Anexo C

Introducci´on a las series de potencias Este ap´endice tiene como objetivo repasar los conceptos relativos a las series de potencias y al desarrollo de una funci´on ne serie de potencias en torno a un punto.

C.1.

Series de potencias

Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresi´on de la forma ∞ X

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · ·

(C.1)

n=0

donde x es una variable y los coeficientes an son constantes. Se dice que (C.1) converge en X∞ el punto x = r si la serie infinita (de n´ umeros reales) an (r − x0 )n converge; esto es, el n=0 l´ımite de las sumas parciales, N X l´ım an (r − x0 )n , N →∞

n=0

existe (como n´ umero finito). Si este l´ımite no existe, se dice que la serie de potencias diverge en x = r. Obs´ervese que (C.1) converge en x = x0 ya que ∞ X an (x0 − x0 )n = a0 + 0 + 0 + · · · n=0

Pero, ¿qu´e se puede decir acerca de la convergencia para otros valores de x?. Como se establece en el Teorema C.1 de m´as abajo, una serie de potencias de la forma (C.1) converge 217

218

Introducci´on a las Series de Potencias

para todo el valor de x perteneciente a cierto “intervalo” con centro en x0 , y diverge para los valores de x que est´en fuera de este intervalo. Adem´as, en los puntos interiores de dicho ∞ P intervalo, se dice que la serie de potencias converge absolutamente si |an (x − x0 )n | n=0

converge. (Recu´erdese que la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia (ordinaria) de la serie.) Teorema C.1 (Radio de convergencia).- Para cada serie de potencias de la forma (C.1), existe un n´ umero ρ (0 ≤ ρ ≤ ∞), llamado radio de convergencia de la serie de potencias, tal que (C.1) converge absolutamente para |x − x0 | < ρ y diverge para |x − x0 | > ρ. (V´ease la figura C.1.) Si la serie (C.1) converge para todo valor real de x, entonces ρ = ∞. Si la serie (C.1) converge solamente en x0 , entonces ρ = 0.

Divergencia

?

x 0+ρ

Convergencia absoluta x0

? Divergencia x 0+ρ

Figura C.1: Intervalo de convergencia Obs´ervese que el Teorema C.1 resuelve la cuesti´on de la convergencia de las series de potencias en todos los puntos de la recta real excepto en los extremos x0 = ±ρ del intervalo de convergencia. Estos dos puntos requieren un an´alisis independiente. Para determinar el radio de convergencia ρ, un m´etodo que a menudo resulta f´acil de aplicar es el criterio del cociente. Teorema C.2 (Criterio del cociente).- Si ¯ ¯ ¯ an+1 ¯ ¯ = L, l´ım ¯ n→∞ ¯ an ¯ donde 0 ≤ L ≤ ∞, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias 1 es ρ = , con ρ = ∞ si L = 0 y ρ = 0 si L = ∞. L

P∞ n=0

an (x−x)n

Observaci´ on Se debe observar que si el l´ımite del cociente |an+1 /an | no existe, entonces se deben emplear otros m´etodos distintos del criterio del cociente para determinar ρ. Por ejemplo, el criterio de la ra´ız:

C.1 Series de potencias

219

Teorema C.3 (Criterio de la ra´ız).- Si l´ım

p n

n→∞

|an | = L,

donde 0 ≤ L ≤ ∞, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias

∞ P

an (x − x)n

n=0

1 es ρ = , con ρ = ∞ si L = 0 y ρ = 0 si L = ∞. L Ejemplo C.4 Determ´ınese el intervalo de la convergencia de ∞ X (−2)n

n+1 n=0

(x − 3)n .

(C.2)

(−2)n , se tiene n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an+1 ¯ ¯ (−2)n+1 (n + 1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ l´ım = l´ım n→∞ ¯ an ¯ n→∞ ¯ (−2)n (n + 2) ¯

Soluci´ on.- Puesto que an =

=

l´ım

n→∞

2(n + 1) = 2 = L. (n + 2)

1 Por el criterio del cociente, el radio de convergencia es ρ = . Por lo tanto, la serie (C.2) con2 1 1 verge absolutamente para |x − 3| < , y diverge cuando |x − 3| > . S´olo queda determinar 2 2 5 7 lo que sucede cuando |x − 3| = 1/2. Esto es, cuando x = ´o x = . 2 2 ∞ P 1 5 , la serie (C.2) se convierte en la serie arm´onica , la cual es 2 n=0 n + 1 ∞ (−1)n P 7 divergente. Si x = , la serie (C.2) se convierte en la serie arm´onica alternada , 2 n=0 n + 1 la cual es convergente. µ ¸ As´ı que la serie de potencias converge para todo x en el intervalo 5 7 , semiabierto ; fuera de este intervalo, la serie diverge. 2 2

