TEMA 2. CONCEPTOS DIDÁCTICA DE LA BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA PLANO GEOMETRÍA Y LADEL MEDIDA

TEMA 2 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO

5.1. INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. 5.2. ELEMENTOS BÁSICOS. 5.3 POLÍGONOS. 5.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. 5.5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 5.6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 5.7 CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO

5.1. INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. 5.2. ELEMENTOS BÁSICOS. 5.3 POLÍGONOS. 5.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. 5.5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 5.6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 5.7 CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. Euclides de Alejandría, unos 300 años a.C., propuso un tratamiento de la matemática conocida en ese entonces, basándose en definiciones, postulados y nociones comunes a partir de los cuales se deducen los resultados. Euclides presenta cinco postulados (o axiomas): I. Dados dos puntos distintos se puede trazar una recta por ellos. II. Una (fragmento de) línea recta se puede extender indefinidamente. III. Dados dos puntos, se puede trazar una circunferencia con centro en uno y que contenga al otro. IV. Todos los ángulos rectos son iguales. V. Si una recta corta a otras dos formando ángulos correspondientes internos que sumen menos de dos ángulos rectos, estas dos rectas (extendidas indefinidamente) se cortan en un punto que está del mismo lado donde los ángulos correspondientes suman menos de dos rectos. 4

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA.

El quinto postulado se conoce como de las paralelas, ya que tiene la formulación equivalente, a veces llamada de Playfair (1748–1819), pero ya formulada por Proclo «el sucesor» (412–485): Dados una recta y un punto no en ella, se puede trazar una única paralela a la recta que pasa por el punto. Los matemáticos realizaron esfuerzos durante siglos tratando de demostrar que el postulado de las paralelas se deduce de los otros postulados y nociones comunes. El mismo Euclides posterga el uso de este axioma lo más posible (hasta la proposición I.29), aún cuando ciertas demostraciones anteriores se podrían simplificar con su uso. N. Lobachevsky en 1829 y J. Bolyai en 1832, publicaron independientemente geometrías en el que este quinto postulado se reemplaza por otro, demostrando así la independencia del postulado de las paralelas respecto de los otros axiomas en Euclides. 5

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Si bien no influenció directamente sobre la axiomática, un avance profundo en la geometría lo produjo Descartes (1596–1650) en La géométrie [3], la tercera parte de su Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences, publicado en 1637. La introducción de coordenadas permitió la reducción de los problemas de geometría al estudio de ecuaciones y facilitó el establecimiento del análisis matemático. Su contribución al tratamiento de semejanzas también fue importante, permitiendo simplificar demostraciones de Euclides (con las técnicas de Euclides). 7

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5.1. INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. 5.2. ELEMENTOS BÁSICOS. 5.3 POLÍGONOS. 5.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. 5.5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 5.6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 5.7 CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ELEMENTOS BÁSICOS. Los elementos de Euclides Libro 1 1 Un punto es aquello que no tiene partes. 2 Una línea es una longitud sin anchura. 3. Los extremos de una línea son puntos. 4. Una recta es una línea que yace por igual entre sus extremos. 5. Una superficie es aquello que tiene solo longitud y anchura. 6. Los extremos de una superficie son lineas. 7. Una superficie plana es la que yace por igual entre sus extremos. 8. Un ángulo plano es la inclinación de dos líneas, una con otra, en el plano que las contiene, pero que no están en la misma dirección. 9

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ELEMENTOS BÁSICOS. Coordenadas en el plano. Punto dadas sus coordenadas. Vector fijo: segmento orientado que va desde un punto, A, llamado origen, a otro punto, B, llamado extremo. Sus características son: ●

Punto de aplicación: origen.

●

Módulo: lo que mide.

●

Dirección: recta que lo contiene.

●

Sentido: hacia un lado u otro de la dirección, suponiendo que nos movemos desde el origen al extremo por la dirección.

Relación de equipolencia: dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. La relación de equipolencia es de equivalencia,

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ELEMENTOS BÁSICOS. Vector libre: El conjunto de los vectores libres es el conjunto de los vectores fijos con la relación de equipolencia:

V 2 = (Vect fijos , Equipolencia )

●

Usando coordenadas:

Si A( a1 , b1 ) y B( a2 , b2 ) entonces ⃗ AB=(a 2−a1, b2 −b1 ) 11

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ELEMENTOS BÁSICOS. Distancia entre dos puntos: número real que expresa el módulo del vector que une ambos puntos. Distancia euclídea:

dados los puntos P( x 1 , y 1) y Q ( x2 , y2 ) entonces d ( P , Q )= √ ( x 2− x 1) 2+( y2 − y 1 )2 Ejemplos:

d ((0,0),(1,3))= √ 1 2+ 32= √ 1+ 9=√ (10) d ((1,2), (4,6 ))=√ 3 + 4 =√ 9+ 16=√ 25=5 2

