TEMA 2: POTENCIAS Y RADICALES CONCEPTO DE POTENCIA Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 65 Los elementos que constituyen una potencia son: La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6. El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 5. Ejercicios. 1. Completa la tabla siguiente: POTENCIA

BASE

EXPONENTE

VALOR

 33 3   5

3

 72

3 -  5

2

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS  Un número elevado a 0 es igual a 1 

Un número elevado a 1 es igual a sí mismo



Producto de potencias con la misma base. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.



División de potencias con la misma base . Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.



Potencia de una potencia. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.



Producto de potencias con el mismo exponente. Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.



Cociente de potencias con el mismo exponente. Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.



Potencia de número entero negativo. La potencia de un número entero con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

Ejercicios. 2. Calcula el valor de las siguientes expresiones aplicando las propiedades de las potencias: b)  1

a) 2 0 

123

c) 34 



15 4 e) 4  3

d) 2  5  6

6

2

 3 f)      5

g) 

h)  5 3 

i)  5

1  42 3

3. Escribe en forma de una sola potencia: a)3 3 · 3 4 · 3 =

b)5 7 : 5 3 =

c)(5 3 ) 4 =

d) (5 · 2 · 3) 4 =

e)(3 4 ) 4 =

f)[(5 3 ) 4 ] 2 =

g)(8 2 ) 3 =

h)(9 3 ) 2 =

i)2 5 · 2 4 · 2 =

j)2 7 : 2 6 =

k)(2 2 ) 4 =

l)(4 · 2 · 3) 4 =

m)(2 5 ) 4 =

n)[(2 3 ) 4 ] 0 =

ñ)(27 2 ) 5 =

o)(4 3 ) 2 =

4. Calcula el resultado en forma de potencias. a)

x 4  x  x 7  x 3

x  x 

9 4

8 4 5 b) a  b  a .b  3

a  .a  b 5

c)

9

2 5  814  6 4  3 5  16 7  12





CONCEPTO DE RADICAL Un radical es una potencia de exponente fraccionario.

n

a a

1 n

en general

n

a a m

m n

Las partes de un radical son:

Ejercicios. 5. Pasa a forma exponencial:

 27 

a) 7 a 3 

b)

c) 3 64 

d) 3

2

6

5



7 

6. Expresa en forma de radical: 1 3

2 5

a) 4  c) x

0.2

b) 7  d ) 3 0,3 



PROPIEDADES DE LOS RADICALES Simplificación de radicales. Para simplificar un radical se divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número. Ejercicios. 7. Simplifica los siguientes radicales:

a) 4 9 

b) 3 64 

c) 4 64  Reducción de radicales a índice común. Nos basamos en la propiedad de que si multiplicamos (o dividimos)por un mismo número el índice y el exponente, el radical obtenido es equivalente al anterior.

7

a5 

De esta forma podemos cambiar el índice del radical a nuestro gusto. Si hay varios radicales con distinto índice los pasaremos a un nuevo índice que será el m.c.m. de todos los índices. Ejercicios. 8. Pasa a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.

12 ;

7

36 ;

3

20 ;

6

23

Extracción de factores de un radical. Se descompone el radicando en factores. Si: -Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. -Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. -Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. Ejercicios. 9. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:

a) 18  b) 720  c) 3 81 

d ) 5 a15  b 23  c 4 

e) 3

81  x10  y 14

Introducción de factores dentro del signo radical. Se multiplica el índice por el exponente del factor que queremos introducir. Ejercicios. 10. Introduce factores. a) a

3 5

a  3

x4 b) 3 y

5

x  y3

Suma y resta de radicales. Para sumar o restar radicales estos tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando. Par sumarlos o restarlos se suman o se restan los coeficientes y se deja el mismo radical. Ejercicios. 11. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

2  4 2  3 2  12 2 

a) b)

3

3  3 4 3  12 3 3  4 4 3 

c) 6 200  2 50  3 18  d) 5 6  9 24  2 54 

Producto y división de radicales. Para multiplicar o dividir radicales éstos han de tener el mismo índice. Para calcular el resultado se multiplican o dividen los radicandos. Si no tienen el mismo índice se pasan a un índice común. Ejercicios. 12. Calcula el resultado: a)

b)

4

x  4 x3  4 x5 

12

a7

12

a5



a5  5 a2 

7

c)

a3  b

5

d)



a  7 b5

3

RACIONALIZACIÓN Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Para eliminar una raíz solo tenemos que elevarla a una potencia cuyo exponente sea igual que el índice, es decir,

 a m

m

 m am  a

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dos varios casos: Caso 1. Cuando en el denominador solo hay una raíz.

