Psu Matemáticas Profesor: Guillermo Corbacho

Guía Psu Matemáticas Aplicación de definiciones y propiedades básicas de Ángulos 1. Sistemas de Medidas No vamos a definir lo que es un ángulo, pues tal concepto está bien arraigado en los alumnos de 4º medio. Existen tres sistemas de medición de ángulos. a) Sexagesimal: Se divide una circunferencia en 360 partes iguales. Cada arco así definido es un grado sexagesimal, el cuál es definido como su unidad de medida y se denota por el símbolo (º). De este sistema vamos a recordar la definición: Minuto sexagesimal es la sesenta ava parte de un grado sexagesimal. 1º = 60' Segundo sexagesimal es la sesenta ava parte de un minuto sexagesimal. 1' = 60'' b) Circular: La unidad de medida es la cantidad de veces que cabe el radio de un círculo, en el perímetro de la circunferencia que lo contiene. Esta unidad de medida es constante, válido en todos los casos de la geometría que hoy nos trata y es conocida como radián. Si R es el radio de una ⊗, su perímetro viene dado por: P = 2π R = 2 • 3,14 R = 6, 28 R Es decir, el perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros dibujemos. Esto se interpreta como: En un giro o vuelta completa –también llamada revolución- hay 6'28 radianes. Un radián es la medida del ángulo del centro cuyo arco tiene una longitud igual al radio de la circunferencia. Tal ángulo mide -en el sistema sexagesimal-, aprox. 57,3º. c) Centesimal: Es el menos conocido. Se divide la circunferencia en 400 partes iguales y cada arco así definido es un grado centesimal, lo que constituye su unidad de medida. g Se denota por el símbolo ( ).

2. Transformación de ángulos de un sistema a otro Para transformar ángulos sexagesimales a radianes o viceversa, o al sistema centesimal, se utiliza la bendita y amada proporcionalidad directa o bien amplificamos o simplificamos de manera conveniente. Para lo cuál hay que tener presente solo una, cualquiera de ellas, de las siguientes equivalencias dadas a lo largo de cada fila, de la siguiente tabla de equivalencias de un sistema a otro. Sexagesimal (º) Circular (rad) Centesimal (g) g 1⊗ = 360º 1⊗ = 2π [rad] 1⊗ = 400 g 180º π [rad] 200 g 90º π 100 [rad] 2 g 45º π 50 [rad] 4 Ejemplos: g i) Vamos a transformar 30 del sistema centesimal a su equivalencia en grados del sistema sexagesimal: 1ero: Clasificamos los ángulos usando alguna de las filas de equivalencia de la tabla anterior, por ejemplo, la equivalencia de la segunda fila: Sexagesimal Centesimal g 180º 200 g x 30 2do: Efectuamos producto cruzado: g g 180º • 30 = x • 200

Psu Matemáticas 3ero: Despejamos x: 180º •30 g

ii) Transformar

π 6

=x 200 g 18º •3 =x 2 9º • 3 = x 27º = x

[ rad ] a ángulos sexagesimales.

Solución: La segunda fila de equivalencia nos muestra la siguiente equivalencia entre sistemas sexagesimales y circular: π 1 Basta con dividir por 3 o multiplicar a ambos lados por 90º = [ rad ] 2 3 π para obtener en el lado derecho la expresión final [ rad ] 6 π 1 90º = [ rad ] /• 2 3 90º π 1 = • [ rad ] 3 2 3

30º =

π

6

[ rad ]

3. Operaciones de suma y resta con ángulos sexagesimales a) Suma Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. 32º 15' 6'' +2º 8' 29' 34º 23' 35'' Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad inmediatamente superior. 15º 20' 16'' +20º 30' 54'' 35º 50' 70'' Teniendo en cuenta que 70'' = 60’’ + 10’’ = 1' 10'' en donde transformamos 60 seg. (60’’) en un 1 minuto (1’) El resultado de la suma lo expresamos como: 35º 51' 10''. b) Resta La operación se dispone igual que la suma 30º 31' 12'' -22' 48'' Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''. Con lo cual ya podemos realizar la resta: 30º 30' 72'' -22' 48'' 30º 8' 24''

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4. Conversión de grados a minutos y a segundos y viceversa El diagrama siguiente nos muestra que para

5. Clasificación de ángulos en el sistema sexagesimal Angulo Agudo Angulo Rectángulo

Si 0º< α < 90º Angulo Extendido

Si α = 90º Angulo Completo

Angulo Obtuso

Si 90º< α