´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Series de potencias (II)

´ Algebra de series de potencias

1

´ Algebra de series de potencias

2

Teorema de Abel

Teorema de Abel

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Ejemplo (suma de series) ´ senh(x). Calcular la serie de McLaurin de la funcion

senh(x) =


1 ex − e−x = exp(x) − exp(−x) 2 2


1 x x2 x3 x x2 x3 (1+ + + +· · · )−(1− + − +− · · · ) = 2 1! 2! 3! 1! 2! 3! 3 5 x x x + + + ··· 1! 3! 5! ´ valido para todo x ∈ R Del mismo modo: senh(x) =

cosh(x) = 1 +

x2 x4 x6 + + + · · · ∀x ∈ R 2! 4! 6!

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Ejemplo (suma de series) ´ senh(x). Calcular la serie de McLaurin de la funcion

senh(x) =


1 ex − e−x = exp(x) − exp(−x) 2 2


1 x x2 x3 x x2 x3 (1+ + + +· · · )−(1− + − +− · · · ) = 2 1! 2! 3! 1! 2! 3! 3 5 x x x + + + ··· 1! 3! 5! ´ valido para todo x ∈ R Del mismo modo: senh(x) =

cosh(x) = 1 +

x2 x4 x6 + + + · · · ∀x ∈ R 2! 4! 6!

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Ejemplo (suma de series) ´ senh(x). Calcular la serie de McLaurin de la funcion

senh(x) =


1 ex − e−x = exp(x) − exp(−x) 2 2


1 x x2 x3 x x2 x3 (1+ + + +· · · )−(1− + − +− · · · ) = 2 1! 2! 3! 1! 2! 3! 3 5 x x x + + + ··· 1! 3! 5! ´ valido para todo x ∈ R Del mismo modo: senh(x) =

cosh(x) = 1 +

x2 x4 x6 + + + · · · ∀x ∈ R 2! 4! 6!

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Ejemplo (producto de series) q 1+x ´ f (x) = 1+x Calcular la serie de McLaurin de la funcion 2. r −1 1 1+x f (x) = = (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2 1 + x2



1

(1+x) 2 =

1/2 0

         1/2 1/2 1/2 1/2 + x+ x 2+ x 3+ x 4 +· · · = 1 2 3 4

1 3 1 4 1 x − x2 + x − x + · · · para todo x ∈ (−1, +1) 2 8 16 128       −1 −1/2 −1/2 −1/2 (1 + x 2 ) 2 = + x2 + (x 2 )2 + · · · = 0 1 2 1+

=1−

x2 3 + x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1) 2 8

Multiplicando: r f (x) =

−1 1 1+x 1 1 1
1 1
3 = (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − + x +· · · 1 + x2 2 8 2 4 16

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Ejemplo (producto de series) q 1+x ´ f (x) = 1+x Calcular la serie de McLaurin de la funcion 2. r −1 1 1+x f (x) = = (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2 1 + x2



1

(1+x) 2 =

1/2 0

         1/2 1/2 1/2 1/2 + x+ x 2+ x 3+ x 4 +· · · = 1 2 3 4

1 3 1 4 1 x − x2 + x − x + · · · para todo x ∈ (−1, +1) 2 8 16 128       −1 −1/2 −1/2 −1/2 (1 + x 2 ) 2 = + x2 + (x 2 )2 + · · · = 0 1 2 1+

=1−

x2 3 + x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1) 2 8

Multiplicando: r f (x) =

−1 1 1+x 1 1 1
1 1
3 = (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − + x +· · · 1 + x2 2 8 2 4 16

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Ejemplo (producto de series) q 1+x ´ f (x) = 1+x Calcular la serie de McLaurin de la funcion 2. r −1 1 1+x f (x) = = (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2 1 + x2



1

(1+x) 2 =

1/2 0

         1/2 1/2 1/2 1/2 + x+ x 2+ x 3+ x 4 +· · · = 1 2 3 4

1 3 1 4 1 x − x2 + x − x + · · · para todo x ∈ (−1, +1) 2 8 16 128       −1 −1/2 −1/2 −1/2 (1 + x 2 ) 2 = + x2 + (x 2 )2 + · · · = 0 1 2 1+

=1−

x2 3 + x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1) 2 8

Multiplicando: r f (x) =

−1 1 1+x 1 1 1
1 1
3 = (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − + x +· · · 1 + x2 2 8 2 4 16

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Ejemplo (producto de series) q 1+x ´ f (x) = 1+x Calcular la serie de McLaurin de la funcion 2. r −1 1 1+x f (x) = = (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2 1 + x2



