Liceo Nº1“Javiera Carrera” Departamento de Física L. Lastra, M. Ramos. 2ºM P.C.

Guía Nº3. Aplicaciones de las Leyes de Newton I Hasta ahora se han aplicado las leyes de Newton a situaciones idealizadas que no involucran la fuerza de fricción. En está guía se expone como puede incluirse la fricción en algunas situaciones. Se analiza el concepto de momentum e impulso y su relación con la fuerza y la segunda ley de Newton. Finalmente se introduce una herramienta muy útil para resolver problemas que involucran colisiones o explosiones en sistemas de muchas partículas: la ley de conservación del momentum. 1. Fuerzas de Fricción La fuerza de roce o fricción siempre está presente en un sistema mecánico, aunque a menudo por razón de explicar los principio básicos de la mecánica, se la desprecia. La fuerza de roce cinético aparece cuando dos superficies se deslizan entre si y siempre se opone al movimiento relativo entre las superficies, como por ejemplo un libro sobre una mesa, o un neumático que desliza sobre el pavimento. Tales fuerzas son de origen microscópico. A una escala intermedia puede considerarse que la fuerza de roce se debe a pequeñas micro soldaduras 1 que se establecen entre las superficies en contacto. Un sistema como un libro o un neumático consiste de muchas partículas (átomos o moléculas) que interactúan mediante fuerzas de origen eléctrico. El número de partículas presentes en un gramo de materia ordinaria es del orden de 1023 . Los detalles microscópicos de la fuerzas ejercidas entre dos superficies son por lo general desconocidos y por lo tanto una aplicación directa de la segunda ley de Newton parece una tarea formidable, sino imposible. También existe otro tipo de fuerza de fricción que aparece cuando no hay movimiento relativo. Por ejemplo si intentamos mover un mueble pesado siempre aparece una fuerza que impide el movimiento inicialmente, tal fuerza es llamada fuerza de roce estático. La fuerza de roce tiende a “frenar” el movimiento en forma considerada a veces indeseable, además de provocar el desgaste de piezas en todo tipo de máquinas. Las distintas partes de una máquina sometidas a la fricción son lubricadas para evitar estos efectos. Sin embargo, a veces la fuerza de roce no es solo útil sino deseable. Si no existiera fuerza de roce los automóviles no podría desplazarse. ¿Si no existiese fuerza de roce podríamos desplazarnos caminando?. A pesar del origen complejo de la fricción, es posible cuantificarla empíricamente hasta cierto punto. Si consideramos un bloque de cierta masa m al cual se aplica una fuerza horizontal F , se ha encontrado que, si la fuerza varía desde cero hasta un cierto valor máximo (magnitud) F eRmax , entonces el bloque no se mueve. La fuerza de roce F eR debe ser igual en magnitud a la fuerza aplicada pero de dirección contraria 1 Para una explicación mas detallada acerca de la fricción puedes consultar Física de Resnick, Halliday y Krane (disponible en la biblioteca), página 120.

Aplicaciones de las Leyes de Newton I

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e e F =−F R . A medida que aumenta (magnitud) mas allá F Rmax vemos que el bloque se pone en movimiento, este comienza a acelerar, de modo que podemos deducir que la fuerza de roce no sigue aumentando, resultando constante. Se ha observado que fuerza necesaria para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante es menor. Al moverse el bloque con velocidad constante la fuerza aplicada sobre el bloque es igual en magnitud a la fuerza de roce c cinético, F R . También se ha determinado que la fuerza de roce cinético es entre dos superficies es proporcional a fuerza normal N actuando sobre el bloque, por lo que puede escribirse como:

FcR =c N .

Ademas la fuerza de roce estática máxima puede escribirse como: FeRmax =e N . Los números c y e son llamados coeficiente de roce cinético y coeficiente de roce estático respectivamente y dependen de la naturaleza de las superficies en contacto. Cuesta mas poner un objeto en movimiento que mantenerlo en movimiento debido al que el roce estático máximo (magnitud) es mayor que el cinético. Matemáticamente FeRmax F cR .

