3º ESO - UNIDAD 2.- POTENCIAS Y RAÍCES -------------------------------------------------------------------

OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA UNIDAD 1.- Calcular potencias de base racional y exponente entero 2.- Realizar operaciones con potencias de exponente entero usando sus propiedades 3.- Expresar números en notación científica 4.- Realizar operaciones en notación científica 5.- Resolver problemas usando notación científica 6.- Simplificar radicales expresándolos en forma de potencia. 7.- Realizar operaciones simples con radicales.

1.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Potencias de exponente natural. m ... .a a = a. 

4

Por ejemplo, 3 = 3.3.3.3 = 81

m veces

1

a =a

1

0

Por ejemplo, 7 = 1 m

a   b m

2

am

=

3

b

15

32

9

m

1 = 1 . Por ejemplo, 1 = 1

am , si m es par (– a) =  m  a , si m es impar

Por ejemplo, (–4) = 1

Por ejemplo,   = 2  5 5 25

m

m

0

a =1

6

0 = 0 (si m ≠ 0) Por ejemplo, 0 = 0

2

2

3

Por ejemplo, (–5) = 5 = 25

m

3

(–5) = – 5 = –125

m

2

2

Observa que si el exponente es par no es lo mismo (– a) que –a . Por ejemplo, (–3) = 9 y –3 = –9 Potencias de exponente entero negativo. m

1 1 am    = m a a

–2

Por ejemplo, 3 =

1 a

a1 

a   b

1



b a

1

1  2 9 3

a   b

m

m

b

a

 3 

1 a

–1

b a

m

3 3 5 3 27 Por ejemplo,   =   =

( es el inverso de a). Por ejemplo, 2 =

( es la fracción inversa de

1

bm

=  = m a a

 am

Ejemplos:

1 7

4

1 2

2 a ) . Por ejemplo,   b 7

 74

1 35 15

 5 

1

=

7 2

 35

Nota: Cualquier potencia se puede hallar con la calculadora. Ejemplo: 2 se calcula así: 2 ^ 15 = . El resultado es 32 768 -1-

125

3º ESO - UNIDAD 2.- POTENCIAS Y RAÍCES -------------------------------------------------------------------

ACTIVIDADES 1.- Halla las siguientes potencias: a) 2 2

2

 1 

f)   3

–2

b) (–2)

3

–3

 1 

g)    3 

–4

c) (–2) 1

d) (–3)

 3 

h)    2 

–1

e) 1

2

 3 

i)    4 

–7

3

j)    5 

2.- Expresa en forma de potencia de exponente distinto de 1: a) 16

b) –125

c)

1

d)

2

3

1 5

e)

3

1 16

f)

1 8

Actividades del libro (unidad 2): 3 , 50 y 86 2.- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON POTENCIAS 1) Producto de potencias de la misma base. Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes: m n

a a =a

m+n

–7

2

Ejemplo: (–3) . (–3) .(–3) = (–3)

–7+2+1

= (–3)

–4

=

1 4

(3)



1 81

2) Potencia de una potencia. Para calcular la potencia de una potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes: m n

(a ) = a

mn

–3 – 2

Ejemplo: [(–2) ]

= (–2)

(–3).(– 2)

6

= (–2) = 64

3) División de potencias de la misma base. Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes: am

 amn n a

Ejemplo:

2 7 2 4

=2

– 7 – (– 4)

=2

–3

=

1

1  23 8

4) Producto de potencias del mismo exponente. Para multiplicar potencias del mismo exponente se multiplican las bases y se deja el mismo exponente: m m

m

a b = (ab)

3 3

3

3

3

Ejemplo: (–2) 3 = [(–2)3] = (–6) = –6 = –216

5) Potencia de un producto. Para calcular la potencia de un producto se eleva al exponente cada factor: m

m m

(ab) = a b

2

2 2

–1

Ejemplos: (2.7) = 2 7 = 4.49 = 196

–1

–1

m .n = (mn) =

1 mn

6) División de potencias del mismo exponente. Para dividir potencias del mismo exponente se dividen las bases y se deja el mismo exponente: am

m

a  m  b  b

Ejemplo:

2 3 (5)3 -2-

3 3 2 5 125 =      

 5 

 2 

8

3º ESO - UNIDAD 2.- POTENCIAS Y RAÍCES -------------------------------------------------------------------

ACTIVIDADES 1.- Expresa en forma de una sola potencia y calcula, para las potencias numéricas, el valor de dicha potencia: –7

a) (–3)

g)

12 2 (3)

2

. (–3)

5

b)

(2)12 ( 2)15

h) (–2)

–3

4 –1

2

c) (5 )

–3

.3

i)

d) x . x

512.5 3

j)

2 8

5 .5 2

3

2.- Desarrolla las siguientes potencias: a) (–3x)

4

3 2

e) (m )

x4 x

f)

x3 x2

2 2

k) x y

5

32

b) (5ab)

c) (–2x )

