“Geometría y Arte”
Didáctica de la Geometría en Educación Secundaria Mª Encarnación Reyes. ETS Arquitectura. Universidad de Valladolid Facultad de Educación Valladolid, Febrero 2007
Proporciones
Proporciones
Otras: Cordobesa, Plástica…
Proporciones
i
Segmento Áureo Definición: Se dice que un segmento AB está dividido según la proporción áurea o divina si la relación entre la parte mayor y la parte menor es igual a la relación entre el todo y la mayor.
c A
C
a
b
B
2
a a +b a ⎛ a⎞ 2 2 = ⇔ a = ab + b ⇒ ⎜ ⎟ − − 1 = 0 ⎝ b⎠ b a b a Llamando x = b
, tenemos
1+ 5 Denotamos por φ = 2
x − x −1= 0 2
y
φ'=
1− 5 2
b≠0 y x=
1± 5 . 2
las soluciones obtenidas
El número se llamó número de oro; Fue MARK BARR quien propuso esta notación en honor a FIDIAS (PHEIDIAS), escultor griego que utilizó números de oro en sus obras.
CONSTRUCCION EFECTIVA DE LA DIVISON ÁUREA DE AB
r s (a+b)/2
D
E
A
a
C
b
B
Proporción en un rectángulo Definición: Dado un rectángulo de lados a y b, se define la proporción del rectángulo como
max (a , b) p( a , b) = min(a , b) Propiedades de la proporción de un rectángulo (1) (2)
p( a , b ) ≥ 1
y
p(a , b) = 1
p( λa , λb) = p( a , b),
λ
corresponde al cuadrado.
> 0, es decir, la proporción en un
rectángulo es invariante por homotecias y semejanzas. (3) La proporción de un rectángulo coincide con la proporción de sus rectángulos recíprocos externos e internos.
Rectángulos recíprocos externos
Los rectángulos R1 y R2 tienen la misma proporción que el rectángulo R inicial. R’ no posee la misma proporción, pero el rectángulo total sí.
Rectángulos recíprocos internos La proporción de un rectángulo es igual a la proporción de sus rectángulos recíprocos internos. La construcción de los rectángulos recíprocos internos se efectúa de la siguiente forma: Trazamos desde C (resp. B) la perpendicular a la diagonal DB (resp.AC) y así obtenemos uno de ellos, el de la derecha. Desde D (resp.A) trazamos la perpendicular a AC (resp. DB), obteniendo el rectángulo recíproco de la izquierda. A
F'
F
B β
AB BC cot anα = = cot anβ = AD FB α
D
E'
E
C
Rectángulo áureo Definición: Un rectángulo de lados a y b se dice con proporción divina o áurea si:
p ( a, b) = φ
A partir de un cuadrado podemos obtener una sucesión decreciente de rectángulos en proporción áurea y otra sucesión creciente de rectángulos en proporción áurea. El rectángulo BQPC también es áureo. Basta observar que: B
Q
QP a 1 = = =φ CP aφ − a φ − 1
A
a
I F
E K
φ 2 = φ + 1 ⇒ φ (φ − 1) = 1 P
C
D
Proporciones 50, 31, 19, 12, 7, 5, ... Taza gigante volante con anexo inexplicable de cinco metros de longitud. (1944-1945) Salvador Dalí (1904-1989)
Taza gigante 2 A i +1 a i +1 2 volante con =anexo = φ 2 A a i + 2 dei + 2 a i inexplicable = φ metros de cinco a i +1longitud (1944-1945) D i +1 =φ D i+2
Salvador Dalí (1904-1989)
Rectángulo de plata
θ = 1+ 1
2
2
Rectángulo de plata
Palacio de Santa Cruz. Valladolid Proporción de plata en la fachada. Los dos cuadrados contenidos en el rectángulo de plata determinan la colocación del balcón y de la balaustrada superior que remata la cornisa.
Rectángulo de plata y DIN Si se extrae un cuadrado de un rectángulo en proporción raíz de dos, se obtiene un rectángulo de plata.
1 =1+ 2 =θ 2 −1
Rectángulo de plata
El Rectángulo de plata puede descomponerse en dos cuadrados y un rectángulo de plata
θ = 1 + 2 = 2 + ( 2 − 1)
Número plástico
La solución real, P, de la ecuación
x = 1+ x 3
se llama número plástico Si representamos en3el plano la curva y = x y la recta y = x + 1 se observa que se intersecan en un único punto P de abcisa comprendida entre 1 y 2.
Números áureo y plástico El rectángulo áureo es el único en el cual la prolongación de una diagonal contiene el vértice del mismo rectángulo adyacente colocado verticalmente al lado. En efecto:
1 φ φ tan α = = 2 = φ φ 1+ φ
ϕ
Si tenemos un rectángulo de lados a y b (a>b) que verifica
1
α
b a = a a+b
ϕ
1
entonces
b a tan α = = a a+b ab + b 2 − a 2 = 0 ⇔ a − ab − b = 0 ⇔ 2
2
b
a b
a =φ b
b a
α
ab
ba
Número plástico Versión tridimensional de la propiedad anterior.
Número plástico
Proporciones
Proporción poligonal
Proporciones en el hexágono
Proporciones en el octógono
Proporciones en el octógono
Proporciones en el hexágonos encajados
Proporciones en las estrellas |6/2| A1 = L2
A2 = L3 ....... Ai = Li+1 ....
A n +1 L n + 2 1 = = An L n +1 3
Proporciones en octógonos encajados
La sucesión se forma a partir del octógono exterior trazando el polígono estrellado 8/3. Se repite el proceso.
L n +1 1 = Ln θ
Proporciones en las estrellas |8/3|
La sucesión de estrellas |8/3| verifica:
An =θ A n +1 θ es el número de plata
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