Galer´ıa de curvas en el plano Mar´ıa del Carmen Fern´andez Garc´ıa

Índice general 1. Introducción

1

2. Familias de curvas 2.1. Envolturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Determinación de las envolturas . . . . 2.2. Cáusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Un ejemplo del cálculo de una cáustica 2.3. Rodamientos y resbalamientos . . . . . . . . . 2.3.1. Cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Epicicloides y epitrocoides . . . . . . . 2.3.3. Hipocicloides e hipotrocoides . . . . . . 2.3.4. Escaleras que resbalan [13] . . . . . . . 2.4. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Evolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Involutas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Inversa con respecto a un círculo . . . 2.4.4. Curvas pedal . . . . . . . . . . . . . . 3. Galería de curvas 3.1. Astroide . . . . . 3.2. Bruja de Agnesi . 3.3. Cardioide . . . . 3.4. Catenaria . . . . 3.5. Cicloide . . . . . 3.6. Círculo . . . . . . 3.7. Cisoide de Diocles 3.8. Deltoide . . . . . 3.9. Epicicloide . . . .

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5 5 15 18 19 20 21 22 23 25 29 29 31 32 33

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35 35 39 42 46 50 54 56 61 65

ÍNDICE GENERAL


 3.10. Hipocicloide . . . . . . 3.11. Espiral de Arquímedes 3.12. Espiral de Cornu . . . 3.13. Espiral Equiángular . . 3.14. Espiral de Fermat . . . 3.15. Espiral Hiperbólica . . 3.16. Lituus . . . . . . . . . 3.17. Óvalos de Cassini . . . 3.18. Tractriz . . . . . . . .

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68 70 72 74 81 82 83 84 86

4. Conclusiones

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A. Código en Maple 9 de las gráficas

95

Índice de figuras 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Trayectoria de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trayectoria de una bala, 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . Parábola de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trayectoria de un proyectil auxiliar en el caso ideal, bajo la acción única de la fuerza de gravedad, desdeñando la acción de cualquier otra fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Curva balística (línea continua) y trayectoria del proyectil bajo la influencia única de la fuerza de gravedad. . . . . . . . . . 2.6. Vuelo supersónico de un avión . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Límite de la zona de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Zona de audibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Cardioide formada por rayos de luz reflejados en una taza de leche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. (A) Cáustica de un círculo; (B) Un rayo reflejado . . . . . . 2.11. Nefroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Cicloide acortada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Epicicloide - Epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. Hipocicloide - Hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17. Escalera que resbala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18. Varias posiciones de la escalera en las que está señalado el punto medio de ésta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19. Varias posiciones de la escalera en la que está marcado un punto fijo que no está en el centro de la escalera . . . . . . . 2.20. Barra de longitud uno que resbala en una pared vertical . . . 2.21. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.22. Familia de elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

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6 7 9

. 10 . . . .

10 11 12 14

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18 19 20 21 22 22 23 24 25

. 26 . . . .

26 27 28 28




ÍNDICE DE FIGURAS 2.23. Evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.24. Parábola y su evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.25. La catenaria y su involuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.26. Involuta Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.27. Inversa con respecto a un círculo . . . . . . . . . . . . . . . 2.28. Pedal positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.29. A la izquierda la pedal positiva de la parábola con respecto a su foco. A la derecha la pedal negativa de una recta con respecto a un punto fuera de ella. . . . . . . . . . . . . . . .

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29 31 31 32 33 34

. 34

3.1. La astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. (A) Astroide; (B) Generación doble de la astroide . . . . . . . 3.3. Trasmallo de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. La astroide como envolvente de elipses . . . . . . . . . . . . . 3.5. Evoluta de la astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. La longitud de la tangente cortada por los ejes es constante . . 3.7. Logo de los Pittsburgh Steelers . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Bruja de Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. (A) Cardioide; (B) Generación doble de la cardioide . . . . . . 3.10. Generación de cremona de la cardioide . . . . . . . . . . . . . 3.11. La cardioide como envolvente de círculos . . . . . . . . . . . . 3.12. Evoluta de la cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Leva en forma de cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Conjunto de Mendelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16. Arco situado en el corazón de la ciudad de St. Louis Missouri, Estados Unidos. En la fotografía de la izquierda, aparece además el Antiguo Palacio de Justicia. . . . . . . . . . . . . . 3.17. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18. Cicliode acortada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19. Cicloide alargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20. Rueda de un tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21. Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.22. P es un punto de la cisoide de las dos curvas con respecto a O 3.23. Cisoide generada por un círculo que se mueve a lo largo de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.24. Construcción de la cisoide dada por Diocles . . . . . . . . . . 3.25. Construcción de la cisoide dada por Newton . . . . . . . . . .

35 36 37 37 38 38 39 40 42 43 43 44 45 45 46 47 50 52 52 52 54 56 57 58 58

ÍNDICE DE FIGURAS 3.26. Construcción de la tangente a un punto P de la cisoide . . . 3.27. Duplicación del cubo con ayuda de la cisoide de Diocles . . . 3.28. La deltoide como envolvente de las rectas de Simpson de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.29. Deltoide generada por rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30. Propiedades de la deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.31. Evoluta de la deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.32. Deltoide rotor dentro de una astroide estator . . . . . . . . . 3.33. Motor Wankel el cual se encuentra en el museo Deutsches de Munich, Alemania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.34. (A) Epicicloide; (B) Generación doble de la epicicloide . . . 3.35. (A) Hipocicloide; (B) Generación doble de la hipocicloide . . 3.36. Una rama de la espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . 3.37. Espiral de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.38. Leva generada por un arco de una espiral de Arquímedes . . 3.39. Espiral de Cornu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.40. Espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.41. Pentágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.42. A la izquierda Jakob Bernoulli, junto a él Johann Bernoulli . 3.43. Espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.44. Espiral equiángular con longitud de los sucesivos radio vectores 0R0 = τ 0 , 0R1 = τ 1 , 0R2 = τ 2 ,... . . . . . . . . . . . . 3.45. Espiral equiángular derivada de un rectángulo áureo . . . . . 3.46. Inversa de la espiral equiángular . . . . . . . . . . . . . . . . 3.47. Espiral de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.48. Espiral hiperbólica o reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.49. Espiral hiperbólica y su asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . 3.50. Lituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.51. Óvalos de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.52. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.53. Tractriz y catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



. 60 . 60 . . . . .

62 63 63 64 64

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65 66 68 70 71 72 73 74 75 77 78

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79 80 81 81 82 83 83 84 86 88






ÍNDICE DE FIGURAS

Capítulo 1 Introducción Lo más curioso, es que todos aquellos que estudian seriamente esta Ciencia, caen en una especie de pasión. Verdaderamente, lo que más placer proporciona no es el saber, sino el estudiar; no es la posesión, sino la conquista; no es el estar aquí, sino el llegar allá. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) La humanidad fue fascinada por las curvas mucho antes de que estas fueran vistas como objetos matemáticos. Como evidencia están la forma de olas y espirales en la alfarería prehistórica, o los espléndidos pliegues de las esculturas griegas y góticas. Fueron los geómetras griegos quienes iniciaron el estudio de curvas definidas geométricamente como, por ejemplo, el contorno de la intersección de un plano con un cono. La recta y el círculo fueron distinguidos como bordes de secciones planas de un cono. Algunas curvas fueron generadas por el movimiento de mecanismos articulados, o al menos fueron imaginadas para ser generadas así: la espiral de Arquímedes (287-212 antes de J. C.) fue de este tipo. Una clasificación en curvas “geométricas” y “mecánicas” (la cual no corresponde al uso moderno de estos términos) quedó fija hasta el siglo diecisiete cuando la geometría analítica hizo posible distinguir con precisión que debemos (siguiendo a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)) llamar ahora curvas algebraicas1 y trascendentes2 . 1

Aquellas que pueden ser expresadas por potencias racionales de x y y vinculadas por operaciones de suma, resta, multiplicación y división; por ejemplo: y 2 = x/(x + y). 2 Una curva o ecuación trascendental es aquella que no es algebraica; por ejemplo: y = 2x , y = sin x.

1

2

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Buscando la forma de las órbitas planetarias Johannes Kepler (1571-1630) trató una variedad de curvas antes de encontrar que la elipse daba el mejor ajuste. En el antiguo sistema de Claudio Ptolomeo (85-165 después de J. C.) se suponía que los planetas describían rutas que podían ser construidas por medio de epiciclos (círculos transportados por otros círculos o esferas). Cuando Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) trató de explicar su método de cálculo de volúmenes (Principio de Cavalieri), tuvo el cuidado de usar un tipo de curva realmente general, pero le faltó un método analítico de descripción. Posteriormente en el siglo diecisiete, James Gregory (1638-1675) e Isaac Barrow (1630-1677) dieron reglas de cálculo en forma geométrica para referirse a arcos monótonos simples. Así las curvas individuales se estaban perdiendo ya en una teoría más general. Una invención poderosa fue crear una nueva curva por la transformación de otra, por ejemplo, la evoluta se forma con los centros de curvatura de una curva dada. Pero la mayor influencia en el estudio de las curvas fue, por supuesto, la invención del cálculo, el cual no sólo obtiene la solución a problemas de área y longitud de arco, sino que unifica todo el campo de investigación. Una gran variedad de problemas mecánicos pueden ser formulados con precisión, por ejemplo, para encontrar la curva del “más rápido descenso”, la braquistócrona. Las curvas planas ofrecen un rico y poco explorado campo de estudio, el Capítulo 2 trata de las familias de estas curvas. El Capítulo 3, Galería de Curvas, presenta información individual de las curvas, todo lo que me pareció importante decir respecto a ellas, como su longitud ([8] pp. 755-757), área ([8] pp. 789-790), superficie de revolución ([1] p. 423), volumen de revolución ([1] p. 404), evoluta ([5] pp. 103-104), etc. Las gráficas se realizaron en Scientific WorkPlace 4, se da el programa generado en Maple 9 de cada una en el Apéndice A. Asimismo en el Capítulo 3, para cada curva, las referencias bibliográficas están en el primer párrafo de la curva en cuestión, aunque pueden aparecer más referencias posteriormente para puntualizar de dónde se extrajo la información que se trata. Hace algunos años Salvador López Mendoza me dijo que en el nuevo edificio de la Facultad de Ciencias, el Tlahuizcalpan, había salones equipados con computadoras para las materias teóricas y que hacia falta material de apoyo para éstos, el Capítulo 3 de esta tesis se pensó como material de apoyo para un curso de Cálculo Diferencial e Integral II o III, al respecto y a manera de ejemplo se implementaron en Maple 9 cinco de las curvas de

3 dicho Capítulo. Una de las razones para elaborar esta tesis fue el hecho de que no existía en español un texto que hablara de estas curvas. Dentro de los propósitos de esta tesis estuvo incluir al menos las curvas que se consideran más importantes. Otro de los propósitos al escribir una tesis debe ser el aprender a redactar un libro, armarlo desde su estructura. Antes de realizar este trabajo, intente varias veces hacer la tesis en computación, tuve tres distintos asesores de tesis. Agradezco profundamente al Dr. Pedro Miramontes el ayudarme tanto como lo hizo para realizar y concluir este trabajo. Es en verdad en excelente director de tesis.

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Capítulo 2 Familias de curvas 2.1.

Envolturas

La noción de envoltura1 se encuentra en las diversas partes de la matemática. Supongamos que tenemos una familia de curvas que depende de un parámetro que es constante para cualquier curva individual, pero que cambia al pasar de una curva a otra. Las curvas de una familia pueden ser tangentes a una misma curva o a un mismo grupo de curvas. En este caso se da el nombre de envoltura de la familia a la curva o al grupo de curvas. Así, la envoltura de una familia de curvas es la curva tangente a cada una de las curvas de la familia. Problemas para calcular la curva tangente a una familia de curvas fueron discutidos extensamente en 1694 entre Leibniz, Johann Bernoulli (1667-1748) y Guillaume François Antonie, Marquis de L’Hôpital (1661-1704). En calidad de envolturas aparecen curvas notables que encontramos frecuentemente en la matemática y en las aplicaciones de ésta: la parábola, la hipérbola, la astroide, la cicloide, la cardioide, etcétera. A continuación se presentan la parábola y la hipérbola como ejemplos de envolturas. Tiro parabólico [2] Examinemos el movimiento de un cuerpo de manera idealizada, bajo la acción única de la fuerza de gravedad, desdeñando la acción sobre él de 1

En algunos textos le dicen envolvente.

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6

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Figura 2.1: Trayectoria de un proyectil cualquier otra fuerza. La gravedad actúa verticalmente hacia abajo sobre el cuerpo lanzado con una aceleración g constante. Sea L la trayectoria por la que se mueve el cuerpo lanzado, ver figura 2.1. En cada instante el cuerpo móvil se encuentra en algún punto de ésta y tiene una velocidad de movimiento determinada. La velocidad es un vector tangente a la trayectoria L. Así L es la envoltura de los vectores de velocidad del cuerpo lanzado. Consideremos la primera ley del movimiento de Isaac Newton (16431727): si ninguna fuerza actúa sobre un cuerpo y el cuerpo está en reposo, permanecerá en reposo; si ninguna fuerza actúa y un cuerpo está en movimiento, continuará en movimiento a velocidad constante y en línea recta. La velocidad del cuerpo lanzado puede ser descompuesta en dos componentes: una vertical y otra horizontal. Considerado la primera ley de Newton sabemos que la fuerza de la gravedad actúa, además el cuerpo es lanzado con un ángulo de elevación ϕ tenemos entonces que la componente vertical es afectada por la gravedad y la horizontal permanece constante durante todo el movimiento. Si designamos por vo a la velocidad con que el cuerpo es lanzado, ver figura 2.1, y a las componentes horizontal y vertical de la velocidad por los signos v h y v v respectivamente, entonces:

vh (t) = vo cos ϕ vv (t) = vo sin ϕ − gt

(2.1) (2.2)

Si yo es la altura inicial del cuerpo lanzado y x(t) y y(t) denotan la posición del mismo:

2.1. ENVOLTURAS

7

Figura 2.2: Trayectoria de una bala, 1547

(2.3)

x(t) = (vo cos ϕ)t y(t) = yo + (vo sin ϕ)t −

gt2 2

(2.4)

La trayectoria del cuerpo lanzado es una parábola. Las fórmulas dadas describen el movimiento del cuerpo bajo la acción constante de la gravedad. A principios del siglo XVII no era claro cuál sería la trayectoria de una bala disparada oblicuamente; tan es así que, en 1613, el capitán español con fama de experto artillero, Diego Ufano, publicó un Tratado de Artillería en el que consideraba que eran tres los movimientos que participaban en la determinación de la ruta seguida por una bala: ...estos tiros se producían primeramente como un movimiento violento o recto, luego como un movimiento mezclado en el que la bala declina de la línea recta con la que salió del mortero y sigue un arco o línea curva; finalmente, cuando ya perdió toda su fuerza, sigue el movimiento natural buscando el centro (de la tierra) hacia abajo, como aparece en la figura (figura 2.2 [11] pp. 27-29)... Ahora, examinemos las trayectorias de los proyectiles lanzados por un cañón instalado en cierto punto 0 de la superficie terrestre. Debemos estudiar la trayectoria del vuelo de un proyectil lanzado desde el punto 0 a la velocidad vo bajo el ángulo ϕ respecto al horizonte.

8

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

En la ecuación 2.4 consideremos yo = 0 desdeñando la altura del cañón que está instalado en la tierra. El origen de coordenadas se elige para que x(t) y y(t) sean cero en t = 0. y(t) = (vo sin ϕ)t −

gt2 2

(2.5)

ϕ De la ecuación 2.2 es claro que en el momento t = vo sin la componente g vertical de la velocidad v v es nula. Hasta este instante la componente v v era positiva, es decir, el cuerpo ascendía; después de este momento es negativa ϕ y el cuerpo desciende. Así, cuando t = vo sin , el cuerpo alcanza su altura g máxima de ascensión, que según la ecuación 2.5 es igual a

ym´ax

(vo sin ϕ)2 = 2g

Por otra parte, en la figura 2.1 se ve que v v ≤ vo y que v v = vo sólo cuando ϕ = 90◦ . Por lo que finalmente ym´ax =

vo2 2g

La altura del proyectil sobre la tierra es nula solamente en dos puntos: en el punto del disparo y en el punto de impacto, al caer a la tierra. Es decir, la altura es nula para los valores de t que son raíces de la ecuación 2.5 (vo sin ϕ)t −

gt2 =0 2

esto es, cuando t = 0 ó t = 2vo gsin ϕ . La primera raíz corresponde al momento del lanzamiento del proyectil y la segunda al momento de caída. La distancia entre el lugar del disparo y el lugar de explosión, de acuerdo a la ecuación 2.3, es igual a: xm´ax =

2vo2 cos ϕ sin ϕ v 2 sin 2ϕ = o g g

La función sin 2ϕ alcanza su valor máximo cuando ϕ = 45◦ (o cuando ϕ = 135◦ ). Así la distancia máxima de vuelo se obtiene cuando ϕ = 45◦ xm´ax =

vo2 g

2.1. ENVOLTURAS

9

Figura 2.3: Parábola de seguridad la cual es dos veces mayor que la altura máxima de ascensión. Analicemos la zona de tiro, es decir, la parte del espacio que ocupan las trayectorias de los proyectiles lanzados desde O para diferentes ángulos ϕ, en la suposición de que la velocidad vo es fija y todas las trayectorias están situadas en un mismo plano. La zona de tiro está limitada por la parábola 2 que pasa a través del punto de elevación máxima C = (0, v2go ) y los puntos 2

2

D1 = (− vgo , 0), D2 = ( vgo , 0) de las explosiones más lejanas, ver figura 2.3. La parábola en cuestión puede obtenerse lanzando horizontalmente un proyectil con velocidad vo desde el punto C. Ya habíamos dicho que la trayectoria que describen las ecuaciones 2.3 y 2.4 es la de una parábola, substituyendo en dichas ecuaciones que el proyectil es lanzado horizontalmente, ϕ = 0◦ con 2 velocidad vo desde el punto C, esto es, yo = v2go . La posición del proyectil que se mueve por la parábola de seguridad esta dada por: (2.6)

x(t) = vo t v 2 gt2 y(t) = o − 2g 2

Esta parábola se denomina parábola de seguridad ya que limita la zona de tiro, por encima de ella un vuelo está fuera de peligro. Veamos esto (figura 2.4), la posición de un proyectil auxiliar que se lanza desde O con un ángulo de elevación ϕ a velocidad vo esta dada por: x1 (t) = (vo cos ϕ)t y1 (t) = (vo sin ϕ)t −

gt2 2

para x(t) = x1 (t1 ) veamos como es y(t) − y1 (t1 ). Si t = t1 cos ϕ, x(t) = x1 (t1 ),

10 y(t) =

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS vo2 2g

−

g(t1 cos ϕ)2 2

y(t) − y1 (t1 ) =

y y1 (t1 ) = (vo sin ϕ)t1 −

gt21 2

además

vo2 gt2 1 − (vo sin ϕ)t1 + 1 (1 − cos2 ϕ) = (v0 − gt1 sin ϕ)2 ≥ 0 2g 2 2g

el que esta diferencia sea no negativa muestra que la trayectoria de cualquier proyectil que se lance desde O a velocidad vo con cualquier ángulo de elevación está situada debajo de la parábola de seguridad y es tangente a esta última en un punto, es decir, la parábola de seguridad es la envoltura de las trayectorias de vuelo de los proyectiles, bajo el supuesto de que la única fuerza que actúa sobre el proyectil es la fuerza de gravedad y que desdeñamos la acción sobre él de cualquier otra fuerza.

Figura 2.4: Trayectoria de un proyectil auxiliar en el caso ideal, bajo la acción única de la fuerza de gravedad, desdeñando la acción de cualquier otra fuerza. En la figura 2.5 ([2] p. 8) se expone el tipo aproximado de la trayectoria de un proyectil en el aire (la línea continua es la llamada curva balística) y la línea por la que volaría el proyectil bajo la influencia única de la fuerza de gravedad.

Figura 2.5: Curva balística (línea continua) y trayectoria del proyectil bajo la influencia única de la fuerza de gravedad.

2.1. ENVOLTURAS

11

La hipérbola como límite de la zona de audibilidad [2] Un avión vuela a altura h sobre la superficie terrestre a velocidad supersónica v. ¿Cuál es en un momento dado la región de la superficie terrestre en cuyos puntos ya se ha oído o se oye el sonido del motor del avión? Vamos a suponer que la superficie terrestre sobre la que vuela el avión es absolutamente plana y que la altura del avión h y su velocidad v son constantes. En cada instante el avión en vuelo se encuentra sobre cierto punto, asimismo el punto de proyección del avión sobre la superficie terrestre se mueve uniformemente a la velocidad v, describiendo una línea recta l paralela a aquella por la que vuela el avión en el espacio, ver figura 2.6. Representemos el movimiento del avión de derecha a izquierda.

Figura 2.6: Vuelo supersónico de un avión Supongamos que el avión se encuentra sobre el punto O de la recta l y que hace t segundos el avión se encontraba sobre el punto A de la recta l a la derecha del punto O a distancia OA = vt. Sea B el punto del espacio en el que en este mismo momento se encontraba el avión. Al pasar por el punto B el avión produjo un ruido que comenzó a propagarse desde este punto B en todas direcciones. Designaremos por u la velocidad del sonido en el aire. Para el momento en que el avión sobrevuela el punto O, es decir, transcurridos t segundos el sonido logra, desde el punto B, propagarse en una esfera de radio ut cuyo centro es B. Si el radio de esta esfera es mayor que h, el sonido tiene también tiempo para llegar hasta la tierra y. además, la región en la tierra hasta la que llega el sonido desde el punto B será un círculo que se obtiene de la intersección de la esfera con la superficie terrestre. De la figura √ 2.6 se ve que el radio de este círculo es igual a u2 t2 − h2 , y que su centro se encuentra en el punto A.