3.- Realiza las siguientes operaciones combinadas con potencias: a) (3.23  5.20 ) : (22  6 1)

–1

b) (–6)

–1

+ (–4)

6

– 2 –1

– (3.2 )

1

c)   5

 3   5   2 

2

3.- NOTACIÓN CIENTÍFICA Potencias de base 10 y exponente entero. - Si el exponente es positivo se pone un 1 y se añaden “n” ceros:

n 10 = 1 0...0 

n ceros 6

Ejemplo: 10 = 1 000 000

- Si el exponente es negativo se pone un 1 precedido de “n” ceros: 10

–n

= 0,0...0  1 n ceros

Ejemplo: 10

–4

= 0,0001

Multiplicación por potencias de base 10 y exponente entero. - Si el exponente es positivo se desplaza la coma hacia delante tantas cifras como indica el exponente, añadiendo ceros si fuese necesario. 3 Ejemplo: 3,25. 10 = 3250 - Si el exponente es negativo se desplaza la coma hacia atrás tantas cifras como indica el exponente, añadiendo ceros si fuese necesario. –4 Ejemplo: 64. 10 = 0,0064 Expresión en notación científica. Un número está escrito en notación científica si es de la forma m A . 10 , siendo A es un número del intervalo [1,10 [ y el exponente m es un número entero, llamado orden de magnitud del número. El orden de magnitud indica lo grande que es el número. Si el orden de magnitud es negativo es porque el número es “muy pequeño” 11

Ejemplos: 378 500 000 000 = 3,785 . 10

orden de magnitud: 11

0,000 000 02 = 2 . 10

–8

-3-

orden de magnitud: –8

3º ESO - UNIDAD 2.- POTENCIAS Y RAÍCES -------------------------------------------------------------------

Para comparar números se expresan en notación científica y se comparan tanto la parte decimal como la potencias de 10. 15

Ejemplos: 3,5.10

12

–7

> 8,7.10 , pues 15 > 12

2,25.10

–7

< 3,75.10 , pues 2,25 < 3,75

ACTIVIDADES 1.- Calcula las siguientes potencias de base 10:

a) 10

–7

b) 10

5

–1

c) 10

2.- Realiza las siguientes multiplicaciones por potencias de base 10: 5 –4 2 a) 3,75.10 b) 274,1.10 c) 0,05.10

d) 405.10

–3

Actividades del libro (unidad 2): 43 , 44 y 100 4.- OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA m

m

Suma y resta: La regla para sumar y restar es: A.10 ± B.10 = (A ± B).10 Ejemplo: 2,5.10

–4

–4

– 2.10

+ 0,25.10

–4

= (2,5 – 2 + 0,25).10

–4

m

= 0,75.10 = 7,5.10

–3

Para aplicar esta regla las potencias de 10 deben tener el mismo exponente. Cuando no tengan el mismo exponente lo haremos con la calculadora. Por ejemplo, para realizar con la calculadora 225,6.10

–9

+ 0,45.10

–7

el proceso es:

225.6 EXP –9 + 0.45 EXP –7 = . El resultado es 2,706.10 m

n

Producto: La regla para multiplicar es: (A.10 ).(B.10 ) = (A.B).10 Ejemplo: (32,5.10

–7

4

)(8,5.10 ) = (32,5 . 8,5).10 m

–7 + 4

Ejemplo: (0,5.10

–6

):(0,125.10

–2

–3

n

) = (0,5:0,125).10

m+n

= 276,25.10

División: La regla para dividir es: (A.10 ):(B.10 ) = (A:B).10 –6 – (– 2)

–7

= 2,7625.10

–1

m–n –4

= 4.10

ACTIVIDADES 1.- Realiza las siguientes sumas y restas en notación científica y da el resultado en notación científica: a) 4,5.10

12

12

+ 8,75.10 – 1,225.10

12

17

17

b) 9,75.10 – 9,705.10

2.- Realiza los siguientes productos y divisiones en notación científica y da el resultado en notación científica: 12

– 15

a) (0,04 . 10 ) (275,2.10

)

b) 2.10

–7

. 0,25.10

–4

c)

6.102 3.107

9

3.- La edad del Sol es de aproximadamente 5.10 años. Sin embargo, hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol. ¿Cuál es la edad de estos cuerpos? Escribe el resultado con todas sus cifras y también en notación científica. 25

4.- Sabiendo que 1 litro de agua contiene aproximadamente 3.10 moléculas, ¿cuántas moléculas hay en 20 litros de agua? Escribe el resultado en notación científica.

-4-

3º ESO - UNIDAD 2.- POTENCIAS Y RAÍCES -------------------------------------------------------------------

5.- La masa de un protón es aproximadamente 1,7 . 10 de 250 000 billones de protones

– 25

kg . Calcula la masa, en gramos,

33

27

3

6.- La masa del Sol es aproximadamente 2.10 g y su volumen 1,6 ·10 m . Sabiendo que la densidad de un cuerpo viene dada por la fórmula “Densidad = Masa/Volumen”, calcula la 3 densidad media del Sol en gr/m . Escribe el resultado con todas sus cifras y también en notación científica. 5

7.- Las distancias Tierra-Luna y Tierra-Sol son respectivamente, en un momento dado, 4.10 km 8 y 1,6.10 km. ¿Cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al Sol que a la Luna? Escribe el resultado con todas sus cifras y también en notación científica.

