POTENCIAS.-

Definición: La notación a n

determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces. Base

a

Exponent

El exponente, n, indica las veces que se repite la base en el producto de ésta por si misma.

n

La base, a, es el factor que se repite en el producto. Ejemplo: 53 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125

Conceptos: La potencia no es más que una notación o forma de escritura abreviada de productos en los que se repiten los factores, base de la potencia, un número determinado de veces, indicado por el exponente. Debemos distinguir siempre cuáles son los tipos de números que intervienen en ella, ya que las propiedades de la suma y producto que se cumplen, o no, con cada clase de número, siguen estando vigentes, así: 9 + 9 + 9 = 3 ⋅ 9 = 3 ⋅ (3 ⋅ 3) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 33 8 + 8 + 8 + 8 = 4 ⋅ 8 = (2 ⋅ 2 ) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = 25

Las propiedades específicas de las potencias se deducen fácilmente de las de las operaciones con cada tipo de número, natural (ℕ), entero ( ℤ) o racional (ℚ).

La regla de los signos para el producto y el cociente de números enteros debe ser tenida en cuenta por separado para la base y para el exponente.

Potencia de base y exponente Natural. Quiere decir que tanto la base como el exponente son números naturales y por lo tanto no tienen signo, o podemos considerar éste positivo siempre. Son las más elementales.

Propiedades: p q p+q Producto de potencias de igual base: a ⋅ a = a

•

Es otra potencia que tiene por base la común y por exponente la suma de los exponentes, ya que: 33 ⋅ 32 = (3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 3) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 35 = 33+ 2 , hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad asociativa del producto de números naturales.

De modo inverso, 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = (3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 3) = 33 ⋅ 32 c.q.d. • •

IMPORTANTE: todas las propiedades se pueden leer en los dos sentidos, de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Así, de este modo: 75 ⋅ 712 = 712 + 5 = 717 1111 = 119 ⋅ 112 = 116 ⋅ 115 = etc. ...

p p Potencia de un producto: (a ⋅ b ) = a ⋅ b p

•

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor, ya que: (2 ⋅ 3)3 = (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 3) = (2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ (3 ⋅ 3 ⋅ 3) = 23 ⋅ 33 , hemos aplicado la definición de potencia y las propiedades conmutativa y asociativa del producto. De otro modo: (2 ⋅ 3)3 = (6)3 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 23 ⋅ 33 . Al igual que en el apartado anterior, las propiedades son de ida y vuelta, así: 155 = (3 ⋅ 5)5 = 35 ⋅ 55 .

93 ⋅ 253 = (9 ⋅ 25)3 = 2253

( )

p Potencia de una potencia: a

•

q

= a p⋅q

La potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene por base la que había y por exponente el producto de los exponentes, ya que:

(2 ) = (2 )⋅ (2 )⋅ (2 ) = 2 2 3

⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 2 2 ⋅3 , hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad asociativa del producto. De otro modo:

(2 )

2

2

2

2

= (4 ) = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 26 Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así: 2 3

3

( ) ( ) ( ) ( ) 3

9

2

6

218 = 26 = 2 2 = 29 = 23 , adoptaremos la notación que más convenga a nuestros propósitos de cálculo. p

ap a Potencia de un cociente:   = p b b

•

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del numerador y denominador, ya que: 3

2 2 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 23 2 = , hemos aplicado la definición   = ⋅ ⋅ = 3 3 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 33 3 de potencia y la propiedad del producto de fracciones. Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así: 3

3 3 3 123  12   4 ⋅ 3   2 2 ⋅ 3   2    = = = =       , hemos aplicado 183  18   2 ⋅ 9   2 ⋅ 32   3  además la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción, es un método práctico y muy útil para realizar cálculos complejos, recuerda la regla de oro del cálculo, antes de operar, descomponer y simplificar.

ap p−q Cociente de potencias: q = a a •

El cociente de potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene por base la común y por exponente la diferencia de los exponentes del numerador menos el del denominador, ya que: 25 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = = 2 ⋅ 2 = 22 = 25− 3 , hemos aplicado la 3 2⋅2⋅2 2 definición de potencia y la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción. De otro modo: 3