12

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Figura 2.7: Límite de la zona de audibilidad Tomando círculos para todas las posiciones posibles del avión obtendremos la zona de audibilidad. Sea l cierta semirrecta que parte del punto O y u, v, h (u < v) tres números positivos. Supongamos que A es un punto arbitrario de la semirrecta l, y que t es un número positivo tal que la longitud del segmento OA es√igual a vt. Designemos por KA al círculo con centro en el punto A y radio u2 t2 − h2 . Hallar en el plano la región de todos los círculos KA que se obtienen para todas las posiciones posibles del punto A en la semirrecta l. En la figura 2.7 se exponen varios de estos círculos y una línea gruesa que limita la región rellena por estos círculos, es decir, la línea que es el límite de la zona de audibilidad. Al examinar esta figura podemos concluir que el límite de la zona de audibilidad es la envoltura de tales círculos. Todos los círculos KA posibles llenan la región de audibilidad, así que para que un punto M en el plano pertenezca a la zona de audibilidad es necesario que pertenezca a√algún círculo KA . Sean A = (vt, 0), M = (x, y) y KA el círculo de radio u2 t2 − h2 y centro en el punto A. Para que M pertenezca al círculo KA es necesario que se cumpla la desigualdad (x − vt)2 + y 2 ≤ u2 t2 − h2 que es equivalente a (v 2 − u2 )t2 − 2vxt + (x2 + y 2 + h2 ) ≤ 0

(2.7)

El punto M pertenece a la región de audibilidad si existe un número positivo t ( se consideró que no tiene sentido tomar valores negativos para el tiempo) que satisface la desigualdad 2.7.

2.1. ENVOLTURAS

13

Se había dicho que u, v, h y t son números positivos y que u < v entonces (v −u2 )t2 , x2 +y 2 +h2 y 2vt son positivos. Para que se cumpla la desigualdad 2.7, x debe ser positivo. Considérese la igualdad 2

(v2 − u2 )t2 − 2vxt + (x2 + y 2 + h2 ) = 0

(2.8)

y tómense a = v 2 − u2 , b = −2vx y c = x2 + y 2 + h2 , a es positivo ya que u < v. Si es discriminante de la ecuación 2.8, b2 − 4ac es negativo entonces la expresión
2  b 1  2 2 at + bt + c = a t + − b − 4ac 2a 4a

es positiva y no se cumple la desigualdad 2.7, por tanto

b2 − 4ac ≥ 0 4v 2 x2 − 4(v 2 − u2 )(x2 + y 2 + h2 ) ≥ 0 4u2 x2 − 4(v 2 − u2 )y 2 ≥ 4(v 2 − u2 )h2 Dividiendo esta desigualdad entre el número positivo 4(v 2 − u2 )h2 y2 u2 x2 − ≥1 (v 2 − u2 )h2 h2 x2 (v 2 −u2 )h2 u2

−

y2 ≥1 h2

(2.9)

Por lo tanto, la región de audibilidad se compone de los puntos (x, y) tales que x > 0 y (x, y) satisface la desigualdad 2.9. Si examinamos todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la igualdad x2 (v 2 −u2 )h2 u2

−

y2 =1 h2

(2.10)

No solo aquellos en que x > 0 obtendremos las dos ramas de la hipérbola. Finalmente, el límite de la zona de audibilidad es la rama derecha de la hipérbola, que se determina por la ecuación 2.10. Con lo expuesto se demostró que la rama derecha de la hipérbola es la envoltura de los círculos KA , esto es, todo punto de esta rama es tangente a uno de los círculos KA .

14

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Ángulo característico [2] Examinemos el caso h = 0, es decir, cuando el movimiento tiene lugar en la superficie terrestre: en lugar del avión el “automóvil supersónico”. En este caso el radio del círculo KA es igual a ut. El punto A en la semirrecta l se encuentra respecto al punto O a distancia vt, ver figura 2.8. Hallar en el plano la región que se llena con los círculos KA .

Figura 2.8: Zona de audibilidad Todos los círculos KA tienen su centro sobre l. Al variar t la distancia OA = vt y el radio del círculo KA , que es igual a ut varían. Por esto, la región del plano que se llena por los círculos KA , es decir, la zona de audibilidad en este caso representa en sí el ángulo SOT con el vértice en el punto O, el cual está formado por las tangentes comunes de todos los círculos KA (figura 2.8). Podemos decir que los lados del ángulo SOT sirven de envoltura para las circunferencias KA . La semirrecta l es la bisectriz del ángulo SOT . El ángulo ϕ entre la semirrecta l y una de las semirrectas OS, OT , se denomina ángulo característico para el “automóvil supersónico”. Puesto que en el triángulo OAE√de la figura 2.8 tenemos que OA = vt, AE = ut y OE = (vt)2 − (ut)2 = t v2 − u2 sin ϕ =

AE ut u = = OA vt v

AE ut u = √ =√ 2 2 2 OE t v −u v − u2 De esta manera, conociendo las velocidades u y v, se puede calcular la magnitud del ángulo característico. tan ϕ =

2.1. ENVOLTURAS

2.1.1.

15

Determinación de las envolturas

La búsqueda de las envolturas generalmente se efectúa mediante la operación de diferenciación. Sea f (x, y, a) = 0 una familia de curvas, cada valor de a da una curva de la familia. Considérese el sistema f (x, y, a) = 0 fa′ (x, y, a) = 0

(2.11)

Cada punto de la envoltura satisface la ecuación que se obtiene del sistema anterior al eliminar el parámetro a ([5] pp. 98-99, [2] pp. 61-64, [4] pp. 570571). Si la familia de curvas esta determinada mediante dos ecuaciones con dos parámetros a y b. f (x, y, a, b) = 0 g(a, b) = 0 Entonces cada punto de la envoltura satisface a la ecuación que se obtiene del sistema f (x, y, a, b) = 0 g(a, b) = 0 ′ ′ fa · gb − ga′ · fb′ = 0

(2.12)

omitiendo los parámetros a y b ([2] p. 64). Cabe mencionar que la curva determinada por la ecuación que se obtiene de eliminar los parámetros en los sistemas (2.11) y (2.12) se compone de la envoltura y del lugar geométrico de los puntos singulares2 de todas las curvas de la familia ([2] p. 70). Ejemplo 1. Hallar √ la envoltura de la familia de círculos KA con centro en A = (vt, 0) y radio u2 t2 − h2 de la zona de audibilidad que se analizó antes (x − vt)2 + y 2 = u2 t2 − h2 2

Son puntos singulares: los puntos aislados; aquellos en los que la curva se corta a si misma; o bien, las puntos en los que la curva es tangente a si misma.

16

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Haciendo a = vt y c = uv h se puede transformar a esta familia en
 h2 2 f (x, y, a) = a 1 − 2 − 2ax + (x2 + y 2 + h2 ) = 0 c Cada valor de a da una curva de esta familia. La derivada de f (x, y, a) con respecto de a es
 h2 ′ fa (x, y, a) = 2a 1 − 2 − 2x c

De acuerdo a lo dicho con relación al sistema (2.11), para determinar la envoltura debemos eliminar a en el sistema
 h2 2 a 1 − 2 − 2ax + (x2 + y 2 + h2 ) = 0 c
 h2 2a 1 − 2 − 2x = 0 c

Despejando a de la segunda ecuación y substituyéndola en la primera ecuación llegamos a h2 x2 − y 2 = h2 c2 − h2 dividendo entre h2 obtenemos x2 y2 − =1 c2 − h2 h2

que es la ecuación de la envoltura y representa una hipérbola. Ejemplo 2. Examinemos la familia de trayectorias de los proyectiles que estudiamos al inicio de esta sección dadas por las ecuaciones paramétricas (2.3) y (2.5) x = (vo cos ϕ)t y = (vo sin ϕ)t −

gt2 2

despejando t de la primera de estas ecuaciones y substituyéndola en la segunda, obtenemos la ecuación cartesiana de la familia de trayectorias, multiplicando esta ecuación por 2vo2 cos2 ϕ llegamos a gx2 − 2(vo cos ϕ)(vo sin ϕ)x + 2(vo2 cos2 ϕ)y = 0

2.1. ENVOLTURAS

17

finalmente, haciendo a = vo cos ϕ y b = vo sin ϕ f (x, y, a, b) = gx2 − 2abx + 2a2 y = 0 g(a, b) = a2 + b2 − vo2 = 0 Para encontrar la envoltura a la familia de curvas determinadas por dos ecuaciones con dos parámetros, aplicamos lo correspondiente al sistema (2.12). Calculamos las derivadas: fa′ = −2bx + 4ay,

fb′ = −2ax,

ga′ = 2a,

gb′ = 2b

Para hallar la ecuación de la envoltura debemos eliminar a y b del sistema gx2 − 2abx + 2a2 y = 0 a2 + b2 − vo2 = 0 2aby + (a2 − b2 )x = 0

(2.13)

Multiplicando por b la primera de estas ecuaciones y por −a la tercera y sumándolas obtenemos gbx2 − a(a2 + b2 )x = 0 De la segunda ecuación del sistema (2.13) tenemos que a2 + b2 = vo2 , substituyendo en la ecuación anterior llegamos a gbx2 − avo2 x = 0 La recta x = 0 no pertenece a la envoltura (según se observa en la figura 2.3) pues claramente que x = 0 no es solución del sistema (2.13), así gbx − avo2 = 0 despejando a de esta ecuación y substituyéndola en la tercera ecuación del sistema (2.13) llegamos a la ecuación de la envoltura y=

gx2 vo2 − 2 2g 2vo

la cual coincide con la de la parábola de seguridad cuyas ecuaciones paramétricas (2.6) se dieron antes.

18

2.2.

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Cáusticas

Cuando una luz se refleja desde un espejo en otra superficie frecuentemente se observa una curva de luz brillante en la superficie, esta curva es llamada cáustica, de la idea de quemar. Un basto ejemplo de envolturas son las curvas cáusticas, que aunque parecen producto de la óptica, pertenecen completamente a la teoría de curvas. Son de interés histórico por hacer surgir las primeras preguntas. Una curva cáustica es la envoltura de rayos de luz emitidos de un punto reflejados (catacáustica) o refractados (diacáustica) en una curva dada. Los rayos de luz pueden estar a una distancia finita (como una llama) o prácticamente a distancia infinita (como el sol). Las curvas cáusticas fueron introducidas en 1682 por el matemático alemán Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708), quien trabajó en geometría diferencial y construyó espejos con un gran poder para quemar. Asimismo fueron estudiadas por Christiaan Huygens (1629-1695), Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), L’Hôpital (1661-1704), Adolphe Quételet (1796-1874), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y otros. Son ejemplos de éstas: las curvas luminosas que se ven en la superficie de una taza de leche (ver figura 2.9, que se adoptó de la red de internet) y los patrones de luz en el fondo de una alberca.

Figura 2.9: Cardioide formada por rayos de luz reflejados en una taza de leche. Pertenecen a esta familia la cardioide (es la catacáustica de un círculo con un punto radiante en su circunferencia), la nefroide (es la catacáustica de un círculo en el que se reflejan rayos paralelos, o bien, catacáustica de una cardioide con un punto radiante en el vértice), etcétera.

2.2. CÁUSTICAS

19

Por la forma en como se obtienen, se pueden considerar como curvas derivadas o asociadas. No siempre una fuente de luz reflejada (o refractada) en una curva genera otra curva. Por ejemplo, los rayos de luz reflejados desde el foco de una parábola no se intersectan, por lo tanto su envoltura no forma ninguna curva. Actualmente existe software que simula los efectos visuales de las cáusticas generadas por el reflejo de los rayos del sol en el agua3 .

2.2.1.

Un ejemplo del cálculo de una cáustica

Sea x2 + y 2 = 1 una circunferencia. Supongamos que rayos paralelos verticales son reflejados por esta circunferencia. Estos producen una nueva familia de líneas rectas (ver figura 2.10 A). Encuentre la ecuación de esta cáustica [5].

Figura 2.10: (A) Cáustica de un círculo; (B) Un rayo reflejado Para representar la familia de rayos reflejados elegimos como parámetro el ángulo α entre el rayo y el radio del círculo. De la figura 2.10 B, se puede 2α ver que la pendiente del rayo reflejado es tan(2α − π2 ) = − cos y que la sin 2α ecuación de la recta del rayo reflejado es
 1 cos 2α 1 x sin α cos α −x =− + − (2.14) y=− 2 cos α sin 2α 2 cos α 2 cos α sin α La cáustica es a fin de cuentas una envoltura, así de la segunda ecuación del 3

Para información respecto al software se recomienda consultar la siguiente dirección en la red de internet http://www.lysator.liu.se/~kand/caustics/.

20

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

sistema (2.11) de la sección anterior tenemos que fα′ (x, y, α) = −

x sin α =0 + 2 2 2 cos α 2 cos α sin2 α

de donde x = sin3 α

(2.15)

substituyendo en la ecuación 2.14 llegamos a

 1 sin4 α 1 1 2 2 y= − + − sin α cos α = − cos α + sin α 2 cos α cos α 2

(2.16)

esta ecuación junto con la ecuación 2.15 son las ecuaciones paramétricas de la cáustica. Para quitar el parámetro despejamos sin α de la ecuación 2.15, de la relación sin2 α + cos2 α = 1 despejamos cos α y los substituimos en la ecuación 2.16, obtenemos
  2 1 2 + x3 y = − 1 − x3 2 que es la ecuación cartesiana de la cáustica y representa una nefroide, como se dijo antes en esta sección (ver figura 2.11). y

0.5

0 -1

-0.5

0

0.5

1 x

-0.5

Figura 2.11: Nefroide

2.3.

Rodamientos y resbalamientos

Pertenecen a esta familia las curvas que se obtienen por rodamientos. Mas específicamente, las que se obtienen como lugar geométrico de un punto a distancia h del centro de un círculo de radio b que rueda: sobre una recta

2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS

21

fija; en el exterior de un círculo fijo de radio a; o en el interior de un círculo fijo de radio a. En esta familia se encuentran las cicloides, epicicloides (como la cardioide y la nefroide), hipocicloides (como la astroide y la deltoide), epitrocoides, hipotrocoides, etcétera. También pertenecen a esta familia las curvas que se obtienen por resbalamientos, como la astroide.

2.3.1.

Cicloides

Un círculo de radio a rueda, sin resbalar, sobre una recta. ¿Por qué curva se mueve un punto fijo P = (x, y) a distancia h, h > a del centro del círculo que rueda?

Figura 2.12: Cicloide alargada Como se observa en la figura 2.12, cos(t − π2 ) = uh , por lo que u = h cos(t −

π ) = h sin t 2

Así la coordenada x del punto fijo sobre el círculo es x = at − u = at − h sin t. Por otro lado, sin(t − π2 ) = hv , de donde v = h sin(t −

π ) = −h cos t 2

por lo que la coordenada y del punto fijo es y = a + v = a − h cos t. Las coordenadas x y y obtenidas son las ecuaciones paramétricas de la cicloide alargada. Substituyendo h por la distancia del origen del círculo que rueda al punto fijo P = (x, y) se obtienen las ecuaciones paramétricas correspondientes a la cicloide de que se trate: cicloide alargada si h > a (ver figura 2.12), cicloide si h = a (ver figura 2.13) y cicloide acortada si h < a (ver figura 2.14).

22

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Figura 2.13: Cicloide

Figura 2.14: Cicloide acortada

2.3.2.

Epicicloides y epitrocoides

¿Por qué curva se mueve un punto fijo a un círculo de radio b que rueda sin resbalar en el exterior de un círculo de radio a? Si el punto está en la circunferencia del círculo que rueda, la curva generada es una epicicloide; si el punto generador no está en la circunferencia, la curva es una epitrocoide. Sea el punto generador aquel en donde se tocan los dos círculos y sea el eje x la recta por la que pasan a los centros de los dos círculos y el punto generador. Considérese otra posición del círculo que rueda, ver figura 2.15. Sea H = (x, y) el punto generador; sean BF = a, F G = b, F BC = ϕ, JGF = ψ, GH = c; como CF = F J, aϕ = bψ; GHK = π − (ϕ + ψ) = θ. cos ϕ = BD BG BD = BG cos ϕ BD = (a + b) cos ϕ

cos θ = KH GH KH = GH cos θ KH = c cos(π − (ϕ + ψ)) = −c cos(ϕ + ψ)

Por lo que la coordenada x del punto H es x = BD + KH = (a + b) cos ϕ − c cos(ϕ + ψ)

sin ϕ = GD BG GD = BG sin ϕ GD = (a + b) sin ϕ

sin θ = GK GH GK = GH sin θ GK = c sin(π − (ϕ + ψ)) = c sin(ϕ + ψ)

2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS

23

Figura 2.15: Epicicloide - Epitrocoide Así la coordenada y de H es y = GD − GK = (a + b) sin ϕ − c sin(ϕ + ψ) si a + b = mb a (m − 1)bϕ ψ ϕ+ψ

= = = =

(m − 1)b bψ (m − 1)ϕ mϕ

y las coordenadas de H son x = mb cos ϕ − c cos mϕ y = mb sin ϕ − c sin mϕ Las ecuaciones paramétricas de la epicicloide se obtiene al hacer c = b, mb = a + b y m = a+b así b a+b ϕ b a+b y = (a + b) sin ϕ − b sin ϕ b

x = (a + b) cos ϕ − b cos

2.3.3.

(2.17)

Hipocicloides e hipotrocoides

Estas pueden ser generadas por un punto enlazado a un círculo de radio b que rueda sin resbalar en el interior de un círculo de radio a. Como antes,

24

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Figura 2.16: Hipocicloide - Hipotrocoide si el punto está en la circunferencia del círculo que rueda, la curva es una hipocicloide. Si no, la curva es una hipotrocoide. Sea el punto generador el punto de intersección de los dos círculos y sea el eje x la recta que pasa por el punto generador y el centro de los dos círculos. Considérese otra posición del círculo que rueda, ver figura 2.16. Sea F = (x, y) el punto generador; OH = a, GH = b, HOC = ϕ, HGD = ψ, GF = d; como DH = HC, aϕ = bψ; F GE = π2 − (ψ − ϕ) = α. Procediendo como antes, las coordenadas de F son x = OA + EF = (a − b) cos ϕ + d cos(ψ − ϕ) y = GA − GE = (a − b) sin ϕ − d sin(ψ − ϕ) si a − b = mb, entonces x = mb cos ϕ + d cos mϕ y = mb sin ϕ − d sin mϕ Haciendo d = b, mb = a−b y m = de la hipocicloide

a−b b

se obtienen las ecuaciones paramétricas

a−b ϕ b a−b y = (a − b) sin ϕ − b sin ϕ b

x = (a − b) cos ϕ + b cos

(2.18)

Si en estas ecuaciones se reemplaza b por −b, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la epicicloide y viceversa.

2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS

25

Cuando ab es racional, después de un cierto número de revoluciones, el punto generador regresa a una posición anterior, la curva es cerrada, y algebraica; pero si ab no es racional, el punto generador nunca regresará a la misma posición y la curva será trascendente. Todas las curvas antes mencionadas fueron trazadas por un punto rígidamente sujeto a un círculo que rueda sin resbalar sobre una recta, sobre un círculo, o en el interior de un círculo. Es una extensión natural pensar en qué curva trazará un punto fijo sujeto a un círculo, si el círculo rueda sobre alguna otra curva. Se observa que esta forma de generar curvas producirá una infinidad de ellas.

2.3.4.

Escaleras que resbalan [13]

Una escalera situada sobre el suelo liso y apoyada con un extremo en la pared se desliza hacia abajo. ¿Por qué curva se mueve el peldaño en el centro de la escalera (figura 2.17)?

Figura 2.17: Escalera que resbala Nuestro problema es hallar el conjunto de centros de un segmento de longitud dada, cuyos extremos resbalan sobre una pared vertical y el piso. Tracemos el punto medio del segmento en varias de las posiciones de su resbalamiento (ver figura 2.18 A) para darnos una idea de la curva en cuestión. Para determinar de que curva se trata establezcamos un sistema de coordenadas, tomando a los ejes x y y como el suelo y la pared respectivamente. Sea d la longitud de la escalera y ϕ el ángulo de inclinación de ésta con respecto al suelo (figura 2.18 B). El peldaño en el centro de la escalera está en el punto medio del segmento de longitud d, así y = d2 sin ϕ, y x = d2 cos ϕ para 0 ≤ ϕ ≤ π2 .

