Log a P = X

Se llama logaritmo g en base a de P,, y se escribe log ga P,, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.

Log a P = x ⇔ a = P x

Ejemplo:

log2 8 = 3 ⇔ 2 = 8 3

LLeemos, logaritmo l it en base b 2 de d 8 es 3 porque 2 elevado a 3 es 8.

Análogamente podemos decir:

log g 5 125 = 3 ⇔ 5 3 = 125 log 3 81 = 4 ⇔ 3 4 = 81 log 10 1000000 = 6 ⇔ 10 6 = 1000000 log 10 0,0001 = − 4 ⇔ 10

−4

1 1 = = = 0,0001 4 10 10000

log g 10 53 ,84 = 1,731105051 ⇔ 10 1,731105051 = 53 ,84

Los logaritmos g en base 10 se llaman logaritmos decimales y son los más utilizados. Por eso, la tecla de la calculadora es para el cálculo de los logaritmos decimales (también en el uso decimales. habitual podemos poner log en lugar g de log g10 )). Para Calcular, por ejemplo, log10 53,84 se hace: 53,84

1,731105051

El cálculo ál l de d logaritmos l it en otra t base se hace a partir de los logaritmos decimales, decimales como se verá en las propiedades

Ejercicio 1.- Decir el valor de los logaritmos poniendo los números ú en forma f d potencias: de t i a. Log6 1296 b. Log g2 0,125

a )1296 = 6 4 ⇒ log 6 1296 = 4 125 1 1 b )0,125 = = = 3 = 2 − 3 ⇒ log 2 0,125 = −3 1000 8 2 Ejercicio 2.- Con la tecla 500, log 5000

,calcular log 5, log 50, log

l 5 = 0,69897 ... log log 50 = 1,69897 ... log 500 = 2,69897 ... log 5000 = 3,69897 ...

Ejercicio 3.-Utilizando la tecla para hallar potencias, ^ ó xy , calcular de forma aproximada log7532.

7 3 = 343   → log 7 532 = 3,... 4 7 = 2401 Hallemos la cifra de las décimas

7 3,2 = 506 ,...   → log 7 532 = 3,2 ... 3 ,3 7 = 614 ,...  Hallemos la cifra de las centésimas

7 3,21 = 516 ,...   3,22 7 = 526 ...  → log 7 532 = 3,22 ...  3,23 7 = 536 ...  Así sucesivamente, podemos aproximarnos tanto como queramos al valor de log7532.

I.- El logaritmo g de 1 es 0 cualquiera q que sea la base. q

log a 1 = 0

Ejemplo:

log 5 1 = 0 ⇔ 5 = 1 0

II.- Cualquiera que sea la base, su logaritmo es 1.

log a a = 1

Ejemplo:

log 7 7 = 1 ⇔ 7 = 7 1

III.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log a (P ⋅ Q ) = log a P + log a Q Ejemplo:

log 2 512 = log 2 ( 64 ⋅ 8 ) = log 2 64 + log 2 8 = 6 + 3 = 9 log 2 512 = 9 ⇔ 2 9 = 512

IV.- El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. divisor

Ejemplo:

P log a = log a P − log a Q Q 243 l 3 log = log l 3 243 − log l 3 27 = 5 − 3 = 2 27 243 log3 = log3 9 = 2 ⇔ 32 = 9 27

V.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

loga P n = n ⋅ loga P

Ejemplo:

log 7 49 3 = 3 ⋅ log 7 49 6 = 3⋅2

VI.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. raíz

loga

n

loga P P= n

Ejemplo:

log 2

3

log 2 4 2 4= = 3 3

Esta propiedad es consecuencia de la anterior debido a:

log ga

n

1 n

loga P 1 ga P = ⋅ log ga P = P = log n n

VII.- Cambio de base. VII base El logaritmo en base a de un número se puede obtener, a partir de los logaritmos decimales, según la siguiente igualdad.

log10 P log P loga P = = log10 a log a

De esta forma se puede h hacer por calculadora l l d

Ejercicio 4.-Sabiendo que el log 2=0,301 y aplicando las propiedades anteriores, calcula log 507.

100 log 50 = 7 ⋅ log 50 = 7 ⋅ log = 7 ⋅ (log 100 − log 2 ) = 2 = 7 ⋅ (2 − 0,301) = 11,893 7

Ejercicio 5.-Con ayuda de la calculadora, obtener: a. log2 1500 Tecla b log7 593 b. a) log2 1500 =

log1500 3,176091259 = = 10,55074679 → 210,55074697 = 1500 l 2 log 0,301029995

log 593 2,773054693 b) log7 593 = = = 3,281340817 → 73,281340817 = 593 log 7 0,84509804

Ejercicio 4.-Sabiendo el valor de log 2= 0,301030 y el de log 3 3= 0,477121, calcula los siguientes logaritmos. a).- log 4

log 4 = log 2 2 = 2 ⋅ log 2 = 2 ⋅ 0,301030 = 0,602060 b).- log 12

(

)

log 12 = log (3 ⋅ 4 ) = log 3 ⋅ 2 2 = log 3 + log 2 2 = = log 3 + 2 ⋅ log 2 = 0,477121 + 2 ⋅ 0,301030 =

c) - log 15 c).