Si se aplica una fuerza horizontal cualquiera sobre un cuerpo, la fuerza de roce estático siempre se opone a esta. No obstante la fuerza de roce cinético esta en dirección contraria a la velocidad del objeto, no necesariamente de la fuerza horizontal neta que podría de hecho estar frenando un objeto y por lo tanto esta en la dirección contraria a la velocidad o al movimiento relativo del cuerpo. En la tabla siguiente se listan algunos coeficientes de roce que serán útiles en el curso. Superficies

e

c

0,25-0,5

0,2

Vidrio contra vidrio

0,94

0,4

Acero contra acero

0,74

0,57

Hielo sobre hielo

0,1

0,03

Huevos sobre teflón

0,04

-

0,09

0,05

Madera contra madera

Acero contra lubricadas

acero,

superficies

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2. Momentum El Momentum o momentum lineal o cantidad de movimiento p de una partícula de masa m y velocidad v , se define como p= m v . Note que, de acuerdo con la definición, el momentum es una cantidad vectorial con igual dirección que la velocidad y la unidad kg·m/s. La formulación mas general de la segunda ley de Newton no es F =m a . Originalmente Newton la formuló en términos del momentum, de la siguiente forma: La razón de cambio (en el tiempo) del momentum de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre este y está en la dirección de esa fuerza. Con razón de cambio quiere decir razón de cambio instantánea o límite, como el que se ha estudiado al definir la velocidad instantánea. Es decir, en cada instante del tiempo t la fuerza es igual a la variación instantánea (“justo en el instante t”) del momentum. En símbolos: Ft =lim t0  t

p dp ≡  t dt

(2º Ley de Newton)

En forma imprecisa podemos considerar que Ft se calcula cuando t 0 está “infinitamente” cercano t, de modo que su diferencia  t es muy pequeña y la denotamos por dt . De igual manera la diferencia  p es “infinitamente pequeña” y la denotamos por d p . Si la fuerza resultante sobre la partícula es constante e igual a F entonces es cierto para cualquier intervalo de tiempo [t o ,t f ] que: F=

p f −p0 t f −to

=

p . t

Si la fuerza resultante no fuese constante en el intervalo de tiempo considerado, entonces a la variación del momentum con respecto al tiempo es por definición la fuerza promedio en el intervalo: F=

p f −p0 p = . t f −t o t

En general si la partícula o cuerpo puede ser considerado matemáticamente una partícula2 y no tiene una masa variable, entonces la segunda ley de Newton toma la forma ya conocida. Usemos el caso en que la fuerza neta es contante para ilustrar es punto. En este caso la aceleración también es constante e igual a  v/ t , por lo que:

2 Esto será considerado al final de la unidad de leyes de Newton

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F=

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p f −p0 m v f −m v 0 v f −v 0 v = =m =m =m a , t f −t o t f −t0 t f −t 0 t

es decir obtenemos la segunda ley de Newton tal como la habíamos enunciado antes. Para una sistema de N partículas de masas m1 , m2 ... m N , y velocidades v 1 , v 2 ... v N , se define el momentum P total como: P = p1 p2 ⋯p N =m 1 v 1m2 v 2 ⋯m N v N Un resultado muy importante es el siguiente: La fuerza total externa que actúa sobre un sistema de partículas es igual a la variación temporal del momentum lineal total del sistema. Simbólicamente esto puede escribirse como: dP

∑ F ext = dt

,

donde debe pensar el símbolo d como una variación “infinitamente pequeña” alrededor de t , de tal manera que F ext tiene que interpretarse como la fuerza en el instante de tiempo t (recuerde que en general las fuerzas sobre un cuerpo pueden variar en el tiempo). No se preocupe por esto, siempre calcularemos usando fuerzas constantes, en cuyo caso F = p/ t para cualquier intervalo de tiempo o consideraremos fuerzas promedios en un intervalo. Para mostrar que la relación anterior es cierta consideremos el caso especial en que solo tenemos dos partículas. Las partículas constituyen nuestro sistema a considerar, de modo que podemos clasificar las fuerzas que actúan sobre cada partícula como internas o externas. Las fuerzas externas constituyen fuerzas ejercidas sobre las partículas por agentes externos al sistema, en cambio las fuerzas internas son ejercidas sobre una partícula por la otra. Tales fuerza pueden ser de acción a distancia, como las fuerzas gravitacionales o eléctricas, o de contacto, tal como cuando las partículas chocan. En la figura siguiente se presenta la ext situación. La fuerza F1 representa la fuerza total externa sobre la Fext 2 F2 1