26

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Figura 2.18: Varias posiciones de la escalera en las que está señalado el punto medio de ésta

Figura 2.19: Varias posiciones de la escalera en la que está marcado un punto fijo que no está en el centro de la escalera
2 d x +y = 2 2

2

El conjunto de puntos que satisfacen esta ecuación es una circunferencia. Formulemos la pregunta anterior más ampliamente. ¿Por qué curva se moverá un peldaño de la escalera que no esté en el centro de la escalera? En la figura 2.19 A están dibujados algunos puntos de la curva que describe el peldaño (que no está en el centro) de la escalera al resbalar ésta. Consideremos ahora que la longitud de la escalera está dividida en dos partes a y b, es decir, d = a + b (ver figura 2.19 B). Como antes, determinamos las coordenadas de (x, y), y = b sin ϕ y x = a cos ϕ para 0 ≤ ϕ ≤ π2 . x2 y 2 + 2 =1 a2 b En este caso el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen esta

2.3. RODAMIENTOS Y RESBALAMIENTOS

27

ecuación es una elipse. 1

0 0

1

Figura 2.20: Barra de longitud uno que resbala en una pared vertical La astroide como envoltura de una escalera que resbala Consideremos una escalera √ de longitud uno que resbala a lo largo de una pared vertical. Sean (0, a) y ( 1 − a2 , 0) los extremos de la escalera, a ∈ [0, 1]. La distancia entre estos dos puntos es uno. Si conectamos estos puntos con una línea recta ax y =a− √ (2.19) 1 − a2 obtenemos una infinidad de rectas las cuales crean una interesante curva, ver figura 2.20. El problema es calcular esta curva. La envoltura a la familia de curvas dada por la ecuación 2.19 al variar el parámetro a, nos da la ecuación de la curva en cuestión. Empleando una vez más el sistema (2.11) de la sección 2.1.1 tenemos ax f(x, y, a) = a − √ −y = 0 1 − a2 √ 1 −x 1 − a2 − a2 x(1 − a2 )− 2 ′ fa (x, y, a) = 1 + =0 1 − a2 despejando a de la segunda ecuación del sistema tenemos  2 a = 1 − x3

substituyendo el valor de a en la primera ecuación del sistema llegamos a 2

2

x3 + y3 = 1 que es la ecuación de la curva generada por la escalera de longitud uno que resbala a lo largo de una pared vertical, la cual resulta ser una astroide (figura 2.21).

28

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS y 1

0 -1

0

1 x

-1

Figura 2.21: Astroide La astroide como envoltura de una familia de elipses Encuentre la envoltura a la familia de elipses x2 y2 + =1 c2 (a − c)2

con parámetro c, la suma de cuyos ejes es la constante a > 0, c ∈ (0, a), ver figura 2.22.

Figura 2.22: Familia de elipses 

x2 c2 Para obtener la ecuación de la envoltura empleemos el sistema (2.11) de la sección 2.1.1 y = (a − c) 1 −



x2 −y = 0 2 c x2 − 1− 2 =0 c

f (x, y, c) = (a − c) 1 − fc′ (x, y, c) =

(a − c)x2  2 3 c 1 − xc2

2.4. PROPIEDADES GENERALES

29

despejando c de la segunda ecuación obtenemos 1

c = (ax2 ) 3 substituyendo en la primera ecuación llegamos a 2

2

2

x3 + y 3 = a3 que es la ecuación de la astroide.

2.4.

Propiedades Generales

En esta sección veremos cómo a partir de una curva dada se puede obtener su evoluta, involuta con respecto a un punto, inversa con respecto a un círculo y pedal con respecto a un punto.

2.4.1.

Evolutas

El concepto de evoluta se originó con Huygens (1673). Sin embargo, se remonta a Apolonio de Perga (262-190 antes de J. C. aproximadamente) en el año 200 antes de J. C. donde aparece en el libro V de sus Secciones Cónicas ([14] p. 86, [3]).

Figura 2.23: Evoluta La evoluta de una curva es el lugar geométrico de sus centros de curvatura. Ver figura 2.23. Si (α, β) es este centro α = x − R. sin φ β = y + R cos φ

30

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

donde R es el radio de curvatura, φ el ángulo tangencial y (x, y) es un punto de la curva dada. Las cantidades x, y, R y φ pueden ser expresadas en términos de una sola variable la cual actúa como parámetro en la ecuación de la evoluta. Asimismo, la evoluta es la envoltura de las normales de una curva dada. A continuación se presenta un par de definiciones que se requieren para calcular la evoluta de una curva dada ([14] p.86, [8] pp. 483, 500,501 y 503, [5] p. 103). Definición. Sea f : I ⊆ R → R2 , f(t) = (x(t), y(t)) un camino regular4 dos veces diferenciable. Se define la curvatura (con signo) de f en t como k(t) =

x’(t)y”(t) − x”(t)y’(t) 3

((x’(t))2 + (y’(t))2 ) 2

Definición. Sea f : I ⊆ R → R2 , f (t) = (x(t), y(t)) un camino regular dos veces diferenciable. Para los puntos p(t) ∈ R2 de la curva que describe f en los cuales la curvatura k(t) es no nula, se define el radio de curvatura de 1 . Se llama círculo osculador de la f en p denotado por r(t), como r(t) = |k(t)| curva en p al círculo que pasa por p, tiene radio igual a r(t) y cuyo centro se encuentra en
 y’(t) x’(t) x(t) − , y(t) + (2.20) k(t) f ’(t) k(t) f ’(t) Ejemplo. Determine la evoluta de f : R → R2 , f (t) = (t, t2 ). De acuerdo con la definición antes dada la curvatura de esta función es 2 k(t) = 3 (1 + 4t2 ) 2 √ por otro lado f’(t) = (x’(t), y’(t)) = (1, 2t). Así que f’(t) = 1 + 4t2 . Como la evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura, substituyendo en la ecuación 2.20 el valor de las funciones se llega a la ecuación de la evoluta. 
 2t 1 2 3 1 2 √ √ t− ,t + = −4t , + 3t 2 2 2 1 + 4t2 1 + 4t2 (1+4t2 )3/2 (1+4t2 )3/2

En la figura 2.24 están fy con línea gruesa su evoluta, es decir,  la 3función 1 2 la gráfica de la función −4t , 2 + 3t . 4

Un camino es regular si la primera derivada de las funciones coordenadas de f son continuas y f’(t) = 0 (vector 0 de R2 ) para toda t ∈ I.

2.4. PROPIEDADES GENERALES

31

Figura 2.24: Parábola y su evoluta

Figura 2.25: La catenaria y su involuta

2.4.2.

Involutas

La involuta de un círculo fue discutida y utilizada por Huygens en 1673 en relación con sus estudios de un reloj sin péndulo para el servicio de barcos en el mar. Para obtener la involuta de una curva con respecto a un punto en ésta, considérese la tangente a la curva en ese punto. Sea ese punto un punto fijo sobre la recta tangente. La involuta es la trayectoria del punto fijo sobre la recta tangente, cuando la recta gira sobre la curva. Siempre ocurre que si E es la evoluta de la curva C, entonces C es una involuta de E ([14] p. 135, [3], [7] pp. 166-171). Ejemplo. La involuta de la catenaria cuya ecuación cartesiana es y = cosh x con respecto al punto (0,1) es la tractriz cuya ecuación cartesiana es    1 + 1 − y2 − 1 − y2 x = ln y ver figura 2.25, en ella están la catenaria y su involuta con línea gruesa.

32

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Para dibujar una involuta La involuta de una curva dada puede dibujarse aproximadamente como sigue. Dibujar un número de tangentes a la curva dada. Con centro en la intersección de dos tangentes consecutivas dibujar un arco que pase a través del punto de contacto de una de ellas (ver figura 2.26), continuar así. El error en este método se debe al hecho de que la longitud de arco de la curva original es remplazada por la suma de los segmentos de las tangentes, la cual es mayor a la verdadera longitud de arco, pero el error puede ser tan pequeño como se desee tomando las tangentes suficientemente juntas.

Figura 2.26: Involuta Aproximada

2.4.3.

Inversa con respecto a un círculo

La inversión geométrica parece deberse a Jakob Steiner (1796-1863), quien mostró conocimiento del tema en 1824. En 1825 Lambert Adolphe Jacques Quetelet dio algunos ejemplos. En apariencia fue descubierta de manera independiente por Giusto Bellavitis (1803-1880) en 1836, y por William Thomson (Lord Kelvin) en 1845, quien la empleó con notable éxito en sus investigaciones eléctricas. Considere un círculo con centro 0 y radio k. Dos puntos A y B colineales con 0 (figura 2.27), son mutuamente inversos con respecto a este círculo si (0A)(0B) = k 2 En coordenadas polares con 0 como polo, esta relación es r.ρ = k 2

2.4. PROPIEDADES GENERALES

33

Figura 2.27: Inversa con respecto a un círculo Dos curvas son mutuamente inversas si cada punto de una tiene un inverso que pertenece a la otra ([14] p. 127, [7] p. 177). Ejemplo. Pruebe que la parábola y 2 = √ bx es la inversa de la cisoide x3 2 y = 2a−x con respecto al círculo de radio 2ab con centro en el origen (figura 2.27). Haciendo x = r cos θ y = r sin θ cos θ se obtienen las ecuaciones polares de la parábola r = bsin 2 θ y la cisoide ρ = 2a tan θ sin θ. Al realizar el producto de r por ρ, llegamos a que

rρ = 2ab por lo que la parábola y √ la cisoide dadas son mutuamente inversas con respecto al círculo de radio 2ab con centro en el origen.

2.4.4.

Curvas pedal

La idea de las curvas pedal positiva y negativa se le ocurrió a Colin Maclaurin (1698-1746) en 1718. El nombre de “pedal” se debe a Terquem. La teoría de las curvas cáusticas incluye a las pedal (Quetelet, 1822) ([14] pp. 160-165, [7] pp.152-159). El lugar geométrico G de los pies de las perpendiculares de un punto fijo P (el punto pedal) sobre la tangente a una curva dada C es la pedal positiva de C con respecto al punto fijo P (figura 2.28). La curva dada C es la pedal negativa de G. O bien: Dada una curva y un punto fijo 0, dibuje la tangente a un punto P cualquiera en la curva, marque un punto Q en la tangente tal que

34

CAPÍTULO 2. FAMILIAS DE CURVAS

Figura 2.28: Pedal positiva las rectas P Q y 0Q sean perpendiculares, repita las dos últimas instrucciones para cada punto P en la curva. El lugar geométrico de Q es la pedal positiva (o pedal) de la curva dada con respecto al punto 0. Pedal negativa. Dada una curva y un punto fijo 0, dibuje una recta de 0 a cualquier punto P en la curva, dibuje una perpendicular a la recta 0P que pase por P , repita las dos últimas instrucciones para cada punto P en la curva. La envoltura de las rectas es la pedal negativa de la curva dada con respecto al punto 0. Ejemplo. La pedal de una parábola con respecto a su foco es una recta. A la inversa, la pedal negativa de una recta con respecto a un punto fuera de ella es una parábola, ver figura 2.29.

Figura 2.29: A la izquierda la pedal positiva de la parábola con respecto a su foco. A la derecha la pedal negativa de una recta con respecto a un punto fuera de ella.

Capítulo 3 Galería de curvas 3.1.

Astroide

Figura 3.1: La astroide Buscando la mejor forma para los dientes de los engranes Olaf Roemer (1644-1710), astrónomo danés, descubrió en 1674 las curvas cicloidales ([9] p. 284), una de las cuales es la astroide. La generación doble fue observada primero por Daniel Bernoulli (1700-1782) en 1725 ([14] pp. 1-3, [7] pp. 52-61, [6] pp. 173-174, [4] p. 655, [3]). “Astroide” es una palabra para nombrar un “asteroide” (del griego aster, astro, y eidos, forma), objeto celestial en una órbita alrededor del sol, de tamaño intermedio entre un meteorito y un planeta. La astroide adquirió éste nombre, en un libro publicado en Viena, en [7] (p.61) se dice que el libro se publicó en 1938, sin embargo según la página de internet http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/astroid.html el libro se publicó en 1836 por Karl Ludwing von Littrow. Aún después de la 35

36

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

publicación de dicho libro fue conocida por otros nombres como cubocicloide, paracicloide, curva de cuatro vértices, etc. Johann Bernoulli y Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) trabajaron con esta curva en 1691 y 1748 respectivamente. La ecuación cartesiana de la astroide se encontró en correspondencia de Leibniz de 1715. Ecuaciones La ecuación cartesiana de la astroide es: 2

2

2

x3 + y 3 = a3 Las ecuaciones paramétricas de la astroide son:

1

x = a cos3 t = ( a4 )(3 cos t + cos 3t) y = a sin3 t = ( a4 )(3 sin t − sin 3t) La astroide es una hipocicloide de cuatro vértices. Curva que describe un punto fijo en un círculo de radio a4 rodando en el interior de un círculo fijo de radio a (figura 3.2 A).

Figura 3.2: (A) Astroide; (B) Generación doble de la astroide O bien, lugar geométrico de un punto en un círculo de radio 3a rodando 4 en el interior de un círculo de radio a, esta descripción recibe el nombre de generación doble (figura 3.2 B). 1

Se dedujeron en la sección 2.3.3, b =

a 4

en las ecuaciones (2.18).

3.1. ASTROIDE

37

La envoltura de una barra de longitud a que resbala a lo largo de una pared vertical, genera también a la astroide (ver figura 3.6), como se demostró en la sección 2.3.4. Un aparato mecánico compuesto de una barra fija con extremos resbalando en dos vías perpendiculares es llamado trasmallo de Arquímedes (ver figura 3.3, adoptada de la red de internet), así la astroide es la envoltura de un trasmallo de Arquímedes.

Figura 3.3: Trasmallo de Arquímedes Asimismo, la astroide es la envoltura de la familia de elipses x2 y2 + =1 c2 (a − c)2

con parámetro c, la suma de cuyos semiejes es constante e igual a a, 0 < c < a (figura 3.4), como se vio al final de la sección 2.3.4.

Figura 3.4: La astroide como envolvente de elipses Propiedades de la astroide: Longitud: 6a

38

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS Área:

3πa2 8

Superficie de revolución respecto al eje x: Volumen de revolución respecto al eje x:

12 πa2 5 32 πa3 105

Su evoluta es otra astroide, ver figura 3.5

Figura 3.5: Evoluta de la astroide Definamos los ejes de la astroide por dos rectas perpendiculares que pasan por sus vértices. Propiedad: La longitud de la tangente cortada por los ejes es la constante a (figura 3.6).

Figura 3.6: La longitud de la tangente cortada por los ejes es constante Existen máquinas cuyo estator2 tiene forma de astroide. El logo del equipo de fútbol americano profesional Pittsburg Steelers consta de tres astroides el de arriba es amarillo, el de en medio rojo y el de abajo azul, ver figura 3.7 que se adoptó de un documento publicado en la Wikipedia de la red de internet. 2

Parte fija de una máquina rotatoria por oposición a la parte móvil o rotor.

3.2. BRUJA DE AGNESI

39

Figura 3.7: Logo de los Pittsburgh Steelers

3.2.

Bruja de Agnesi

Esta curva fue estudiada por Pierre de Fermat (1601-1665) en 1666 y Luigi Guido Grandi (1671-1742) en 1703. En 1748 fue estudiada y nombrada correctamente versiera por María Gaetana Agnesi (1718-1799) en su libro Instituzioni Analitiche ad uso della gioventù italiana ([3], [14] pp. 237-238, [6] pp. 90-93). Respecto a este libro, un informe de la Academia de las Ciencias de Paris declara: Se requiere de mucha destreza y sagacidad para reducir, como el autor lo hizo, a métodos casi uniformes estos hallazgos dispersos en medio de los trabajos de matemáticos modernos y frecuentemente presentados por métodos muy diferentes unos de otros. Orden, claridad y precisión reinan en todo este trabajo. ... Estimamos que este es el tratado más completo y mejor hecho. María Agnesi dominó lenguajes como el latín, griego y hebreo a muy temprana edad. A raíz de la publicación de su libro fue designada profesora de matemáticas de Bolonia por el Papa Benedicto XIV (1750), es probable que ella no haya rechazado ni aceptado el cargo, sin embargo, su nombre quedó en los documentos de la universidad por cuarenta y cinco años, a pesar de que nunca fue a Bolonia. El nombre de la curva tiene una pintoresca historia. “Versiera” es el nombre dado por Grandi, el cual significa “libre para moverse”, viene de la palabra italiana “la versiera”. Al traducir el libro de Agnesi el inglés John Colson tradujo incorrectamente “la versiera” por “l’aversiera” palabra que significa bruja. Hoy en día la curva es conocida como versiera, bruja de Agnesi, cúbica de Agnesi y agnésienne.

40

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Dado un círculo fijo con centro en (0, a2 ) y radio a2 y dos rectas paralelas y = 0 y y = a, las rectas son tangentes al círculo en 0 y K respectivamente. Una secante 0A a través del punto fijo 0 corta al círculo en Q. Construya QP perpendicular al diámetro 0K y AP paralelo a él. El punto P es un punto de la Bruja de Agnesi (ver figura 3.8).

Figura 3.8: Bruja de Agnesi La bruja es también el hiperbolismo3 de un círculo, un punto fijo en éste y una recta tangente al círculo en el lado opuesto al punto fijo. Con a = π1 la curva se parece a la función de densidad Cauchy de probabilidad. Esta curva se parece a las curvas de resonancia. Por ejemplo las que sirven para caracterizar (por medio de dos parámetros: la frecuencia de resonancia y el factor de calidad de la cavidad) a un semiconductor que se encuentra dentro de la cavidad de un microondas. En la figura 3.8 se observa que la coordenada x del punto P es igual a la del punto A, y que la coordenada y del punto P coincide con la del punto Q. Por otra parte Q = ( a2 cos θ, a2 + a2 sin θ). La ecuación de la recta que pasa por 0 y Q es: 1 + sin θ y=x cos θ esta recta corta a la recta y = a en el punto A cuya coordenada x es: x= 3

a cos θ 1 + sin θ

Dada una curva C1 , un punto 0 y una recta L1 , el hiperbolismo de C1 es la curva C2 formada por los puntos P tales que: si Q es un punto de C1 , entonces la recta L2 a través de 0Q intersecta a L1 en A; si L3 es una recta paralela a L1 a través de Q; entonces P es la proyección de A en L3 .

3.2. BRUJA DE AGNESI

41

así las coordenadas de cualquier punto P de la bruja de Agnesi son P = a cos θ a ( 1+sin , (1 + sin θ)). Haciendo θ = π2 − 2t tanto en x como en y llegamos a θ 2 las ecuaciones paramétricas de la bruja de Agnesi: x=

a cos( π2 − 2t) a cos θ a sin 2t 2a sin t cos t = a tan t = = = π 1 + sin θ 1 + sin( 2 − 2t) 1 + cos 2t 1 + cos2 t − sin2 t

a a π a a y = (1+sin θ) = (1+sin( −2t)) = (1+cos 2t) = (1+cos2 t−sin2 t) = a cos2 t 2 2 2 2 2 Ecuaciones La ecuación cartesiana de la bruja de Agnesi es: y(x2 + a2 ) = a3 Las ecuaciones paramétricas de la bruja de Agnesi son: x = a tan t, y = a cos2 t Propiedades de la bruja de Agnesi: La recta y = 0 es una asíntota de la curva4 . El área entre la bruja y su asíntota es cuatro veces el área del círculo fijo dado (πa2 ). √ Tiene puntos de inflexión en x = ±a/ 3. Una curva llamada la Seudobruja se produce duplicando las ordenadas de la bruja. Esta curva fue estudiada por James Gregory (1638-1675) en 1658 y usada por Leibniz en 1674 para derivar la expresión: π 4 4

= 1 − 13 +

1 5

− 17 + ...

Una recta y = L es llamada asíntota horizontal para la gráfica de f si l´ım f (x) = L

x→+∞

([1] p. 258).

o

l´ım f(x) = L

x→−∞

42

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

3.3.

Cardioide

La cardioide es un caso especial del caracol de Pascal estudiado por Etienne Pascal (1588-1640), padre de Blaise Pascal (1623-1662). También es un caso especial de las curvas cicloidales estudiadas por Roemer (1674) en una investigación de la mejor forma de los engranes([3], [7] pp. 34-43, [14] pp. 4-7, [6] pp. 118-120). El nombre de cardioide (del griego cardi, corazón, y eidos, forma) fue usado primero por Johann Castillon (1704-1791) en The Philosophical Transactions of the Royal Society de 1741. Su longitud fue encontrada por Philippe de La Hire (1640-1718) en 1708. La cardioide es la curva que dibuja un punto fijo P en un círculo que rueda sobre el exterior de un círculo fijo de igual tamaño (figura 3.9 A).

Figura 3.9: (A) Cardioide; (B) Generación doble de la cardioide O bien, es el lugar geométrico de un punto fijo P en un círculo de radio 2a que rueda en el interior de un círculo fijo de radio a, esta descripción recibe el nombre de generación doble (figura 3.9 B). La cardioide también puede obtenerse como: La inversa de la parábola, con foco en el origen, con respecto a su foco5 . La pedal de un círculo con respecto a un punto en su circunferencia. La cáustica de un círculo con un punto radiante en su circunferencia. 5

Considere el círculo con centro 0 y radio k. Dos puntos A y A’, colineales con 0, son mutuamente inversos con respecto a este círculo si (0A)(0A’) = k2 . En coordenadas polares con 0 como polo (origen), esta relación es r · ρ = k2 ([14] pp. 127-134, [7] pp. 177-181).

3.3. CARDIOIDE

43

Figura 3.10: Generación de cremona de la cardioide

Figura 3.11: La cardioide como envolvente de círculos Además la curva puede ser vista como una espiral sinusoidal (con p = 12 ) o, como se dijo al inicio, como un caso especial del caracol de Pascal. La cardioide es también la envoltura de cuerdas de un círculo. Sean 36 puntos igualmente espaciados en un círculo, etiquetados del 0 al 35. Conecte los puntos 1 y 2, 2 y 4, 4 y 8, ...; 3 y 6, 6 y 12, ...; etcétera. Esta construcción se llama generación de Cremona (figura 3.10). Asimismo, la cardioide es la envoltura de los círculos que se describen a continuación. Se dibuja un círculo base y se marca en el un punto fijo A. Con centro en cualquier punto Q en el círculo base y radio QA, se dibuja otro círculo. Se repite lo anterior para puntos Q uniformemente espaciados en el círculo base. El punto A es el vértice de esta cardioide (figura 3.11).

