n u n nú m e ro na tu ra l. x la v a ria ble o in d e te rm ina d a . a o e s e l té rm ino i nd e pe nd ie nte . G R ADO DE U N P O LI NO MI O El gra d o d e u n polino m io P( x ) e s e l m a yo r e x po ne nte al q u e s e e ncu e ntra e le v ad a la v a riable x . PO LI NO MI O C O MPLET O Es aq u e l q u e ti e ne to d o s lo s té r m inos d e s de e l té r m ino inde pe nd ie nte h as ta e l té rm ino d e m ayo r gr ad o PO LI NO MI O O R DENADO U n po lino m io e s tá o rd e nad o s i los m o nom io s q u e lo f or m an e s tán e s crito s d e m ay or a me no r gr ado . PO LI NO MI O S I G U ALES Do s po lino m io s s on igu ale s s i v er if ican: Lo s d os po lino m ios tie ne n e l m is m o gra d o . Lo s co e f icie nte s d e lo s tér m inos de l m is m o gr ado son i gu a le s .
OPERACIONES CON POLINOMIOS SU MA DE PO LI N O MI O S Pa ra s u ma r d os po lino m io s s e s u man lo s co e f icie nte s d e lo s té rm ino s d e l m is m o gra d o . La d if e re ncia s u s tra e nd o .
co ns is te
en
s u mar
el
o pu e s to
de l
MU LT I PLI C AC I ÓN DE PO LI NO MI O S •
Pro d u cto d e u n n ú m e ro po r u n po li no m io
Es o tr o po lino m io q u e tie ne d e gra d o e l m ism o de l po lino m io y co m o co e f icie nte s e l pro d u cto d e lo s co e f icie nte s d e l po lino m io po r e l nú m e ro . •
Pro d u cto d e u n m o no m io po r u n po l ino m io
Se m u ltipli ca e l m o no m io por tod os y ca d a u no d e lo s m o no m ios q u e f o rm a n e l po lino m io . •
Pro d u cto d e po lin o m io s
1 Se m u ltipli ca ca d a mo no m io d el prim e r po lino m i o po r to d o s lo s e le m e nto s s e gu nd o po lino m io . 2 Se s u m a n lo s m o no m io s d e l m ismo gra d o . DI VI SI Ó N DE P O LI NO MI O S P( x ) :
Q(x)
A la iz q u ie rd a s itu a m o s e l d iv id e nd o . Si e l po lino m io no e s co m ple to d e jam o s h u e cos e n lo s lu gar es q u e co rr e s po nd an. A ca ja .
la
d e re ch a
s itu a m o s
el
d iv is or
d e ntro
de
u na
Div id im o s e l prim e r m o no m io d e l d iv id e nd o e ntre e l prim e r m o no m io de l d iv is o r. Mu ltip lica m o s ca da té rm ino d e l po lino m io d iv is o r por e l re s u lta d o a nte rio r y lo re s ta m os d e l po lino m io d iv id e nd o : V o lv e m os a d iv id ir e l pr imer m o nom io d e l d iv ide ndo e ntr e e l pr im er m o no m io d e l d iv is or . Y e l re s u ltad o lo m u ltipli cam o s po r e l d iv is or y lo re stam o s al d iv id e ndo . R e pe tim o s e l pr o ce s o ante r ior h as ta q u e e l gra d o d el re s to s e a m e no r q u e e l gra d o d e l d iv is o r, y po r tanto no s e pu e d e co ntinu ar d iv id ie nd o . Par a co m pro bar s i la o pe r ació n u tiliz ar íam o s la pr u e ba d e la d iv is ió n:
es
co rr e cta,
D = d · c + r R EG LA D E R U F F I NI Si e l d iv is o r e s u n bino m io d e la f o rma x — a, e nto nce s u tiliz am o s u n m é to d o más bre v e par a h ac e r la d iv is ió n, llam ad o R E G L A D E R U F F I N I . ( x 4 −3 x 2 +2 ) : ( x −3 ) 1 Si e l po lino m io no e s co m ple to , lo co m ple ta m o s a ña d ie nd o lo s té rm ino s q u e f a lta n co n ce ro s . 2 C o lo ca m os lo s co e f icie nte s d e l d iv id e nd o e n u na líne a . 3 Aba jo a la izq u ie rd a co lo ca mos té rm ino ind e pe nd i e nte d e l d iv is o r. 4 T ra z am o s co e f icie nte .
u na
ra ya
y
el
ba ja m o s
o pu e s to
el
d el
prim e r
5 Mu ltip lica m o s e s e co e f icie nte p o r e l d iv is o r y lo co lo ca m o s d e ba jo d e l s igu ie nte té rm ino .