F1 2

m1 Sistema F

ext 1

m2

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ext partícula 1 y F2 sobre la 2. En la figura no se han incluido el momentum de cada partícula para no complicarla. La fuerza F2 1 es la fuerza que ejerce la partícula 2 sobre la 1 y análogamente para F1 2 . Aplicando la segunda ley de Newton a la partícula 1 y 2, obtenemos:

d p1 dt d p2 ext . Fuerza resultante sobre 2 = F2 F 1 2 = dt ext

Fuerza resultante sobre 1 =F 1 F 2 1 =

Sumando ambas ecuaciones obtenemos ext

ext

F1 F 2 1F2 F 1 2 =

d p1 d p2 .  dt dt

Pero por si la fuerza entre partículas cumplen la ley de acción y reacción entonces: F2 1 =−F 1 2 , por lo tanto se cancelan en la suma anterior. Ademas la variación de cada uno de los momenta (plural de momentum), es igual a la variación del momentum total (convencete de esto verificando que para dos cantidades x e y se cumple que   xy = x y ). Por lo tanto podemos concluir que:

∑ F ext =F ext1 F ext2 =

d p1 d p2 d  p1p 2  d P .  = = dt dt dt dt

Resultado que ya habíamos anticipado. 3. Conservación del Momentum El resultado anterior tiene una importante consecuencia, llamada ley de conservación del momentum lineal, que se enuncia como sigue: Si las fuerza externa total actuando sobre un sistema de partículas es cero, entonces el momentum lineal total del sistema es cero. Esto es por que si

∑ F ext =0 , entonces: dP =0 . dt

Es decir la variación temporal del momentum total es cero. Si el

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momentum no varía en el tiempo por definición esto quiere decir que es constante, es decir: P = constante. A menudo se dice también que el momentum total se conserva cuando la fuerza externa total sobre el sistema es cero. La ley de conservación del momentum lineal es útil para analizar situaciones donde la aplicación directa de la leyes de Newton es difícil o imposible, tal como en el caso de un choque o una explosión. En tales casos las fuerzas que actúan sobre los cuerpos que constituyen el sistema son desconocidas y/o muy complejas de tratar matemáticamente. Sin embargo podemos predecir cual será(n) las velocidad(es) después del choque si conocemos las velocidades antes del choque aplicando la conservación del momentum3 4. Impulso Consideremos una fuerza resultante no nula que actúa sobre un objeto durante un intervalo de tiempo. De acuerdo con la segunda ley de Newton la fuerza cambiará el momentum del cuerpo a medida que la fuerza actúe. ¿Cuál será el cambio de momentum del cuerpo?, si la fuerza es constante al igual que la masa del cuerpo, entonces esto puede resolverse fácilmente. En este caso, para un intervalo de tiempo  t , el cambio de momentum será:  p =F  t La cantidad F t es llamada impulso I . Note que es una cantidad vectorial y tiene la misma dirección que F . En una dimensión esta cantidad tiene una interpretación geométrica sencilla. Consideremos un sistema de coordenadas como se muestra en la figura, y asumamos que la fuerza tiene la dirección indicada. Una fuerza en esta dirección (positiva) tiene como efecto un cambio de momentum positivo, de modo de modo que el impulso es una cantidad (vectorial) positiva (apunta hacia la derecha) y es igual al área contenida bajo el gráfico de F contra t en el intervalo  t =t2 −t 1 . Sin considerar las posibles direcciones de los momentum inicial y final el impulso siempre tiene la misma dirección de la fuerza. En al figura se ha considerado el caso en que la velocidad inicial esta en la dirección positiva, pero todo lo anterior es cierto si la masa hubiese estado moviéndose hacia la izquierda inicialmente.