Haciendo x =

Para cada valor x para el cual la serie de potencias

∞ P n=0

an (x − x0 )n converge, se obtiene

un n´ umero que es la suma de la serie. Resulta apropiado denotar esta suma con f (x), ya que su valor depende de la elecci´on de x. As´ı que se escribe ∞ X f (x) = an (x − x0 )n , n=0

220

Introducci´on a las Series de Potencias

para todo n´ umero x contenido en el intervalo de convergencia. Por ejemplo, la serie geom´etrica ∞ ∞ P P 1 n x tiene radio de convergencia ρ = 1 y, cuando |x| < 1 la suma xn es . En efecto 1−x n=0 n=0 SN = 1 + x + · · · + xN y xSN = x + x2 + · · · + x + xN +1 , de modo que SN (1 − x) = 1 − xN +1 y l´ım

N →∞

N X

xn = l´ım SN = N →∞

n=0

1 1−x

porque l´ımN →∞ xN +1 = 0 por ser |x| < 1. En consecuencia,

∞ P

xn =

n=0

1 funci´on suma es, en este caso, f (x) = . (1 − x)

1 . Es decir, la 1−x

Dadas dos series de potencias ∞ X f (x) = an (x − x0 )n ,

∞ X g(x) = bn (x − x0 )n ,

n=0

(C.3)

n=0

con radios de convergencia distintos de cero, se desea obtener representaciones en series de potencias para la suma, producto y cociente de las funciones f (x) y g(x). La suma se obtiene simplemente por medio de la adici´on t´ermino a t´ermino: ∞ X f (x) + g(x) = (an + bn )(x − x0 )n

(C.4)

n=0

para todo x perteneciente al intervalo de convergencia com´ un de las series de potencias (C.3). La representaci´on en serie de potencias del producto f (x)g(x) es un poco m´as complicada. Para obtener la f´ormula, se trata a las series de potencias de f (x) y g(x) como “polinomios largos”, se aplica la ley distributiva y se agrupan los t´erminos en potencias de x − x0 ): [a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · ] · [b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )2 + · · · ] = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) (x − x0 ) + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) (x − x0 )2 + · · · . La f´ormula general del producto es f (x)g(x) =

∞ X

cn (x − x0 )n ,

n=0

donde cn =

n X k=0

ak bn−k .

(C.5)

C.1 Series de potencias

221

La serie de potencias (C.5) se llama producto de Cauchy, y ser´a convergente para todo x en el intervalo abierto com´ un de convergencia de las series de potencias (C.3). f (x) tambi´en tendr´a un desarrollo en serie de potencias en torno a x0 siempre g(x) que g(x0 ) 6= 0. Sin embargo, el radio de convergencia de esta serie del cociente puede resultar menor que el de f (x) o g(x). Desafortunadamente, no existe una f´ormula c´omoda para f (x) obtener los coeficientes de la serie de potencias de . g(x) El cociente

El siguiente teorema explica, en parte, por qu´e las series de potencias son tan u ´tiles Teorema C.5 (Diferenciaci´ on e integraci´ on de series de potencias).- Si la serie f (x) = ∞ P an (x − x0 )n tiene un radio de convergencia positivo ρ, entonces la diferenciaci´ on t´ermino n=0

a t´ermino da lugar a la serie de optencias de la derivada de f : ∞ X f (x) = na(x − x0 )n−1 para |x − x0 | < ρ 0

n=1

y la integraci´ on t´ermino a t´ermino proporciona la serie de potencias de la integral de f : Z ∞ X an (x − x0 )n+1 + C para |x − x0 | < ρ. f (x) dx = n + 1 n=0 Ejemplo C.6 .- Empezando con la serie geom´etrica

∞ P

xn cuya suma es f (x) =

n=0

encuentre una serie de potencias para cada una de las siguientes funciones: (a)

1 , 1 + x2

(b)

1 , (1 − x)2

1 , (1 − x)

(c) arc tg x. Soluci´ on.(a) Reemplazando x por −x2 en f (x) resulta que ∞

X 1 2 4 6 = 1 − x + x − x + · · · = (−1)n x2n . 1 + x2 n=0

(C.6)

