicales seobtiene: q

2×2

(2)2 =

√ 4

2y

√ 4

8=

√ 4

23

Se efectúa la multiplicación y se simplifica el resultado. √

2·

√ 4

8=

√ 4

2·

√ 4

23 =

√ 4

22 · 23 =

√ 4

25 =

√ 4

24 · 2 =

√ 64

264 ·

√ 4

√ 2=242

EJERCICIOS PROPUESTOS Realiza las siguientes Multiplicaciones. √ √ 1. 8 · 2 √ √ 2. 3 5 · 3 25 √ √ 3. 7 · 3 √ √ √ 4. 15 · 5 · 27 √ √ √ 5. (2 2)(5 6)( 12) √ √ 6. 3 15 · 3 9 √ √ 7. 3 · 3 2

8.

√ 5

9.

√

10.

√ 3

96 ·

2·

√ 3

√ 3

54 ·

3

2·

√

√ 4

2·

2

√ 4

4

√ √ 11. (3 3 4)(2 4 5) √ √ 12. ( 33 6)( 26 6 12) √ √ 13. ( 12 6 6)( 14 3 2)

División División de radicales con índices iguales. Se realiza de forma análoga a la multiplicación de radicales con índices semenjantes. Portal de Matemática

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Ejemplos: √

1. Realiza √10 2 Solución Los radicales son de igual índice, entonces se dividen los radicandos. √ √10 2

q

=

10 2ffl

=

√

5

√

28 . 2. ¿Cuál es el resultado de 6√63 Solución Se simplifi can los radicales y se realiza la operación. √ 6√ 28 63

=

√ 6√ 22 ·7 32 ·7

=

√ √ 6√ 22√ 7 32 7

=

6·2 3

=4

División de radicales con índices diferentes. Se transforman los radicales a un índice común y después se realiza la división. Ejemplo: √ 4

8 1. Halla el cociente de √ 3 . 4 Solución Se transforman los índices de los radicales a 12 y se realiza la operación. √ 4 8 √ 3 4

√ 33 (2 ) √ = 3×4 = 4 4×3

(22)

√ 12 9 √2 12 8 2

=

q

12

29 28

=

√

12

2

√ √ √ 2. ¿Cuál es el resultado de f rac6 12 + 2 3 62 3? Solución Se divide cada término del numerador entre el denominador y se obtiene: √ √ 3 6 6 12+2 √ 2 3

=

√ 2 q √ 3×2 3 (2·3) 2√ 6 12 + 2 3 = 3 3 + 2×3√33 q q 2 2 3(2) + 6 2 3·33 = 6 + 6 22 · 13 =

√ 6 √12 2 3

=

√ =3 4+ q

66

√ 6 22·32 √ 6 3 3

4 3

Para introducir una cantidad a un radical, se debe elevar la cantidad a un exponente igual al índice del radical.

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Ejemplo: √

1. Realiza 248 . Solución √ El divisor se expresa como 2 = 22 y se realiza la operación para obtener el resultado. √

48 2

=

√ √48 22

=

q

48 22

=

q

48 4

√

=

12 =

√

22 · 3 =

√

22 ·

√

√ 3=2 3

2. Introduce el factor en el radical. √ 5 a · b3 c2 Solución √ 5 Se expresa a como a = a5 y luego se multiplican los radicales a·

√ 5

√ 5

b3 c2 =

a5 ·

√ 5

b3 c2 =

√ 5

a5 b3 c2

EJERCICIOS PROPUESTOS Realiza las siguientes operaciones: 1. 2. 3. 4.

√ √72 2 √ √10 5 √ 5 √120 6 40 √ 3 48 √ 3 3

5. 6. 7. 8.

√ 5 16 √ 3 4 √ 6 √ 3 2 √ 7 √6 14 3 √ √ 200− √ 50 2

9. 10. 11.

√ 3

√ 6 3− √ 6 2

√

√ 3 2+ 2 √ 4 2

√

√ √ 2+ 3√4− 5 16 8

Racionalización Racionalizar es representar una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el numerador, cuyo numerador o denominador sea un número racional respectivamente. c Racionalización del denominador. Dada la expresión de la forma √ n m , se racionaa liza de la siguiente manera: c √ n m a

=

c √ n m a

·

√ n n−m a √ n n−m a

=

√ n c· an−m √ n m+n−m a

=

√ n c· √an−m n n a

=

c·

√ n

an−m a

Ejemplos: 1. Transforma dor. Solución La fracción numerador. Portal de Matemática

√1 3

√1 3

en otra expresión equivalente que carezca de raíz en el denomina-

se multiplica por

√

32−1 =

9

√

3 tanto el denominador como el

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√1 3

√1 3

=

·

√ √3 3

=

√ √3 32

=

√

3 3

q

2. Racionaliza la expresión 25 Solución √ √ Se debe separar la expresión en raíces y se multiplican por 52−1 = 5 tanto el numerador como denominador, para obtener el resultado: q

2 5

=

√ √2 5

√ √2 5

=

·

√ √5 5

=

√10 52

=

10 5

Racionalización de un denominador binomio. Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio (a±b) y alguno o ambos elementos tienen una raíz cuadrada, se multiplica por el conjugado del binomio (a ∓ b). c a±b

=

c a±b

·

a∓b a∓b

=

c(a∓b) a2 −b2

Ejemplo: 1. Racionaliza la expresión 1+3√2 . Solución √ Se multiplica el numerador y el denominador de la expresión por 1 − 2, que es √ el conjungado del denominador 1 + 2. 3√ 1+ 2

=

3√ 1+ 2

·

√ 1−√2 1− 2

=

√ 3(1−√ 2) 2 1 −( 2)2

=

√ 3−3 2 1−2

=

√ 3−3 2 −1

√ =3 2−3

2. Racionaliza la expresión √5−7 √3 . Solución Se multiplica por el conjugado del denominador y se simplifica para obtener el resultado. √ 7√ 5− 3 √

=

√ 7√ 5− 3

·

√ √ √5+√3 5+ 3

=

√ √ 7( 5+ √3) √ ( 5)2 −( 3)2

=

√ √ 7 5+7 3 (5−3

=

√ √ 7 5+7 3 2

√

√ 2. 3. Racionaliza 32√3−2 3− 2 Solución √ √ Se multiplica al numerador y denominador por 2 3 + 2 y se efectúa la simplificación. √ √ 3 √3−2√ 2 2 3− 2

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=

√ √ 3 √3−2√ 2 2 3− 2

·

√ √ 2√3+√2 2 3+ 2

=

√ √ √ 2 √ 6( 3)2 +3 √ 6−4 √6−2( 2) (2 3)2 −( 2)2

10

=

√ 18− 6−4 12−2

=

√ 14− 6 10

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EJERCICIOS PROPUESTOS Racionaliza los siguientes denominadores: 1.

√2 5

6.

2.

√3 3

7.

3.

5 √ 3 3

8.

√ √2 3 √ √3 20 √ √ 20− √ 30 5

4.

2 √ 4 8

9.

8√ 3+ 7

5.

12 √ 6

10.

√4 6−2

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11

11.

√ 2+√3 1− 3

12.

√

13.

√1 √ 1+ 2− 3

14.

√2 √ 1+ 3+ 5

√

5√ 2− 5

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