ISEA-PREPARATORIA ABIERTA

GUIA DE MATEMATICAS I

Introducción La formación integral de un buen estudiante como persona requiere conformar un criterio de modo que le permita desenvolverse en el medio que lo rodea de acuerdo a su capacidad y personalidad. El objetivo de esta guía es que el estudiante desarrolle en el uso diario y constante de la matemática, un razonamiento lógico deductivo, así como de proveerlo de los elementos fundamentales y de las técnicas, para manipular esos elementos. El enfoque moderno de la matemática es procurar que el alumno asimile ideas que luego pueda aplicar con su propia técnica ampliando sus habilidades.

UNIDAD I MODULO I. “CONJUNTOS” CONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto. ELEMENTO: Son las ideas u objetos cualesquiera que sean, que forman al conjunto. Para simbolizar que un objeto es elemento de, escribimos: X∈ ∈A que se lee “x es un elemento del conjunto A” o por el contrario m∉ ∉A que se lee “m no es un elemento del conjunto A”. Ejemplo de conjuntos: A= {números pares} B= {los días de la semana} Los elementos del conjunto A son: {2,4,6,8….} Los elementos del conjunto B son:{ lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}. Generalmente usamos letras mayúsculas para denotar conjuntos y minúsculas para elementos. Para denotar un conjunto, la forma de escribir los nombres de los elementos que lo forman es entre un par de llaves o corchetes , por ejemplo las vocales del alfabeto: A = {a,e,i,o,u}.

1

ESCRITURA DE CONJUNTOS. FORMA ENUMERATIVA (por extensión): Consiste en anotar todos los elementos que pertenecen al conjunto: A = {0,1,2,3,4,5,6,7}

B = {a,e,i,o,u}

FORMA DESCRIPTIVA (por comprensión): Consiste en encerrar entre las llaves o corchetes la condición para pertenecer al conjunto o la descripción de los elementos que lo forman, ejemplo A = {personas mayores de 18 años} B = {los días de la semana } ORACIÓN ABIERTA: Es toda oración en la que interviene alguna variable. X es un número dígito x es un número par Sea E ={x | X es una de las estaciones del año}y el conjunto para el reemplazamiento para x es conjunto M: M = {primavera, verano, otoño, invierno, lunes, abril, frío} Entonces solo elementos de M se pueden usar para reemplazar a la variable x de la oración abierta. x es una de las estaciones del año. primavera es una de las estaciones del año. verano es una de las estaciones del año. otoño es una de las estaciones del año. invierno es una de las estaciones del año. lunes es una de las estaciones del año. abril es una de las estaciones del año. frío es una de las estaciones del año.

En las oraciones anteriores observamos que algunos elementos de M al reemplazar a la variable x forman una oración verdadera y otros una falsa. CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO: Conjunto que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable en una oración abierta. Notación para construir conjuntos: E = {x ∈ M | x es una estación del año} Conjunto de reemplazamiento M = {primavera, verano, otoño, invierno, lunes, abril, frío}. Conjunto de verdad E = {primavera, verano, otoño, invierno} CONJUNTO DE VERDAD: Son los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera. Es conveniente observar que al considerar una oración abierta debemos conocer previamente el conjunto de reemplazamiento para poder determinar el conjunto de verdad. Ejemplo: P = {x ∈A | x sea un numero} Para determinar el conjunto de verdad P es necesario conocer los elementos que forman el conjunto de reemplazaniento A, así, si A = {botón, 3, papel,2} entonces P = {3,2}.

VARIABLE: Una variable es una letra usada para representar a cualquier elemento del conjunto de reemplazamiento. 2

X, es un día de la semana. En este caso la x sirve para representar a: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo.