2

Base ortonormal en el plano. Coordenadas de un vector en una base ortonormal. Recta definida por un punto y un vector

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ELEMENTOS BÁSICOS. Suma de vectores. Producto de un número por un vector. Producto escalar de vectores. Producto escalar de vectores ortogonales. Segmento: porción de recta entre dos puntos, que se denominan extremos del segmento. Longitud del segmento AB = distancia entre A y B = d(A,B) Dos segmentos AB y MN son iguales si d(A,B)=d(M,N) Ángulo entre dos rectas. Distancia de un punto a una recta. 13

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5.1. INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. 5.2. ELEMENTOS BÁSICOS. 5.3 POLÍGONOS. 5.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. 5.5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 5.6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 5.7 CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS. Def. Línea poligonal: es la concatenación de varios segmentos rectos. Def. Línea poligonal cerrada: es la concatenación de varios segmentos rectos tal que el primer semento y el último son el mismo. La figura delimitada por una línea poligonal cerrada se denomina polígono. Elementos de un polígono: Lados Vértices Ángulos interiores Ángulos exteriores Diagonales 15

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS. Def. Línea poligonal: es la concatenación de varios segmentos rectos. Def. Línea poligonal cerrada: es la concatenación de varios segmentos rectos tal que el primer semento y el último son el mismo. La figura delimitada por una línea poligonal cerrada se denomina polígono. Elementos de un polígono: Lados Vértices Ángulos interiores Ángulos exteriores Diagonales 16

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS. POLI = muchos +

GONOS = ángulos

Ejemplos: Triángulo: polígono de tres lados. Cuadrílátero: polígono de cuatro lados. Pentágono: de cinco lados. Penta=cinco + gono=ángulo Hexágono …..

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS. Def: El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Def. Polígono convexo: un polígono se denomina convexo cuando tomados dos puntos cualesquiera del polígono, el segmento que los une está totalmente contenido en el polígono. Def. Polígono cóncavo: un polígono se denomina cóncavo cuando contiene, al menos, dos puntos tales que al tomar el segmento que los une este no está totalmente contenido en el polígono.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS. Def: Diagonal de un polígono convexo es un segmento que une dos vértices consecutivos. Prop. Desde un vértice de un polígono de n lados se pueden trazar n-3 diagonales. Prop. El número de diagonales de un polígono convexo es:

n. (n−3) 2 19

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS. Ejercicio. Completa la siguiente tabla: POLÍGONO

Nº DE LADOS

Nº DE DIAGONALES

TRIÁNGULO CUSDRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO ENEAGONO DECÁGONO 20

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS. Prop. Un polígono convexo de n lados se puede descomponer en (n-2) triángulos. Prop. La suma de los ángulos interiores de un polígono coincide con la suma de los ángulos de todos los triángulos en los que se ha descompuesto: (n-2)*180 Def. Ángulo exterior: ángulo exterior o ángulo externo a un polígono es el ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente. Dado un ángulo interior, α , el ángulo exterior será: β=180 – α

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS REGULARES. Def. Un polígono se denomina regular si todos sus lados son de la misma longitud y todos sus ángulos miden lo mismo. Elementos Notables: Centro: Punto interior del polígono que equidista de todos sus vértices. Radio: Distancia del centro al vértice. Apotema: Segmento que une el centro con el punto medio de cualquiera de sus lados y es perpendicular a este. Ángulo central: Ángulo que forman los segmentos que unen el centro con dos vértices consecutivos. 360 En un polígono regular de n lados, el ángulo central mide n

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS DEL TANGRAM. Resumen de los polígonos que conocemos: ●

Triángulo: clasificación según sus lados, clasificación según sus ángulos.

●

Triángulos isósceles y equilátero.

●

Rectángulo, paralelogramo, cuadrado rombo y trapecio.

●

Pentágono y hexágono.

Polígonos en el Tamgram: ●

Triángulos.

●

Cuadrado.