3 Solo se analizarán problemas en clase donde una de las velocidades finales es conocida. Un problema general de colisiones requiere de suposiciones adicionales, tales como la conservación (o no) de la energía cinética.

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F0

O

F0

t1

x

t2

F

F0 I = F0⋅ t = esta área = p

t1

t

t2 Figura 4.1

Si la fuerza fuese variable la interpretación geométrica es también válida, y la única forma de definir el impulso en este caso es justamente como esa área. Una fuerza variable la denotamos por F t para indicar que depende de un instante de tiempo en particular. Por lo tanto en el caso de una fuerza variable pero que mantiene su dirección positiva, el F(t)

F

I = F⋅ t = esta área = p t1

t2

t

Figura 4.2

impulso en una dimensión es el área bajo la curva en el gráfico F contra t , como se muestra en la figura 4.2. En este caso el impulso es igual a F  t , siendo F la fuerza promedio que actúa sobre la partícula que igual a  p/t . ¿Que ocurre si la fuerza esta en la dirección negativa (hacia la izquierda)?, el impulso es negativo y se define como menos el área sobre la curva en el gráfico F contra t , como se muestra en la figura 4.3.

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F(t)

t1

t2 t I = F⋅ t =−esta área =p

F

Figura 4.3:

En general la fuerza podría cambiar de dirección, lo que en una dimensión corresponde a un cambio de signo, de tal manera que en cierto instante podría ser ejercida hacia la izquierda y luego hacia la derecha. En este caso el impulso en un intervalo se define como al área bajo la curva en el gráfico F contra t , en los intervalos en que esta es positiva, menos el área sobre el gráfico de F contra t en los intervalos F(t)

F

t1

A

A

1

3

A

t2

2

Figura 4.4

en que la fuerza es negativa. Esto se muestra en la figura 4.4. El impulso total en el intervalo considerado es I = A1 −A2 A 3 .

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Cuando una fuerza actúa sobre un instante de tiempo muy corto sobre un objeto, tal como cuando una pelota es golpeada o pateada, se dice que la fuerza es impulsiva. En general tales interacciones involucran fuerzas impulsivas de 2 o 3 ordenes de magnitud mayores que las fuerza de gravedad, de tal manera que durante el intervalo de tiempo en que actúan dichas fuerzas, fuerzas como la gravedad pueden ser despreciadas en cuanto al cambió de momentum que provocarán. En general puede demostrase el teorema del impulso y el momentum: I=p La interpretación o definición del impulso será en general mas compleja en dos o tres dimensiones, pero el resultado anterior será cierto siempre en cualquier dimensión. También es cierto que I = F t . El resultado anterior permite estimar magnitudes de fuerzas impulsivas. 5. Preguntas 1.

2.

3.

4.

5.

La segunda ley de Newton afirma que si no se ejercen fuerzas externas sobre un sistema, éste no se acelera. ¿Podemos deducir que aquí no puede haber cambios en el momentum? La tercera ley de Newton establece que la fuerza que ejerce un rifle sobre una bala es igual y opuesta que la fuerza que la bala ejerce sobre el rifle. ¿Podemos deducir de esto que el impulso que el rifle imparte a la bala es igual y opuesto al impulso que la bala ejerce sobre el rifle? Las siguientes tres preguntas (3, 4 y 5) se refieren a dos carros desliz adores de un riel de aire. Supón que los dos carros tienen la misma masa. Los carros se acercan uno a otro con la misma rapidez y sufren una colisión elástica. Describe su movimiento después de una colisión. Supón que los carros tienen la misma masa y que están provistos de una tira de velaron para quedar adheridos al

chocar. Los carros se acercan uno a otro con la misma rapidez. Describe su movimiento después de la colisión. 6.

Supón que uno de los carros está en reposo y que lleva una carga tal que su masa es 3 veces la masa del carro en movimiento. Como en la pregunta anterior, los carros están provistos de un trozo de velaron. Describe su movimiento después de la colisión.

7.