44

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Ecuaciones La ecuación cartesiana de la cardioide es: (x2 + y 2 ± 2ax)2 = 4a2 (x2 + y 2 ) Las ecuaciones polares de la cardioide son: r = 2a(1 ± cos θ), r = 2a(1 ± sin θ) Las ecuaciones paramétricas de la cardioide son:

6

x = 2a cos t − a cos 2t y = 2a sin t − a sin 2t Propiedades de la cardioide: Longitud: 16a Área: 6πa2 Superficie de revolución respecto al eje x: Volumen de revolución respecto al eje x:

128 πa2 5 64 πa3 3

Su evoluta es otra cardioide (la más pequeña), ver figura 3.12. La cáustica de una cardioide con un punto radiante en el vértice es una nefroide.

Figura 3.12: Evoluta de la cardioide La cardioide puede ser usada como leva7 . Si la cardioide es montada sobre un eje en el vértice y rotada con velocidad angular constante, una clavija,

3.3. CARDIOIDE

45

Figura 3.13: Leva en forma de cardioide sujeta a un poste fijo y sostenida en la cardioide, se moverá con un movimiento armónico simple, ver figura 3.13 ([14] p. 6). Existen cardioides de billar. Las órbitas periódicas de la caótica cardioide de billar son estudiadas para introducir una dinámica binaria simbólica.

Figura 3.14: Conjunto de Mendelbrot La cardioide es la figura central grande del conjunto de Mandelbrot, ver la figura 3.14, la cual se adoptó también de la red de internet. El conjunto de Mandelbrot es un fractal que esta definido como el conjunto de puntos c en el plano complejo tales que: zo = 0 y zn+1 = zn2 + c converge. 6

Estas se dedujeron en la sección 2.3.2, con b = a en las ecuaciones (2.17). Rueda provista de un resalte o de una muesca, destinada a transmitir o a accionar el movimiento de una máquina. 7

46

3.4.

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Catenaria

Figura 3.15: Catenaria La catenaria (del latín catena que significa cadena), también conocida como Cadeneta o curva Funicular, describe la forma asumida por una cadena perfectamente flexible e inextensible de densidad uniforme colgando de dos soportes y accionada por la gravedad. Fue investigada primero por Galileo Galilei (1564-1642), quien afirmó que la curva era una parábola. Su error fue detectado experimentalmente en 1669 por Joachim Jungius (1587-1657), geómetra alemán ([9] pp. 287-289, [4] p. 654, [3], [14] pp. 12-14, [7] pp. 118124, [6] p. 195). La verdadera ecuación de la curva fue obtenida hasta 1690-1691 por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli, en respuesta a un desafío puesto por Jakob Bernoulli para encontrar la ecuación de la “curva cadena”. David Gregory, profesor de Oxford, escribió un extenso tratado sobre la catenaria en 1697. Huygens fue el primero en usar el término catenaria en una carta a Leibniz en 1690. Cuando la vela de un buque esta sujeta a dos barras horizontales y el viento sopla en dirección perpendicular a las barras, la vela forma una catenaria. Como antes se dijo, la catenaria es la forma asumida por una cadena inextensible de densidad uniforme que está en reposo. Asimismo, la catenaria puede obtenerse como la evoluta de la tractriz.

3.4. CATENARIA

47

Figura 3.16: Arco situado en el corazón de la ciudad de St. Louis Missouri, Estados Unidos. En la fotografía de la izquierda, aparece además el Antiguo Palacio de Justicia. En St. Louis, Missouri, Estados Unido existe un arco con la forma de una catenaria invertida que mide 192 metros, tanto de alto como de ancho. El interior del arco es hueco, contiene un sistema de transporte, escaleras de emergencia y un área de observación en la cima. Fue diseñado por el arquitecto finlandés-americano Eero Saarinen, en 1947. La construcción del arco empezó en febrero de 1963 y terminó en octubre de 1965. La forma del arco no es exactamente el de una catenaria invertida, Saarinen prefirió una forma que fuera ligeramente alargada y más delgada en la cima, para transferir más peso de la estructura abajo en lugar de en el exterior en la base. Ver la figura 3.16 que se adoptó de un documento publicado en la Wikipedia de la red de internet. La longitud de arco s medida desde el punto más bajo (el cual situamos en (0, a)) a cualquier punto en la catenaria, es proporcional a la tangente del ángulo que forman la tangente horizontal (ya que la tangente en el punto más bajo es horizontal) con la tangente en el extremo superior. En cualquier punto de la catenaria dy s=a (3.1) dx

48

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

La longitud de arco tiene como base un triángulo rectángulo, en el cual dx y dy son los lados, así ds2 = dx2 + dy 2 , por lo que para la ecuación de la curva debemos tener ds2 s2 + a2 = a2 2 dx ds2 dx2 = a2 s2 + a2 dx ds =√ (3.2) 2 a s + a2 Resolviendo esta ecuación tenemos

 √ x = ln s + s2 + a2 + k a Sea k = ln a1 , así




 √ x 1 2 2 = ln s + s + a + ln a a


 1 √ x e a = s + s2 + a2 a

(3.3) (3.4)

Por otro lado, multiplicando por −1 cada lado de la ecuación 3.3 obtenemos


 √ x 1 2 2 − = − ln s + s + a − ln a a
−1

−1 √ x 1 2 2 − = ln s + s + a + ln a a
 x 1 √ − = ln + ln (a) a s + s2 + a2 √ a s − s2 + a2 −x √ √ e a = s + s2 + a2 s − s2 + a2 √ x −s + s2 + a2 e− a = a Sumando las ecuaciones 3.4 y 3.5 resulta que √ x x 2 s2 + a2 − ea + e a = a

(3.5)

(3.6)

3.4. CATENARIA

49

Ahora, despejando dy de la ecuación 3.1 tenemos dy =

sdx a

Substituyendo en esta ecuación el lado derecho de la ecuación 3.2 obtenemos sds dy = √ s2 + a2 resolviendo esta ecuación llegamos a que √ y = s2 + a2 √ substituyendo el valor de s2 + a2 en la ecuación 3.6 obtenemos la ecuación cartesiana de la catenaria x x 2y e a + e− a = a

a  x x e a + e− a y= 2 La ecuación cartesiana de la catenaria es:     x x y = a cosh xa = a2 e a + e− a Propiedades de la catenaria:

Leonhard Euler (1707- 1783) mostró en 1744 que una catenaria rotada alrededor de su asíntota genera un catenoide, la única superficie de revolución mínima. Su evoluta es la tractriz.

50

3.5.

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Cicloide

Figura 3.17: Cicloide Nicholas de Cusa (1401-1464) fue el primero en estudiar la cicloide, cuando estaba intentando encontrar el área de un círculo por integración ([3], [14] pp. 65-70, [9] pp. 275-278, [7] pp. 80-89, [6] pp. 192, 195). Marin Mersenne (1588-1648) dio la primera definición formal de la cicloide en 1599 y estableció propiedades obvias tales como que la longitud de la base es igual a la circunferencia del círculo que rueda. Intentó encontrar el área bajo la curva por integración pero fracasó. En 1599 Galileo Galilei dio nombre a esta curva. Trató de encontrar el área por comparación de esta área con la del círculo generador. Después de fallar, recurrió a introducir cortes de pedazos de pesos de metal dentro de la forma de la cicloide. Encontró que la razón de las pesos era aproximadamente tres a uno, pero decidió que no era exactamente tres, de hecho creyó (equivocadamente) que la razón no era racional. Mersenne propuso el problema del área al francés Gilles Personne de Roberval (1602-1675) en 1628. Éste fue resuelto por Roberval en 1634. Si a = h entonces el área bajo la curva de un arco es 3πa2 . Roberval orgulloso de su resultado, le escribió a René Descartes (1596-1650) dándoselo. Descartes replicó que el resultado era “uno bueno del cual no me había dado cuenta antes, que no causa dificultad a ningún geómetra moderadamente hábil.” Descartes retó a Roberval a encontrar un método para dibujar una tangente a la cicloide habiendo descubierto él mismo como construir una. Roberval fracasó, pero Fermat, quien estaba incluido en el reto, tuvo éxito. Vale la pena notar que de manera independiente: Evangelista Torricelli (1608-1647) descubrió el área de la cicloide; y Vincenzo Viviani (1622-1703) encontró un método para construir una tangente. En 1658 Blaise Pascal resolvió los problemas del área y el centro de gravedad de cualquier segmento de la cicloide. También resolvió los pro-

3.5. CICLOIDE

51

blemas del volumen y el área de la superficie del sólido de revolución formado por la rotación de la cicloide respecto al eje x. Pascal (bajo el nombre de Dettonville) publicó un reto ofreciendo dos premios por la solución de los dos primeros problemas antes mencionados. El inglés John Wallis (1616-1703) y Antoine de Lalouvère (1600-1664) se enteraron. La solución de Lalouvère fue errónea. Wallis no tuvo éxito. René de Sluze (1622-1685), Michelangelo Ricci (1619-1682), Huygens, Sir Chistopher Wren (1632-1723) y Fermat comunicaron sus descubrimientos a Pascal sin estar enterados de la competencia. La contribución de Wren fue la más notable, encontró que la longitud de un arco es 8a. El físico holandés Huygens descubrió en 1659 que la cicloide es tautócrona (llamada también isócrona), lo que significa que dos partículas de la misma masa que caen en un arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzan el punto más bajo en el mismo instante. El problema de la tautocronía es la determinación del tipo de curva a lo largo de la cual debe moverse una partícula sujeta a una fuerza específica para producir un movimiento armónico. El período de este movimiento es 2π. En 1673 Huygens demostró que la cicloide es tautócrona, y determinó su evoluta. En 1692 Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli mostraron que la cicloide es la catacáustica (cáustica por reflexión) de un círculo cuando los rayos de luz provienen de un punto en la circunferencia. El problema de la braquistócronia (del griego brachistos, el menor, y cronos, tiempo) es la determinación de un camino a lo largo del cual una partícula se mueve de un punto en un plano a otro, sujeta a una fuerza específica, en el menor tiempo posible. En junio de 1696 Johann Bernoulli retó a su hermano Jakob Bernoulli (eran rivales) a resolver el problema. En diciembre de 1696 Johann repitió su reto en el Acta eruditorum, pidiendo le enviarán soluciones antes de la pascua de 1697. Él ya sabía que la cicloide era braquistócrona y publicó su solución en 1697. Además de Johann y Jakob Bernoulli también Leibniz, Newton y L’Hôpital resolvieron el problema. Éste fue uno de los primeros problemas variacionales y su investigación fue el punto de arranque para el desarrollo del cálculo de variaciones. La cicloide puede obtenerse como la catacáustica de un círculo en la que la fuente de luz proviene de un punto en la circunferencia. Asimismo la cicloide es el lugar geométrico de un punto fijo P a distancia h del centro de un círculo de radio a que rueda, sin resbalar, a lo largo de una línea recta, si h = a (ver figura 3.17). Si h < a es una cicloide acortada (ver figura 3.18), mientras que si h > a es una cicloide alargada (ver figura

52

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.18: Cicliode acortada

Figura 3.19: Cicloide alargada 3.19). Cabe señalar que mientras un tren se dirige de México a Querétaro, hay momentos en que las ruedas retroceden. Las ruedas de los trenes no son sólo discos, hay una saliente especial en cada una de ellas, ver figura 3.20. La saliente evita que el tren se salga de la vía. La parte más baja de la rueda es la que por momentos se mueve en dirección opuesta al rumbo del tren. La curva por la que se mueve la parte más baja de la rueda es una cicloide alargada.

Figura 3.20: Rueda de un tren

3.5. CICLOIDE Ecuaciones paramétricas de la cicloide:

53 8

x = at − h sin t y = a − h cos t Propiedades de la cicloide: La longitud de un arco es 8a, y fue calculada por Sir Christopher Wren en 1658. Si a = h, el área bajo un arco es 3πa2 , como lo determinó Roberval en 1628. Su evoluta es una cicloide en una posición diferente. Su involuta también es una cicloide en otra posición. Es tautócrona, esto es, dos partículas de la misma masa que caen en un arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzan el punto más bajo en el mismo instante. Es braquistócrona, es decir, es la curva del más rápido descenso. O bien, el camino que une dos puntos fijos que debe seguir una partícula para recorrerlo en un tiempo mínimo es el de una cicloide. La catacáustica de un arco cicloidal cuando los rayos de luz son perpendiculares a su base está compuesta de dos arcos cicloidales más pequeños. Huygens diseño un reloj con un péndulo de longitud variable. El péndulo se movía entre dos molduras, ambas tenían la forma de una cicloide. Huygens uso el hecho de que la involuta de una cicloide es la cicloide misma. En su experimento Huygens uso también la involuta de un círculo en el péndulo del reloj para aproximar la trayectoria de la cicloide. Sin embargo, el uso del principio de tautocronía en el diseño del reloj planteó demasiados problemas mecánicos para hacerlo práctico. Hay ruedas de engranes que tienen la forma de una cicloide. 8

Se dedujeron en la sección 2.3.1.

54

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Con un propulsor Voith-Schneider, probado primero en 1927, un buque puede maniobrar de manera precisa y moverse al lado. El propulsor gira alrededor de un eje, vertical al movimiento, así el buque sigue la trayectoria de una cicloide. La posición de la hoja determina la dirección del buque, está basado en el mismo principio que el mecanismo de la aleta de un pez. El propulsor es llamado cicloidal o propulsor trocoidal.

3.6.

Círculo

El estudio del círculo se remonta más allá de la historia registrada. Los primeros teoremas relacionados con círculos se atribuyeron a Tales de Mileto (624- 547 antes de J. C. aproximadamente) alrededor del año 650 antes de J. C. ([14] pp. 21-25, [6] pp. 65-66). Uno de los problemas de los matemáticos griegos fue el de encontrar un cuadrado con la misma área que un círculo dado. Anaxágoras (499-428 antes de J. C.) en 450 a. de J. C. es el primer matemático registrado que estudió este problema. El libro III de los Elementos de Euclides (325-265 antes de J. C. aproximadamente) del año 300 antes de J. C., trata de las propiedades del círculo. El problema de encontrar el área de un círculo condujo a la integración. El círculo es una sección cónica. Menaechmus (380-320 antes de J. C. aproximadamente) es famoso por su descubrimiento de las secciones cónicas. Él fue el primero en mostrar que las elipses, parábolas e hipérbolas se obtienen cortando un cono con un plano no paralelo a la base. Menaechmus descubrió las secciones cónicas mientras intentaba resolver el problema de la duplicación del cubo.

Figura 3.21: Círculo

3.6. CÍRCULO

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El círculo es la elipse cuyos ejes son de igual longitud. O bien la colección de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Como se dijo antes, el círculo es la sección cónica que se obtiene cortando un cono con un plano paralelo a la base. El círculo es la pedal de una hipérbola con respecto a uno (u otro) de sus focos. El círculo es una rosa de un pétalo. Las rosas son un tipo de hipotrocoides. La rosa de un pétalo se obtiene haciendo c = 0 en la ecuación paramétrica del hipotrocoide. Si en la ecuación polar de la espiral sinusoidal p = 1, la espiral sinusoidal en cuestión es un círculo. Ecuaciones La ecuación cartesiana del círculo es: x2 + y 2 = a2 Las ecuaciones paramétricas del círculo son: x = a cos t, y = a sin t Propiedades del círculo: La cardioide es la catacáustica (cáustica por reflexión) de un círculo con un punto radiante es su circunferencia. La catacáustica de un círculo en el que se reflejan rayos paralelos es la nefroide. El caracol de Pascal es la catacáustica de un círculo en el que punto radiante no está en su circunferencia. La envoltura de círculos con centro en un círculo C, donde cada círculo pasa a través de un punto fijo A en C, es la cardioide. La forma de un círculo permanece intacta mientras damos una vuelta, lo que la hace muy útil como tapa para frascos. Y también para relojes con manecillas que dan vuelta. La cabeza de un tornillo también es un círculo. El hombre obtuvo grandes ventajas con el uso de la rueda.

56

3.7.

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Cisoide de Diocles

Ésta curva fue descubierta por el griego Diocles (240 − 180 antes de J. C. aproximadamente) para resolver la duplicación del cubo o problema de Delian: ¿cuánto debe incrementarse la arista de un cubo para duplicar el volumen del cubo? Diocles también estudió el problema de Arquímedes de cortar una esfera con un plano de manera que los volúmenes de los segmentos estuviesen en una proporción dada. ([14] pp.26-30, [3], [7] pp.130-133, [4] p. 653.) El nombre de cisoide (viene de una palabra griega que significa en forma de hiedra) se mencionó por el griego Geminus (10 antes de J. C. - 60 después de J. C. aproximadamente) en el siglo primero antes de J. C., esto es, aproximadamente un siglo después de la muerte de Diocles. Posteriormente el método usado para generar esta curva se generalizó, llamamos a las curvas generadas de este modo cisoides. En los comentarios del trabajo de Arquímedes On the Sphere and the Cylinder la cisoide es atribuida a Diocles. Roberval y Fermat construyeron la tangente de la cisoide (1634). En 1658 Huygens y Wallis encontraron que el área entre la curva y su asíntota es 3πa2 .

Figura 3.22: P es un punto de la cisoide de las dos curvas con respecto a O Dadas dos curvas y un punto fijo O. Sean Q y R las intersecciones de una recta variable a través de O con las curvas dadas. El lugar geométrico de P en esta recta tal que OP = OR − OQ = QR

es la cisoide de las dos curvas con respecto a O, ver figura 3.22.

3.7. CISOIDE DE DIOCLES

57

Figura 3.23: Cisoide generada por un círculo que se mueve a lo largo de una recta Así la cisoide de dos círculos concéntricos de radios r1 , r2 , con respecto a su centro común es un círculo con el mismo centro y radio |r1 − r2 | . La cisoide de un círculo de diámetro OA (radio a) y una recta tangente al círculo en A con respecto al punto fijo O es la cisoide de Diocles. Se puede generar la cisoide de Diocles como el conjunto de puntos de intersección P de la recta OR con un círculo de radio a tangente en R a la recta L que se obtienen cuando el círculo se mueve rígidamente a lo largo de la recta L, ver figura 3.23. Según algunas consideraciones modernas en común (Morris Kline, Thomas L. Heath) aquí está cómo construyó Diocles la curva en su libro Sobre Espejos Ardientes: sean AB y CD diámetros perpendiculares de un círculo, ver figura 3.24. Sea E un punto en el arco BC y Z un punto en el arco BD tal que BE y BZ son iguales. Dibuje ZH perpendicular a CD. Dibuje ED. Sea P la intersección de ZH y ED. La cisoide es el lugar geométrico de todos los puntos P determinados por todas las posiciones de E en el arco BC y Z en el arco BD con arco BE igual al arco BZ (la porción de la curva que cae fuera del círculo es una última generalización). También se puede generar la cisoide de Diocles de la siguiente manera: considere dos parábolas iguales, póngalas vértice con vértice y ruede una a lo largo de la otra. El vértice de la parábola que rueda traza una cisoide de Diocles. Newton dio la siguiente construcción para la descripción de esta curva por

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CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.24: Construcción de la cisoide dada por Diocles un movimiento continuo: Un ángulo recto tiene un lado GF de longitud fija, el punto F se mueve a lo largo de la recta fija CI, mientras que el lado GH pasa a través del punto fijo E; un lápiz en el punto medio de GF describirá la cisoide de Diocles, ver figura 3.25 ([9] pp. 182-183).

Figura 3.25: Construcción de la cisoide dada por Newton Ecuaciones La ecuación cartesiana de la cisoide de Diocles es: y2 =

x3 2a−x

La ecuación polar de la cisoide de Diocles es: r = 2a tan θ sin θ

3.7. CISOIDE DE DIOCLES

59

Las ecuaciones paramétricas de la cisoide de Diocles son: x=

2at2 , 1+t2

y=

2at3 1+t2

Propiedades de la cisoide de Diocles: La recta x = 2a es una asíntota de la curva. El área entre la curva y su asíntota es 3πa2 . 2 La cisoide es la inversa √ de la parábola y = bx con respecto al origen (radio de inversión 2ab ).

La pedal de una cisoide de Diocles con respecto a un punto P es la cardioide. Si la asíntota de la cisoide es la recta x = 1 y su vértice el origen, entonces P = (4, 0). La cáustica de la cisoide cuando el punto radiante es (8a, 0) es una cardioide. La pedal de una parábola con respecto a su vértice es la cisoide de Diocles. Si los puntos P y Q en la cisoide son tales que el ángulo P OQ es recto entonces el lugar geométrico de intersección de las tangentes a P y Q cae en el círculo con diámetro ( a2 , 0), (2a, 0). Construcción de la tangente. Ver figura 3.26, A tiene la dirección de la recta AC mientras que el punto de la escuadra en B se mueve en la dirección BQ. Normales a AC y BQ en A y B respectivamente se encuentran en el centro de rotación, D. DP es así normal a la trayectoria de P . Duplicación del cubo. Dado un segmento CB, con la ayuda de la cisoide de Diocles, podemos construir un segmento CM tal que (longitud CM )3 = 2(longitud CB)3 .

60

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.26: Construcción de la tangente a un punto P de la cisoide

Figura 3.27: Duplicación del cubo con ayuda de la cisoide de Diocles Descripción paso a paso, ver figura 3.27 1. Dados dos puntos C y B. 2. Construya un círculo un con centro en C que pase por B. 3. Sean O y A en el círculo tales que la recta OA es perpendicular a la recta CB. 4. Construya la cisoide de Diocles que se genera con el círculo antes dado y la recta tangente al círculo en el punto A con respecto a O. 5. Construya un punto D tal que B sea el punto medio del segmento CD.