3

 x2 5  3 3a 2 b 3

5

7

3a 5 b 2



Caso 2. Cuando en el denominador hay una suma de raíces cuadradas

3



5 2 8 15  7



Ejercicios. 13. Racionaliza: a)

b)

a 3b 2 5

7 7

8

e)

f)

x2





x2 y5

c)

d)

a 2b

x7 y3



3 12  6

9 8 3

3 3 3







EJERCICOS 1. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) 32 ,  32 ,  3 ,   3 2

b) 23 ,  23 ,  2 , 2

2

3

3

2. Calcula el valor de:

b)  10

a)  105

c)  10

5

d )   10

6

e)  1

5

f )  10 6

100

h)   1

g )  16

i)  10 0

101

3. Calcula el valor de:

a)  2 3

b) 2 3

c)  2

d )  1

3

16

e) 117

f )  130 Sol: a) -1/8 b) 1/8 c) -1/8 d) 1 e) 1 f) -1

4. Calcula el resultado en forma de fracción:

 5 a)     3 4 e)   3

2

3 b)    7

3

2 f)  3

1

1

 1 c)     6

 7 g)     6

1

2

1 d)   2

5 h)   2

3

2

1 i)    4

3

Sol: a) 25/9 b) -7/3 c) 36 d) 8 e) 27/64 f) 3/2 g) -6/7 h) 4/25 i) -64 5. Calcula el resultado paso a paso:









a) 1  7   8  3   2  15   11  b) 7  3  4   3  5  1  6   3  5

2



2



4



c)  3   33   5 2   5  2   3   2  d ) 17   4   3  6  2  4  5  2  3 2

2

4



7 2



Sol: a) 336 b) -1 172 c) 497 d) -133 6. Simplifica:

 

3

a ) 3 5  2 3  2 2  b) 5 2

 3   3  5 4  28  c) 2 3 2  33 5





8

Sol: a) 65 b) 106 c) 154



7. Expresa como potencia única:

a) 2  3  5  b)  3   3  c) 34   3  4

5

2

d ) 2 2  2  e) 12 2  4 2 

2

f )  1   2  53 

3

3

3

Sol: a) 304 b) -33 c) 32 d) 29 e) 32 f) 103 8. Elimina paréntesis y simplifica:

 5  a)

3 2

 56



 b)  3   3



3 2

5





92 2 3  c)  d ) 2 4   2   4  Sol: a) 1 b) 34 c) 1 d) -1 4  3

9. Expresa el resultado en forma de potencias:

 2  4 2  c) 125  d ) 32  9 4  Sol: a) 29 b) -22 c) 5-3 d) 1 64 2  4 3  2 a)  b ) 2 2 32 16   8 25 2   5 35 3

 

10. Calcula:

5  10    4

1

1

2

4 1 2  b)        2  5  5 5 3

a)  3  4  2

2

c) 1  4  3 .2

2 8 7     6  2 3  d )    3  5     2 3  3  5 5 2

1

1

11. Calcula: 2

3  9  a)       5   10 

1

3

2

7  2   b)         2   21  1 2 3  4  1 3   1  2  2 c)           d )      2  4   5  5  3  7  28  Sol: a) 2/5 b) 7/18 c) -27/10 d) 3

2

Sol: a) 29/4 b) 8/3 c) 17/12 d) -47/2

12. Calcula: 3

2

2

2

2

3 7 9 5 1 2 4 5 2  a)         b)           1  2 4 8 4 6 3 3 4 3  3 3 c)    2 4

2

1

1 7 1 7  5 5 1       4  d )           4 3 9  4 12   4 2   4 

13. Expresa en forma exponencial: a) 3 5 2 14. Expresa en forma exponencial: a)

5

b) 5 a 2

c) 8 a 5

b)  x 

x

5

2

3

15

c) a



e) a 1

d) 3 x 6

Sol: a) -1 b) -2 c) 0 d) 0

1

a13 a6

d)

e) 3

2

3

1

1

1

3

15. Expresa en forma de radical: a) 3 5

b) 2 4

c) a 3

d) x 2

e) a 4

f ) a2

1

1

1

2

5

16. Calcula: a) 4 2

b) 125 3

c) 625 4

d) 83

e) 64 6



17. Expresa en forma de radical: a) m  m

Sol : a) 5 m12

b) 15 x 2

5

 b)  x 



c) 15 x11

d ) 12 a17

g) a

h) 2

f ) m n ak

x

g) x



1 3

h) x



3 2

i ) 4 0, 5

3

1 2 3

e)

  

1 5

1 3

c) x  x

 

2 5

d) a

1 2 3

a

3 4

2 3

2

x e) 3  x 5 x

1 15

x 29

18. Simplifica:

a) 12 x 9

b) 12 x 8

c) 5 y 10

d ) 6 8 e) 9 64

h) 625 i) 15 212

f ) 8 81 g ) 6 9

j ) 4 49

k ) 6 125 l ) 5 315 19. Simplifica:

a)

9 3

3

5

b)