6 Su m a m o s lo s dos co e f icie nte s .
7 R e pe tim o s ne ce s a ria s .
lo s
pa s o s
5y
6 la s
v e ce s
que
f u e ra
8 El ú ltim o nú m e ro o bte nid o e s e l re s to . 9 El co cie n te e s u n po lino m io d e gra d o inf e rio r en u na u nid a d a l d iv id e nd o y cu yo s c o e f icie nte s s o n lo s q u e h e m o s o bte nid o . I DENT I DADES N O T ABLES B ino m io a l cu a d rad o ( a ± b) 2 = a 2 ± 2 · a · b + b 2 Su m a po r d if e re ncia ( a + b) · ( a − b) = a 2 − b 2
F AC T O R I ZAC I Ó N DE U N PO LI NO MI O
T e o re ma d e l f a cto r El po lino m io P( x ) e s d iv is ible po r u n po li no m io d e l a f o rm a x - a s i y s ó lo s i P( x = a ) = 0 . A l v alor x = a s e le llam a
RAÍZ
o
CERO
d e P( x ).
O bs e rv a cio ne s 1 Lo s ce ro s o ra íce s so n ind e pe nd ie nte d e l po lino m io .
d iv isore s
del
té rm ino
2 A ca d a ra íz de l tipo x = a le co rre s po nd e un bino m io d e l tipo ( x − a ) . 3 Po d e mo s e x pre s a r u n po lino m io e n f a cto re s a l e s cribirlo co m o pro d u cto d e to do s lo s bino m io s d e l tipo x — a , q u e s e c o rre s po nd a n a las ra íce s x = a q u e se o bte nga n. 4 La s u ma d e los e x po ne nte s d e lo s bino m ios ha de s e r igu a l a l gra d o d e l po lino m io . 5 T o d o po lino m io q u e no te nga té r m ino ind e pe nd ie n te a d m ite com o ra íz x = 0 , ó lo q u e e s lo m ism o , a dm ite co m o f a cto r x . 6 U n po lino m io s e lla m a irre d u cible o prim o cu a ndo no pu e d e d e s co m po ne rs e e n f a cto re s .
MÉT O DO S PAR A F AC T O R I ZAR U N PO LI NO MI O Sa ca r f a cto r co m ú n Co ns is te e n aplica r la pr o pie d ad d istr ibu tiv a. a · b + a · c + a · d = a (b + c + d) I gu a ld a d es no ta ble s Dif e re ncia d e cu a d ra do s U na d if e re ncia d e cu a d ra d o s e s igu a l a s u m a po r d if e re ncia . a 2 − b 2 = ( a + b) · ( a − b) T rino m io cu a d rado pe rf e cto U n trino m io cu a d ra do bino m io a l cu a d ra d o .
pe rf e cto
es
igu a l
a
un
a 2 ± 2 a b + b 2 = ( a ± b) 2 Po lino m io d e gra do s u pe rio r a d o s . U tiliz a m o s la re gla d e R u f f ini. 1 T o ma m os lo s d iv is o re s d e l té rm ino ind e pe nd ie nte : ±1 , ±2 , ±3 . 2 Div id im o s po r R u f f ini . 3 C u a nd o la d iv isió n s e a e x a ta , D = d · c 4 Co ntinu am o s realiz and o las m is m as o pe r acio ne s al s e gu nd o f actor , y lo s nu e vo s q u e o bte ngam o s , h asta q u e s e a d e gr ado u no o no s e pu e d a d es co m po ne r e n f acto r es r e ale s .