Actividades del libro (unidad 2): 48, 97, 98 (con la calculadora) y 103 5.- RADICALES 5

Concepto de radical. Si tienes que resolver la ecuación x = 40 , para despejar la “x” hay que hallar una raíz: x = 5 40 5 40

se llama radical (5 es el índice y 40 es el radicando).

Esta raíz no es exacta, pero se puede hallar de forma aproximada con la calculadora 5 SHIFT ^ 40 = 2,091279105…. En general, n a con n  2 se llama radical o raíz de índice “n” y radicando “a”. Si el índice es 2, se llama raíz cuadrada y se expresa así: a Número de soluciones de un radical.  a positivo  2 soluciones opuestas. Ejemplo : 4 81  3. Si no se dice lo contrario se toma el valor positivo  n par   n a  a negativo  Ninguna solución. Ejemplo : 9 no tiene solución  5 n impar  1 solución . Ejemplo : 32   2

Potencias de exponente fraccionario. a

m/n

=

n m a

Expresión de un radical en forma de potencia. Como consecuencia

n n a

n/n

=a

n m a

=a

m/n

– 2/5

Ejemplo:

5 2

3

= 3

Ejemplo:

5 2

= 3

3

.

– 2/5

.

= a Ejemplos: 6 26 = 2 , 152 = 15

Radicales equivalentes. Son los que tienen el mismo valor. Por ejemplo,  4 16 y  4 son equivalentes, pues  4 16 = 2 y  4 = 2 - Amplificación de radicales: Si se multiplican el índice y exponente del radicando por el mismo número natural se obtiene un radical equivalente. Ejemplo:

3 2

6

=

3.5 2.5

6

=

15 10

6

- Simplificación de radicales: Si se dividen el índice y exponente del radicando por un mismo divisor común se obtiene un radical equivalente. Ejemplo:

12 8

5 =

12:4 8:4

5

= 3 52 = 3 25

Observación: Si el exponente del radicando es divisible entre el índice el radical, el resultado es una potencia de exponente entero. Ejemplo:

3 9

2

=2 -5-

– 9/3

=2

–3

=

1 8

3º ESO - UNIDAD 2.- POTENCIAS Y RAÍCES -------------------------------------------------------------------

Reducción de radicales a común índice. Se toma como índice común el mcm de los índices. El común índice se divide entre cada índice y el resultado se multiplica por el exponente del radicando. Ejemplo: 6 3 y

8 7

5 ; mcm(6,8) = 24 . Los radicales reducidos a común índice son:

24 4

3

y

24 21

5

ACTIVIDADES 1.- Simplifica los siguientes radicales: a)

4

c) 52

6 b) x 9

26

d)

3

y6

Actividades del libro (unidad 2): 16, 32, 34 y 91 6.- OPERACIONES CON RADICALES Suma y resta de radicales. Para poder sumar o restar términos con raíces, todos los términos deben llevar la misma raíz. La regla es: M n a  N n a = (M  N) n a

Ejemplo: 5 3 7 –

3

7 + 2 3 7 = (5 – 1 + 2)

3

7=637

Producto de radicales - Si tienen el mismo índice, se deja el mismo índice y se multiplican los radicandos: n a n b = n ab 32

Ejemplo:

. 35 =

3

3

2.5 =

10

- Si no tuviesen el mismo índice, se reducen a común índice y luego se multiplican aplicando lo anterior Raíz de un producto. Para calcular la raíz de un producto, se calcula la raíz de cada factor. n ab

= na nb

Ejemplo:

3

2.5 =

32

. 35

División de radicales - Si tienen el mismo índice, se deja el mismo índice y se dividen los radicandos: n n

a

a = n

Ejemplo:

b

b

7 3

7 3

=

- Si no tuviesen el mismo índice, se reducen a común índice y luego se dividen aplicando lo anterior n

Raíz de un cociente. Para calcular la raíz de un cociente, se calcula la raíz de cada término.

n a= a b n b

Ejemplo:

7 3

=

7 3

Potencia de una raíz. Para calcular la potencia de una raíz, se deja el mismo índice y el radicando se eleva al exponente de la potencia.

m

 A n

=

n

Am

Ejemplo:

 3 12

20



12

320

Raíz de una raíz. Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices y se deja el mismo radicando. mn

A =

mn

Ejemplo:

A

3

5 65

ACTIVIDADES 3

1.- Reduce a un solo radical y simplifícalo al máximo: a) 2 5 – 3 5 + 2 5

Actividades del libro (unidad 2): 24 y 82

-6-

b)

37 3 3 4 3

32

8

c) 12

2

4

27

23 2