222

Introducci´on a las Series de Potencias

(b) Obs´ervese que ∞ P

1 es la derivada de la funci´on f (x). Por tanto, diferenciando (1 − x)2

xn t´ermino a t´ermino se obtiene

n=0 ∞

X 1 2 3 f (x) = = 1 + 2x + 3x + 4x + · · · = nxn−1 . (1 − x)2 n=0 0

(c) Puesto que

Z

x

arc tg x = 0

(C.7)

1 dt, 1 + t2

se puede integrar la serie (C.6) t´ermino a t´ermino para obtener la serie de arc tg x. De esta manera, Z x Z x © ª 1 dt = 1 − t2 + t4 − t6 + · · · + (−1)n t2n + · · · dt 2 0 1+t 0 Es decir

∞

X (−1)n x2n+1 1 1 arc tg x = x − x3 + x5 + · · · = . 3 5 2n + 1 n=0

(C.8)

Es importante tener presente que puesto que la serie geom´etrica tiene como intervalo de convergencia (−1, 1), las representaciones (C.6), (C.7) y (C.8) son v´alidas por lo menos en este intervalo. (En realidad, la serie (C.8) de arc tg x converge para todo |x| ≤ 1.) El ´ındice sumatorio de una serie de potencias es un ´ındice ficticio al igual que la variable de integraci´on de una integral definida En consecuencia, las siguientes expresiones representan lo mismo. ∞ ∞ ∞ X X X k n an (x − x0 ) = ak (x − x0 ) = ai (x − x0 )i . n=0

k=0

i=0

As´ı como hay ocasiones en las que conviene cambiar la variable de integraci´on, existen situaciones en las que es conveniente cambiar o desplazar el ´ındice sumatorio. Ejemplo C.7 .- Exprese la serie ∞ X n=2

utilizando el ´ındice k, donde k = n − 2.

n(n − 1)an xn−2

(C.9)

C.2 Funciones anal´ıticas

223

Soluci´ on.- Puesto que k = n − 2, se tiene n = k + 2. Si n = 2, entonces k = 0. Por tanto, sustituyendo en (C.9) resulta ∞ X

n(n − 1)an xn−2 =

n=2

C.2.

∞ X

(k + 2)(k + 1)ak+2 xk

k=0

Funciones anal´ıticas

No todas las funciones se pueden expresar como series de potencias. Aquellas funciones que s´ı se pueden se llaman anal´ıticas. Definici´ on C.8 (Funci´ on anal´ıtica).- Se dice que una funci´on f es anal´ıtica en x0 si, en un intervalo abierto en torno a x0 , esta funci´on es la suma de una serie de potencias ∞ P = an (x − x0 )n que tiene un radio de convergencia positivo. n

Por ejemplo, una funci´on polinomial b0 + b1 x + · · · + bn xn es anal´ıtica para todo x0 , ya que siempre se pueden reescribir en la forma a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n . Una p(x) funci´on racional , donde p(x) y q(x) son polinomios sin ning´ un factor com´ un, es una q(x) funci´on anal´ıtica excepto en aquellos x0 para los cuales q(x0 ) = 0. Otras funciones anal´ıticas importante son ex , sen x y cos x, que son anal´ıticas para todo x, mientras que ln x es anal´ıtica para x > 0. En efecto, se tienen las conocidas representaciones siguientes: x2 x3 e =1+x+ + + ··· 2! 3! x

x3 x5 + − ··· sen x = x − 3! 5! cos x = 1 −

=

∞ X xn

n! n=0

,

∞ X (−1)n 2n+1 = x , (2n + 1)! n=0

x2 x4 + − ··· 2! 4!

1 1 ln x = (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 − · · · = 2 3

=

∞ X (−1)n n=0

(2n)!

∞ X (−1)n−1 n=1

n

x2n ,

(x − 1)n .