2 5 2 3 ⋅ 2 2 23 2 2  2  4 3 = = 3⋅ =   ⋅ = (1) ⋅ 4 = 1 ⋅ 22 = 2 2 , ya que 3 3 2 2 2 1 2 1 el uno es el elemento neutro del producto, es decir, cualquier número, expresado éste en cualquier forma (decimal, fraccionaria, potencia, etc. ...), multiplicado por uno es igual a sí mismo, y además 1 ⋅ 1 ⋅ 1LL ⋅ 1 = 1 . Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así: 3

3 512 29  23   2⋅2⋅2 3 3   8=2 = = 6 = 2 =  = (2 ) = 2 = 8 64 2  2   2⋅2  3

Potencia de base Entera y exponente Natural. Ahora la base tiene signo, por lo que lo primero y más importante va ha ser siempre determinar cuál va ha ser el signo final de la potencia. Para ello habrá que tener muy presente la regla de los signos para el producto y el cociente, fijarse además en si el exponente es par o impar y por último en si el exponente afecta a toda la base, incluido el signo, o si no afecta al signo, ya que:

(− 1)2 = (− 1) ⋅ (− 1) = 1 , el exponente afecta al signo y es par, resultado positivo. − 12 = −1 ⋅ 1 = −1 , el exponente no afecta al signo y es par, resultado negativo. (− 1)3 = (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ (− 1) = −1 , el exponente afecta al signo y es impar, resultado negativo. − 13 = −1 ⋅ 1 ⋅ 1 = −1 , el exponente no afecta al signo y es impar, resultado negativo.

(− 1)4 = (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ (− 1) = 1 , el exponente afecta al signo y es par,

resultado positivo. − 14 = −1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = −1 , el exponente no afecta al signo y es par, resultado negativo. etc. ... Tener presente el signo como un factor más de la base, así: (− 2)4 = (− 1)4 ⋅ (2)4 = 1 ⋅ 24 = 24 , ya que:

(− 2)4 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = ((− 2) ⋅ (− 2)) ⋅ ((− 2) ⋅ (− 2)) = 2 = (4 ) ⋅ (4 ) = 4 2 = (2 2 ) = 2 4 (− 2)3 = (− 1)3 ⋅ (2)3 = −1 ⋅ 23 = −23 (− 2)6 = (− 1)6 ⋅ (2)6 = 1 ⋅ 26 = 26

− 26 = −1 ⋅ 26 = −26 etc. ... Cuidado con las potencias de una potencia, ya que:

(− 2 ) = −2 , ya que: (− 2 ) = (− 2 ⋅ 2) = (− 2) ⋅ (2) = −2 ⋅ 2 = −1 ⋅ 2 ⋅ 2 = −1 ⋅ 2 De otro modo: (− 2 ) = (− 1) ⋅ (2 ) = −1 ⋅ 2 = −2 (− 2 ) = 2 , ya que: (− 2 ) = (− 2 ⋅ 2 ⋅ 2) = (− 2) ⋅ 2 ⋅ 2 = (− 1) ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1 ⋅ 2 De otro modo: (− 2 ) = (− 1) ⋅ (2 ) = 1 ⋅ 2 = 2 2 3

6

2 3

3

3

2 3

3 2

3 2

3

3

3

3

2 3

3

6

3+ 3

3

= −2 6

6

6

2

3 2

2

2

2

3 2

2

2

6

2

2

2

2+2+ 2

= 26

6

etc. ... Luego hay que fijarse muy bien en cuál es realmente el exponente que afecta al signo de la base, y en si éste es par o impar.

Potencia de base y exponente Entero. Son aquellas en las que tanto la base como el exponente son números enteros, y por lo tanto ambos vienen dotados de signo. El significado del signo de la base y los cuidados que con él hay que adoptar ya han sido tratados, ahora debemos saber qué significado tiene el signo del exponente. Veamos qué ocurre con el siguiente cociente de potencias de igual base:

33 = 33− 4 = 3−1 , por otro lado, haciendo la simplificación de los factores 4 3 33 3⋅ 3⋅ 3 1 = , como ambos resultados deben coinde la fracción 4 = 3⋅3⋅3⋅3 3 3 1 cidir, entonces 3−1 = , es decir, el signo del exponente nos indica si la 3 base está donde debe estar o no, así si el exponente es positivo indica que la base está bien donde está, y si es negativo indica que está cambiada de sitio.