●

Paralelogramo.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS DEL TANGRAM. Construcción de un Tangram

Ejercicios: ●

●

Determina el perímetro de todas las piezas del tangram en función de la longitud del cuadrado original. Idem con la superficie 24

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS DEL TANGRAM. Razón de semejanza entre las piezas del Tangram: ●

●

●

●

Estudia la razón entre las piezas triangulares del Tangram Idem entre la pieza cuadrada y un cuadrado construido con los dos triángulos grandes. Idem entre el paralelogramo y un paralelogramo formado por los dos triángulos pequeños y el mediano. Establece un movimiento para relacionar las figuras de la imagen.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS ESTRELLADOS. Un polígono regular estrellado puede construirse a partir de un polígono regular convexo uniendo vértices no consecutivos de forma continua. Se denotan por N/M siendo N el numero de vértices del polígono regular convexo que lo origina y M el salto entre vértices. Si N/M es una fracción irreducible se genera un polígono estrellado, en otro caso no. N/M es el mismo polígono que N/(N-M), ya que el polígono que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo 26

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO POLÍGONOS ESTRELLADOS. Ejemplos: Pentágono: saltando los vértices de dos en dos. (5/2) Hexágono: saltando de dos en dos no sale un polígono estrellado, sino dos triángulos. Heptágono: con saltos de dos en dos y de tres en tres. (7/2 y 7/3) Octógono: con saltos de tres en tres. (8/3) Eneágono: con saltos de dos en dos y de cuatro en cuatro. (9/2 y 9/4) 10/3 11/2, 11/3, 11/4, 11/5. 27

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO AREAS DE FIGURAS POLIGONALES. Triángulos y cuadriláteros. Triángulo. Cuadrado. Rectángulo. Rombo. Romboide. Trapecio. Área de polígonos: para hallar el área de un polígono lo descomponemos en triángulos, uniendo un vértice con los otros. El área del polígono es la suma de las áreas de los triángulos que lo componen. Área de un polígono regular: pentágono, hexágono,... 28

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5.1. INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. 5.2. ELEMENTOS BÁSICOS. 5.3 POLÍGONOS. 5.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. 5.5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 5.6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 5.7 CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Circunferencia: línea curva cerrada y plana formada por puntos que equidistan de otro punto llamado centro.

Lcircunferencia =2. π .r Arco de circunferencia: porción de circunferencia limitada por dos radios. Círculo: zona del plano limitada por una circunferencia.

A circulo=π . r 2 Sector circular: porción del plano comprendida entre dos radios.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Corona circular: figura comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

ACorona = ACirculo grande − A círculo pequeño Trapecio circular: porción de una corona circular comprendida entre dos radios.

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5.1. INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. 5.2. ELEMENTOS BÁSICOS. 5.3 POLÍGONOS. 5.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. 5.5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 5.6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 5.7 CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo central: ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. Medida del ángulo: un radián es el ángulo central que se encuentra en una circunferencia, con un arco que tiene la misma longitud que el radio. La longitud del arco (L) en una Circunferencia, sabiendo el radio (r) y el ángulo (ɸ) que forman los dos radios, es: L = r * ɸ 33

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia. Ángulo semiinscrito: tiene su vértice en la circunferencia, uno de los segmentos secante y el otro tangente. El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo interior: tiene su centro en un punto interior del círculo. La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo exterior: tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

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5.1. INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. 5.2. ELEMENTOS BÁSICOS. 5.3 POLÍGONOS. 5.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. 5.5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 5.6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 5.7 CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO.. La noción de proporción esta asociada con la idea de precisar cuantitativamente la noción de semejanza. En los documentos babilónicos, egipcios y chinos se encuentran siempre las razones y proporciones en situaciones particulares, eventualmente llamadas medidas: ●

●

●

La proporción geométrica: En la que la razón entre el primer término y el término medio es igual a la razón entre éste y el término extremo. Por ejemplo los números 2, 4 y 8. La proporción armónica: La distancia del primer término al medio, divida por el primer término, es igual a la distancia del medio al segundo término, dividido por éste. Por ejemplo los números 6, 8 y 12. La proporción aritmética: Cuyo término medio excede al primero en una cantidad en la que éste es excedido por el último. Por ejemplo los números 2, 4 y 6.

a b = ⇒ b= √ ac b c

b−a a 2 ac = ⇒ b= c−b c a+ c

a +c b−a=c−b ⇒ b= 2

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO.. Cuando dos razones son equivalentes, es decir, representan el mismo número, abstracto, se pueden igualar los cocientes indicados por ellas y obtener una relación entre las medidas de cuatro o más cantidades dos a dos:

Si

a c a c =n y =n entonces = b d b d

Ejemplo: La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es siempre constante, es el número π=3,141592...; entonces, conocido el valor del diámetro, se puede hallar la longitud de la circunferencia y viceversa. Propiedad fundamental de la proporción: En cualquier proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Propiedad de las proporciones: la suma de antecedentes dividida por la suma de consecuentes de una proporción es igual a cualquiera de las razones de la proporción. 39

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO..

