Fundamentos de óptica fotorrefractiva

Prof. M.L. Calvo

11 y 12 de abril de 2011

ECUACIÓN DE ONDAS EN MEDIOS ANISÓTROPOS Y NO LINEALES El vector desplazamiento eléctrico cumple en estos medios:

( )

( )

( )

( )

D r , t = ε 0 E r , t + P L r , t + P NL r , t Operando de forma análoga al caso isótropo(*)

1 ∂2 E ∂2 PL ∂ 2 P NL ∇ E − ∇ ∇i E − 2 2 − μ0 = μ0 ∂t 2 ∂t 2 c ∂t 2

(

)

Nótese que la contribución no lineal actúa como término fuente. •En el régimen lineal es necesario que: P NL = 0 •Existen situaciones en las que el tensor susceptibilidad dieléctrica relativa depende del campo eléctrico E. Esto da origen a otra clase de linealidades que no se pueden describir por una polarización no lineal. •Uno de los ejemplos más representativos es la no linealidad fotorrefractiva. •En este caso: ε L = ε L ( E )

SIMETRÍA CRISTALINA DEL MEDIO •Los materiales cristalinos se pueden clasificar en 32 grupos puntuales o clases cristalinas que se agrupan en 7 sistemas cristalográficos: • cúbico, trigonal, tetragonal, hexagonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico. •Desde el punto de vista óptico cualquier cristal pertenece a uno de los 3 grupos siguientes: isótropo, uniáxico, biáxico. •La clasificación viene determinada por la simetría del tensor diagonalizable: ε L ≡ ε ij( L )

•Los ejes principales del tensor se designan como ejes dieléctricos principales. •En un medio no disipativo la densidad de energía interna eléctrica en condiciones de equilibrio termodinámico es: 2 1 1 ⎛ Dx2 Dy Dz2 ⎞ + + U E = EiD = ⎜⎜ ⎟ 2 2ε 0 ⎝ ε x ε y ε z ⎟⎠

•Los ejes principales están asociados al elipsoide de índices: x2

εx

+

y2

εy

+

z2

εz

=1

•

Elipsoide de índices. El vector N es un vector unitario ortogonal al plano que define el frente de ondas.

εz

εx

Los ejes principales de la elipse determinan las direcciones de polarización de los modos normales de propagación D1 y D2

εy

•

Caso particular: Medios uniáxicos: En los cristales del los sistemas trigonal, tetragonal y hexagonal, uno de los ejes principales coincide con el eje cristalográfico. Dicho eje se designa como eje óptico (uniáxicos).

•

Distinguimos onda extraordinaria: El vector D está orientado a lo largo del eje óptico.

•

Onda ordinaria: El vector D está orientado ortogonal a la dirección del eje óptico.

EFECTO ELECTRO-ÓPTICO LINEAL Y CUADRÁTICO(*) • Ciertos materiales cambian sus propiedades ópticas cuando son sometidos a campos eléctricos. • Efecto electro-óptico El cambio que se produce en el índice de refracción como resultado de la aplicación de un campo eléctrico constante o alterno a bajas frecuencias. Se modifica la birrefringencia del medio. La variación del índice de refracción n debida a la aplicación del campo es: ⎛ 1 ⎞ Δ ⎜ 2 ⎟ = rE + gE 2 ⎝n ⎠

El primer término corresponde al efecto electro-óptico lineal Pockels El segundo término corresponde al efecto electro-óptico cuadrático o efecto Kerr electro-óptico, es un proceso no lineal de tercer orden. El voltaje necesario para producir efecto Pockels es un orden de magnitud inferior al necesario para producir efecto cuadrático. (*): G.F. Calvo, “Óptica No-lineal”, en: Óptica Avanzada (M.L. Calvo, coord.) Ariel, Barcelona 2002. Capítulo 6

ALGUNAS CONSTANTES ELECTRO-ÓPTICAS

MATRICES ELECTRO-ÓPTICAS PARA LAS SIMETRÍAS CRISTALINAS DE LOS MEDIOS REFRACTIVOS DE LA TABLA ANTERIOR

EFECTO KERR Es un proceso de tercer orden. El propio campo eléctrico altera las propiedades ópticas del medio. La variación del índice de refracción depende de la intensidad del campo eléctrico propagado en el medio.

n ≈ n0 +

Δn =

3 4cε 0 n02 3

4cε 0 n02

χ ( 3) I

χ (3) I = n2 I

n( I ) = n0 + Δn ( I ) = n0 + n2 I Un medio inicialmente homogéneo se vuelve inhomogéneo por la presencia de la luz, siguiendo la misma dependencia (local) espacial o temporal que el perfil de la onda. Puede dar lugar a fenómenos ópticos no-lineales particulares como el autoenfoque y los solitones ópticos.

FUNDAMENTOS DEL EFECTO FOTORREFRACTIVO • Material fotorrefractivo: Es un medio fotoconductivo y electro-óptico. Sus propiedades ópticas quedan caracterizadas por el tensor electro-óptico El efecto fotorrefractivo se define a partir de cuatro procesos: a) Fotoinionización: Por efecto de la intensidad de la luz incidente emitiendo con una frecuencia particular. Parte de las impurezas donadoras quedan ionizadas. b) Difusión: Generación y transporte de portadores libres en las bandas de energía (conducción y valencia) c) Recombinación: Re-atrapamiento de los portadores libres por las impurezas donadoras. d) Generación de un campo eléctrico: Redistribución de cargas y creación de un campo eléctrico muy intenso (del orden de 104 V/cm): campo espacial de carga responsable de la modulación del índice de refracción.

a)

Fotoinionización:

Las impurezas del Fe2+ pasan a impurezas de tipo Fe3+ c) Recombinación: Los iones Fe3+ se reconvierten en iones Fe2+ Los parámetros que intervienen en el proceso son: ND: densidad de donadores

N D+ : densidad de donadores fotoionizados

N A− : Densidad de aceptores fotoionizados n: densidad de electrones

Hay una distribución de carga neta: N D+ − n1 que genera un campo eléctrico 1

Aplicaciones: Mezclado de dos Ondas Bragg grating

LiNbO3

I k1

• Se crea una red de índice. K1

k2

• Suponemos que la difracción de la luz por la red de índice generada es en régimen de Bragg .

ANÁLISIS MACROSCÓPICO: FORMACIÓN DE LA RED DE ÍNDICE El campo espacial de carga E modula el índice de refracción via efecto electro-óptico: ⎛ 1 ⎞ Δ⎜ 2 ⎟ = ⎝ n ⎠ij

∑

rijk E k +

k

∑

sijkl E k E l

k ,l

En la mayoría de los casos en los materiales fotorrefractivos es el efecto Pockels el responsable de la modulación de índice. Induce una variación: 1 Δnij = − n03 2

∑ 3

rijk E k

k =1

No se necesita iluminar con haces muy intensos. Ejemplo: láseres de baja potencia < 1W para obtener modulaciones de índice entre 10-4 y 10-3. Cuando la dirección del campo eléctrico es paralela a un eje principal del cristal y se opera en condiciones de coherencia parcial se puede suponer una dependencia escalar: 1 1 Δn = − n3Δ 1 2 = − n3 rE ' n 2 2

( )

Se obtiene una intensidad modulada:

(

)

I = I 0 ⎡1 + m cos K ir − Δϕ ⎤ ⎣ ⎦

ÍNDICES DE REFRACCIÓN , COEFICIENTES ELECTRO-ÓPTICOS Y MAGNITUD DEL EFECTO EN ALGUNOS MATERIALES FOTORREFRACTIVOS

ECUACIONES DIFERENCIALES BÁSICAS: ECUACIONES DE KUKHTAREV Formulación introducida por Kukhtarev en 1979, describe un modelo básico para la variación temporal del número de donadores en presencia de un fenómeno de fotoionización. Se establece una ecuación inicial de balance: Variación de donadores ionizados = proporción de donadores creados – proporción de recombinados La proporción de donadores generados es proporcional a la intensidad incidente y al número de donadores no-ionizados. Se define un coeficiente: σ: sección eficaz de fotoionización: +

G = σ I ( ND − ND )

La evolución temporal de donadores fotoionizados es: Se cumple además:

∂N D+ ∂N A− =− ∂t ∂t

∂N D+ n =G− ∂t τ

; τ < 10-9 s

Ambas ecuaciones denotan el balance entre ionización, recombinación y transporte. Solución de primer orden: ∂n0 ∂t

(

)

+ γ R n0 N A−0 = σ I 0 N D0 − N A−0 ;

(

n0 = σ I 0 N D0 − N

− A0

)

+ ∂n0 ( t ) ∂N D0 ; N D+0 ≈ N A− ≈ ∂t ∂t

− t ⎤ ⎡ τ e ⎢1 − e τ e ⎥ ; τ e : tiempo de vida media de e − ⎣ ⎦

COMPORTAMIENTO NUMÉRICO DE LA EVOLUCIÓN TEMPORAL DE LA DENSIDAD DE ELECTRONES EN PRIMERA APROXIMACIÓN • Para obtener una solución de primer orden se introduce una linearización en el sistema de ecuaciones. •Se supone que los parámetros fundamentales del proceso no tienen dependencia espacial. •Se supone que el tiempo de vida media de los electrones es prácticamente igual al tiempo de recombinación. 1

n( t )0.5

0

0

10

20 t

30

40

Fundamentos de Cristales Líquidos

Estados de la materia

Sólido Cristal líquido “cuarto estado de la materia”

Líquido Gas

Cristal líquido: definición

• Fase estable de la materia caracterizada por propiedades de anisotropía sin formación de redes cristalinas en 3D • Medios que se comporatan como sólidos y fase isótropa (líquidos).

Fases de los cristales líquidos Existen dos fases Nematica Esmectica

Las sustancias anisótropas pueden tener estructuras conteniendo una o varias fases de cristal líquido combinadas.

Observación del comportamiento de un cristal líquido

Propiedades de transmisión de la luz sensibles a la orientación.

Propiedad específica de los cristales líquidos La orientación de las moléculas de un cristal líquido se puede ver afectada por:

• Presión • Temperatura • Campo eléctrico (voltaje aplicado)

Aplicaciones

Campo eléctrico NO aplicado Luz transmitida

Campo eléctrico SI está aplicado NO hay transmisión de la luz.

Celda de CL como medio reflector

En una celda de CL la reflectancia es función del voltaje aplicado