Sol : a) 3 3 2

16 2

4

c)

a3  b5  c

d)

a  b3  c3

b) 10 2 3

c) 4

a b  c5

a 2

3

6

d) a4

e)

 x  3

e) 6 x11

3

 f) 

x

 2 

8

f)2

20. Reduce:

a) 3 2  5 2  b) 3 6  6 3  c) 10 x 3  5 x 3  d ) Sol : a) 15 2 8

b) 6 2 2  3 3

c) 10 x 9

d)

1 4

a3

e)

4

a3 a3 1

30

 e)

5

23  2 3

24



27

21. Extrae del radical todos los factores que puedas:

a) 32 x 4

b) 3 81 a 3 b 5 c

Sol : a) 2 x 3 4 x

b) 3ab

3

c) 5 64 3b 2 c

d ) 3 16 e) 28

c) 2 5 2

d) 2 3 2

f ) 4 210 e) 2 7

g) 8 f)44 4

h) 7 x 50 y 21 z 12 g) 2 2

h) x 7 y 3 z 7 x z 5

22. Efectúa las siguientes sumas de radicales:

a) 32  18  50  b) 8  4 4  c) 18  50  2  8  d ) 63  5 8  112  e) 2 45  3 20 

f ) 5 48  12  g ) 3 28  5 7  h) 3 81  3 24 

Sol : a) 2 2 b) 3 2 c) 5 2

d)  3 7

e) 0

23. Calcula el resultado:

a) 2 8  4 72  7 18  b) 12  75  27  c) 32  3 50  2 8  d ) 3 2  18  3 8  Sol : a) 7 2 b) 4 3 c) 15 2

d) 0

f ) 22 3

g) 7

h) 3 3



j ) x1,3

f ) 36 2 Sol: a) 2 b) 5 c) 5 d) 4 e) 32 f) 216

 

1 7 5

f ) 4 a2

24. Racionaliza y simplifica:

1

a)

2

b)

3

3

3 3

Sol : a)

c)

3 3

5

6 3

b)

d)

3 3

b)

5

1 8

a5

3  3 25 5

Sol : a)

1

c)

3

x

d)

5

d)

a3 a

8

b)

5

2

3

x2 x

f)

2

83 5 5

5

d)

4 6

f)

x3 y 5 4 8 2

6

g)

e) 2

x. y 3

e)

4

c)

2

e)

2

3  3 25 5

c)

25. Racionaliza y simplifica:

a)

8 3

12

f)

3

h)

2 6 3

15

g ) 3 h)

15 5

a 4b 5 7

a 2b 4

e) y 2

5

x2 y4

f ) a 3b 4

7

a 5b 3

26. Racionaliza y simplifica:

33 3 3 3 2 b) c) 6  2 2 d)  3  2 2 e) 2 5  3 2 6 f)  4  3 2 g) 2 3  2 h)  6  3 i) 4  15

Sol: a)

AUTOEVALUACIÓN 1. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a)  3

b)  5

4

2

2 c)   7

2

 1 d)     3

3

e)   5

2

f)7

 3 g)    8

3

0

Sol: a) 81 b) -1/25 c) 49/4 d) 27 e) -25 f) 1/343 g) -1 h) 125/27 2. Calcula el resultado: 2

 11 7   5 16  b)      2     3 2  3 9 

a) 3  5  6  4  3  2  12  8   2  2

3

1

Sol: a) 50 b) 1/56 3. Reduce, aplicando las propiedades de las potencias:

27   3  93 2

a)

b)

64  16 3

 2 

3 4



c)

35  27 2  9  815

2

1

3

4. Expresa en forma de potencias: a) 3 5

b) a 3

c) 7 6

5. Simplifica: a) 8 x 6

b) 4 81 c) 10 a 4

Sol: a) 1/3 b) 26 c) 1/311

d ) x 0, 3



e) 21, 4

d ) 15 32 2

1

2 3 3 5 6. Reduce las siguientes expresiones: a) 3 2  3  b) x  x 3  c)

a2  a

a 

2 2 3



Sol: a) 37/6 b) x19/15 c) a7/6 7. Simplifica y, si es posible, extrae factores:

a) 3

4

315

b)

4 Sol: a) 3  3

 125  7

4

c) 8 610

b) 5  7 55

d ) 3 60  3 18 e) 4 8  4 2

c) 6  4 6 d ) 6  3 5 e) 2

f)2

f)

3

64



5 h)    3

3

8. Opera:

a ) 3 a  7 a 3  b)

5 4

x3 x3

x3  5 x4

5

c)

3

d)

a) 21 a16

a  4 a2 6

a5

b)

Sol: 9. Opera:

12  48  27  75 

10. Racionaliza y simplifica: a)

Sol : a) 15 b) 2  4 7 3

3 5 3 5

c)

1 20

x

3

Sol :  2 3

b)

a2 a

14 4

7

c)

d) 5 3

1 5

a3

d)

3 5

81

c) x  10 x

d) 1