3.8. DELTOIDE

61

6. Construya la recta que pasa por A y D. Sea Q la intersección de la cisoide y la recta AD. (La intersección no puede ser encontrada con regla y compás.) 7. Sea M la intersección de la recta CD y la recta OQ, (longitud CM )3 = 2(longitud CB)3 .

3.8.

Deltoide

La tricúspide o deltoide fue concebida primero por Leonhard Euler, matemático suizo (1707- 1783), en 1745 en relación con un estudio de curvas cáusticas. E investigado en 1856 por otro matemático suizo Jakob Steiner (1796-1863). A veces es llamada hipocicloide de Steiner. El nombre de deltoide (de forma de la letra griega delta mayúscula) no es usado en todas partes ([3], [7] pp. 72-79, [14] pp. 71-74, [6] pp. 131-135). Ecuaciones La ecuación cartesiana de la deltoide es: (x2 + y 2 + 12ax + 9a2 )2 − 4a(2x + 3a)3 = 0 Las ecuaciones paramétricas de la deltoide son:

9

x = 2a cos t + a cos 2t y = 2a sin t − a sin 2t La deltoide es un hipocicloide de tres vértices formada por un punto en un círculo de radio a o 2a que rueda en el interior de un círculo fijo de radio 3a. Se le llama generación doble a la que ocurre cuando el radio del círculo que rueda es 2a. La deltoide también puede obtenerse como la envoltura de un diámetro de un círculo de radio 2a que rueda en el interior de un círculo fijo de radio 3a. Steiner descubrió en 1856 que la deltoide es la envoltura de las rectas de Simson de un triángulo10 . El centro de la deltoide es el centro del círculo de 9

Se dedujeron en la sección 2.3.3. Se dibuja un círculo y se inscribe en el un triángulo. Se toma un punto P en el círculo y se marca el pie de las perpendiculares de P a los lados del triángulo. Estos tres puntos se encuentran sobre una recta, la cual es conocida como recta de Simson. 10

62

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

los nueve puntos de dicho triángulo11 , ver figura 3.28, asimismo el círculo de los nueve puntos esta inscrito en la deltoide.

Figura 3.28: La deltoide como envolvente de las rectas de Simpson de un triángulo Además, la deltoide es la envoltura de las rectas que se describen a continuación. Se dibuja un círculo base con centro en O y diámetro D’OD. Comenzando en D se marcan puntos a intervalos de 10◦ en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y se los numera 0,1, 2, ..., el punto D es el número 0. Comenzando en D’, en el sentido de las manecillas del reloj, se marcan puntos cada 20◦ y se los numera 0,1,2, etc. Se unen los pares de puntos con el mismo número. Si el radio del círculo base es a, la deltoide queda inscrita en un círculo de radio 3a. Ver figura 3.29. Propiedades de la deltoide: Cuando la deltoide es generada como la envoltura de las rectas de Simpson de un triángulo, el radio del círculo de los nueve puntos es 12 del radio r del círculo en el que esta contenido el triángulo original. Asimismo el radio del círculo en que esta contenida la deltoide es 32 r. 11

El ortocentro es el punto donde concurren las alturas de un triángulo ([10], p. 156). Los puntos medios de los lados de un triángulo, los puntos de intersección de las alturas con los lados y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices están sobre un círculo llamado el círculo de los nueve puntos ([10], p. 172).

3.8. DELTOIDE

63

Figura 3.29: Deltoide generada por rectas La tangente a la tricúspide en un punto P corta a éste en dos puntos E y H. Las normales a la tricúspide en E, P y H son concurrentes y su lugar geométrico esta en el círculo que contiene a la tricúspide, ver figura 3.30.

Figura 3.30: Propiedades de la deltoide Las tangentes en E y H se encuentran en ángulo recto en el punto K, el cual esta sobre el círculo que esta inscrito en la deltoide La longitud de la tangente interceptada por la curva (es decir, la longitud de EH) es constante e igual a 4a. El lugar geométrico del punto medio D del segmento tangente EH esta en el círculo que esta contenido en la deltoide.

64

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS Si J corta a EH en ángulo recto y esta en el círculo que esta contenido en la deltoide, J es otra tangente a la deltoide. Longitud:

16 a 3

Área: 29 πa2 La astroide es la cáustica de la deltoide con rayos paralelos en cualquier dirección. La evoluta de la deltoide es otra deltoide, ver figura 3.31.

Figura 3.31: Evoluta de la deltoide La deltoide puede actuar como un rotor dentro de una astroide estator12 , ver figura 3.32.

Figura 3.32: Deltoide rotor dentro de una astroide estator El motor rotatorio Wankel (ver figura 3.33 que se adoptó de un documento publicado en la Wikipedia de la red de internet) fue inventado por el ingeniero 12

Parte fija de una máquina rotatoria por oposición a la parte móvil o rotor.

3.9. EPICICLOIDE

65

Figura 3.33: Motor Wankel el cual se encuentra en el museo Deutsches de Munich, Alemania. alemán Félix Wankel alrededor de 1951. El rotor de este motor es semejante al deltoide y se mueve dentro de una epitrocoide.

3.9.

Epicicloide

Ecuaciones paramétricas de la epicicloide: Si el eje x pasa a través de un vértice son:13 x = (a + b) cos t − b cos (a+b)t b y = (a + b) sin t − b sin (a+b)t b Si el eje x biseca el arco entre dos vértices sucesivos son: x = (a + b) cos t + b cos (a+b)t b y = (a + b) sin t + b sin (a+b)t b Hay cuatro curvas estrechamente relacionadas entre si: la epicicloide, la hipocicloide, la epitrocoide, y la hipotrocoide. Todas ellas son trazadas por 13

Las ecuaciones correspondientes se dedujeron en la sección 2.3.2.

66

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.34: (A) Epicicloide; (B) Generación doble de la epicicloide

un punto fijo P a distancia h del centro de un círculo de radio b el cual rueda en un circulo fijo de radio a. Las dos primeras ocurren cuando h = b, las restantes cuando h = b ([3], [14] pp. 81-85, [9] pp. 278-283, [6] pp. 168-170).

Estas curvas fueron estudiadas por Alberto Durero (1471-1528 en alemán Albrecht Dürer) en 1525, Girard Desargues (1591-1661) en 1640, Roemer a quien se atribuye la invención de estas curvas (1674), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), L’Hôpital (1690), Jakob Bernoulli (1690), La Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725) y Euler (1745, 1781). Daniel Bernoulli fue el primero en darse cuenta de la generación doble. Apolonio de Perga (262-190 antes de J. C. aproximadamente) geómetra griego (200 antes de J. C.) tuvo la idea de describir los movimientos celestes como combinación de movimientos circulares. Fue Hiparco de Nicea (190-120 antes de J. C.) el más grande astrónomo de la Antigüedad, quien elaboró esta teoría en detalle (150 antes de J. C.). Los resultados llegaron a ser famosos (150 después de J. C.) por los libros del astrónomo griego Claudio Ptolomeo (85-165 después de J. C.). Se pensó en la Tierra colocada como centro celeste, alrededor del cual los otros cuerpos celestes rotan. La combinación de la rotación de la Tierra y la rotación de los planetas alrededor de ella forman una epicicloide. Esta teoría geocéntrica debió ser la teoría aceptada por casi 2000 años. La teoría heliocéntrica (como la construyó Nicolás Copérnico (14731543)), también se discutió por los griegos.

3.9. EPICICLOIDE

67

Los astrónomos encuentran formas de las curvas cicloidales en varias coronas . También ocurren como cáusticas. La longitud de estas curvas fue dada por Newton. Casos especiales: 14

Si a = b se obtiene una cardioide. Si a = 2b se genera una nefroide. La epicicloide es la curva generada por un punto fijo P en un círculo de radio b que rueda en el exterior de un circulo fijo de radio a, ver figura 3.34 (A). O bien es la curva trazada por un punto fijo en un círculo de radio a + b que rueda dentro de un círculo fijo de radio a, ver figura 3.34 (B). Esta descripción recibe el nombre de generación doble. Propiedades de la epicicloide: Si a = (m − 1)b con m ∈ N, m > 1 el área y la longitud de la epicicloide son respectivamente: a ´rea = πb2 m(m + 1)

longitud =

          

8mb m−1

si m = 2n con n ∈ N

16mb m−1

si m = 4n − 1 con n ∈ N

8mb

si m = 4n + 1 con n ∈ N

Cuando a/b es un número racional la curva es cerrada y algebraica. Cuando dicho cociente esta en su forma más simple (es decir, cuando numerador y denominador no tienen factores en común), el numerador es el número de veces que el círculo que rueda toca al círculo fijo. Cuando a/b no es racional la curva es trascendente. La evoluta de una epicicloide es una epicicloide similar, pero menor en tamaño (ver evoluta cardioide figura 3.12). 14

Halo luminoso que suele rodear al Sol y a la Luna.

68

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.35: (A) Hipocicloide; (B) Generación doble de la hipocicloide La pedal con respecto al centro es una rosa: r = c sin nθ. Las ecuaciones paramétricas de la epicicloide se transforman en las de la hipocicloide al reemplazar b por −b en ellas. Si b ∈ Z, b = 0 cuando • a = −2b se obtiene un segmento de recta.

• a = −3b se obtiene una deltoide.

• a = −4b se obtiene una astroide.

3.10.

Hipocicloide

Hay cuatro curvas estrechamente relacionadas: la epicicloide, la epitrocoide, la hipocicloide y la hipotrocoide. Todas ellas son trazadas por un punto fijo en un círculo que rueda en un círculo fijo. La hipocicloide es la curva trazada por un punto fijo P en la circunferencia de un círculo de radio b el cual rueda sin resbalar en el interior de un círculo fijo de radio a, ver figura 3.35 (A). Cuando el punto no está sobre la circunferencia la curva generada es una hipotrocoide. Generación doble. Si el radio del círculo que rueda sin resbalar en el párrafo anterior es a−b, ver figura 3.35 (B), se genera la misma la hipocicloide del párrafo anterior.

3.10. HIPOCICLOIDE

69

Varios tamaños de círculos generan diferentes hipocicloides (epicicloides). Sean a el radio del círculo fijo, y b el radio del círculo que rueda. La razón a/b define la forma de la curva, consideremos b = 1 siempre. Así las hipocicloides (epicicloides) son curvas de un parámetro a, con la propiedad de que cuando a es positivo se genera una hipocicloide. Y cuando a es negativo se obtiene una epicicloide. Las curvas que tienen los vértices hacia el centro son tradicionalmente identificadas como epicicloides, aún cuando son también hipocicloides. Asimismo las curvas cuyos vértices apuntan fuera del centro son identificadas como hipocicloides, aún cuando son también epicicloides. Estas curvas fueron estudiadas por Alberto Durero (1471-1528) en 1525, Girard Desargues (1591-1661) en 1640, Roemer a quien se atribuye la invención de estas curvas (1674), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), L’Hôpital (1690), Jakob Bernoulli (1690), La Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725) y Euler (1745, 1781). Daniel Bernoulli fue el primero en darse cuenta de la generación doble. Los astrónomos encuentran formas de las curvas cicloidales en varias coronas. También ocurren como cáusticas. Ecuaciones paramétricas de la hipocicloide: Si el eje x pasa a través de un vértice son:15 x = (a − b) cos t + b cos a−b t b a−b y = (a − b) sin t − b sin b t Si el eje x biseca el arco entre dos vértices sucesivos son: t x = (a − b) cos t − b cos a−b b a−b y = (a − b) sin t + b sin b t Casos especiales: Si a = 2b se obtiene un segmento de recta. Si a = 3b se obtiene una deltoide. Si a = 4b se obtiene una astroide. 15

Las ecuaciones correspondientes se dedujeron en la sección 2.3.3

70

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Propiedades de la hipocicloide: La curva es cerrada y algebraica cuando a/b es racional. Cuando a/b no es racional la curva es trascendente. La evoluta de una hipocicloide es una hipocicloide similar aunque de mayor tamaño (ver la evoluta de la astroide o de la deltoide figuras 3.5 o 3.31 respectivamente). La pedal con respecto al centro es una rosa (r = c sin nθ). Si a = (n + 1)b donde n es un entero, entonces el área de la hipocicloide es πb2 n(n − 1).

3.11.

Espiral de Arquímedes

Figura 3.36: Una rama de la espiral de Arquímedes La ecuación polar de la espiral de Arquímedes es: r = aθ Esta espiral fue estudiada por Arquímedes (287-212 antes de J. C.) alrededor del año 225 antes de J. C. en su tratado On Spirals. Pero se debe a Conon (280-220 antes de J. C. aproximadamente), amigo de Arquímedes ([3], [14] pp. 209-211, [7] pp. 173-174, [6] p. 186, [4] p. 656).

3.11. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES

71

Fue la primera curva mecánica (es decir, trazada por un punto en movimiento) considerada por un matemático griego. Supongamos que un canal gira sobre uno de sus extremos y que desde este extremo es lanzada una canica a velocidad constante. La trayectoria de la canica, vista desde arriba, trazará una espiral de Arquímedes. En la espiral de Arquímedes hay una distancia fija entre ramas sucesivas igual a 2πa si θ es medido en radianes. Tiene dos ramas (figura 3.37), una para θ > 0 y otra para θ < 0. Sólo se muestra una rama en la figura 3.36.

Figura 3.37: Espiral de Arquímedes rm = am θ es una generalización de la espiral de Arquímedes. La cual incluye cuatro casos especiales: Espiral de Arquímedes (m = 1); Espiral de Fermat (m = 2); Espiral hiperbólica o recíproca (m = −1); Lituus (m = −2). Fue Sacchi en 1854 quien distinguió este grupo de espirales por vez primera. Esta curva es la pedal de la involuta de un círculo. Propiedades de la espiral de Arquímedes: La longitud de arco de 0 a θ es:

72

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.38: Leva generada por un arco de una espiral de Arquímedes s=

a 2

 

  2 2 θ 1 + θ + ln θ + 1 + θ

La curva inversa con respecto al origen (o polo) es la espiral hiperbólica o recíproca. Arquímedes podía encontrar la longitud de varias tangentes de la espiral. Lo que puede ser usado para la trisección de un ángulo y cuadrar un círculo. Esta espiral encontró amplio uso como leva, para convertir un movimiento angular uniforme en movimiento lineal uniforme. La leva consiste de un arco de espiral arriba del eje x junto con su reflejo con respecto al eje x. La leva es montada sobre un eje en el polo (origen) y rueda con velocidad angular constante. El pistón que mantiene contacto con un mecanismo de resorte tiene como resultado un movimiento lineal uniforme (figura 3.38). Esta leva se uso en las viejas maquinas de coser.

3.12.

Espiral de Cornu

También conocida como clotoide o espiral de Euler, este último nombre debido a que fue Euler quien empezó a estudiar la curva (1744) en una investigación sobre la elasticidad de un resorte. Es la curva cuya curvatura es función de la longitud. Esto es, la curvatura crece con la distancia desde el origen ([3], [14] p. 215).

3.12. ESPIRAL DE CORNU

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Figura 3.39: Espiral de Cornu Esta curva se descubrió en la era de la geometría diferencial (1700), donde se hizo precisa la noción de curvatura como la proporción en que la curva cambia de dirección (o una medida de como se tuerce una curva en un punto dado). El “Teorema Fundamental de las Curvas Planas” establece que una curva plana esta en esencia definida por su curvatura. A la espiral de Cornu se le asignó este nombre por el científico francés Marie Alfred Cornu (1841-1902), quien la estudio en relación con la difracción de la luz. A partir de los trabajos de Cornu esta curva se uso con amplitud en el cálculo de la difracción de la luz. Esta curva puede ser parametrizada por las integrales de Fresnel, las cuales son bien conocidas en la teoría de difracción. Cabe mencionar que Agustin Jean Fresnel (1788-1827) fue uno de los fundadores de la teoría de ondas de luz. Las ecuaciones paramétricas de la espiral de Cornu son: t s2 ds x = 0 cos 2a t s2 y = 0 sin 2a ds

Propiedad de la espiral de Cornu:

√ √  √ √  πa πa πa πa Los puntos asintóticos son , y − , − . 2 2 2 2 Se utiliza en el trazado de carreteras y ferroviarios como curva de transición, con el fin de evitar discontinuidades en la aceleración de los vehículos. El tipo de curva más usual en carreteras es: tramo recto, clotoide, circular, clotoide, tramo recto.

74

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

3.13.

Espiral Equiángular

Mi hermano, profesor en Basle, ha tomado esta oportunidad para investigar varias curvas que la naturaleza pone ante nuestros ojos cada día... Johann Bernoulli 1692 [5]

Figura 3.40: Espiral equiángular También conocida como espiral logarítmica o logística fue descubierta por René Descartes (1596-1650) en 1638 en un estudio de dinámica ([3], [14] pp. 206-209, [7] pp. 98-109, [6] p. 184, [4] p. 656). Evangelista Torricelli (1608-1647) trabajó en la curva de manera independiente y encontró su longitud. Entre los primeros matemáticos griegos, los pitagóricos creían firmemente que todas las cosas podían ser explicadas en términos de números. Insistían en que hay siempre alguna ley involucrando números la cual esta representada tanto en obras de arte, como en formas vivientes, creaciones de la naturaleza. Una de estas ideas fue la ley de la razón áurea. Encontramos esta proporción en geometría cuando dividimos un segmento dado en dos partes a y b tales que la razón b/a es igual a la razón (a + b)/b, donde a < b. Se llama “phi” a la razón b/a y es igual √ a la raíz positiva de 2 la ecuación x − x − 1 = 0, la cual es φ = (1 + 5)/2. Ésta fue llamada “proporción divina” por Luca Pacioli (1445-1517), matemático italiano del siglo quince en su libro Divina proportione, las figuras de este texto fueron dibujadas por Leonardo da Vinci (1452-1519). Esta proporción se representa con la letra griega φ en honor a Fidias, el escultor más famoso de la Grecia antigua. La razón áurea aparece en muchos giros inesperados, en la serie de Fibonacci, en la figura del pentágono (ver figura 3.41), en las dimensiones del

3.13. ESPIRAL EQUIÁNGULAR

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cuerpo humano, en la concha de moluscos o en el arreglo de las hojas en el tallo de las flores.

Figura 3.41: Pentágono Leonardo da Vinci escribió: Las hojas siempre vuelven su lado superior hacia el cielo así pueden recibir mejor el rocío sobre toda su superficie; las hojas están arregladas en las plantas de tal modo que una cubre a otra lo menos posible. Esta alternación provee espacios abiertos a través de los cuales el sol y el aire pueden penetrar. El arreglo es tal que gotea de la primera hoja descendiendo a la cuarta hoja en algunos casos y a la sexta hoja en otros. Esta observación llama la atención sobre el fascinante fenómeno matemático que ocurre naturalmente: la filotaxia folial y los números de Fibonacci. La filotaxia folial explica como las hojas están ordenadas en las ramas, porque son opuestas, en verticilo o alternantes: Las hojas opuestas son opuestas con respecto a otras, usualmente hileras adyacentes cruzan en ángulo recto a las hojas opuestas originales. Son ejemplos la hierbabuena, el arce, el fresno y el castaño de indias. Verticilo significa tres o más hojas en un nodo. Un ejemplo es la cola de caballo común. Las hojas alternantes se distribuyen a lo largo de la rama en una espiral. Si dibujamos una línea del punto de unión de una hoja a la siguiente esta línea se enrollará y elevará alrededor de la rama. Una misma especie siempre produce el mismo número de hojas por vuelta alrededor de la rama. Una porción igual de la circunferencia del tallo siempre separará a unas hojas de otras. Así es creada una espiral equiángular.

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CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

El arreglo alternante de hojas en cada especie es explicado en términos de una clasificación jerárquica. La clasificación dos describe aquellas especies que tienen hojas que se alternan 180 grados en los dos lados de la rama. Esto significa que la tercera hoja se encuentra directamente sobre la primera hoja y que la cuarta hoja esta del otro lado de la rama directamente sobre la segunda hoja. Si una línea en espiral es dibujada desde la primera hoja pasando por la segunda y tercera hojas, la línea habrá dado una vuelta a la rama una vez. La clasificación dos se describe con la fracción 1/2. El numerador es el número de revoluciones alrededor de la rama y el denominador representa las dos hojas que se encontraron en esta espiral de 360 grados (sin contar la primera hoja). Ejemplos: maíz, pasto, sicómoro, abedul y olmo. La clasificación tres se describe con 1/3, en ella esta el falso hellebore. La clasificación cinco es 2/5, la más común entre las maderas duras como el roble, cerezo, tulipero, nogal, nogal americano y otros. Aquí en dos vueltas alrededor de la rama se encuentran cinco hojas. La clasificación ocho es 3/8 en ella están el manzano, el acebo y el helecho dulce. La clasificación trece es 5/13. Son ejemplos el peral, el sauce y el almendro. Estas razones (1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21,...) son la divergencia espiral angular de una hoja a otra. Analizando estas razones se observa de que cada número del numerador y cada número del denominador es la suma de los dos números precedentes (2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 8 + 13 = 21 y así). Esta serie de números tomó su nombre del hombre que los analizó por primera vez en el siglo trece, Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido por su sobrenombre: Fibonacci. En 1753 Robert Simpson (1687-1768) observó por primera vez que el límite del cociente de un número de Fibonacci entre el anterior tiende a φ cuando n tiende a infinito. En 1202 Fibonacci publicó su libro Liber abaci, el cual presenta en su tercera sección un problema que lleva a la introducción de los números de Fibonacci: Un hombre puso un par de conejos en un cuarto cerrado. ¿Cuántos pares de conejos pueden ser producidos por ese par en un año si suponemos que cada mes cada par engendra un nuevo par el cual a partir del segundo mes puede reproducirse? La sucesión resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitió el primer término en su Liber abaci). Esta sucesión, en la cual cada número

3.13. ESPIRAL EQUIÁNGULAR

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es la suma de los dos números precedentes, ha probado ser extremadamente fructífera y aparece en muchas diferentes áreas de las matemáticas y la ciencia. En biología, estructuras aproximadamente iguales a la espiral equiángular ocurren frecuentemente a organismos donde el crecimiento es proporcional al tamaño, por ejemplo en la tela de araña y en la concha de los moluscos. Como señaló D’Arcy Thompson en su libro On growth and form ([12] p. 757): En el crecimiento de una concha no puede concebirse una ley más simple que esta, a saber que se ensanchará y alargará en las mismas proporciones invariables. Y esta simpleza de leyes es lo que la naturaleza tiende a seguir. La concha, como la criatura dentro de ella, crece en tamaño pero no cambia su forma; y la existencia de esta constante relatividad de crecimiento, o constante similitud de forma, es esencial y puede ser la base de una definición de la espiral equiángular. Jakob Bernoulli (1654-1705) encontró las propiedades de autoreproducción de esta curva y la llamó spira mirabilis (espiral admirable). Pidió que la curva fuese grabada en su lápida mortuoria con la frase en latín “Eadem mutata resurgo” (“Aunque transformado reaparezco”). En la lápida fue grabada una curva que parece más una espiral de Arquímedes.