(C.10) (C.11) (C.12) (C.13)

donde (C.10), (C.11) y (C.12) son v´alidas para todo x, mientras que (C.13) es v´alida para los valores x pertenecientes al intervalo semiabierto (0, 2]. En (C.13) el desarrollo es en torno

224

Introducci´on a las Series de Potencias

a x0 = 1. Sin embargo, se puede obtener una representaci´on en serie de potencias para ln x en torno a cualquier x0 > 0. Del Teorema C.5 sobre la diferenciaci´on de series de potencias, vemos que una funci´on f anal´ıtica en x0 es diferenciable en un entorno de x0 . Adem´as, dado que f 0 tiene una representaci´on en serie de potencias en este entorno, tambi´en es anal´ıtica en x0 . Repitiendo este argumento, vemos que f 00 , f 000 , etc., existen y son anal´ıticas en x0 . El siguiente famoso teorema proporciona una f´ormula para los coeficientes de la serie de potencias de una funci´on anal´ıtica. Teorema C.9 (Series de Taylor y de Maclaurin).- Si f es anal´ıtica en x0 , entonces la representaci´ on ∞ X f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n (C.14) n! n=0 es v´ alida en cierto intervalo abierto con centro en x0 . La serie (C.14) se llama serie de Taylor de f en torno a x0 . Cuando x0 = 0, tambi´en se le conoce como serie de Maclaurin de f . Una forma directa, aunque a veces tediosa, para determinar la serie de Taylor de una funci´on anal´ıtica f , consiste en calcular las derivadas sucesivas de f y evaluarlas en x0 . Por ejemplo, las series (C.10), (C.11), (C.12) y (C.13) pueden obtenerse en esta forma. Conviene recordar que los desarrollo en serie de potencias tienen tambi´en una propiedad de unicidad; a saber, si la ecuaci´on ∞ ∞ X X an (x − x0 )n = bn (x − x0 )n n=0

n=0

es v´alida en alg´ un intervalo abierto en torno a x0 , entonces an = bn para n = 0, 1, 2, . . .. Por lo tanto, si de alguna manera se puede obtener un desarrollo en serie de potencias para una funci´on anal´ıtica, entonces esta serie de potencias debe ser su serie de Taylor. Por ejemplo, el desarrollo arc tg x, dado en (C.8) del Ejemplo C.6, deber ser su desarrollo de Taylor. Un problema diferente pero muy importante es el del radio de convergencia de la serie de potencias que representa a una funci´on anal´ıtica en un punto x0 . Es decir, el entorno de x0 en el que f es anal´ıtica. El Teorema C.14, tal y como ha sido enunciado, no aclara este punto. Claro que este radio de convergencia se puede calcular mediante el criterio del cociente o de la ra´ız, pero hay un resultado m´as directo que enunciamos sin una rigurosidad absoluta a fin de hacerlo asequible:

C.2 Funciones anal´ıticas

225

Teorema C.10 .- Supongamos que la variable x toma valores complejos y sea z0 el punto m´ as pr´oximo a x0 en el plano complejo en el que “algo va mal” con f (x). Calc´ ulese la distancia, ρ, en el plano complejo, entre x0 y z0 . Entonces, la serie de Taylor de f en torno a x0 converge para |x − x0 | < ρ y diverge para |x − x0 | > ρ.

Ilustremos este teorema con un ejemplo. Consideremos la funci´on f (x) = hemos visto en el Ejemplo C.6 que admite, en torno a x0 = 0, el desarrollo: f (x) =

∞ X

1 , que ya 1 + x2

(−1)n x2n .

n=0

Tambi´en sabemos que tiene un radio de convergencia ρ = 1 porque se obtiene de la serie 1 geom´etrica sustituyendo x por −x2 . Para x real la funci´on f (x) = est´a siempre bien 1 + x2 2 definida porque si x ∈ R entonces x + 1 > 0. Pero para x complejo tenemos que x2 + 1 se anula para x = ±i. Es decir, si permitimos que x tome valores complejos, f no est´a definida en x = i ni en x = −i. Estos son los puntos z0 del plano complejo en los que “algo va mal” con f . En este caso ambos se encuentran a igual distancia de x0 = 0: ρ = |x0 − z0 | = 1. Otra aplicaci´on del Teorema C.10 es que el radio de convergencia de la serie de Taylor p(x) en torno a 0 de una funci´on racional (cociente de polinomios), es la magnitud de la q(x) ra´ız m´as peque˜ na de q(x); es decir, el m´odulo de dicha ra´ız (recordemos que aunque los coeficientes de q(x) sean reales puede tener ra´ıces complejas). Finalmente es u ´til tener presente que si f y g son anal´ıticas en x0 , tambi´en lo son f + g, cf , f g y f /g, siempre que, en el u ´ltimo caso, g(x0 ) 6= 0. Estos hechos se deducen de c´omo se construyen la suma, producto, etc. de las series de potencias tal y como hemos visto m´as arriba.

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Introducci´on a las Series de Potencias