Aplicaciones de la proporción: Proporcionalidad de segmentos. Teorema de Tales: Dadas dos rectas cortadas por un haz de paralelas, hay un número abstracto, razón constante de proporcionalidad entre los segmentos correspondientes determinados en una y otra.

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Resolución de problemas de cálculo de alturas que usen el teorema de Tales: ●

●

La altura de un triángulo isósceles mide 10 cm y su base, que es el lado desigual, mide 2 cm. Calcula la altura que tendrá un triángulo semjante al anterior cuyo lado desigual mide 12 cm. 4

Determina la altura en la figura siguiente:

3

5 ●

Teorema de la altura en triángulos rectángulos.

●

Teorema del cateto en triángulos rectángulos.

c2

c1 a n

m ●

División de un segmento en partes iguales.

h

a 2=m . n 2 c 1=h .m 2

c 2=h .n 41

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Semejanza de triángulos: dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y sus lados proporcionales. Criterios de semejanza de triángulos: ●

Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos iguales.

●

Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales.

●

Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo semejante al grande. 42

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO..

Figuras semejantes: ●

Ejemplos...

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Reconocimiento y construcción de figuras semejantes. ●

●

●

Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos. A

B

B A 44

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO..

Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de las longitudes de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. A este cociente se le llama razón de semejanza.

1,9 Razón=1,9:1,2 1,2

Si dos polígonos regulares tienen igual número de lados, entonces son semejantes. Toda circunferencia es semejante a otra circunferencia.

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Proporcionalidad de trazos en una circunferencia ●

●

●

Teorema de las cuerdas: Si dos cuerdas se interceptan en el interior de la circunferencia, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda. Teorema de las secantes: Si dos rectas secantes interceptan a una circunferencia, el producto entre el segmento exterior a la circunferencia con el segmento total en una de las secantes es igual al producto de los correspondientes segmentos en la otra secante. Teorema de la secante y la tangente: Si desde un punto exterior a una circunferencia, se trazan una tangente y una secante, el cuadrado del segmento tangente equivale al producto entre el segmento exterior y el segmento total de la recta secante. 46

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO..

Proporcionalidad de trazos en una circunferencia en imágenes

Teorema de las cuerdas C A

Teorema de las secantes C

B E

D

B

A

E

D

AE. DE=CE . BE AE. EB=CE . ED C

Teorema de la secante y la tangente 2

DC =AD . BD

A

B

D 47

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5.1. INTRODUCCIÓN: LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA. 5.2. ELEMENTOS BÁSICOS. 5.3 POLÍGONOS. 5.4. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. 5.5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. 5.6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 5.7. CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

Algunos niños entre 5 y 10 años asocian: Paralelismo con la igualdad de segmentos, Perpendicularidad con la horizontalidad de uno de los segmentos erpendiculares. La constatación de estos errores muestra lo importante que es el estudio de los conceptos en los que, para su definición y comprensión existe alguna relación entre varios elementos. Es importante trabajar estas relaciones desde el primer momento de su enseñanza.

REPRESENTACIÓN HABITUAL

REPRESENTACIÓN NO HABITUAL

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

Muchos de los conceptos erróneos parecen deberse a una enseñanza inadecuada, en la que se ha concentrado la atención en criterios erróneos, desarrollándose conceptos falsos o limitados. Por ejemplo (Flieker): ●

Niños de 11 años. Tema rectas paralelas. Maestro: “a es paralela a b, y b es paralela a c, por lo tanto, a es paralela a c.” Alumnos: “¡No, porque b esta por medio!”.

a

b

c 50

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

El estudio de las relaciones entre dos líneas rectas facilita a los niños la comprensión de la noción de ángulo. (Flieker 1973). Una idea es trazar las rectas en hojas transparentes distintas para superponerlas de diferentes formas. De este modo aparecen los conceptos de perpendicularidad y paralelismo. También sugiere el uso de haces de rectas paralelas trazadas sobre sendas hojas transparentes, ya que de este modo surgen cuadriláteros de forma natural. Otra actividad es el uso del plegado de papel para: ● ● ● ●

Reconocimiento de paralelismo y perpendicularidad. Construir ángulos de diferentes medidas. Reconocer polígonos en las marcas de los pliegues. …..