Ejemplos:

•

5

−3

( )

3

3 1 1 = 3 =   = 5−1 = 5−3 5 5 −2

•

2 −2 1 52  5  2   = − 2 = 2 − 2 = 2 =   , es decir, en el caso de una 5 2 ⋅5 2 5 2 fracción o de la potencia de exponente negativo de un cociente, ésta se transforma en la potencia de exponente positivo del inverso del cociente o de la inversa de la fracción. 2

−4

•

1 1 4 =   = (3) = 34 , de modo rápido e intuitivo, lo más rápido −4 3 3 es cambiar de sitio a la base cambiando a su vez el signo del exponente. −2

•

•

2

2

32  3   2  3  −  =  −  = 2 =   , ojo, la regla de signos para la base 2  3  2 2 es independiente del signo del exponente, solo depende de si éste es par o impar.  2 −   3

•

(− 2 )

•

(− 2 )

•

etc. ...

−3

2 −3

3 −2

3

3

33  3 3 =  −  = − 3 = −  2  2 2 −1 = −2 − 6 = 6 2 2 1 12 1  1  −2 −6 = 2 = 6 , ya que (− 1) =   = = =1 2 2 (− 1) 1  −1

Propiedades: Las mismas de antes, pero además: 0 Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad: a = 1

•

Ya que 7 = 7 0

2− 2

= 7 ⋅7 2

7 2 49 = 2 = = 1 , o bien, de otro modo, 49 7

−2

8 23 = 3 = 23− 3 = 20 , y como en lugar de 2 podemos 8 2 emplear cualquier número, la generalización queda probada.

tenemos que 1 =

1 Toda potencia de exponente uno es igual a la base: a = a n Cualquier potencia de la unidad es igual a sí misma: 1 = 1 Para transformar potencias de exponente negativo en otras de exponente positivo, basta con calcular la potencia de exponente

n

1 1 −n positivo del inverso de la base: a =   = n , y de igual modo a a 1 1 tenemos que − n =   a a

−n

= (a ) = a n n

MUY IMPORTANTE: La potencia de sumas y restas NO ES IGUAL a la suma o resta de las potencias, así: •

(a + b )n

≠ a n + bn

Ejemplo: (1 + 1) = 23 = 8 ≠ 13 + 13 = 1 + 1 = 2 3

(a − b)n ≠ a n − b n , salvo que a = b. 3 Ejemplo: (2 − 1) = 13 = 1 ≠ 23 − 13 = 8 − 1 = 7 2 2 2 2 2 Recuerda los productos notables, (a + b ) = a + b + 2ab ≠ a + b •

OBSERVACIÓN: solo se pueden sumar potencias que tengan igual base, salvo que realicemos previamente la potencia, así: • 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 = 4 ⋅ 23 = 2 2 ⋅ 23 = 2 2 + 3 = 2 5 • 35 + 33 + 33 = 33 ⋅ 32 + 1 + 1 = 33 ⋅ 11

(

•

)

2 + 3 = 8 + 9 = 17 = (16 + 1) = 2 4 + 1 3

2

Potencia de base racional y exponente entero. Son aquellas en las que la base es una fracción, y el exponente un número entero. Para operar con ellas procederíamos como si se tratara del cociente de dos potencias de distinta base, para ello lo primero es siempre simplificar.

Propiedades: Las mismas de los apartados anteriores.

Actividades de aplicación. P1.- Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de producto o cociente de potencias de base un número primo y exponente positivo:

(

)(

)

( d) (7

a) 32 ⋅ 23 ⋅ 52 ⋅ 25 ⋅ 33 ⋅ 53 =

)( ) ⋅ 5 ) ÷ (2 ⋅ 5 ) =

b) 23 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 =

c) 7 3 ⋅ 43 ⋅ 53 ⋅ 63 = e)

34 ⋅ 73 ⋅ 213 = 3 ⋅ 215

f) 34

h)

32 ⋅ 2 5 ⋅ 7 = 3 ⋅ 23

i) a 3 ⋅ 33 ⋅ 32 ⋅ a 2 =

( )

5

2

⋅ 23

(

=

g) 3 ⋅ a 2

(

2

)

3

2

= 3

)

2 3 4 j)  ⋅ ⋅  = 3 4 5

P2.- Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de potencia de base y exponentes los que creas más adecuados en cada caso:

