Gráficas de funciones de masa de probabilidad y de función de densidad de probabilidad de Distribuciones especiales

1. Función de distribución binomial: Si X distribuye bin(n, p) , entonces ⎛n⎞ f ( x) = P( X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p) n − x ; x = 0,1,2,......, n ⎝ x⎠ a) 5,9049E-06 0,00013778 0,0014467 0,00900169 0,03675691 0,10291935 0,20012095 0,26682793 0,23347444 0,12106082 0,02824752

Función de masa de Prob.Binomial 0,3

P(X=x)=bin(x,10,0.7)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Valores posibles de X=x

b) 0,00097656 0,00976563 0,04394531 0,1171875 0,20507813 0,24609375 0,20507813 0,1171875 0,04394531 0,00976563 0,00097656

Función de masa de Prob.Binomial 0,3 0,25

P(X=x)=bin(x;10;0.5)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Valores posibles de X=x

1

8

9

1

2. Función de Distribución de Poisson: : Si X distribuye Po(λ ) , entonces f ( x) = P( X = x) =

λx e − λ

; x = 0,1,2,......

x!

a) 0,00673795 0,03368973 0,08422434 0,1403739 0,17546737 0,17546737 0,14622281 0,10444486 0,06527804 0,03626558 0,01813279 0,00824218 0,00343424 0,00132086 0,00047174 0,00015725

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,00673795 0,03368973 0,08422434 0,1403739 0,17546737 0,17546737 0,14622281 0,10444486 0,06527804 0,03626558 0,01813279 0,00824218 0,00343424 0,00132086 0,00047174 0,00015725

Función de masa de Prob.de Poisson

P(X=x)=p(x,5)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

Valores posibles de variable X=x

b) Función de masa de Prob. Poisson

P(X=x)=p(x,5)

0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 1

Valores posibles de X=x

2

2. Función de Distribución Hipergeométrica: :

Si X distribuye H (n, M , N ) , entonces

⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟ x ⎠⎝ n − x ⎟⎠ ⎝ f ( x) = P( X = x) = (Con las restricciones del caso) ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠

0,00361197 0,05417957 0,23839009 0,39731682 0,25541796 0,05108359

Distribución de Prob. H(n,M,N) 0,45 0,4 P(X=x)=h(x,5,12,20)

0 1 2 3 4 5

0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1

2

3

Valores posibles de X=x

3

4

5

3. Distribución Gamma:

Si X distribuye H (n, M , N ) ,

entonces

f X ( x) =

1 xα −1e − x / β .I (0, ∞) α Γ(α ) β

α > 0; β > 0 .

Veamos el gráfico de esta función de densidad para la variación de sus parámetros:

4

Si X distribuye N ( µ ,σ 2 ) ,

4. Distribución Normal:

Entonces

f X ( x) =

1 2πσ 2

e

1 ⎛ x−µ ⎞ − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠

2

.I (−∞, ∞)

− ∞ < µ < ∞;σ > 0 .

Veamos el gráfico de esta densidad para los distintos valores de sus parámetros Primero elegimos el parámetro µ = 0 , haciendo variar el parámetro σ . Los valores de σ varían entre 1; 1,5; 2 y 5 respectivamente. A medida que aumenta el valor, la curva se achata más. studiantil

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,40 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,30 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión

Densidad

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiant

studiantil

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Versión 0,20 Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

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studiantil 0,10 Versión Estudiantil Versión Estudiantil studiantil

Versión Estudiantil

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Versión Estudiant

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Versión

Versión Estudiant

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión -6,00 -3,00 0,00 3,00 6,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

studiantil

Los valores de σ varían entre 1; 0,5; y 0,2 respectivamente. studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 1,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,75 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,50Estudiantil Versión Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

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Versión

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión 0,25 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,00 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión -5,00 -2,50 0,00 2,50 5,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

A medida que disminuye el valor, la curva se hace más puntiaguda. El parámetro σ se denomina parámetro de escala.

5

Ahora, para un mismo valor de σ (=1) variamos el valor de µ . Primero para valores positivos: 0, 2 y 4. studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,50 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,38 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,25Estudiantil Versión Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión 0,13 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,00 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión -5,00 -1,75 1,50 4,75 8,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

Observar que en ningún casa cambia la forma, sino su posición, trasladándose hacia la derecha tantas unidades como el valor de µ lo indique Ahora para valores negativos de µ . Las curvas se trasladan hacia la izquierda. El parámetro µ se denomina parámetro de localización. studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,50 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

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Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,38 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,25Estudiantil Versión Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión 0,13 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,00 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión -8,00 -4,00 0,00 4,00 8,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

6

Si X distribuye Exp( β ) ,

5. Distribución exponencial: :

f X ( x) =

Entonces

1

β

−

x

β > 0.

e β .I (0, ∞)

Veamos el gráfico de esta densidad para los distintos valores de β studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 2,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 1,50 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 1,00Estudiantil Versión Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión 0,50 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,00 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,00 2,25 4,50 6,75 9,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

Si X distribuye Χ 2 (n) ,

6. Distribución Chi cuadrado: n

x

−1 − 1 x 2 e 2 .I ^ [0, ∞) β > 0. n ⎛n⎞ 2 Γ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ A medida que aumentan los grados de libertad desde pasando como en este ejemplo desde 3, 4 y 10 respectivamente la curva se hace mas simétrica.

Entonces

f X ( x) =

studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,24 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,18 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,12Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant Versión studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiant

studiantil 0,06 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,00 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

7

7. Distribución Beta: La familia de distribuciones beta es una familia continua sobre (0; 1) indexada por dos parámetros. La fdp de la Beta(α , β ) es

f ( x) =

1 xα −1 (1 − x) β −1 I (0,1) α > 0, β > 0 B(α , β )

studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 10,1 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Beta(2,0,5) Versión Estudiant 7,6 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiant

studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 5,0Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant Versión studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Beta(0,5,0,5) Versión Estudiantil

studiantil 2,5 Versión Estudiantil studiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiant

Beta(5,2) Versión Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiant

Versión Estudiantil

Versión

Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant 0,0 studiantil Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 Versión Estudiantil Versión Estudiantil Versión Estudiant

8