Guía del docente. 1. Descripción curricular: -

Nivel: NB6º, 8º Básico.

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Subsector: Matemática.

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Unidad temática: Geometría.

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Palabras claves: Geometría; Volumen; Figuras geométricas;

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Contenidos curriculares:

• Estimación y cálculo del volumen de cuerpos geométricos regulares expresándolos en unidades pertinentes. • Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo del volumen de prismas rectos. • Construcciones de redes para armar cilindros y conos. • Experimentación de procedimientos concretos para medir el volumen de conos y cilindros. • Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo del volumen de cilindros y conos. 2. Contenidos relacionados: -

IVº medio:

• Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.

3. Aprendizajes esperados: Los alumnos y alumnas: • Caracterizan los poliedros regulares en función de sus elementos y de la relevancia que han tenido en algunos períodos de la historia. • Utilizan de manera pertinente fórmulas para calcular el volumen de cuerpos geométricos y para analizar, predecir y/o justificar las eventuales variaciones en éste al variar algunos de los elementos del cuerpo (longitud de aristas, altura, área total). • Reconocen elementos de los cilindros y los conos, y los proyectan para el dibujo de redes correspondientes. • Comprenden la relación entre las fórmulas para calcular el volumen de diversos poliedros, el cilindro y el cono. • Evalúan y justifican estrategias (o procedimientos) para medir y/o calcular el volumen de cuerpos geométricos. 4. Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: Sitio: Área y volumen de figuras geométricas http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=a1b5 c7ad-bb14-4b57-b027-7d2ffe68ea38&ID=63610&FMT=348&PP=1 5. Descripción general de las actividades: La actividad que se muestra a continuación está relacionada con el sitio “Área y volumen de figuras geométricas. Ella pretende que los alumnos y alumnas construyan diferentes figuras geométricas, con plumavit, para luego calcular y obtener matemáticamente y experimentalmente el valor de su volumen. Esta actividad es posible realizarla en parejas y en dos horas pedagógicas.

6. Actividad: ¿Cómo determinar el volumen de cuerpos geométricos no convexos?

I. Introducción. Medición del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas

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Volumen de un cubo Un cubo es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares. El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si la

arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:

Vcubo= (3cm)3 = 33 cm3 = 27cm3 Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

El volumen a * a * a = a3 de un cubo se puede también definir como el producto del área de la cara basal a * a por la altura a, es decir: V = a * a * a= (a * a) * a = a2 * a = a3

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Volumen de un paralelepípedo

Un paralelepípedo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces se le denomina paralelepípedo recto, en caso contrario se trata de un paralelepípedo oblicuo. El volumen del paralelepípedo recto se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un vértice. Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando 2 * 3 * 6:

Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

El volumen a * b * c de un paralelepípedo recto se puede también definir como el producto del área de la cara basal a * b por la altura c, es decir: V = (a * b) * c = a * b * c El

procedimiento

para

calcular

el

volumen

de

un

paralelepípedo oblicuo varía respecto al del paralelepípedo recto sólo en que la altura debe medirse en la perpendicular levantada desde el plano que contiene a base inferior hasta algún punto de la base superior, como muestra la línea roja en la figura adjunta. Si las aristas de un paralelepípedo oblicuo son 2, 3 y 4 cm

(como muestra la figura adjunta) entonces su volumen se obtiene multiplicando el área de la base (2 * 3 = 6) por la altura del mismo (6 * 4 = 24), es decir:

Por lo tanto, si las aristas de la base de un paralelepípedo miden a y b, y su altura mide h entonces su volumen se calcula a través de la fórmula del paralelepípedo recto:

El volumen a * b * h de un paralelepípedo oblicuo de aristas basales a, b y altura h también se puede definir como el producto del área de la cara basal a * b por la altura h, es decir, V = (a * b) * h = a * b * h •

Volumen de un cilindro recto

Un cilindro recto, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos círculos, y por una superficie que las rodea por su borde, como muestra la figura adjunta. El volumen de un cilindro recto de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el área de la circunferencia basal por la altura h. Sabemos que el área de un círculo de radio r es: A círculo = p * r2

El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir:

V cilindro = A círculo * h

o sea:

El volumen p * r2 * h de un cilindro recto de base circular (con radio r) y altura h también se puede definir como el producto del área de la cara basal p * r2 por la altura h, es decir, V = (p * r2) * h = p * r2 * h •

Volumen de un cilindro oblicuo de base circular

Un cilindro oblicuo, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pasan por un segmento de recta que, a diferencia del cilindro recto, no es perpendicular a ambos círculos, y rodeado por una superficie que ajusta a los círculos, como muestra la figura adjunta. El volumen de un cilindro oblicuo de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el área de la circunferencia basal por la altura h. Sabemos que el área de un círculo de radio r es: A círculo = p * r2 El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir:

V cilindro = A círculo * h

o sea:

II. Desarrollo de la actividad: ¿Cómo determinar el volumen de cuerpos geométricos no convexos? Materiales: •

Plumavit (grueso)

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Corta cartón. (con supervisión)

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Un vaso de precipitado de 500 ml.

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Un litro de agua

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Una pelota de plumavit (que quepa en el vaso de precipitado).

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Un trozo de alambre

Procedimiento. 1. Utiliza el plumavit para fabricar diferentes cuerpos geométricos, como por ejemplo, un cubo, un paralelepípedo, una pirámide, un tetraedro, un cilindro, etc. (Los tamaños debes ser tales, que quepan en el vaso de precipitado) 2. Calcula matemáticamente sus volúmenes. 3. En el vaso de precipitado, vierte 250 ml de agua. 4. Pincha con el alambre cada figura geométrica. 5. Sumerge cada figura y fíjate en el nivel de agua del vaso de precipitado. Observa las figuras.

III. Contesta las siguientes preguntas, y comenta con tus compañeros. 1. ¿Qué relación tiene el nivel del agua con el volumen del cuerpo sumergido? __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________

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