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: LA NOCIÓN DE ÁNGULO

Kent: aporta el ejemplo de un chico que tenía una idea totalmente errónea de la noción de ángulo. Consideraba que el ángulo era la distancia entre dos rectas. Para él los dos ángulos siguientes eran distintos:

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: APRENDIZAJE Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS

La representación de figuras geométricas planas puede inducir a error debido a la persistencia de la realización de la representación en una determinada posición. Normalmente se suelen representar las figuras de manera que uno de sus lados haga de base y sea paralelo con el borde del papel. Entonces: Cuando una representación no cumple este requisito puede no ser reconocida a pesar de ser una representación correcta. Cuando una representación cumple este requisito, siendo incorrecta, puede ser considerada correcta. Esto sucede con todos los polígonos, excepto con los rombos, que se representan con sus vértices orientados hacia los bordes del papel, por lo que a veces no se reconoce si no se cumple esta característica. 53

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: APRENDIZAJE Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS Greenes: “Cuando una forma geométrica cambia de posición, el niño cree que su carácter (forma, tamaño, etc,...) ha cambiado.” Caso de Robbie, de 9 años, seleccionó el triángulo B como el más parecido a A, dijo que C no era un triángulo... “porque se ha caído”. B

A

C Error de concepto aprendido: utilizar la línea horizontal como elemento constitutivo de la figura.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: APRENDIZAJE Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS

Kerslane (1979): la forma habitual de presentar las figuras geométricas es:

Por lo que resulta difícil generalizar los conceptos presentados en ellas, no reconociéndolas ciando se presentan de forma poco habitual.

La figuras “derechas” son más sencillas de asimilar que la figuras inclinadas. 55

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: APRENDIZAJE Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS

Errores con Triángulos: No identificar de las tres alturas, ya que una altura se asocia con una línea perpendicular a la base del triángulo, base que suele representarse horizontalmente. Creer que la altura tiene que caer siempre dentro del triángulo.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: APRENDIZAJE Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS

Charles (1980): presenta casos en los que la naturaleza de los ejemplos utilizados ha producido la formación de nociones erróneas. Edad 10 años. Tema: polígonos. Se les dijo: “los polígonos son figuras cerradas simples, compuestas por segmentos rectilíneos”. Les fueron mostrados ejemplos típicos de polígonos y contraejemplos de no polígonos. En estos contraejemplos la característica general era la presencia de líneas curvas.

Por ello casi todos los niños dijeron, al final, que la imagen siguiente correspondía a un polígono: 57

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS

Para evitar errores se considera adecuado, en la enseñanza y aprendizaje de la geometría, que los estudiantes sean quienes construyan sus propias definiciones de los conceptos. Para ello es muy conveniente utilizar una gran batería de ejemplos y contraejemplos para carda uno de los conceptos a definir.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS Directrices dadas por Charles(1980) para la seleccionar ejemplos y contraejemplos: 1) Identificar las características relevantes del concepto que sea objeto de consideración., así como de las características irrelevantes que se presentan con mayor frecuencia. 2) Los ejemplos han de seleccionarse de modo que, las características irrelevantes de más frecuente aparición sean variadas. 3) Seleccionar una variedad de contraejemplos en los que se infrinjan las diversas características relevantes. 4) Llamar la atención de los alumnos hacia las características relevantes o irrelevantes mediante preguntas y explicaciones.

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS

Zykova da abundantes ejemplos de errores de concepto que se han formado los escolares rusos de 12: Maestro: Traza un círculo y un diámetro. Imagen 1: Maestro: ¿Cuántos diámetros se pueden trazar en un círculo? Alumno: dos. Maestro: ¿sólo dos? Alumno: si, solo dos. Imagen 2 Maestro: ¿y esto? Alumno: un diámetro. Maestro: Entonces, ¿cuántos diámetros se pueden dibujar en un círculo? Alumno: cuatro, en total. El maestro pone de manifiesto que puede trazar otro diámetro con otra posición. Entonces el alumno se dio cuenta que estaba equivocado. Maestro: ¿Por qué pensaste que sólo había 2? Alumno: Porque así nos lo presentan siempre.

Imagen 3

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TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS: EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS

Zykova y Charles concluyeron que: “… la variación de la forma y posición de las figuras geométricas solas, sin el refuerzo de las explicaciones del profesor, no promueve el correcto dominio de los conceptos. Tan solo cuando las explicaciones del profesor desempeñan el papel principal en la instrucción llegan las variantes en las figuras geométricas a facilitar a los alumnos la abstracción de los rasgos esenciales y a dominar las verdaderas relaciones geométricas. En tales condiciones, el dominio de los conceptos geométricos se basa en una gran acumulación de imágenes visuales, que hacen papel mediador en el uso de conceptos para el uso en la resolución de problemas.” 61