Figura 3.42: A la izquierda Jakob Bernoulli, junto a él Johann Bernoulli Los halcones se aproximan a su presa en la forma de una espiral equiángular: su aguda visión esta en un ángulo de su dirección de vuelo; este ángulo es el de inclinación de la espiral.

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CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.43: Espiral equiángular Los ojos de los insectos son compuestos, se acercan a una fuente de luz sin perderla de vista, por lo que su vuelo forma una espiral equiángular. Las ramas de las espirales de las galaxias son aproximadamente espirales equiángulares. Nuestra propia galaxia, la Vía láctea, se cree tiene cuatro ramas principales, cada una de las cuales es una espiral equiángular con inclinación de doce grados aproximadamente. La espiral equiángular es llamada también espiral áurea porque puede ser derivada de un rectángulo áureo: la longitud de los ejes cortados por la espiral se ajusta a la razón áurea (figura 3.45). Supongamos que un canal gira sobre uno de sus extremos y que sobre el canal, desde el extremo sobre el que gira, es lanzada una canica con aceleración constante. La trayectoria de la canica trazará una espiral equiángular. Curva que corta todos los radio vectores de un punto fijo 0 en un ángulo constante α, ver figura 3.43. Cualquier radio desde el centro 0 a cualquier punto de tangencia en la espiral equiángular formará el mismo ángulo entre el radio y la recta tangente. Ecuaciones Las ecuaciones paramétricas de la espiral equiángular son: x = aet cot α cos t y = aet cot α sin t La ecuación polar de la espiral equiángular es: r = aeθ cot α

3.13. ESPIRAL EQUIÁNGULAR

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La espiral equiángular se distingue porque la distancia entre sus ramas aumenta en progresión geométrica. Una espiral equiángular con inclinación α = π2 es un círculo. Propiedades de la espiral equiángular: √ φ = (1 + 5)/2 es solución de la ecuación 1 + x = x2 . La sucesión geométrica: .....φ−3 , φ−2 , φ−1 , 1, φ, φ2 , φ3 ..... es una sucesión de Fibonacci ya que tiene la propiedad de que cada término es la suma de los dos anteriores y el cociente de cada término entre el anterior es igual a φ. Es la única sucesión geométrica que es también una sucesión de Fibonacci. Los números de Fibonacci pueden ser representados geométricamente en dos dimensiones por la espiral equiángular con longitud de los sucesivos radio vectores 0R0 = φ0 , 0R1 = φ1 , 0R2 = φ2 ,... (ver figura 3.44) Una ecuación polar de la espiral equiángular correspondiente a esta −2 sucesión de Fibonacci es: r = eθφ

Figura 3.44: Espiral equiángular con longitud de los sucesivos radio vectores 0R0 = τ 0 , 0R1 = τ 1 , 0R2 = τ 2 ,... Puede ser derivada de un rectángulo áureo (un rectángulo tal que la longitud de los ejes cortados por la espiral se ajusta a la razón áurea. Lado mayor entre lado menor igual a razón áurea = φ). Una ecuación

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CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.45: Espiral equiángular derivada de un rectángulo áureo aθ polar deuna √ espiral donde   equiángular así obtenida es: r = e a = 2 ln 1 + 5 /2 /π La longitud de los radio vectores 0R0 = φ0 , 0R1 = φ1 , 0R2 = φ2 ,... en la figura 3.45 coincide con la sucesión de Fibonacci.

La curva pedal derivada de una espiral equiángular, cuando el punto pedal es el origen (o polo), es otra espiral equiángular. La evoluta de una espiral equiángular es otra espiral equiángular. La cáustica de una espiral equiángular, cuando el polo es el punto radiante, es otra espiral equiángular. La inversa con respecto al polo de una espiral equiángular (r = aeθ cot α ) es otra espiral equiángular (ρ = ae− θ cot α , radio de inversión a). Ver figura 3.46, la espiral gruesa es la inversa con respecto al círculo punteado de la espiral delgada. La espiral logarítmica, llamada por Bernoulli “la curva de vida” puede también, literalmente, estar en la muerte. Un reporte reciente sugiere al

3.14. ESPIRAL DE FERMAT

81

Figura 3.46: Inversa de la espiral equiángular ataque de fibrilación como un preludio del paro cardíaco “esta marcado por una interrupción en el patrón espiral estable del músculo del corazón en una serie de espirales excitables en los meandros del corazón”. La geometría fractal provee modelos generados por computadora de esos patrones y la medicina preventiva puede beneficiarse.

3.14.

Espiral de Fermat

Figura 3.47: Espiral de Fermat Fue discutida por Pierre de Fermat (1601-1665) en 1636. También es conocida como parabólica por su analogía con y 2 = a2 x ([3], [14] p. 212, [6] p. 186, [7] p. 175). La gente que practica omphaloskepsis adoptó la curva como su símbolo. La omphaloskepsis es un estilo de vida alrededor del acto de la contemplación del propio ombligo como un método para alcanzar la meditación superior.

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CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

La ecuación polar de la espiral de Fermat es: r 2 = a2 θ Para cualquier valor positivo de θ, r puede tomar valores positivos o negativos, por lo que la gráfica es simétrica respecto al polo. La espiral de Fermat es la inversa con respecto al polo de una Lituus.

3.15.

Espiral Hiperbólica

Figura 3.48: Espiral hiperbólica o reciproca Llamada así por su analogía con la ecuación yx = a, es conocida también como espiral Reciproca. Fue creada por Pierre Varignon en 1704 y estudiada en detalle por Johann Bernoulli (entre 1710-1713) y Roger Cotes (1682-1716) en 1722 ([3], [14] pp. 211-212, [6] p. 186, [7] p. 175, [4] p. 656). La ecuación polar de la espiral hiperbólica es: rθ = a La espiral hiperbólica puede obtenerse como la inversa con respecto al polo de una espiral de Arquímedes. Propiedad de la espiral hiperbólica: Esta curva tiene como asíntota una línea recta que dista a unidades del polo, ver figura 3.49.

3.16. LITUUS

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Figura 3.49: Espiral hiperbólica y su asíntota

Figura 3.50: Lituus

3.16.

Lituus

Roger Cotes (1682-1716) fue el primero en estudiar la curva. Profesor designado en Cambridge a la edad de 24 años, su trabajo fue publicado sólo después de su muerte([3], [14] pp. 212-213, [6] p. 186, [7] p. 175, [4] p. 656). Cotes descubrió un importante teorema sobre las raíces n-ésimas de la unidad; anticipó el método de mínimos cuadrados y descubrió un método de integración de fracciones racionales que tienen por denominador un binomio. Colin Maclaurin (1698-1746) dio nombre a la curva en el libro Harmonia Mensurarum de 1722. Lituus significa garfio, por ejemplo un báculo de obispo. Si sólo se grafican valores positivos de r, el resultado se parece a la espiral en el capitel de una columna iónica. Es el lugar geométrico de un punto P moviéndose de manera que el área del sector circular OP A permanece constante.

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CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS O bien, es la inversa con respecto al origen de una espiral de Fermat.

La ecuación polar de la espiral lituus es: r2 θ = a2 Propiedad de la espiral lituus: El eje horizontal es su asíntota.

3.17.

Óvalos de Cassini

Figura 3.51: Óvalos de Cassini Esta curva llamada también Cassinian o Elipse Cassinian fue concebida por Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) astrónomo italiano a quien el rey de Francia, Luis XIV, otorgó la ciudadanía francesa. Estudió esta familia de curvas en relación con los movimientos relativos del Sol y la Tierra en 1680. El creía que estas curvas podían representar órbitas planetarias mejor que las elipses de Kepler. Cassini concibió estas curvas catorce años antes de que Jakob Bernoulli describiera su lemniscata ([3], [14] pp. 8-11, [6] pp. 153-155, [15] pp. 10-11). Gian Francesco Malfatti (1731-1807) estudió estas curvas en 1781.

3.17. ÓVALOS DE CASSINI

85

Cassini realizó trabajos de hidráulica, entre cuyas aportaciones se encuentra el estudio de las inundaciones causadas por las crecidas del río Po, en el norte de Italia. Contribuyó a la medida del meridiano de París, que muchos años después serviría para definir al metro como la unidad de longitud. En 1675 Cassini descubrió la división existente entre los anillos de Saturno, separación que en su honor lleva su nombre. Más tarde, descubrió cuatro satélites de ese mismo planeta: Japeto, Rea, Tetis y Dione. Como resultado de sus observaciones, en particular las que realizó del Sol, Cassini quedó ciego, al igual que Galileo. Para rendir homenaje a Christiaan Huygens y a Giovanni Domenico Cassini, la NASA utilizó sus apellidos para nombrar a una misión que se acerca a Saturno. Es el lugar geométrico de un punto el producto de cuyas distancias a dos puntos fijos F 1, F 2 es constante (c2 ). Ecuaciones La ecuación cartesiana de los óvalos de Cassini es: (x2 + y 2 )2 − 2a2 (x2 − y 2 ) + a4 = c4 La ecuación polar de los óvalos de Cassini es: r4 + a4 − 2r2 a2 cos 2θ = c4 F 1 = (−a, 0) F 2 = (a, 0) La forma de la curva depende de c/a. Si c < a la curva consta de dos lazos. Si c > a la curva esta formada por un solo lazo. Cuando c = a la curva se vuelve la lemniscata de Bernoulli. El número de focos puede ser mayor a dos. El lugar geométrico de un punto el producto de cuyas distancias a tres o más puntos fijos es constante da lugar a otras curvas. Propiedad de los óvalos de Cassini: Si b− a es el radio interior de un toro cuyo círculo generador tiene radio a. La sección formada por un plano paralelo al eje del toro y que dista a unidades de el es un óvalo de Cassini. Si b = 2a este plano es una tangente interior a la superficie y la sección es una Lemniscata. Cortes arbitrarios del toro no son óvalos de Cassini. La intersección de un toro y un plano paralelo al eje del toro se llama sección spiric.

86

CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Figura 3.52: Tractriz

3.18.

Tractriz

La tractriz surge del siguiente problema propuesto a Leibniz por el médico francés Claude Perrault (1613 -1688). ¿Cuál es la trayectoria de un objeto (P ) arrastrado por una cuerda de longitud constante (a) cuando el extremo que se jala (A) se mueve a lo largo de una recta horizontal (ver figura 3.52)? Leibniz encontró la curva usando el hecho de que el eje x es una asíntota a la tractriz ([14] pp. 221-224, [7] pp. 119-124, [4] p. 659, [9] p. 289, [3]). Sin embargo, el problema fue resuelto primero y generalizado por Huygens en 1692, quien le dio el nombre de tractriz, y después por Leibniz, Johann Bernoulli, Joseph Liouville (1809 -1882) y Eugenio Beltrami (1835 -1900). La tractriz es conocida también como curva equitangencial. El nombre de tractriz viene del latín tractus que significa tirar, jalar, arrastrar. En la figura 3.52 se observa que y dy =−  2 dx a − y2

resolviendo esta ecuación tenemos    a + a2 − y 2     x = a ln   − a2 − y 2   y Si y = a cos t en 3.7, entonces

x = a ln(sec t + tan t) − a sin t

−

π π 0. La tractriz es la curva que corta en ángulo recto a todos los círculos de radio constante cuyos centros caen en una línea recta. La superficie de revolución de la tractriz alrededor de su asíntota es llamada pseudoesfera en virtud de que si la longitud de la tangente es a (ver figura 3.52) el área de esta superficie de revolución coincide con el área de la esfera de radio a y su volumen es la mitad del volumen de dicha esfera. La pseudoesfera tiene una curvatura negativa constante, esta propiedad permitió a Bertrami en 1868 construir un modelo de geometría hiperbólica (no euclidiana), en el que un “plano” es representado por su superficie. La tractriz fue propuesta por Schiele como la forma ideal de un eje rotativo que mantiene la producción y distribuye uniformemente el gasto.

3.18. TRACTRIZ

89

Propiedades de la tractriz: El eje x es una asíntota de la curva. En la tractriz cualquier segmento tangente del punto de tangencia a la asíntota es de longitud constante. La envoltura de las normales de la tractriz, es decir, la evoluta de la tractriz es la catenaria.

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CAPÍTULO 3. GALERÍA DE CURVAS

Capítulo 4 Conclusiones Los matemáticos de los siglos pasados fueron muy hábiles calculistas. Hubo integrales difíciles de calcular, como la que se requiere para calcular el área de la superficie generada por la revolución de la cardioide respecto al eje x, en la que emplee Maple 9 y aún con estos recursos los resultados eran difíciles de interpretar. Existen fórmulas para determinar la evoluta de una curva y varias interpretaciones para ésta. Sin embargo para la involuta, con excepción de la involuta de un círculo, no encontré una fórmula para calcularla. Todas las curvas tienen una única evoluta. En cambio hay tantas involutas a una curva como puntos en ésta. Maple 9 no gráfica lo que se espera en gráficas implícitas, es decir, las gráficas implícitas de Maple 9 no siempre son correctas, por ejemplo en Maple 9 se dio la siguiente instrucción: > with(plots): implicitplot(4*y^2-3*x^(2/3)+4*x^(8/3)=1,x=-1..1,y=-1..1, scaling=constrained); La ecuación dada corresponde a una nefroide, Maple dibujo poco menos de la mitad de la nefroide. Se pudo dibujar la nefroide completa después de realizar las operaciones necesarias para obtener las ecuaciones paramétricas de la misma, esto es, con las siguientes instrucciones Maple 9 dibujo completa la nefroide: > plot([(sin(t))^3,-cos(t)*(.5+(sin(t))^2),t=0..2*Pi], scaling=constrained); Scientific WorkPlace en cambio no presenta problemas para graficar ecuaciones implícitas. Asimismo, Maple 9 dibuja con huecos algunas gráficas en 91

92

CAPÍTULO 4. CONCLUSIONES

coordenadas polares que no debieran tener huecos, ejemplo: > with(plots): polarplot(sqrt(2*cos(2*t)),t=-Pi..Pi); La anterior es la ecuación polar de los óvalos de Cassini con parámetros a = c = 1, por alguna razón que desconozco Maple 9 no dibuja la parte central de la gráfica. La misma ecuación polar con t en el mismo intervalo de valores en Scientific WorkPlace traza la gráfica completa, sin huecos. La inversa con respecto a un círculo tiene sentido sobre todo para las curvas en coordenadas polares. Identificar quien es la inversa de una u otra curva en coordenadas polares es fácil. Los libros que más se utilizaron para este trabajo fueron [14], [7] y [9]. El libro de consulta que menos me gustó fue el [6]. El estilo del libro que más me gustó fue el de [5]. La historia nunca me gusto, sin embargo, la historia de las matemáticas que he estudiado un poco a partir de este trabajo me parece muy interesante. Este trabajo me llevó a aprender Scientific WorkPlace 4 y Maple 9. Como siempre pasa en computación ahora me vendría bien aprender otro procesador de texto, pero siempre es bueno aprender. He visto que ya hay otra versión de Maple muy distinta de la versión 9, habrá que aprenderla.

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Apéndice A Código en Maple 9 de las gráficas Se presenta aquí el código en Maple 9 de las gráficas que se elaboraron en el Capítulo 3. Figura 3.1, la astroide > plot([(cos(t))^3,(sin(t))^3,t=0..2*Pi],x=-1.25..1.25, y=-1.25..1.25,thickness=2); Figura 3.2, dos formas de generar la astroide como hipocicloide Se elaboraron animaciones en Maple 9 para visualizar la generación de hipocicloides y epicicloides. La astroide es un hipocicloide en el que el radio del círculo que rueda es b = a4 o b = 3a y el radio del círculo fijo es a. El 4 comando para llevar a cabo una animación en Maple 9 es animated. Si entre los parámetros de este comando se incluye la opción frame = n, el número de imágenes de la animación es n. Sin embargo, si no se incluye la opción frame, el número de imágenes de la animación es 25. El procedimiento hipoAnimaEjeXporVertice(a,b) realiza las animaciones del hipocicloide, las cuales constan de 25 imágenes. Las figuras 3.2 (A) y (B) son la imagen 22 ( theta = 5,4978 y theta = 16,493 respectivamente) de las animaciones hipoAnimaEjeXporVertice(4,1) e hipoAnimaEjeXporVertice(4,3) respectivamente. A continuación se presenta el procedimiento (en Maple 9) hipoAnimaEjeXporVertice(a,b): > hipoAnimaEjeXporVertice:=proc(a,b) 95

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS local p,x,y,curva,F; if frac(a/b)0 then p:=b*2*Pi else p:=2*Pi end if: x:=t->(a-b)*cos(t)+b*cos((a-b)*t/b): y:=t->(a-b)*sin(t)-b*sin((a-b)*t/b): with(plots): curva:=plot([a*cos(t),a*sin(t),t=0..2*Pi],color=gray): F:=proc(t) plots[display]( plot([x,y,0..t],color=green), plot([(a-b)*cos(t)+b*cos((a-b)*u/b),(a-b)*sin(t)+ -b*sin((a-b)*u/b),u=0..2*Pi*b/(a-b)],color=blue), # ((a-b)*cos(t),(a-b)*sin(t)) coordenadas del # centro del círculo que rueda # (b*cos((a-b)*u/b),-b*sin((a-b)*u/b)) círculo de # radio b que rueda sobre el círculo de radio a pointplot([[(a-b)*cos(t)+b*cos((a-b)*t/b), (a-b)*sin(t)-b*sin((a-b)*t/b)]],symbol= circle,symbolsize=6,color=red)); end: animate(F,[theta],theta=0..p,background=curva, scaling=constrained); end; Figura 3.4, la astroide como envoltura de elipses > with(plots): astroelip:=proc(n) local j,grafo: for j from 1 to n do grafo[j]:=plot([.2*j*cos(t),(1-.2*j)*sin(t),t=0..2*Pi], color=red): od: grafo[n+1]:=plot([(cos(t))**3,(sin(t))**3,t=0..2*Pi], color=green): display(seq(grafo[k],k=1..n+1)); end; > astroelip(4);

97 Figura 3.5, evoluta de la astroide > x:=t->a*(cos(t))^3; # Se dan las ecuaciones paramétricas y:=t->a*(sin(t))^3; # de la curva a:=1; # Se le asigna un valor al parámetro > pdx:=D(x); # pdx = primera derivada de x pdy:=D(y); # pdy = primera derivada de y > sdx:=D(D(x)); # sdx = segunda derivada de x sdy:=D(D(y)); # sdy = segunda derivada de y > x2:=x-pdy*((pdx)^2+(pdy)^2)/(pdx*sdy-sdx*pdy); y2:=y+pdx*((pdx)^2+(pdy)^2)/(pdx*sdy-sdx*pdy); > with(plots): g1:=plot([x(t),y(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained): # g1 es la gráfica de la curva g2:=plot([x2(t),y2(t),t=0..2*Pi],color=blue): # g2 es la gráfica de la evoluta de la curva g1 display([g1,g2]); Figura 3.6, la astroide como envoltura de una barra que resbala > for j from 1 to 4 do indi[j]:=.2*j: od: indi[5]:=.9: indi[6]:=.98: with(plots): for j from 1 to 6 do grafo[j]:=plot(indi[j]*(1-x/sqrt(1-(indi[j])^2)), x=0..sqrt(1-(indi[j])^2)): grafo[6+j]:=plot(indi[j]*(-1+x/sqrt(1-(indi[j])^2)), x=0..sqrt(1-(indi[j])^2)): grafo[12+j]:=plot(indi[j]*(1+x/sqrt(1-(indi[j])^2)), x=-sqrt(1-(indi[j])^2)..0): grafo[18+j]:=plot(indi[j]*(-1-x/sqrt(1-(indi[j])^2)), x=-sqrt(1-(indi[j])^2)..0): od: grafo[25]:=plot([(cos(t))^3,(sin(t))^3,t=0..2*Pi], color=blue):

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS # grafo[25] es la gráfica de la astroide display(seq(grafo[k],k=1..25)); Figura 3.8, bruja de Agnesi > with(plots): g1:=plot([2*tan(t),2*(cos(t))^2,t=-1.2..1.2]): # g1 es la Bruja de Agnesi g2:=plot([cos(t),1+sin(t),t=0..2*Pi]): g3:=plot([x,2,x=-5..5]): g4:=plot([x,2*x/3,x=0..3]): g5:=plot([x,8/13,x=0.9231..5]): g6:=plot([3,y,y=0..2],scaling=constrained): g7:=plot([12*t/13,1-5*t/13,t=0..1]): g8:=plot([t,1,t=0..1]): g9:=plot([.2*cos(t),1+.2*sin(t),t=0..(2*Pi-arccos(12/13))]): display([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9]); Figura 3.9, dos formas de general a la cardioide