1

(1+x) 2 =

1/2 0

         1/2 1/2 1/2 1/2 + x+ x 2+ x 3+ x 4 +· · · = 1 2 3 4

1 3 1 4 1 x − x2 + x − x + · · · para todo x ∈ (−1, +1) 2 8 16 128       −1 −1/2 −1/2 −1/2 (1 + x 2 ) 2 = + x2 + (x 2 )2 + · · · = 0 1 2 1+

=1−

x2 3 + x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1) 2 8

Multiplicando: r f (x) =

−1 1 1+x 1 1 1
1 1
3 = (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − + x +· · · 1 + x2 2 8 2 4 16

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

Ejemplo (producto de series) q 1+x ´ f (x) = 1+x Calcular la serie de McLaurin de la funcion 2. r −1 1 1+x f (x) = = (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2 1 + x2



1

(1+x) 2 =

1/2 0

         1/2 1/2 1/2 1/2 + x+ x 2+ x 3+ x 4 +· · · = 1 2 3 4

1 3 1 4 1 x − x2 + x − x + · · · para todo x ∈ (−1, +1) 2 8 16 128       −1 −1/2 −1/2 −1/2 (1 + x 2 ) 2 = + x2 + (x 2 )2 + · · · = 0 1 2 1+

=1−

x2 3 + x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1) 2 8

Multiplicando: r f (x) =

−1 1 1+x 1 1 1
1 1
3 = (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − + x +· · · 1 + x2 2 8 2 4 16

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

´ de una SP en otra) Ejemplo (sustitucion Como exp(x) = 1 +

x x2 x3 + + + ··· 1! 2! 3!

exp(sen(x)) = 1 +

∀x ∈ R, entonces

sen(x) sen2 (x) sen3 (x) + + + ··· 1! 2! 3!

x5 x3 + − + · · · ∀x ∈ R, sustituyendo: 3! 5!    2 1 x3 x5 1 x3 x5 exp(sen(x)) = 1 + + x− + − +··· + x− + − +··· 1! 3! 5! 2! 3! 5! Como sen(x) = x −

+

1 3!

 x−

x3 x5 + − +··· 3! 5!

3 +

1 4!

 4 x3 x5 x− + − +··· + ··· = 3! 5!

exp(sen(x)) = 1 + x +

1 2 1 4 x − x + ··· 2 8

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

´ de una SP en otra) Ejemplo (sustitucion Como exp(x) = 1 +

x x2 x3 + + + ··· 1! 2! 3!

exp(sen(x)) = 1 +

∀x ∈ R, entonces

sen(x) sen2 (x) sen3 (x) + + + ··· 1! 2! 3!

x5 x3 + − + · · · ∀x ∈ R, sustituyendo: 3! 5!    2 1 x3 x5 1 x3 x5 exp(sen(x)) = 1 + + x− + − +··· + x− + − +··· 1! 3! 5! 2! 3! 5! Como sen(x) = x −

+

1 3!

 x−

x3 x5 + − +··· 3! 5!

3 +

1 4!

 4 x3 x5 x− + − +··· + ··· = 3! 5!

exp(sen(x)) = 1 + x +

1 2 1 4 x − x + ··· 2 8

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

´ de una SP en otra) Ejemplo (sustitucion Como exp(x) = 1 +

x x2 x3 + + + ··· 1! 2! 3!

exp(sen(x)) = 1 +

∀x ∈ R, entonces

sen(x) sen2 (x) sen3 (x) + + + ··· 1! 2! 3!

x5 x3 + − + · · · ∀x ∈ R, sustituyendo: 3! 5!    2 1 x3 x5 1 x3 x5 exp(sen(x)) = 1 + + x− + − +··· + x− + − +··· 1! 3! 5! 2! 3! 5! Como sen(x) = x −

+

1 3!

 x−

x3 x5 + − +··· 3! 5!

3 +

1 4!

 4 x3 x5 x− + − +··· + ··· = 3! 5!

exp(sen(x)) = 1 + x +

1 2 1 4 x − x + ··· 2 8

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

´ de SP) Ejemplo (division ´ f (x) = sec(x) = Calcular la serie de McLaurin de la funcion

1 . cos(x)

x2 x4 + − + · · · ∀x ∈ R, llamamos 2! 4! sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di tales que 1 sec(x) = ⇔ sec(x) cos(x) = 1 cos(x)    x2 x4 d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · 1− + − +··· = 1 2! 4! Como sabemos que cos(x) = 1 −

´ Termino en x 0 : ´ Termino en x 1 : ´ Termino en x 2 : ´ Termino en x 3 : ´ Termino en x 4 :

d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1 d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12 d0 · ( −1 2 d0 · 0 + d1 · ( −1 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0 2 1 d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1 ) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 2 sec(x) = 1 +