En términos de la conservación del momentum ¿Por qué retrocede un arma de fuego cuando dispara?

8.

Un carro de laboratorio de masa m se desplaza 4 m/s a la derecha, choca con otro carro también de masa m, el cuál se encuentra en reposo al chocar continúan unidos. ¿Esta colisión es elástica o inelástica? Explique

9.

¿La fuerza es una magnitud vectorial o escalar? Justifique su respuesta.

10. ¿Qué es el peso de un cuerpo? ¿En

qué unidades se mide?

Aplicaciones de las Leyes de Newton I

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11. Enuncie la tercera Ley de Newton.

acción y reacción, e indique en qué cuerpos están aplicadas.

Dé dos ejemplos de interacción entre dos cuerpos, mostrando las fuerzas de 6. Preguntas de Desarrollo 1.

El bloque mostrado en la figura de este ejercicio, se desplaza en movimiento rectilíneo. Bajo la acción de una fuerza resultante F con valor 5.0 N. La fuerza F actúa desde el instante t1 = 2.0 s, hasta el instante t2 = v1 t1

F

v2 t2

6.0 s. a) ¿Cuál es el valor del impulso, I, producido por la fuerza sobre el bloque? b) Trace, en la figura, el vector I. 2.

3.

4.

actúa sobre la partícula? 5.

Considere un cuerpo que se desplaza en movimiento rectilíneo uniforme. a) ¿El momentum de este cuerpo está cambiando explique? b) Tomando en cuenta la respuesta a la pregunta (a), ¿qué concluye usted acerca del impulso que actúa en el cuerpo? c) Entonces, ¿cuál es el valor de la resultante de las fuerzas aplicadas al cuerpo?

Represente por un vector en la figura, la variación de momentum que ese impulso produjo en el bloque. Suponga en el ejercicio anterior, que el valor del momentum del objeto en el instante t1 fuese q1= 10 Kg.· m/s. a) Trace en la figura el vector q1. b) Recordando su respuesta a la pregunta (c) del ejercicio anterior, determine el valor de q2. c) Trace en la figura el vector q2. Una persona, de masa m = 200 gramos, describe una trayectoria rectilínea por la acción de una única fuerza, que permanece constante. Observemos que la partícula pasa de una velocidad inicial v1 = 3.0 m/s, a una velocidad final v2 = 8.0 m/s, durante un intervalo de tiempo ∆t = 4.0 s. a) ¿Cuáles son los valores del momentum inicial (q1) y final (q2) de la partícula? b) ¿Qué valor tiene el impulso recibido por la misma? c) ¿Cuál es el valor de la fuerza que

v2 2 v1 1

d) Una

partícula describe, con velocidad de magnitud constante (v2 = v1), la trayectoria curva indicada en la figura de este ejercicio. e) Trace en la figura los vectores q 1 y q2 que representan el momentum de la partícula en las posiciones (1) y (2 f) ¿Varía el momentum de la partícula? Explique g) Tomando en cuenta la respuesta a

Aplicaciones de las Leyes de Newton I

la pregunta (b), ¿podemos concluir que existe un impulso que actúa sobre la partícula. 6.

7.

Dos cuerpos, A y B, para los que mAmB , se encuentran en reposo. Suponga que ambos reciben impulsos iguales. a) El momentum adquirido por A, ¿será mayor, menor o igual a la adquirida por B? Justifique su respuesta(demuestre algebraicamente). b) La velocidad adquirida por A, ¿será mayor, menor o igual a la adquirida por B? Justifique su respuesta (demuestre algebraicamente) Un pequeño camión, cuya masa es m1 = 3.5 Kg. se desplaza con una velocidad v1 = 0.2 m/s sobre una superficie horizontal lisa. Un muchacho lanza a la caja de carga del camión, un ladrillo de masa m2 = 0.5 Kg. con una velocidad horizontal v2 = 5 m/s. Inmediatamente después del impacto, el camión y el ladrillo (que cayó dentro de él) se mueve con una velocidad V. Considerando el sistema

11

8.