La figura 3.9 (A) es la imagen 37 (theta= 4.7124) de la animación epiAnimaEjeXporVertice(1,1). El siguiente es el procedimiento en Maple 9 de epiAnimaEjeXporVertice(a,b). > epiAnimaEjeXporVertice:=proc(a,b) local p,x,y,curva,F; if frac(a/b)0 then p:=b*2*Pi else p:=2*Pi end if: x:=t->(a+b)*cos(t)-b*cos((a+b)*t/b): y:=t->(a+b)*sin(t)-b*sin((a+b)*t/b): with(plots): curva:=plot([a*cos(t),a*sin(t),t=0..2*Pi],color=gray): F:=proc(v) plots[display]( plot([x,y,0..v],color=green), plot([(a+b)*cos(v)-b*cos((a+b)*u/b),(a+b)*sin(v)b*sin((a+b)*u/b),u=0..2*Pi*b/(a+b)],color=blue), pointplot([[(a+b)*cos(v)-b*cos((a+b)*v/b), (a+b)*sin(v)-b*sin((a+b)*v/b)]], symbol=circle,symbolsize=6,color=red));

99 end: animate(F,[theta],theta=0..p,background=curva, scaling=constrained,frames=49); end; La figura 3.9 (B) es la imagen 19 (theta=9.4248) de la animación hipoAnimaEjeXporVertice(1,2). El procedimiento correspondiente a esta animación se dio en la figura 3.2. Figura 3.10, generación de cremona de la cardioide > with(plots): for i from 0 to 35 do p[i]:=[cos(Pi*i/18),sin(Pi*i/18)]: g[i]:=plot([p[i]],style=point): od: p[36]:=p[0]: with(plottools,line): inicio:=1: for i from 1 to 5 do g[35+i]:=line(p[inicio],p[inicio*2]); inicio:=inicio*2; od: inicio:=3: for i from 1 to 3 do g[40+i]:=line(p[inicio],p[inicio*2]): inicio:=inicio*2; od: for i from 1 to 2 do g[43+i]:=line(p[5*i],p[10*i]): g[45+i]:=line(p[7*i],p[14*i]): g[47+i]:=line(p[9*i],p[18*i]): od: for i from 5 to 8 do g[45+i]:=line(p[2*i+1],p[4*i+2]): od: for i from 0 to 35 do p[i]:=[cos(-Pi*i/18),sin(-Pi*i/18)]: od:

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS inicio:=1: for i from 1 to 5 do g[53+i]:=line(p[inicio],p[inicio*2]); inicio:=inicio*2; od: inicio:=3: for i from 1 to 3 do g[58+i]:=line(p[inicio],p[inicio*2]): inicio:=inicio*2; od: for i from 1 to 2 do g[61+i]:=line(p[5*i],p[10*i]): g[63+i]:=line(p[7*i],p[14*i]): od: for i from 4 to 8 do g[62+i]:=line(p[2*i+1],p[4*i+2]): od: display(seq(g[k],k=0..70),axes=none); Figura 3.11, la cardioide como envoltura de círculos

> with(plots): g[9]:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],color=blue): for i from 0 to 8 do r:=sqrt((cos(Pi*i/9)+1)^2+(sin(Pi*i/9))^2): g[i]:=plot([r*cos(t)+cos(Pi*i/9),r*sin(t)+sin(Pi*i/9), t=0..2*Pi]): od: for i from 10 to 17 do r:=sqrt((cos(Pi*i/9)+1)^2+(sin(Pi*i/9))^2): g[i]:=plot([r*cos(t)+cos(Pi*i/9),r*sin(t)+sin(Pi*i/9), t=0..2*Pi]): od: display(seq(g[k],k=0..17),scaling=constrained); Figura 3.12 evoluta de la cardioide

101 > # Se dan las ecuaciones paramétricas de la curva > x:=t->2*a*cos(t)-a*cos(2*t); y:=t->2*a*sin(t)-a*sin(2*t); # Se le asigna un valor al parámetro a:=1; > pdx:=D(x); # pdx = primera derivada de x pdy:=D(y); # pdy = primera derivada de y > sdx:=D(D(x)); # sdx = segunda derivada de x sdy:=D(D(y)); # sdy = segunda derivada de y > x2:=x-pdy*((pdx)^2+(pdy)^2)/(pdx*sdy-sdx*pdy); y2:=y+pdx*((pdx)^2+(pdy)^2)/(pdx*sdy-sdx*pdy); > with(plots): # Verificar el dominio del parámetro de curva y su evoluta g1:=plot([x(t),y(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained): g2:=plot([x2(t),y2(t),t=0..2*Pi],color=blue): # Evoluta display([g1,g2]); Figura 3.15, la catenaria > plot([x,cosh(x),x=-2..2],view=[-2.5..2.5,-1.5..4.5], scaling=constrained); Figura 3.17, la cicloide > with(plots): g[1]:=plot([t-sin(t),1-cos(t),t=-2.3562..8.3776], color=green): g[2]:=plot([x,0,x=-2.3562..10],color=plum): g[3]:=plot([8.3776-sin(t),1-cos(t),t=0..2*Pi],color=blue): g[4]:=plot([8.3776-t*sin(8.3776),1-t*cos(8.3776),t=0..1], color=black): g[5]:=plot([[8.3776-sin(8.3776),1-cos(8.3776)]], style=point,symbol=circle): display(seq(g[k],k=1..5),axes=none,scaling=constrained); Figura 3.18, cicloide acortada

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> with(plots): # g1 es la cicloide acortada g1:=plot([2*t-sin(t),2-cos(t),t=Pi..5*Pi],color=green): # g2 es el círculo que rueda g2:=plot([2*(9.9377-sin(t)),2*(1-cos(t)),t=0..2*Pi]): # g3 es el segmento que une el centro del círculo que # rueda con el punto fijo g3:=plot([2*9.9377-t*sin(9.9377),2-t*cos(9.9377),t=0..1], color=blue): # g4 punto fijo al círculo que rueda g4:=plot([[2*9.9377-sin(9.9377),2-cos(9.9377)]], style=point): # g5 es la recta por la que rueda sin resbalar el círculo g5:=plot([x,0,x=6.5..32]): display([g1,g2,g3,g4,g5],scaling=constrained,axes=none); Figura 3.19, cicloide alargada > with(plots): # g1 es la cicloide alargada g1:=plot([2*t-3*sin(t),2-3*cos(t),t=Pi..5*Pi], color=green): # g2 es el círculo que rueda g2:=plot([2*(9.9377-sin(t)),2*(1-cos(t)),t=0..2*Pi]): # g3 es el segmento que une el centro del círculo que # rueda con el punto fijo g3:=plot([2*9.9377-3*t*sin(9.9377),2-3*t*cos(9.9377), t=0..1],color=blue): # g4 punto fijo al círculo que rueda g4:=plot([[2*9.9377-3*sin(9.9377),2-3*cos(9.9377)]], style=point): # g5 es la recta por la que rueda sin resbalar el círculo g5:=plot([x,0,x=6.5..32]): display([g1,g2,g3,g4,g5],scaling=constrained,axes=none); Figura 3.21, círculo > plot([cos(x),sin(x),x=0..2*Pi],view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5], thickness=2);

103 Figura 3.22, punto en la cisoide de las dos curvas respecto al origen > with(plots): g[1]:=plot([[1-1/sqrt(2),1-1/sqrt(2)]],style=point, color=blue): g[2]:=plot([cos(t),sin(t),t=0.6109..0.9599]): g[3]:=plot([x,(x-1)^2+1,x=0.8..1.2]): g[4]:=plot([x,x,x=0..1.1]): display(seq(g[k],k=1..4),axes=none,scaling=constrained); Figura 3.23, cisoide generada por un círculo que se mueve a lo largo de una recta > with(plots): g[1]:=plot([4*t^2/(1+t^2),4*t^3/(1+t^2),t=-1.1..2]): g[2]:=plot([4,t,t=-2.4..6.5]): g[3]:=plot([2+2*cos(t),3+2*sin(t),t=0..2*Pi]): g[4]:=plot([4*t,3*t,t=0..1]): g[5]:=plot([x,3,x=2..4]): display(seq(g[k],k=1..5),scaling=constrained); Figura 3.24, construcción de la cisoide dada por Diocles > with(plots): g[1]:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]): g[2]:=plot([x,(sin(3*Pi/8))*(x+1)/(cos(3*Pi/8)+1), x=-1..0.8]): g[3]:=plot([cos(5*Pi/8),y,y=-1.2..1.2]): g[4]:=plot([x,sqrt(((x+1)^3)/(2-(x+1))),x=-1..0.1]): g[5]:=plot([x,-sqrt(((x+1)^3)/(2-(x+1))),x=-1..0.1]): g[6]:=plot([[cos(5*Pi/8),(sin(3*Pi/8))*(cos(5*Pi/8)+1)/ (cos(3*Pi/8)+1)]],style=point,color=blue): g[7]:=plot([0,y,y=-1.2..1.2]): g[8]:=plot([x,0,x=-1.2..1.4]): display(seq(g[k],k=1..8),scaling=constrained,axes=none); Figura 3.25, construcción de la cisoide dada por Newton

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> with(plots): g[1]:=plot([(2*t^2)/(1+t^2),(2*t^3)/(1+t^2),t=0..2]): g[2]:=plot([1,t,t=0..3]): g[3]:=plot([1+t*cos(Pi+2*arctan(3/4)), 1.5+t*sin(Pi+2*arctan(3/4)),t=0..2]): g[4]:=plot([.44+1.44*t,-.42-.42*t,t=-2..0]): g[5]:=plot([t,0,t=-2.5..1.5]): display(seq(g[k],k=1..5),scaling=constrained); Figura 3.26, construcción de la tangente a un punto P de la cisoide > # Para la construcción de la tangente se emplea la # construcción de la cisoide dada por Newton. # En dicha construcción el punto medio del lado(coral # cuyas ecuaciones paramétricas (x,y) se dan a # continuación) traza la cisoide, en este caso el punto # medio es P=(x(1),y(1)) x:=t->1+t*cos(Pi+2*arctan(3/4)); y:=t->1.5+t*sin(Pi+2*arctan(3/4)); evalf(x(1)); evalf(y(1)); > #Se calcula la intersección D de las normales verde y azul solve((x+1)*sin(Pi+2*arctan(3/4))/cos(Pi+2*arctan(3/4))= 1.5,x); > with(plots): # g[1] rama de la cisoide g[1]:=plot([x,sqrt((x^3)/(2-x)),x=0..1.7],color=violet): # g[2] recta vertical que pasa por x=1 g[2]:=plot([1,t,t=0..3]): # g[3] lado coral de la escuadra. # El punto medio de éste traza la cisoide g[3]:=plot([1+t*cos(Pi+2*arctan(3/4)), 1.5+t*sin(Pi+2*arctan(3/4)),t=0..2], color=coral): # g[4] lado azul claro de la escuadra g[4]:=plot([.44+1.44*t,-.42-.42*t,t=-2..0],color=cyan): # g[5] eje x g[5]:=plot([t,0,t=-2.5..1.5]):

105 # g[6] normal al lado azul claro g[6]:=plot([-1+t*cos(Pi+2*arctan(3/4)), t*sin(Pi+2*arctan(3/4)),t=-2..0],color=blue): # g[7] normal a la recta por la que se desliza lado coral g[7]:=plot([t,1.5,t=-2..1],color=green): with(plottools,line): # g[8] normal al punto P=(.72,.54) de la cisoide g[8]:=line([-.5625,1.5],[.72,.54]): # g[9] tangente al punto P=(.72,.54) de la cisoide g[9]:=plot([.72+.96*t,.54+1.2825*t,t=-1..1],color=brown): display(seq(g[k],k=1..9),scaling=constrained); Figura 3.27, duplicación del cubo con ayuda de la cisoide de Diocles > with(plots): g[1]:=plot([(4*t^2)/(1+t^2),(4*t^3)/(1+t^2),t=-2..2]): g[2]:=plot([2+2*cos(t),2*sin(t),t=0..2*Pi]): g[3]:=plot([4,t,t=-6.5..6.5]): g[4]:=plot([2,t,t=-6.5..6.5]): g[5]:=plot([4-2*t,4*t,t=0..1.6]): g[6]:=plot([2.454*t,3.0919*t,t=0..2]): display(seq(g[k],k=1..6),scaling=constrained); Figura 3.28, la deltoide como envoltura de las rectas de Simpson de un triángulo > # g[1] dibuja un círculo de radio uno con centro en el # origen. # A, B y C son los vértices de un triángulo inscrito # en el círculo de radio uno. En este caso particular # los valores de A, B y C se dan a continuación, # adecuadamente estos valores pueden modificarse. # Se requiere que los lados del triángulo que se # da no sean paralelos a los ejes coordenados. A[1]:=cos(Pi/3);A[2]:=sin(Pi/3); B[1]:=cos(3*Pi/4);B[2]:=sin(3*Pi/4); C[1]:=0;C[2]:=-1; > # P[1,1] punto en el círculo repecto al cual se

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# determina una recta de Simpson correspondiente # al triángulo dado. theta:=arccos(A[1]); P[1,1]:=cos(theta/2);P[1,2]:=sin(theta/2); # Pendientes de las rectas AB, AC y BC. mab:=(B[2]-A[2])/(B[1]-A[1]): mac:=(C[2]-A[2])/(C[1]-A[1]): mbc:=(C[2]-B[2])/(C[1]-B[1]): # Ecuaciones de las rectas AB, AC y BC. Rab:=x->A[2]+(x-A[1])*mab: Rac:=x->A[2]+(x-A[1])*mac: Rbc:=x->B[2]+(x-B[1])*mbc: > # Ecuaciones de las rectas perpendiculares a los # segmentos AB, AC y BC respectivamente que pasan # por el punto P[1]=(P[1,1],P[1,2]). Pab:=x->P[1,2]-(x-P[1,1])/mab: Pac:=x->P[1,2]-(x-P[1,1])/mac: Pbc:=x->P[1,2]-(x-P[1,1])/mbc: # Q1=(xq1,Rab(xq1))es el pie de la perpendicular de P # al lado AB del triángulo. xq1:=solve(A[2]+(x-A[1])*mab=P[1,2]-(x-P[1,1])/mab): xiab:=min(A[1],B[1],xq1): xfab:=max(A[1],B[1],xq1): # Q2=(xq2,Rac(xq2)), Q3=(xq3,Rbc(xq3)) son los pies de # las perpendiculares de P a los lados AC y BC del # triángulo. xq2:=solve(Rac(x)=Pac(x)): xiac:=min(A[1],C[1],xq2): xfac:=max(A[1],C[1],xq2): xq3:=solve(Rbc(x)=Pbc(x)): xibc:=min(B[1],C[1],xq3): xfbc:=max(B[1],C[1],xq3): > # Ecuación de la recta que pasa por Q1 y Q2. RQ12:=x->Rab(xq1)+(x-xq1)*(Rac(xq2)-Rab(xq1))/(xq2-xq1): # RQ12(xq3)=Rbc(xq3), la aparente diferencia entre ellos # se debe al "evalf". Que RQ12(xq3)=Rbc(xq3) significa que # Q3 es colineal con Q1 y Q2. evalf(RQ12(xq3));

107 evalf(Rbc(xq3)); > for i from 2 to 20 do P[i,1]:=cos(theta/2+(i-1)*Pi/10); P[i,2]:=sin(theta/2+(i-1)*Pi/10); x1[i]:=solve(Rab(x)=P[i,2]-(x-P[i,1])/mab); evalf( %); x2[i]:=solve(Rac(x)=P[i,2]-(x-P[i,1])/mac); # R[i] es la recta de Simpson del triángulo ABC con # respecto al punto P[i]=[P[i,1],P[i,2]]. R[i]:=Rab(x1[i])+ (x-x1[i])*(Rac(x2[i])-Rab(x1[i]))/(x2[i]-x1[i]); evalf(Rab(x1[i])); evalf((Rac(x2[i])-Rab(x1[i]))/(x2[i]-x1[i])); # g[i] dibuja la recta R[i]. g[i]:=plot([x,R[i](x),x=-2..2],x=-2..2,y=-2..2, color=cyan): od: > # Círculo de los nueve puntos. # E, F y G son los puntos medios de los lados del # triángulo ABC. E[1]:=(B[1]+C[1])/2: E[2]:=(B[2]+C[2])/2: F[1]:=(A[1]+C[1])/2: F[2]:=(A[2]+C[2])/2: G[1]:=(A[1]+B[1])/2: G[2]:=(A[2]+B[2])/2: # A continuación se determinan el centro y radio del # círculo que pasa por E, F y G. xpmgf:=(G[1]+F[1])/2: ypmgf:=(G[2]+F[2])/2: xpmef:=(E[1]+F[1])/2: ypmef:=(E[2]+F[2])/2: medgf:=x->ypmgf-(x-xpmgf)/mbc: medef:=x->ypmef-(x-xpmef)/mab: xcentro:=solve(medgf(x)=medef(x)): radio:=sqrt((E[1]-xcentro)^2+(E[2]-medgf(xcentro))^2): # A continuación se determinan J, K y L, los puntos de # intersección de las alturas del triángulo ABC con los

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS

# lados. xj:=solve(Rab(x)=C[2]-(x-C[1])/mab): xk:=solve(Rbc(x)=A[2]-(x-A[1])/mbc): xl:=solve(Rac(x)=B[2]-(x-B[1])/mac): # Se determinan H, M y N, los puntos medios de los # segmentos que unen el ortocentro con los vértices # del triángulo ABC. xortocentro:=solve(C[2]-(x-C[1])/mab=A[2]-(x-A[1])/mbc): yortocentro:=A[2]-(xortocentro-A[1])/mbc: xh:=(xortocentro+A[1])/2: yh:=(yortocentro+A[2])/2: xm:=(xortocentro+B[1])/2: ym:=(yortocentro+B[2])/2: xn:=(xortocentro+C[1])/2: yn:=(yortocentro+C[2])/2: > with(plots): with(plottools,line): # g[1] dibuja un círculo. g[1]:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]): # g[21], g[22] y g[23] dibujan los segmentos AB, AC y BC. # que incluyen respectivamente a Q1, Q2 y Q3. g[21]:=line([xiab,Rab(xiab)],[xfab,Rab(xfab)]): g[22]:=line([xiac,Rac(xiac)],[xfac,Rac(xfac)]): g[23]:=line([xibc,Rbc(xibc)],[xfbc,Rbc(xfbc)]): # g[24] dibuja los pies de las perpendiculares de P a los # lados del triángulo, es decir, Q1, Q2 y Q3. g[24]:=plot([[xq1,Rab(xq1)],[xq2,Rac(xq2)],[xq3,Rbc(xq3)]], style=point): # g[25], g[26] y g[27] dibujan los segmentos que unen # Q1, Q2 y Q3 con P[1]=[P[1,1],P[1,2]]. g[25]:=line([P[1,1],P[1,2]],[xq1,Rab(xq1)]): g[26]:=line([P[1,1],P[1,2]],[xq2,Rac(xq2)]): g[27]:=line([P[1,1],P[1,2]],[xq3,Rbc(xq3)]): # g[28] es la recta que pasa por Q1, Q2 y Q3. g[28]:=plot([x,RQ12(x),x=-2..1]): # g[29] dibuja los puntos medios de los lados del triangulo. g[29]:=plot([[E[1],E[2]],[F[1],F[2]],[G[1],G[2]]], style=point,color=blue):

109 # g[30] es el círculo de los nueve puntos. g[30]:=plot([xcentro+radio*cos(t),medgf(xcentro) +radio*sin(t),t=0..2*Pi]): # g[31] J, K y L,puntos de intersección de las alturas con # los lados de ABC. g[31]:=plot([[xj,Rab(xj)],[xk,Rbc(xk)],[xl,Rac(xl)]], style=point,color=coral): # g[32] H, M y N, puntos medios de los segmentos que unen # el ortocentro con los vértices de ABC. g[32]:=plot([[xh,yh],[xm,ym],[xn,yn]],style=point, color=violet): # g[33] dibuja el círculo en el que esta contenida la # deltoide. g[33]:=plot([xcentro+3*radio*cos(t),medgf(xcentro) +3*radio*sin(t),t=0..2*Pi]): display(seq(g[k],k=1..33),scaling=constrained); Figura 3.29, deltoide generada por rectas > for i from 0 to 35 do P[i,1]:=cos(i*Pi/18); P[i,2]:=sin(i*Pi/18); od: > for i from 0 to 35 do Q[i,1]:=cos(Pi-i*Pi/9); Q[i,2]:=sin(Pi-i*Pi/9); od: > # Los puntos P y Q 6, 18 y 30 coinciden, por eso no se # graficaron las rectas que los unen. with(plots): for i from 0 to 5 do g[i]:=plot([x,P[i,2]+(x-P[i,1])*(Q[i,2]-P[i,2])/ (Q[i,1]-P[i,1]),x=-2..3.5]): od: for i from 7 to 17 do g[i-1]:=plot([x,P[i,2]+(x-P[i,1])*(Q[i,2]-P[i,2])/ (Q[i,1]-P[i,1]),x=-2..3.5],x=-2.5..3.2, y=-3.2..3.2):