MODULO II. CARDINALIDAD: Es el número de elementos contenidos en un conjunto. A = {2,4,6,8} n(A) = 4 Quiere decir que el conjunto A tiene 4 elementos. B = {mesa, silla, pelota, escritorio, gis, lámpara} n(B)= 6 El conjunto B tiene 6 elementos CONJUNTO FINITO: Es aquel en el que es posible determinar el número de elementos que a él pertenecen. A = {x es número par menor que 20} Los números pares menores que 20 son: A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18} En este conjunto puedo determinar cuantos elementos forman parte de mi conjunto. CONJUNTO INFINITO: Es aquel en el que no es posible terminar de enumerar sus elementos. A = { números naturales} Los números naturales son todos aquellos que utilizamos para contar, es decir no puedo determinar hasta que número abarca mi conjunto. NUMEROS NATURALES: Son los que nos sirven para contar. “N” N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9....} CONJUNTO UNIVERSAL: Esta formado por la totalidad de los elementos considerados para una determinada operación. Es equivalente al conjunto de reemplazamiento. ”U” U = {números pares mayores que 4 y menores que 16} Quiere decir que en este caso el conjunto tiene que contener los siguientes valores: U = {6,8,10,12,14} ni un elemento más, porque estos son los elementos considerados para la operación. CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene elementos. Φ = { } A= {Números enteros pares mayores que 2 y menores que 4} No existen números enteros que sean pares mayores que 2 y menores que 4 ya que son números consecutivos, en este caso se dice que es un conjunto vacío. CONJUNTOS EQIVALENTES: Son aquellos que poseen la misma cardinalidad, aunque sus elementos sean diferentes. A = B ; n(A) = n (B). A = { 1,2,3,4} B = {lápiz, goma, sacapuntas, libro} n(A) = 4 n(B)= 4 Ambos conjuntos tienen 4 elementos aunque éstos sean diferentes. CONJUNTOS IGUALES: Dos conjuntos son iguales, si son equivalentes y los elementos de uno son también los elementos del otro. A = {1,3,5,7,9} B = {5,7,1,9,3} Ambos conjuntos tienen los mismos elementos.

MODULO III

3

SUBCONJUNTO: Cuando los elementos de un conjunto también pertenecen a otro conjunto. ⊆ A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {3,4,5,6} B ⊆ A se lee, B es subconjunto de A, quiere decir que B tiene parte de los elementos que tiene el conjunto A. o sea todos los elementos de B están en A y pueden ser iguales. Cuando decimos que un conjunto es subconjunto de otro estamos dando la idea de pertenencia o también la de partición, ejemplo: A ⊆ B significa A subconjunto B o también A pertenece a B o también A esta incluido en B. Ejemplo: V ={vocales del alfabeto}y A ={todas las letras del alfabeto}. Podemos decir que V⊂ A es decir, cualquier vocal es elemento del alfabeto, pero A ⊂ V porque en el alfabeto hay letras que no son vocales y por lo tanto no son elementos de V. Entonces se dice que V es un subconjunto propio de A, y nunca tiene la misma cardinalidad. V⊂A porque V es solo una parte de A, no pueden ser iguales. Esta idea del subconjunto propio nos sirve para establecer entre los conjuntos la idea de mayor (>) y menor ( 5 y x es un numero par ; x ∈ N .Esta conjunción solo sera verdadera para elementos de N que siendo números pares sean a la vez mayores que 5. El conjunto solución o de verdad quedaría como: {x ∈ N | x > 5 y x es par}. Este conjunto pertenece a la intersección del conjunto A = {x∈N|x>5}con el conjunto B = {x∈N | x es par }.

N

números menores que 5

444 4

núm. pares

2

La CONJUNCIÓN, se representará como una intersección de conjuntos. X es número dígito y es número par. Primero determinamos, los elementos de la primer proposición{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9} Después los elementos de la segunda proposición{2,4,6,8,10,12…} y vemos cuales son los números que cumplen con la condición de ser números dígitos y a la vez pares. En este caso el resultado sería:{ 2,4,6,8} El conjunto solución de esta conjunción sería la Intersección entre el primer y segundo conjuntos, es decir, {2,4,6,8}.

8

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {2,4,6,,8,10,12} U = ´{2,4,6,8}

DISYUNCION: Son dos proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico “o” la proposición compuesta que se forma se llama proposición disyuntiva. Ejemplo: x > 5 o x es un numero par; x ∈N. Esta disyunción es verdadera para elementos de N que cumplan una cualquiera de las dos afirmaciones es decir que dichos elementos pertenecen al conjunto solución de x > 5 o pertenecen al conjunto solución de x es par, o pertenecen a ambos . se observa que la solución corresponde a la unión de un conjunto D = {x ∈N | x > 5} con un conjunto E = {x ∈N | x es par}. En la grafica de las proposiciones abiertas en un mismo conjunto de reemplazamiento nos da una mejor idea de la solución , ya que solo 1, 3, 5 no pertenecen a la solución. N D

E números

1

números numeros mayores que 5

3

pares

5 D∪E

Para que una disyunción sea verdadera, cualquiera de las proposiciones será verdadera. Una disyunción será falsa, únicamente cuando las dos proposiciones sean falsas. Para encontrar el conjunto solución de una disyunción primero determinamos que elementos componen a cada una de las proposiciones y después las unimos como si se tratara de una UNIÓN de conjuntos. Ejemplo x es menor que 6 o x es par; x ∈N. {x ∈N | x