Una pelota, de masa m = 750 gramos, describe una trayectoria rectilínea por la acción de una única fuerza, que permanece constante. Observemos que la pelota pasa de una velocidad inicial v1 = 2.5 m/s, a una velocidad final v2 = 9 m/s, durante un intervalo de tiempo ∆t = 2.5 s. a) ¿Cuáles son los valores del momentum inicial (q1) y final (q2) de la partícula? b) ¿Qué valor tiene el impulso recibido por la misma? c) ¿Cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre la partícula?

9.

Una pelota de tenis, de masa igual a 100 g, es lanzada contra una pared, a donde llega horizontalmente con una velocidad de 20 m/s. Al rebotar en la pared regresa con la misma velocidad horizontal. Sabiendo que la fuerza media debida a la pared que actúa sobre la pelota durante el impacto es de 40 N. a) ¿cuál es aproximadamente, la variación de momentum que la pelota sufre? b) ¿cuál es el impulso que recibe?

10. Demostrar cual es la relación que

existe entre momentum (p) e impulso (I). camión + ladrillo, diga cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas. (JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS) a) El momentum del sistema inmediatamente antes del choque, era de 3.2 Kg. * m/s. b) El momentum del sistema inmediatamente después del choque, es menor que antes del impacto. c) La velocidad del camión debe disminuir, por que su masa se incrementó. d) La velocidad del sistema inmediatamente después del choque, es de V = 0.8 m/s

11. Suponga que el bloque de la figura

pesa 20 Kg. Los coeficientes de roce entre él y la superficie valen μe=0.4 y μc=0.2. Ejerciendo sobre el bloque una fuerza F de 5 N, comprobamos que permanece parado. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de roce estático, fe, que actúa sobre el bloque? b) ¿Cuál debe ser el mínimo valor de F para que el bloque se ponga en movimiento? c) Una vez que se inicie el movimiento, ¿cuál debe ser el valor de F para mantener al cuerpo en

Aplicaciones de las Leyes de Newton I

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movimiento uniforme? 15. Un bloque, cuyo peso es P=200 N, se

encuentra en reposo sobre un plano inclinado, como muestra la figura.

F

16. Trace, en la figura, la reacción normal A

B

N y la fuerza de roce estático, ejercidas por el plano sobre el bloque.

12. Una mesa es empujada por una

persona con una fuerza F horizontal, como muestra la figura de este ejercicio. Suponiendo que F=3.5 N y que la mesa no se mueve: a) Trace, en la figura, la fuerza de roce estático, fe, que actúa sobre la mesa. b) ¿Cuál es en tales condiciones el valor de fe? c) Si el valor de F aumenta, sea F = 7 N y la mesa todavía estuviese inmóvil, ¿cuál sería entonces el valor de fe? 13. Considere que la mesa del ejercicio

anterior tiene un peso P = 15 N. Entonces, ¿ a) Cuánto vale la reacción normal N que el suelo ejerce sobre la mesa? b) Si sabemos que la mesa empieza a moverse cuando el valor de F se vuelve ligeramente superior a 9 N, ¿Cuál es el valor de la máxima fuerza de roce estático, feM? c) ¿Cuál es el valor del coeficiente de roce estático, μe, entre la mesa y el suelo?.

¿Cuál es la dirección y el sentido del vector que representa al peso de un cuerpo? 17. Un obrero (con corbata) trata de

empujar una caja sobre un plano horizontal, como muestra la figura A, y no consigue ponerla en movimiento. Intuitivamente, se agacha y empuja la caja aplicando la misma fuerza como vemos en la figura B, y en este caso, con el mismo esfuerzo, logra su intento. Explique la razón.

14. Considere la mesa mencionada en

los ejercicios 12 y 13, ahora en movimiento, que la persona aún empuja en dirección horizontal. a) Si el coeficiente de roce cinético entre la mesa y el suelo es μc = 0.4, ¿cuál es el valor de la fuerza de roce cinético, fc, que actúa sobre la mesa? b) Para que el cuerpo se desplace en movimiento rectilíneo uniforme, ¿la fuerza F ejercida por la persona debe ser mayor, menor o igual a 6 N?

Figura A

Figura B