Psu Matemáticas Profesor: Guillermo Corbacho [email protected]

Guía Psu Matemáticas Aplicación de definiciones y propiedades básicas de Ángulos 1. Sistemas de Medidas No vamos a definir lo que es un ángulo, pues tal concepto está bien arraigado en los alumnos de 4º medio. Existen tres sistemas de medición de ángulos. a) Sexagesimal: Se divide una circunferencia en 360 partes iguales. Cada arco así definido es un grado sexagesimal, el cuál es definido como su unidad de medida y se denota por el símbolo (º). De este sistema vamos a recordar la definición: Minuto sexagesimal es la sesenta ava parte de un grado sexagesimal. 1º = 60' Segundo sexagesimal es la sesenta ava parte de un minuto sexagesimal. 1' = 60'' b) Circular: La unidad de medida del ángulo es el radián. Un radián es la medida del ángulo, cuyo arco de circunferencia abarca una longitud igual al radio. Si r es el radio de una , su perímetro viene dado por:

P  2 r  2  3,14 r  6, 28 r Igual a 6,28 radios o llamados comúnmente radianes. Y la medida de un radián, comparado con el sistema sexagesimal- abarca aproximadamente 57,3º. Resumiendo: una circunferencia tiene una medida de distancia de 6,28 radios. Y la medida de su ángulo completo es 6,28 radianes. c) Centesimal: Es el sistema de medida de ángulos, menos conocido. Se divide la circunferencia en 400 partes iguales y cada arco así definido es un grado centesimal, lo que constituye su unidad de medida. Se g denota por el símbolo ( ).

2. Transformación de ángulos de un sistema a otro Para transformar ángulos sexagesimales a radianes o viceversa, o al sistema centesimal, se utiliza la bendita y amada proporcionalidad directa o bien amplificamos o simplificamos de manera conveniente. Para lo cuál hay que tener presente solo una, cualquiera de ellas, de las siguientes equivalencias dadas a lo largo de cada fila, de la siguiente tabla de equivalencias de un sistema a otro. Sexagesimal (º) Circular (rad) Centesimal (g) g 1 = 360º 1 = 2 [rad] 1 = 400 g 180º  [rad] 200 g 90º  100 [rad] 2 g 45º  50 [rad] 4 Ejemplos: g i) Vamos a transformar 30 del sistema centesimal a su equivalencia en grados del sistema sexagesimal: 1ero: Clasificamos: Sexagesimal Centesimal g 180º 200 g x 30

Psu Matemáticas Prof.: Guillermo Corbacho 2do: Efectuamos producto cruzado: g g 180º  30 = x  200 3ero: Despejamos x:

180º 30 g

x 200 g 18º 3 x 2 9º  3  x

ii) Transformar

 6

27º  x

[rad ] a ángulos sexagesimales.

Solución: La segunda fila de equivalencia nos muestra la siguiente equivalencia entre sistemas sexagesimales y circular:  1 Basta con dividir por 3 o multiplicar a ambos lados por 90º  [rad ] 2 3 para obtener en el lado derecho la expresión final

90º 

 2

[ rad ]

90º  1   [rad ] 3 2 3 30º 



6

/



6

[rad ]

1 3

[ rad ]

3. Conversión de grados a minutos y a segundos y viceversa en el sistema sexagesimal El diagrama siguiente nos muestra la conversión de grados a minutos y a segundos y viceversa:

4. Operaciones de suma y resta con ángulos sexagesimales a) Suma Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. 32º 15' 6'' +2º 8' 29' 34º 23' 35'' Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad inmediatamente superior. 15º 20' 16'' +20º 30' 54'' 35º 50' 70'' Teniendo en cuenta que 70'' = 60’’ + 10’’ = 1' 10'' en donde transformamos 60 seg. (60’’) en un 1 minuto (1’) El resultado de la suma lo expresamos como: 35º 51' 10''.

2

Psu Matemáticas Prof.: Guillermo Corbacho b) Resta La operación se dispone igual que la suma 30º 31' 12'' -22' 48'' Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''. Con lo cual ya podemos realizar la resta: 30º 30' 72'' -22' 48'' 30º 8' 24''

5. Clasificación de ángulos en el sistema sexagesimal Angulo Agudo

Angulo Rectángulo

Si 0º<  < 90º Angulo Extendido

Si   90º Angulo Completo

Angulo Obtuso

Si 90º< 