UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” AREA DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA UNIDAD CURRICULAR: FISICA II PROF AUDREY SILVA

GUIA DE ESTUDIO DE CONDENSADORES CONDENSADOR Es un dispositivo que se utiliza para almacenar carga y energía eléctrica. Está formado por dos conductores cualesquiera que poseen cargas de igual magnitud pero de signos opuestos, los cuales se encuentran separados (por el espacio vacío) o por un material aislante o no conductor, llamado Dieléctrico. El campo eléctrico entre las armaduras de un condensador es constante y uniforme. La carga almacenada por el condensador es proporcional al diferencial de potencial aplicado. Aplicaciones de los Condensadores Sintonizar la frecuencia de receptores de radio. Como filtros en suministros de energía eléctrica. Para eliminar la chispa que se genera la interrumpir un circuito que posee autoinducción. Para eliminar la chispa que se produce en los sistema de encendido de los automóviles. Como dispositivo de almacenamiento de energía en unidades de destellos electrónicas. Tipos de condensadores Existen dos tipos de condensadores: Los Condensadores Fijos y los Condensadores Variables. Los fijos se subdividen a su vez en dos tipos: * Condensadores polarizados: Un condensador polarizado siempre tiene una polaridad definida, es decir, un terminal positivo (+), y un terminal negativo (-). Este tipo de condensador debe ser colocado en la posición correcta sobre el circuito. * Condensadores no polarizados: Un condensador no polarizado es aquel en el cual no es necesario fijarse en la posición en que deben conectarse sus terminales en el circuito, es decir, no tiene polaridad.

Notación Simbólica para un Condensador Fijo polarizado Fijo no polarizado Variable CAPACITANCIA La capacitancia, C, de un conductor se define como la razón entre la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos. Se define a través de la Q ecuación:

C=

V

La Capacitancia de un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica. La capacidad del condensador depende de sus características físicas: - Si la separación entre placas aumenta, disminuye la capacidad. - Si se aumenta la Tensión aplicada, se aumenta la carga almacenada.

1

- Si el área de las placas que están frente a frente es grande la capacidad aumenta. Unidades: En el SI: C = Coulomb = F ⇒ Faradio = Farad Voltio En el CGS: C = Statfaradio Submúltiplos del Faradio (F): 1 Mili farad = mF = 10– 3 F 1 Micro farad = µF = 10 – 6 F 1 Nano farad = nF = 10 – 9 F 1 Pico farad = ρF = 10 – 12 F CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA PARA DIFERENTES TIPOS DE CONDENSADORES

A.- Condensador de Placas Paralelas V AB = V

Q V

C=

∫

V = − Edl

dl = −dy

d

∫

V = Edy

V = E⋅d

0

Qn

∫ E ⋅ dA = ε

Por Ley de Gauss :

C=

Qn

ε0

0

Qn = E ⋅ A ⋅ ε 0

Despejando la Qn Luego :

E⋅A=

A = Area entre las placas

E ⋅ A⋅ε0 E⋅d

C=

A ⋅ε0 d

La capacitancia de un condensador de placas paralelas es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de éstas.

B.- Condensador Cilíndrico

E -Q

-Q +Q a

b +Q a

C=

L

Q V

Diferencia de Potencial :

r

b

∫

Vb − V a = Vb − a = − EdL

b

dl = −dr Conductor

a

b

∫

Vb − a = Edr

Por Ley de Gauss

a

Qn A⋅ε 0

E=

Sabiendo que Q = λ ⋅ L 2K =

1

E=

2πε 0

Vb − a = 2 K ⋅ λ ⋅ Ln r

ACILINDRO = 2π ⋅ r ⋅ L

Entonces :

E=

Superficie Gaussiana

Qn

∫ EdA = ε E=

Gaussiana

0

Q 2π ⋅ r ⋅ L ⋅ ε 0

λ⋅L λ = 2π ⋅ r ⋅ L ⋅ ε 0 2π ⋅ r ⋅ ε 0 b

2 Kλ r

Vb − a =

Luego :

∫ a

b

⇒ Ln b − Ln a

Q V

⇒

C=

λ⋅L

( a)

2 K ⋅ λ ⋅ Ln b

2 Kλ dr r

( a)

Vb − a = 2 K ⋅ λ ⋅ Ln b

a

C=

1 4πε 0

K

Entonces:

C=

L

( a)

2 K ⋅ Ln b

2

La capacitancia es proporcional a la longitud de los cilíndros y también depende de los radios de los dos cilindros conductores. C.- Condensador Esférico

E -Q +Q a r

C=

Q V

E Radialmente hacia afuera b

∫

Va − Vb = E dr

b

dl = − dr

Para una Superficie Gaussiana a < r < b

a

Qn

∫ E dA = ε

∫ a

Luego :

Si b → ∞

E=

0

b

Vb − V a =

⇒ K ⋅Q dr r2 C=

Qn A ⋅ε0

donde

Vb − a = − K ⋅ Q ⋅

Q b−a K ⋅ Q   a ⋅b 

 b  Lim ≈1 b→∞  b − a  Entonces

AESFERA = 4π ⋅ r 2 b

1 r

a

C=

 1 1 = K ⋅ Q −  a b

E=

Qn 4π ⋅ r ⋅ ε 0 2

=

K ⋅Q r2

b − a Vb − a = K ⋅ Q    a ⋅b 

4π ⋅ ε 0 ⋅ a ⋅ b (b − a )

 b   b = 1 =1 Aplicando Lim b →∞  b − a   1−0 b  b C = 4π ⋅ ε 0 ⋅ a

ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES
Asociación de Condensadores en Serie