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS od: for i from 19 to 29 do g[i-2]:=plot([x,P[i,2]+(x-P[i,1])*(Q[i,2]-P[i,2])/ (Q[i,1]-P[i,1]),x=-2..3.5],x=-2.5..3.2, y=-3.2..3.2): od: for i from 31 to 35 do g[i-3]:=plot([x,P[i,2]+(x-P[i,1])*(Q[i,2]-P[i,2])/ (Q[i,1]-P[i,1]),x=-2..3.5],x=-2.5..3.2, y=-3.2..3.2): od: g[33]:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]): display(seq(g[k],k=0..33),scaling=constrained); Figura 3.30, propiedades de la deltoide

> y1:=x->sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2+sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3)); y2:=x->-sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2+sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3)); y3:=x->sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2-sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3)); y4:=x->-sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2-sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3)); > dy1:=D(y1); dy2:=D(y2); dy3:=D(y3); dy4:=D(y4); > a:=1; # P=(1,y1(1))=(1,sqrt(10*sqrt(5)-22)) # dy1(1)=(-7+3*sqrt(5))/sqrt(10*sqrt(5)-22) y1(1); dy1(1); > # La siguiente es la ecuación cartesiana de la # tangente al punto P de la deltoide. ytp:=x->sqrt(10*sqrt(5)-22)+(x-1)*dy1(1); > # E=(xe,y3(xe)) y H=(xh,y2(xh)) son las intersección de # la tangente ytp con la deltoide. xe:=solve(sqrt(10*sqrt(5)-22)+(x-1)*(-7+3*sqrt(5))/ sqrt(10*sqrt(5)-22)= sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2-sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3))); xh:=solve(sqrt(10*sqrt(5)-22)+(x-1)*(-7+3*sqrt(5))/

111 sqrt(10*sqrt(5)-22)= -sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2+sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3))); > # Ecuaciones de las tangentes a los puntos # E y H de la deltoide yte:=x->y3(xe)+(x-xe)*dy3(xe); yth:=x->y2(xh)+(x-xh)*dy2(xh); # El producto de las pendientes de yte y yth # es igual a -1 (la aparente diferencia de # este producto con -1 se debe al evalf), por # lo que yte y ytp se encuentran en ángulo # recto. evalf(dy3(xe)*dy2(xh)); # K=(xk,yte(xk)) es el punto donde se intersectan # yte y yth. xk:=solve(yte(x)=yth(x)): # La norma de K es uno (la aparente diferencia de # de la norma de K con uno es por el evalf), lo que # significa que K esta en el círculo que esta inscrito # en la deltoide. evalf(sqrt(xk^2+(yte(xk))^2)); > # ynE, ynH, ynP son las ecuaciones de las normales a los # puntos de la deltoide E, H, P respectivamente. ynE:=x->y3(xe)-(x-xe)/dy3(xe); ynH:=x->y2(xh)-(x-xh)/dy2(xh); ynP:=x->y1(1)-(x-1)/dy1(1); > # Se verifica que las normales ynE, ynH, ynP son # concurrentes, es decir, que se intersectan en # C=(xc,yc) y que este punto esta en el círculo # que contiene al tricúspide.La instrucción evalf # origina aparentes pequeñas diferencias con respecto # a los valores reales. xc:=evalf(solve(ynE(x)=ynP(x),x)); yc:=evalf(ynP(xc)); evalf(ynE(xc)); evalf(ynH(xc)); sqrt(xc^2+yc^2); > # Se verifica que la longitud de EH es 4a. longitud:=evalf(sqrt((xh-xe)^2+(y2(xh)-y3(xe))^2));

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS

> # D=(xd,yd) es el punto medio del segmento EH. Se verifica # que D esta en el círculo que esta contenido en el del# toide. Se puede verificar que yd=sqrt(sqrt(5)/2-.5) y # que D esta en el círculo de radio uno con centro en el # origen. xd:=(xe+xh)/2;yd:=ytp(xd); evalf(sqrt(xd^2+yd^2)); > # J=(xj,ytp(xj)) es la intersección de la tangente ytp y # el círculo que esta contenido en la deltoide. Sea rj la # recta que pasa por J y es perpendicular a ytp, esta # recta debe ser tangente a la deltoide. Como al determinar # donde se intersectan rj y la deltoide se obtiene una # única solución Q, rj resulta ser tangente a la deltoide. # Otra forma de verificar que rj y la deltoide son tan# gentes es comprobar que la pendiente de rj es igual a # la derivada de la deltoide valuada en Q. S:=solve(sqrt(10*sqrt(5)-22)+(x-1)*(-7+3*sqrt(5))/ sqrt(10*sqrt(5)-22)=sqrt(1-x^2)); > xj:=sqrt(5)-2; ytp(xj); rj:=x->ytp(xj)-(x-xj)*sqrt(10*sqrt(5)-22)/(-7+3*sqrt(5)); Q:=solve((14-6*sqrt(5))/sqrt(-22+10*sqrt(5))(x-(sqrt(5)-2))*sqrt(10*sqrt(5)-22)/(-7+3*sqrt(5)) =-sqrt(-x^2-12*a*x-9*a^2-sqrt(4*a*(2*x+3*a)^3))); evalf(-sqrt(10*sqrt(5)-22)/(-7+3*sqrt(5))); evalf(dy4(Q)); > with(plots): g[1]:=plot([x,y1(x),x=-1.5..3],color=violet): g[2]:=plot([x,y2(x),x=-1.5..3]): g[3]:=plot([x,y3(x),x=-1.5..-1],color=blue): g[4]:=plot([x,y4(x),x=-1.5..-1],color=green): g[5]:=plot([x,ytp(x),x=-2..3]): g[6]:=plot([x,ynE(x),x=-2..3]): g[7]:=plot([x,ynH(x),x=1.6..3]): g[8]:=plot([x,ynP(x),x=0..2.4]): g[9]:=plot([3*cos(t),3*sin(t),t=0..2*Pi]): g[10]:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]): g[11]:=plot([[xd,yd]],style=point,color=blue):

113 g[12]:=plot([x,rj(x),x=-2..1.5]): g[13]:=plot([x,yte(x),x=-1.5..0],color=cyan): g[14]:=plot([x,yth(x),x=-1..3],color=cyan): display(seq(g[k],k=1..14),scaling=constrained); Figura 3.31, evoluta de la deltoide > # Se dan las ecuaciones paramétricas de la curva > x:=t->2*a*cos(t)+a*cos(2*t); y:=t->2*a*sin(t)-a*sin(2*t); # Se le asigna un valor al parámetro a:=1; > pdx:=D(x); # pdx = primera derivada de x pdy:=D(y); # pdy = primera derivada de y > sdx:=D(D(x)); # sdx = segunda derivada de x sdy:=D(D(y)); # sdy = segunda derivada de y > x2:=x-pdy*((pdx)^2+(pdy)^2)/(pdx*sdy-sdx*pdy); y2:=y+pdx*((pdx)^2+(pdy)^2)/(pdx*sdy-sdx*pdy); > with(plots): # Verificar el dominio del parámetro de curva y su evoluta g1:=plot([x(t),y(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained): g2:=plot([x2(t),y2(t),t=0..2*Pi],color=blue): # Evoluta display([g1,g2]); Figura 3.32, deltoide rotor > with(plots): g1:=plot([32*(cos(t))^3,32*(sin(t))^3,t=0..2*Pi], thickness=2): g2:=plot([8+16*cos(t)+8*cos(2*t),16*sin(t)-8*sin(2*t), t=0..2*Pi]): display([g1,g2]); Figura 3.34, dos formas de generar una epicicloide La figura 3.34 (A), epicicloide, es la imagen 45 (theta = 11.519) de la animación epiAnimaEjeXporVertice(3,2), cuyo procedimiento se dio en la figura 3.9. La figura 3.34 (B), generación doble de la epicicloide, es la imagen 23 (theta = 28.798) de la animación hipoAnimaEjeXporVertice(3,5), el procedimiento correspondiente se dio en la figura 3.2.

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS Figura 3.35, dos formas de generar una hipocicloide

La figura 3.35 (A), hipocicloide, es la imagen 24 (theta = 11.519) de la animación hipoAnimaEjeXporVertice(7,2), cuyo procedimiento se dio en la figura 3.9. La figura 3.35 (B), generación doble de la hipocicloide, es la imagen 24 (theta = 28.798) de la animación hipoAnimaEjeXporVertice(7,5), el procedimiento correspondiente se dio en la figura 3.2. Figura 3.36, una rama de la espiral de Arquímedes > with(plots): polarplot(2*t,t=0..18.85,scaling=constrained); Figura 3.37, espiral de Arquímedes > with(plots): polarplot(t,t=-8..8,scaling=constrained); Figura 3.39, espiral de Cornu > x:=t->int(cos((v^2)/(2*a)),v=0..t); > y:=t->int(sin((v^2)/(2*a)),v=0..t); > a:=.2; with(plots): g1:=plot([x(t),y(t),t=0..2.45]): g2:=plot([-x(t),-y(t),t=0..2.45]): display([g1,g2],scaling=constrained); Figura 3.40, espiral equiángular > with(plots): polarplot((exp(t*cot(5*Pi/12)))/144,t=0..15.708, scaling=constrained); Figura 3.41, pentágono

115 > xintersec:=solve(sqrt(1-(x-1)^2)= sqrt(((1+sqrt(5))/2)^2-x^2),x); evalf( %); yintersec:=sqrt(1-(xintersec-1)^2); evalf( %); y2:=yintersec+sqrt(1-(.5-xintersec)^2); evalf( %); > with(plots): with(plottools,line): g1:=plot([x,0,x=0..1]): g2:=plot([x,x/2,x=0..2]): g3:=plot([1+cos(t),sin(t),t=0.4..Pi/2],color=green): g4:=plot([(1+sqrt(5))*cos(t)/2, (1+sqrt(5))*sin(t)/2,t=0.4..Pi/2],color=blue): g5:=line([0,0],[xintersec,yintersec]): g6:=line([1,0],[xintersec,yintersec]): g7:=line([xintersec,yintersec],[0.5,y2]): g8:=line([0.5,y2],[1-xintersec,yintersec]): g9:=line([1-xintersec,yintersec],[0,0]): g10:=plot([1,y,y=0..0.5]): display([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9,g10], scaling=constrained,axes=none); Figura 3.43, espiral equiángular > with(plots): g1:=plot([(cos(t))*exp(t*cot(5*Pi/12)), (sin(t))*exp(t*cot(5*Pi/12)),t=0..3*Pi]): g2:=plot([t*(cos(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3), t*(sin(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3),t=0..1]): g3:=plot([(cos(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+ t*cos(3*Pi/4),(sin(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3) +t*sin(3*Pi/4),t=-4..4]): g4:=plot([(cos(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+2*cos(t), (sin(7*Pi/3))*exp(7*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+2*sin(t), t=4*Pi/3..7*Pi/4]): g5:=plot([t*(cos(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3), t*(sin(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3),t=0..1]):

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS g6:=plot([(cos(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+ t*cos(Pi/12),(sin(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3), +t*sin(Pi/12)t=-4..4]): g7:=plot([(cos(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+2*cos(t), (sin(8*Pi/3))*exp(8*Pi*cot(5*Pi/12)/3)+2*sin(t), t=-Pi/3..Pi/12]): display([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7],scaling=constrained); Figura 3.44, espiral equiángular con longitud de los sucesivos radio vectores 0R0 = φ0 , 0R1 = φ1 , 0R2 = φ2 ,...

> # Las siguientes son las ecuaciones paramétricas de la # espiral equiángular x:=t->(cos(t))*exp(4*t/((1+sqrt(5))^2)); y:=t->(sin(t))*exp(4*t/((1+sqrt(5))^2)); > # La ecuación polar de la espiral equiángular anterior # es r=exp(4*t/((1+sqrt(5))^2)) tau:=(1+sqrt(5))/2; t1:=solve(exp(4*t/((1+sqrt(5))^2))=tau); t2:=solve(exp(4*t/((1+sqrt(5))^2))=tau^2); t3:=solve(exp(4*t/((1+sqrt(5))^2))=tau^3); t4:=solve(exp(4*t/((1+sqrt(5))^2))=tau^4); > with(plots): with(plottools,line): g1:=plot([x(t),y(t),t=0..t4]): g2:=line([0,0],[x(t1),y(t1)]): g3:=line([0,0],[x(t2),y(t2)]): g4:=line([0,0],[x(t3),y(t3)]): g5:=line([0,0],[x(t4),y(t4)]): display([g1,g2,g3,g4,g5],scaling=constrained); Figura 3.45, espiral equiángular derivada de un rectángulo áureo > tau:=(1+sqrt(5))/2; with(plots): with(plottools,line): g1:=polarplot(exp(t*2*ln((1+sqrt(5))/2)/Pi),t=0..29*Pi/8): g2:=line([1,tau],[-tau^2,tau]):

117 g3:=line([-tau^2,tau],[-tau^2,-tau^3]): g4:=line([-tau^2,-tau^3],[1,-tau^3]): g5:=line([1,-tau^3],[1,tau]): g6:=line([tau^4,tau^5],[-tau^6,tau^5]): g7:=line([-tau^6,tau^5],[-tau^6,-tau^7]): g8:=line([-tau^6,-tau^7],[tau^4,-tau^7]): g9:=line([tau^4,-tau^7],[tau^4,tau^5]): display([g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9],scaling=constrained); Figura 3.46, inversa de la espiral equiangular > with(plots): g1:=polarplot(exp(-t*cot(5*Pi/12)),t=-Pi..5): g2:=polarplot(exp(t*cot(5*Pi/12)),t=-5..Pi,color=green, thickness=2): g3:=polarplot(1,t=0..2*Pi,color=cyan): display([g1,g2,g3]); Figura 3.47, espiral de Fermat > with(plots): g1:=polarplot(t^.5,t=0..3*Pi): g2:=polarplot(-(t^.5),t=0..3*Pi): display([g1,g2],scaling=constrained); Figura 3.48, espiral hiperbólica o reciproca > with(plots): g1:=polarplot(2/t,t=-13*Pi/4..-Pi/4): g2:=polarplot(2/t,t=Pi/4..13*Pi/4): display([g1,g2],scaling=constrained); Figura 3.49, espiral hiperbólica y su asíntota > r:=t->a/t; > a:=2; > with(plots): g1:=polarplot(r(t),t=-13*Pi/4..-0.55): g2:=polarplot(r(t),t=0.55..13*Pi/4): g3:=plot([t,a,t=-3.1..3.1]): display([g1,g2,g3],scaling=constrained);

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS Figura 3.50, lituus

> with(plots): g1:=plot([2*cos(t)/sqrt(t),2*sin(t)/sqrt(t), t=Pi/36..21*Pi/4]): g2:=plot([t*cos(Pi/6),t*sin(Pi/6),t=0..2/sqrt(Pi/6)]): g3:=plot([(sqrt(24/Pi))*cos(t),(sqrt(24/Pi))*sin(t), t=0..Pi/6]): display([g1,g2,g3],scaling=constrained); Figura 3.51, óvalos de Cassini > with(plots): # Cuando Maple gráfica g1 por alguna razón que # desconozco no dibuja la parte central de la gráfica. # La misma ecuación polar con t en el mismo intervalo # de valores (t entre -Pi y Pi) en Scientific # WorkPlace traza la gráfica completa. g1:=polarplot(sqrt(2*cos(2*t)),t=-Pi..Pi): # g2 es la gráfica de la ecuación polar de los ovalos de # Cassini con parámetros a=1 y c=1.5 g2:=polarplot(sqrt(cos(2*t)+sqrt(1.5^4-1+(cos(2*t))^2)), t=-Pi..Pi,color=violet): # g3 es la gráfica de la ecuación polar de los ovalos de # Cassini con a=1 y c=1.2 g3:=polarplot(sqrt(cos(2*t)+sqrt(1.2^4-1+(cos(2*t))^2)), t=-Pi..Pi,color=cyan): # g4 y g5 son las gráficas azul fuerte y verde # respectivamente de la ecuación polar de los ovalos # de Casini con parámetros a=1 y c=0.9, en Scientific # WorkPlace, las mismas ecuaciónes # con t en el mismo intervalo de valores da gráficas # continuas, sin huecos. g4:=polarplot(sqrt(cos(2*t)+sqrt(.9^4-1+(cos(2*t))^2)), t=-Pi..Pi,color=blue): g5:=polarplot(sqrt(cos(2*t)-sqrt(.9^4-1+(cos(2*t))^2)), t=-Pi..Pi,color=green): g6:=plot([[-1,0],[1,0]],style=point): # Focos display([g1,g2,g3,g4,g5,g6],scaling=constrained);

119 Figura 3.52, tractriz > x:=t->a*ln(sec(t)+tan(t))-a*sin(t); y:=t->a*cos(t); > a:=1; x(1.1);y(1.1); # Sabemos que la tangente a la tractriz en el punto # P=(x(1.1),y(1.1))=(x(1.1),a*cos(1.1)) # tiene pendiente -y(1.1)/sqrt(a^2-((y(1.1))^2) # # y=a*cos(t) entonces sqrt(a^2-((y(1.1))^2)=a*sin(1.1) # # Así la tangente a la tractriz en el punto (x(1.1),y(1.1)) # tiene como vector de dirección a (a*sin(1.1),-a*cos(1.1)). # El punto en donde la tangente corta el eje x es: # # A=(x’,0)=(x(1.1),a*cos(1.1))+t”(a*sin(1.1),-a*cos(1.1)) # # De donde resulta que t”=1 # # Q=(x(1.1),a*cos(1.1))+t’(a*sin(1.1),-a*cos(1.1)) # Q=(a*ln(sec(1.1)+tan(1.1)-a*sin(1.1)+t’*a*sin(1.1), # a*cos(1.1)-t’*a*cos(1.1)) # # Si t’=0, Q=P y si t’=1, Q=A. Así que si en la # ecuación de la tangente t’ se mueve entre cero # y uno dibujamos el segmento que va de P a Q > with(plots): g1:=plot([x(t),y(t),t=-1.4..1.4]): g2:=plot([[x(1.1),y(1.1)]]): g3:=plot([ln(sec(1.1)+tan(1.1))-sin(1.1)+t*sin(1.1), cos(1.1)-t*cos(1.1),t=0..1]): g4:=plot([x(1.1),y,y=0..y(1.1)]): display([g1,g2,g3,g4],scaling=constrained); Figura 3.53, tractriz y catenaria

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APÉNDICE A. CÓDIGO EN MAPLE 9 DE LAS GRÁFICAS

> # rectas verticales for i from 1 to 10 do g[i]:=plot([.3+(i-1)*.6,x,x=0..12],scaling=constrained): od: > # cuartos de círculo for i from 1 to 8 do g[i+10]:=plot([1.8+(i-1)*.6+2.7*cos(t),2.7*sin(t), t=Pi/2..Pi],scaling=constrained): od: > # de los siguientes dos círculos sólo se dibuja hasta # donde cortan estos al eje y g[19]:=plot([1.2+2.7*cos(t),2.7*sin(t), t=Pi/2..arccos(-1.2/2.7)]): g[20]:=plot([.6+2.7*cos(t),2.7*sin(t), t=Pi/2..arccos(-.6/2.7)]): > # P[1] es un punto de la catenaria con parámetro a=2.7 P[1]:=[5.7,2.7*cosh(5.7/2.7)]: > # T[0] punto en que la recta P[1]T[0] es tangente al # círculo con centro en el punto al que se nombro "0" t0:=arccos(2.7/sqrt((.3)^2+(P[1][2])^2))+ arccos(-1/sqrt(1+(P[1][2]/.3)^2)): T[0]:=[6+2.7*cos(t0),2.7*sin(t0)]: > with(plottools,line): g[21]:=line(P[1],T[0]): g[22]:=line([-5.7,2.7*cosh(5.7/2.7)], [-6-2.7*cos(t0),2.7*sin(t0)]): > u[0]:=-arccos((T[0][1]-P[1][1])/sqrt((T[0][1]-P[1][1])^2+ (T[0][2]-P[1][2])^2)): for i from 0 to 8 do radio[i]:=sqrt((T[2*i][1]-P[2*i+1][1])^2+ (T[2*i][2]-P[2*i+1][2])^2): f[i]:=x->P[2*i+1][2]-sqrt(radio[i]^2-(x-P[2*i+1][1])^2): h[i]:=x->sqrt(2.7^2-(x-5.4+.6*i)^2): S:=solve(sqrt(2.7^2-(x-5.4+.6*i)^2)=P[2*i+1][2]sqrt(radio[i]^2-(x-P[2*i+1][1])^2)): if S[1]T[2*(i+1)][2]+(P[2*i+1][2]-T[2*(i+1)][2])* (x-T[2*(i+1)][1])/(P[2*i+1][1]-T[2*(i+1)][1]): P[2*(i+1)+1][1]:=5.1-.6*i: P[2*(i+1)+1][2]:=r[i](P[2*(i+1)+1][1]): g[23+i]:=line([P[2*i+1][1],P[2*i+1][2]], [T[2*(i+1)][1],T[2*(i+1)][2]]): g[32+i]:=line([-P[2*i+1][1],P[2*i+1][2]], [-T[2*(i+1)][1],T[2*(i+1)][2]]): u[2*(i+1)]:=-arccos((T[2*(i+1)][1]-P[2*i+1][1])/radio[i]): g[41+i]:=plot([P[2*i+1][1]+radio[i]*cos(t),P[2*i+1][2]+ radio[i]*sin(t),t=u[2*(i+1)]..u[2*i]]): g[50+i]:=plot([-P[2*i+1][1]+radio[i]*cos(t),P[2*i+1][2]+ radio[i]*sin(t),t=Pi-u[2*i]..Pi-u[2*(i+1)]]): od: > with(plots): display(seq(g[k],k=1..58));