(

)= d) ((4,2 ) ⋅ (4,2 )) (

−1

−3

4

g) 9 ÷ 9 2

( e) (7

3

a) 4− 3 ⋅ 4 2

)

3 −2

(

b) 53 ÷ 5− 2 =

1 h)   3

=

)= m) (8 ÷ 4 ) = p) (27 ÷ 9 ) = s) (5 ⋅ 5 ) = v) (9 ÷ 9 ) = −2 3

2

5 3

3

( ) = f) (9 ) =

−2

3 −3

=

−3

( )

=

5 2

2

5 2

3

i) 9 2

−3

l) 27 − 2

−3

3 4

3

(

=

r) (5,1) ÷ (5,1)

)

7 3

5

(

−1

6

=

( ) = o) (16 ÷ 8 )

−4

2

−2

c) 7 − 4

=

)

4

− 7 −2

−3

÷ 7−5

k) 9 − 2

3 2

2

−2

( ) = n) (9 ⋅ 3 ) = q) (3 ⋅ 3 ) = t) ((3,2 ) ⋅ (3,2 )) = w) (9 ⋅ 10 ) ÷ (3 ⋅ 10 ) =

2

j) 27 2 ⋅ 9 4

−3

)

u) 7 3 ÷ 7 − 4

)

−2

=

=

4

P3.- Efectúa las siguientes operaciones dando el resultado como una sola potencia:

( )

(

d) (− 2 ) ÷ (− 2 ) 11

( j) (9

g) 23 ⋅ 4− 3 2

)

÷ 27 4

−4

)

−4

)

3 −2

= =

3

b) 4 − 5 ⋅ 4 − 6 ⋅ 4 4

a) 23 ⋅ 25 ⋅ 27 =

(

=

e) 42 ⋅ 83

(

) ( ) 2

h) 16− 3 ÷ 83

(

)

−2

−4

k) (− 2 )

(

)

c) 3−2 ⋅ 34 ÷ 35 =

=

( i) (5

=

) ⋅ (− 8)

12 3

)

3

f) 8− 2 ÷ 4 − 3 =

=

5

=

2

)= l) (6 ⋅ 36 )

⋅ 252

3

− 2 −1

−3

=

P4.- Calcula en cada caso el valor del exponente a, para que se cumplan las igualdades:

(

a) 3a ⋅ 35

)

2

= 314

(

b) 25 ÷ 2a

)

−2

= 26

(( ) )

c) 65

a −2

= 610

(

d) (− 5) ⋅ (− 5)

)

5 2

a

= (− 5)

a

  1  2   1  −4 f)   −   =  −   5    5    i) 83 ÷ a 6 = 821

−2

3

a

 1  1  1  1 e)  −  ⋅  −  ⋅  −  =  −   2  2  2  2

20

2

2

1 g)   = 49 a

( )

j) a 4

2

= 11− 8

h) 23 ⋅ a 2 = 27 k) (− 3) ⋅ a 5 = (− 3)

−11

4

P5.- Realiza las siguientes operaciones simplificando al máximo los resultados y dando este en forma de potencia: a)

(− 2)4 ⋅ 63 12

3

3

=

7

 3  9  3 b)   ⋅   ÷    4  4 8

−6

=

(

)

2

( )

−3

c) (− 1) ⋅ − 23 ⋅ (− 2 ) = 3

a 3 ⋅ c −3 ⋅ b d) − 2 2 − 4 = b ⋅a ⋅c

 23 ⋅ 32 22 ⋅ 3  52 = e)  −1 ÷ − 2  ⋅ 5  2⋅3  5

f) (− 2 ) ⋅ − 14 ⋅ (− 2 ) =

23 ⋅ c −3 ⋅ 4 g) − 2 4 − 4 = 2 ⋅4 ⋅c

 33 ⋅ 52 32 ⋅ 5  22 = h)  −1 ÷ − 2  ⋅ 2  3⋅5  2

i)

25 ⋅ 32 ⋅ 2 −8 ⋅ 36 ⋅ 2 −6 j) 4 − 2 −16 5 = 3 ⋅3 ⋅2 ⋅2

4

3  32   3   = k) 2 ⋅  − 4   5     

2

33 ⋅ 52  32 ⋅ 5 2 2  = ÷ ⋅ 2 −1  2 − 2 3 ⋅ 5 

(

l) 36 ⋅ 3− 2

)

−3

÷ 3− 2 =