1 2 5 4 x + x + ··· 2 24

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´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

´ de SP) Ejemplo (division ´ f (x) = sec(x) = Calcular la serie de McLaurin de la funcion

1 . cos(x)

x2 x4 + − + · · · ∀x ∈ R, llamamos 2! 4! sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di tales que 1 sec(x) = ⇔ sec(x) cos(x) = 1 cos(x)    x4 x2 d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · 1− + − +··· = 1 2! 4! Como sabemos que cos(x) = 1 −

´ Termino en x 0 : ´ Termino en x 1 : ´ Termino en x 2 : ´ Termino en x 3 : ´ Termino en x 4 :

d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1 d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12 d0 · ( −1 2 d0 · 0 + d1 · ( −1 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0 2 1 d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1 ) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 2 sec(x) = 1 +

1 2 5 4 x + x + ··· 2 24

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´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

´ de SP) Ejemplo (division ´ f (x) = sec(x) = Calcular la serie de McLaurin de la funcion

1 . cos(x)

x2 x4 + − + · · · ∀x ∈ R, llamamos 2! 4! sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di tales que 1 sec(x) = ⇔ sec(x) cos(x) = 1 cos(x)    x4 x2 d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · 1− + − +··· = 1 2! 4! Como sabemos que cos(x) = 1 −

´ Termino en x 0 : ´ Termino en x 1 : ´ Termino en x 2 : ´ Termino en x 3 : ´ Termino en x 4 :

d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1 d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12 d0 · ( −1 2 d0 · 0 + d1 · ( −1 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0 2 1 d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1 ) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 2 sec(x) = 1 +

1 2 5 4 x + x + ··· 2 24

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´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

´ de SP) Ejemplo (division ´ f (x) = sec(x) = Calcular la serie de McLaurin de la funcion

1 . cos(x)

x2 x4 + − + · · · ∀x ∈ R, llamamos 2! 4! sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di tales que 1 sec(x) = ⇔ sec(x) cos(x) = 1 cos(x)    x4 x2 d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · 1− + − +··· = 1 2! 4! Como sabemos que cos(x) = 1 −

´ Termino en x 0 : ´ Termino en x 1 : ´ Termino en x 2 : ´ Termino en x 3 : ´ Termino en x 4 :

d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1 d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12 d0 · ( −1 2 d0 · 0 + d1 · ( −1 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0 2 1 d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1 ) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 2 sec(x) = 1 +

1 2 5 4 x + x + ··· 2 24

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´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

´ de SP) Ejemplo (division ´ f (x) = sec(x) = Calcular la serie de McLaurin de la funcion

1 . cos(x)

x2 x4 + − + · · · ∀x ∈ R, llamamos 2! 4! sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di tales que 1 sec(x) = ⇔ sec(x) cos(x) = 1 cos(x)    x4 x2 d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · 1− + − +··· = 1 2! 4! Como sabemos que cos(x) = 1 −

´ Termino en x 0 : ´ Termino en x 1 : ´ Termino en x 2 : ´ Termino en x 3 : ´ Termino en x 4 :

d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1 d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12 d0 · ( −1 2 d0 · 0 + d1 · ( −1 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0 2 1 d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1 ) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 2 sec(x) = 1 +

1 2 5 4 x + x + ··· 2 24

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´ Algebra de series de potencias

1

´ Algebra de series de potencias

2

Teorema de Abel

Teorema de Abel

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

El Teorema de Abel

Teorema de Abel ´ continua tal que Sea f : P [0, R] −→ R una funcion P f (x) = n≥0 an x n paraP todo x ∈ [0, R). Si la serie an R n es convergente entonces an R n = f (R). Lo mismo ocurre con el intervalo [−R, 0]. ´ ´ Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonica alternada ´ Ejemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (serie de Gregory) ´ ´ Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

El Teorema de Abel

Teorema de Abel ´ continua tal que Sea f : P [0, R] −→ R una funcion P f (x) = n≥0 an x n paraP todo x ∈ [0, R). Si la serie an R n es convergente entonces an R n = f (R). Lo mismo ocurre con el intervalo [−R, 0]. ´ ´ Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonica alternada ´ Ejemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (serie de Gregory) ´ ´ Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica

´ Algebra de series de potencias

Teorema de Abel

El Teorema de Abel

Teorema de Abel ´ continua tal que Sea f : P [0, R] −→ R una funcion P f (x) = n≥0 an x n paraP todo x ∈ [0, R). Si la serie an R n es convergente entonces an R n = f (R). Lo mismo ocurre con el intervalo [−R, 0]. ´ ´ Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonica alternada ´ Ejemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (serie de Gregory) ´ ´ Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica