FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA LA ECONOMÍA

Manuel Úbeda Flores

Fundamentos matemáticos para la Economía © Manuel Úbeda Flores ISBN: 978-84-9948-495-2 Depósito legal: A-770-2011 Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/ Decano, 4 – 03690 San Vicente (Alicante) www.ecu.fm [email protected] Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/ Cottolengo, 25 – 03690 San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected] Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Índice general 1. Funciones reales de variable real. Límites y continuidad 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Función real de variable real . . . . . . . . . 1.2.2. Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Extremos de una función . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Teoremas sobre funciones continuas . . . . . . . . . 1.7. Funciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Derivación de funciones reales de variable real 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Definición e interpretación geométrica . . . . . . . 2.3. Primeras derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Derivadas de algunas funciones elementales 2.4. Tasas de variación: marginalidad . . . . . . . . . . 2.5. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . 2.6. Teoremas fundamentales sobre derivación . . . . . 2.7. Crecimiento, extremos y concavidad . . . . . . . . 2.8. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. La elasticidad de la demanda . . . . . . . . . . . . 2.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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9 9 10 10 10 11 11 13 14 14 14 21 24 25 27

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31 31 32 33 33 34 35 37 37 40 44 45 46

3. Integración de funciones reales de variable real 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Primitivas de una función. Integral indefinida . . . . . . . . . 3.3. Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Integración inmediata: tabla de primitivas . . . . . . 3.3.2. Integración por cambio de variable . . . . . . . . . . 3.3.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Cálculo de integrales definidas . . . . . . . . . . . . 3.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Aplicaciones de las integrales (I): cálculo de áreas . . . . . . 3.6.1. Área determinada por la gráfica de una función y el eje OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Área limitada por la gráfica de dos funciones . . . . 3.7. Aplicaciones de las integrales (II): superávit de los consumidores y de los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Series geométricas 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . 4.3. Series geométricas. Cálculo de su suma 4.4. Ejemplos con aplicaciones . . . . . . . 4.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . .

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5. Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . 5.2.4. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . 5.2.5. Traspuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . 5.2.6. Potencia entera de una matriz cuadrada . . . . 5.3. Transformaciones elementales . . . . . . . . . . . . . 5.4. Determinantes de matrices cuadradas . . . . . . . . . . 5.4.1. Definición y cálculo de determinantes . . . . . 5.4.2. Propiedades de los determinantes . . . . . . . 4

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51 51 51 52 52 55 55 56 56 58 60 62

. 62 . 62 . 65 . 67 . . . . .

71 71 71 72 72 74

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75 75 76 76 76 77 80 80 81 81 83 83 84

5.5. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . 5.5.1. Definiciones y discusión de sistemas 5.5.2. Métodos de resolución de sistemas . 5.6. Modelo input-output de Leontief . . . . . . 5.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . .

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86 86 88 92 95

6. Diagonalización de matrices cuadradas 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Definiciones y primeros resultados . . . . . . . . 6.3. Aplicaciones de la diagonalización . . . . . . . . 6.3.1. Cálculo de potencias de matrices . . . . . 6.3.2. Sistemas dinámicos a lo largo del tiempo 6.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . .

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101 101 101 105 105 106 108

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111 111 111 113 117 117 118 120 120 121 123 123 123 124

7. Funciones reales de varias variables reales 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Primeras definiciones. Curvas de nivel . . . . . . . . . 7.3. Límites y continuidad en funciones de varias variables 7.4. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Extremos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Extremos sin condicionamiento . . . . . . . . 7.5.2. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . 7.6. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . 7.6.2. Función de producción Cobb-Douglas . . . . . 7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Bibliografía básica

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Prefacio Este libro de texto está enfocado, fundamentalmente, como material docente de la asignatura de Matemáticas para los alumnos de los primeros cursos de los grados en: Administración y Dirección de Empresas; Economía; Finanzas y Contabilidad; y Marketing e Investigación de Mercados. El libro supone una buena herramienta de estudio encaminada al aprendizaje de las Matemáticas y algunas de sus aplicaciones en la Economía, proporcionando problemas resueltos relacionados con la materia. La obra está enfocada a la práctica, si bien aborda la teoría necesaria para resolver los ejercicios; de hecho, no se proporcionan demostraciones teóricas de los principales resultados. Se recogen desde problemas básicos que sirven de introducción y comprensión de las lecciones teóricas, hasta ejercicios de mayor complejidad y profundidad aplicados, en muchas ocasiones, a situaciones reales. De esta manera, se recurre frecuentemente a enunciados de tipo económico y empresarial que muestran al lector la relación entre ambas ciencias. Se desarrollan temas clásicos del Análisis Matemático —funciones reales de variable real, derivación e integración de funciones reales de variable real, series geométricas y funciones reales de varias variables reales— y del Álgebra Lineal —matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y diagonalización—. Al final de cada capítulo se proponen una serie de ejercicios relacionados con el tema. El autor Almería, septiembre de 2011

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Capítulo 1 Funciones reales de variable real. Límites y continuidad 1.1. Introducción Son muchos los ejemplos en los que el uso de funciones describe situaciones cotidianas: la función de posición de un móvil, su velocidad y aceleración, etc. También puede ser interesante conocer el valor en torno al que tiende a estabilizarse en el límite una función de beneficios o de costes, una determinada población de animales, etc. El siguiente problema muestra la utilidad del estudio detallado de las funciones de una variable. Problema 1 Un agricultor desea adquirir cierto tipo de abono para sus plantaciones. La industria que lo vende tiene la siguiente política de precios: para los primeros 100 kg, el precio es de 0,30 euros el kg; a partir de 100 kg el precio baja a 0,26 euros; a partir de 1000 kg el precio desciende a 0,20 euros. a) Determinar la función de coste C(x) que a un número x de kg le asocia la cantidad que el agricultor debe pagar por ella C(x) (en una sola compra). b) ¿Cuánto le costaría al agricultor comprar 990 kg? c) Si el agricultor quiere comprar tantos kg como pueda, y dispone de 800 euros, ¿cuántos kg de abono comprará? 9

1.2.

Primeras definiciones

1.2.1.

Función real de variable real

Definición 1 Una función real de variable real f : A −→ R es una aplicación que asigna a cada punto x ∈ A ⊆ R el valor f (x) ∈ R. A la variable x se le denomina variable independiente, mientras que a la y se le llama variable dependiente. Definición 2 Se define el dominio de una función real de variable real f como el conjunto Dom(f ) = {x ∈ A : existe f (x)}. x−1 . +x−2 El dominio de la función f es el conjunto formado por todos los números reales que no anulan el denominador. Como las dos raíces (reales) de la ecuación x2 + x − 2 = 0 son x = 1 y x = −2, tenemos que Dom(f ) = R − {−2, 1}.

Ejemplo 1 Determine el dominio de la función f (x) =

x2

Definición 3 Se define la imagen de una función real de variable real f como el conjunto Im(f ) = {y ∈ R : existe x ∈ A, con f (x) = y}. Ejemplo 2 Dada la función g(x) = x2 , al ser el cuadrado de cualquier número un valor positivo (incluido el cero), se tiene que Im(g) = [0, +∞). Definición 4 La gráfica de una función real de variable real f es el conjunto Graf(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y = f (x)}. (Véase figura 1.1).

1.2.2.

Monotonía

Definición 5 Una función f : A −→ R es monótona creciente (decreciente) en el intervalo (a, b) ⊆ A si para todo x1 y x2 de (a, b) tales que x1 < x2 , entonces f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) ≥ f (x2 )). La función es estrictamente creciente (decreciente) cuando se produce la desigualdad estricta, esto es, f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )). En la figura 1.2 vemos un ejemplo sobre los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 10

Y Eje de ordenadas f(x) (a,b)

b=f(a)

a

X

Eje de abscisas

Figura 1.1: Gráfica de una función

a

c

b creciente

decreciente

Figura 1.2: Ejemplo de crecimiento y decrecimiento de una función

1.2.3. Acotación Definición 6 Una función f : A −→ R está acotada superiormente (inferiormente) si existe M ∈ R (m ∈ R) tal que f (x) ≤ M (f (x) ≥ m) para todo x ∈ A. La función f está acotada si lo está superior e inferiormente. En la figura 1.3 se ven algunos ejemplos de gráficas de funciones acotadas en sus distintos tipos.

1.2.4. Extremos de una función Definición 7 Una función f tiene un mínimo local o relativo en el punto x0 si existe un δ > 0 tal que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ); es 11

Función acotada inferiormente

Función acotada superiormente

Función acotada

Figura 1.3: Ejemplos de funciones acotadas decir, en x0 la función pasa de decreciente a creciente. Definición 8 Una función f tiene un máximo local o relativo en el punto x0 si existe un δ > 0 tal que f (x0 ) ≥ f (x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ); es decir, en x0 la función pasa de creciente a decreciente. Definición 9 Una función f (x) tiene en el punto x0 un mínimo absoluto o global si se verifica que f (x0 ) ≤ f (x) para todos los valores x del dominio de la función. Definición 10 Una función f (x) tiene en el punto x0 un máximo absoluto o global si se verifica que f (x0 ) ≥ f (x) para todos los valores x del dominio de la función. En la figura 1.4 se aportan algunas gráficas con distintos máximos o mínimos.

x2

x1

ni mínimo ni máximo

mínimo relativo

máximo relativo

mínimo global

Figura 1.4: Ejemplos de existencia de máximos y mínimos

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1.3. Funciones elementales • Función polinómica: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , donde ai ∈ R, n ∈ IN. • Función racional: f (x) =

p(x) , q(x)

donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas. • Funciones trigonométricas: f (x) = sen(x), g(x) = cos(x), h(x) = tg(x) j(x) = cosec(x), k(x) = sec(x), l(x) = cotg(x) m(x) = arcsen(x), n(x) = arc cos(x), n ˜ (x) = arctg(x),

etc.

• Función exponencial: f (x) = ax , donde a > 0. En particular, si a = e ≈ 2,71 entonces f (x) = ex . • Función logarítmica: f (x) = loga (x), siendo el dominio A ⊆ R+ − {0}, y a > 0 con a = 6 1. En particular, si a = e entonces f (x) = ln(x) (función logaritmo neperiano). • Función irracional: f (x) =

√ n xp = xp/n ,

siendo n y p dos números naturales. • Función valor absoluto: |x| =

(

x si x ≥ 0 −x si x < 0.

• Funciones definidas a trozos: Son funciones definidas con distintas expresiones según el intervalo considerado. Por ejemplo, la función valor absoluto. 13

1.4.

Operaciones con funciones

Definición 11 Dadas dos funciones f y g con dominio común D, y c ∈ R, se define: ? Suma de f y g: (f + g)(x) = f (x) + g(x). ? Producto de f por un escalar: (c ·f )(x) = c ·f (x). ? Producto de f y g: (f ·g)(x) = f (x)·g(x). µ ¶ f f (x) (x) = , siempre que g(x) 6= 0. ? Cociente de f y g: g g(x) Definición 12 Dadas dos funciones f : A −→ R y g : B −→ R tales que Im(f ) ⊆ Dom(g), se define la composición de f y g, y se denota (g ◦ f ), como la función definida por (g ◦ f )(x) = g(f (x)). I En general, la composición de funciones no es conmutativa. Ejemplo 3 Dadas las funciones f (x) = x + 1 y g(x) = x2 , se tiene: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 ) = x2 + 1.

1.5.

Límites y continuidad

1.5.1.

Límites

Definición 13 Dada una función f definida en un intervalo [a, b] y un punto x0 ∈ (a, b), se dice que la función f tiene límite L ∈ R en el punto x0 , y se denota l´ım f (x) = L, x→x0

si para todo ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal que si 0 < |x − x0 | < δ, entonces |f (x) − L| < ε. 14