C1

C2

C3

+ V -

• •

La magnitud de la carga debe ser la misma en todas las placas. Permanece constante. Qt = Q1 = Q2 = …= Qn La diferencia de potencial total es igual a la suma de las diferencias de potenciales individuales n que existen entre las armaduras de cada condensador. V = Vi T Vt = V1 + V2 +… + Vn i =1 El inverso de la capacitancia total es igual a la suma de los inversos de las capacitancias individuales. n 1 1 1 1 1 1 = + + .... + = Cn C eq C 1 C 2 C i =1 C

∑

•

∑

eq

i

3


Asociación de Condensadores en Paralelo

+

C1

V

C3

C2

-

• •

•

La magnitud de la carga total es igual a la suma de las cargas individuales de cada condensador. Qt = Q1+Q2+…+Qn La diferencia de potencial de la asociación es igual al voltaje de cada uno de los capacitores individuales. Vt = V1 = V2 =… = Vn La capacitancia total es igual a la suma de las capacitancias individuales. Ceq = C1+C2+…+Cn

DIELÉCTRICOS Y CONDENSADORES CON DIELÉCTRICOS Se denomina dieléctricos a los materiales que no conducen la electricidad, por lo que pueden ser utilizados como aislantes. Un dieléctrico es un material no conductor que al introducirlo entre las placas del condensador, permiten que estás se acerquen lo suficiente para aumentar la capacitancia del condensador. Algunos ejemplos de este tipo de materiales son el vidrio, la cerámica, el papel encerado, el caucho, el teflón, entre otros. La introducción de un dieléctrico en un condensador tiene las siguientes consecuencias: * Disminución del campo eléctrico entre las placas del condensador. K es la Constante Dieléctrica del material. E0

E=

K

* Disminución de la diferencia de potencial entre las placas del condensador.

V =

V0 K

* Aumento de la capacidad eléctrica del condensador.

C = KC0 * Aumentan la resistencia de ruptura del condensador. Introducción de un Dieléctrico entre las placas de un condensador. Consideremos un condensador en ausencia de un dieléctrico de capacidad Co, que se conecta a una fuente de tensión con una diferencia de potencial Vo, de forma que la carga final que adquiere es Si se desconecta el condensador de la fuente y se introduce un dieléctrico que ocupe todo el espacio entre las placas, la diferencia de potencial disminuye en una cantidad K, dado por V = V0/ K, mientras que la carga permanece constante, entonces

C=

q V

; q0 = q ; C =

q0 q = 0 ⇒ V0 V K

C = K.

q0 ⇒ V0

C = K . C0

q0 = C0 . V0 Donde: C: es la capacitancia final del condensador con dieléctrico.

4

La capacitancia para un condensador de láminas paralelas con dieléctrico es:

C=K

εo A d

La capacitancia para un condensador de placas cilíndricas con dieléctrico es:

C=K

2πε o L ln(b / a )

La capacitancia para un condensador de placas esféricas con dieléctrico es:

 b  C = 4 Kπε o a  b−a Asociación de condensadores en presencia de dieléctricos. a) Si el entre cara de los dieléctricos (superficie donde se tocan los dos materiales dieléctricos) es PARALELO al campo eléctrico, la capacitancia puede calcularse tratando el arreglo como dos condensadores en paralelo.

+Q

d

K1

K2

C1

-Q

C2

CT = C1 + C2

E b) Si la entre cara de los dieléctricos (superficie donde se tocan los dos materiales dieléctricos) es PERPENDICULAR al campo eléctrico, la capacitancia puede calcularse tratando el arreglo como dos condensadores en serie.

+Q

K1 d

C1 C2

E K2 -Q

1 1 1 = + CT C 1 C 2

ENERGÍA DE UN CONDENSADOR Para determinar la energía almacenada en un condensador es necesario conocer cuanto trabajo se requiere para cargarlo inicialmente. Un condensador se carga transfiriendo una carga dq, de un conductor a otro. Por consiguiente, si en un tiempo t se transfiere una carga q de una placa a otra, la diferencia de potencial en este instante de tiempo será:

V(t ) =

q(t ) C 5

La transferencia de una carga extra dq, requiere un trabajo. El proceso termina cuando toda la carga ha sido transferida y el sistema queda en equilibrio. El trabajo desarrollado será: W

Q

0

0

∫ dW =

q

∫ C dq

Este trabajo realizado para cargar el condensador puede considerarse como la energía potencial U almacenada en él.

W =

1 Q2 Como W = U , entonces 2 C 1 Q2 U = 2 C

C .V 2 Q. V Q y asi U = Como C = ⇒ Q = C . V Este resultado puede expresarse: U = V 2 2 Estas expresiones se aplican a cualquier condensador sin importar su geometría. De la expresión anterior se puede obtener la densidad de energía. Para un condensador de placas paralelas V = E.d y su capacitancia

C=

ε o .A d

1 Sustituyendo en la expresión: U = CV 2 Resulta: 2 1 1  ε O .A  2 U = ε O E 2 .( Ad ) U =   (E.d ) 2 2 d  El volumen ocupado por el campo entre las placas es (A.d), entonces la densidad de energía ó energía U por unidad de volumen es: Ue = Sustituyendo resulta: Ad 1 2 U e = εO E 2 NOTA: Guía elaborada por la Prof. Audrey Silva apoyada en material de las guías de estudio de los Profesores: Fidias González y Carmen Concepción.

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