30 3 ⋅ 10 log g 15 = log g = log g = (log g 3 + log g 10 ) − log g2 = 2 2 = 0,477121 + 1 − 0,301030 =

Ejercicio 4.- Calcula el valor de las siguientes expresiones a).-

64 ⋅ 4 2 log 2 5 3 2 ⋅ 512 6

64 ⋅ 4 2 log 2 5 3 = log 2 2 ⋅ 512 6

(

(

6

)

(

)

64 ⋅ 4 2 − log 2 2 5 ⋅ 3 512 =

)

l 2 64 ⋅ 4 2 log llog 2 512  log l 2 64 + 2 log l 24  = −  log 2 2 5 + = −  3 6 6   log 2 512  6 + 2 ⋅ 2  9  10  −  5 ⋅ log 2 2 + = − ⋅ + 5 1 −8 =   = 3 6 3 6    10 − 48 38 19 = = − = − 6 6 3

En este tema vamos a ver: Ecuaciones Exponenciales

3

x 2 −5

= 81

2 x + 1 = 150

Ecuaciones Logarítmicas

log 2 + log x = 1 Si t Sistemas d Ecuaciones de E i

 2 ⋅ log x − log y = 5 log  og (x ⋅ y ) = 4

Ejercicio 6.-Resuelve a).-

3

3

x 2 −5

x 2 −5

= 81

= 81 → 3

Puesto que 81 es una potencia entera de 3, ha resultado muy sencillo despejar x.

x 2 −5

= 34 → x 2 − 5 = 4 → x 2 = 4 + 5

x = 9 → x = ± 9 → x 1 = 3, x 2 = − 3 2

b) b).-

2 x + 1 = 150

A li Aplicamos ell concepto t de d logaritmo l it

log 150 2,176091259 x + 1 = log 2 150 = = 0,301029995 log 2

= 7,2288

Como150 no es potencia entera de 2, para despejar x tenemos que tener en cuenta la definición de logaritmo (propiedad VII)

x + 1 = 7,2288 → x = 7,2288 − 1 = 6,2288

Ejercicio 7.-Resuelve a).-

log 2 + log x = 1

Aplicamos la propiedad III, III logaritmo de un producto e igualamos logaritmos y la propiedad II.

log 2 + log x = 1 → log( 2 ⋅ x ) = log 10 Es lógico que si dos logaritmos son iguales lo que hay dentro tiene que ser igual ¡¡¡IMPORTANTE!!!

10 log( 2 ⋅ x ) = log 10 → 2 x = 10 → x = =5 2

b).-

log 5 x − log 5 3 = 2

Aplicamos la propiedad IV, logaritmo de un cociente y aplicamos la definición de logaritmo para transformar 2 en logaritmo.

x log 5 = log 5 25 = log 5 5 2 3 Al igualar logaritmos, igualamos lo que contienen y por lo tanto:

x = 5 2 = 25 → x = 3 ⋅ 25 = 75 3

c).-

6 ⋅ log 2 (x + 3 ) = log 2 27

Aplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia e igualamos. igualamos

log g 2 (x + 3 ) = log g 2 27 6

(x + 3 )

6

= 3 → (x + 3 ) = 3 → x 2 + 9 + 6 x = 3 3

2

x 2 + 6x + 6 = 0 − b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c − 6 ± 36 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 x= = 2⋅a 2 ⋅1 − 6 ± 12 x= 2

Ejercicio 8.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. a).-

 x + y = 22 log x − log y = 1 

Aplicamos las propiedades como en los casos anteriores.

x x log x − log y = 1 → log = log 10 → = 10 y y Resolvemos el sistema

x + y = 22  → 10 y + y = 22 → 11y = 22 → y = 2  x = 10 y  y = 2 → x = 10 ⋅ 2 = 20 → x = 20 Solución del sistema

y = 2 ; x = 20

Ejercicio 9.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

x − log l y =5 log (x ⋅ y ) = 4 

a).-  2 log l

Aplicamos las propiedades como en los casos anteriores.

2 log x − log y = 5 → log x 2 − log y = log 100000 = log 10 5 2 2 x x log g x 2 − log g y = log g 10 5 → log g = log g 10 5 → = 10 5 y y

De la otra ecuación obtenemos

log (x ⋅ y ) = 4 → log( x ⋅ y ) = log 10000 = log 10 4 log( x ⋅ y ) = log 10 4 → x ⋅ y = 10 4 Con lo C l que obtenemos bt un nuevo sistema it que pasamos a resolver

x2 5  4 2 3 = 10  10 x x 5 5 y → = → = 10 → = 10 y  4 4 10 x 10 4 x ⋅ y = 10  x

x3 5 3 9 3 9 3 = 10 → x = 10 → x = 10 = 10 4 10 Resolvemos la y

4 10 x = 10 3 → y = 3 = 10 10

Solución

x = 10 3 ; y = 10

Ejercicio 9.-Resuelve

2 x + 2 x + 1 = 12 Hacemos que 2x = z y aplicando las propiedades de las potencias:

2 x +1 = 2 x ⋅ 2 Llegamos a que:

2 +2 x

x +1

= 2 + 2 ⋅ 2 = z + 2 z = 12 → 3 z = 12 x

x

Resolvemos

3 z = 12 → z = 4 → 2 x = 4 → x = 2

Ejercicio 10.- Resuelve la ecuación.

log (x − 1) + log (x + 6 ) = log (3 x + 2 ) Aplicamos la propiedad V, V logaritmo de una potencia e igualamos.

log[(x − 1) ⋅ (x + 6)] = log(3 x + 2) → (x − 1) ⋅ (x + 6) = (3 x + 2)

x + 5 x − 6 = 3 x + 2 → x + 2x − 8 = 0 2 − b ± b − 4 ⋅ a ⋅ c − 2 ± 4 − 4 ⋅ 1⋅ (− 8) x= = 2⋅a 2 ⋅1 x1 = 2; x2 = −4 2

2

Comprobamos que x=-4 no verifica la ecuación porque log(-5) no existe. existe La solución es:

x1 = 2