GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I

ASPECTOS PRELIMINARES INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES

SANTIAGO DE CALI UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI DEPARTAMENTO DE LABORATORIOS

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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES EN LAS MEDICIONES 1. INTRODUCCIÓN En las ciencias naturales los resultados de las medidas experimentales sirven para verificar la validez de modelos, leyes y teorías. Por esta razón, en la ciencia se considera al experimento como "juez de última instancia" y a la medición como pilar fundamental de cualquier enunciado científico. Sin embargo, como toda actividad humana, la medición no está exenta de imperfecciones. Cualquier medida, aún la que se realiza con los métodos y equipos más sofisticados, posee algún grado de incertidumbre. Por tanto, es deber de todo experimentador reportar sus medidas junto con una estimación de su incertidumbre. En esta práctica se introducirán métodos relativamente sencillos para determinar incertidumbres. 2. PROCEDIMIENTO 2.1 Cálculos de incertidumbre usando métodos estadísticos. Siempre que se pueda repetir varias veces la misma medida, el cálculo de su incertidumbre podrá hacerse por el método estadístico. Veamos un ejemplo de esta situación: 2.1.1. Construya un péndulo de longitud cualquiera l y póngalo a oscilar. Con el cronómetro mida el tiempo de una oscilación (salida y regreso de la masa al mismo punto). Registre el valor obtenido. 2.1.2. Repita la operación anterior hasta completar 50 datos y registre sus resultados. 2.1.3. Organice los 50 datos, escribiéndolos en orden ascendente. No omita los datos que se repiten. Registre los 50 datos ordenados en la tabla No. 1. 2.1.4. Construya un histograma con los datos de 2.1.3 tomando un tamaño de intervalo apropiado (debe haber por lo menos 5 intervalos). Sugerencia: para obtener el tamaño intervalo, al mayor de sus datos réstele el menor y luego divida por el número de intervalos escogido.

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2.1.5. Calcule el promedio de los datos y reporte este valor como el mejor estimado del período del péndulo. ¿Por qué? (observe en cuál de los intervalos hay mayor número de datos). Calcule también las sumatorias que están sugeridas al final de los cuadros. 2.1.6. Después de repetir 50 veces la misma medida, observe que no todas las medidas coinciden. Esta variabilidad de los resultados se debe a la repetibilidad del sistema de medición. ¿Cuáles cree que fueron las principales fuentes de variabilidad en el sistema que acaba de emplear para medir el período? 2.1.7 De acuerdo con los lineamientos del laboratorio cero, la componente de la incertidumbre del período asociada con la repetibilidad del sistema de medida se determina como la incertidumbre estándar de la media. Esta se define por:

sm =

s = DTrepetibilidad = n

donde s es la desviación estándar para una muestra de población. Calcule sm, este será el valor de la componente de incertidumbre asociado con la repetibilidad. 2.1.8. Aparte de la repetibilidad del sistema de medición, la otra fuente de incertidumbre que afecta el resultado es la resolución del instrumento. Esta componente puede estimarse como la mitad de la división de escala del instrumento: æ DT ö DTresolución = ç cronómetro ÷ = 2 è ø 2.1.9 Combine las dos componentes de incertidumbre estimadas (repetibilidad y resolución) y obtenga la incertidumbre D T. Por simplicidad, se sugiere hacer la combinación como una suma de los valores obtenidos en 2.1.7 y 2.1.8: DT = DTrepetibilidad + DTresolución =

2.1.10 Reporte el resultado de medición T = T y su incertidumbre D T con el número correcto de cifras significativas. DDEEPPAARRTTAAM MEENNTTOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOOSS GGUUIIAASS DDEE FFIISSIICCAA II

T ± DT = 2.1.11 Calcule también la incertidumbre relativa D T/ T . De acuerdo con este resultado discuta la calidad de su medida: DT = T

2.2. Determinación de la incertidumbre de la longitud de la cuerda. No siempre se dispone del tiempo, los recursos o la información necesarios para calcular la incertidumbre de una medida por métodos estadísticos. Entonces se debe recurrir a otros métodos. Las alternativas suelen combinar el tanteo, la experiencia y los conocimientos previos de la magnitud por medir que posea el experimentador. Veamos un ejemplo: 2.2.1. Mida la longitud del péndulo desde el punto de suspensión hasta el centro de la masa. Discuta con sus compañeros cuáles pueden ser las diferentes fuentes de variación (variables de influencia) que afectan el resultado de la medida y escriba una lista de ellas en la primera columna de la Tabla 2. 2.2.2 Ahora, discuta con sus compañeros y estime el valor de la contribución de cada variable a la incertidumbre de la longitud (componente de incertidumbre). Escriba los valores estimados en la columna 2. El valor estimado para cada componente debe ir enfrente de la variable respectiva. 2.2.3. Para calcular la incertidumbre combinada D l de la longitud, combine las diferentes contribuciones de cada una de las fuentes consideradas en el punto anterior. Por simplicidad y debido a que la medida de la longitud es una medida directa, use el mismo criterio de 2.1.9, es decir, sume todos los valores de las componentes de la columna 2 y escriba el resultado en la última casilla. Este será el valor la incertidumbre D l asignada a la medida de la longitud l: l ± Dl =

2.2.4 Reporte los valores de l y D l con el número correcto de cifras significativas. Halle también la incertidumbre relativa y discuta la calidad de su medida:

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2.3. Propagación de incertidumbres

Dl = l

Las medidas realizadas en 2.1 y 2.2 son medidas directas, es decir, corresponden a casos donde el valor de la medida se obtuvo directamente de un instrumento. En otras situaciones la magnitud se mide indirectamente; esto es, el resultado se obtiene después de hacer cálculos aritméticos con resultados de otras medidas, que también han sido reportadas con su incertidumbre. Para combinar las componentes de incertidumbre que afectan una medida indirecta debe tenerse en cuenta el tipo de dependencia funcional existente entre la variable medida y las variables de influencia. En la sección 2.2.2 del Laboratorio Cero se presentan algunas reglas de combinación para algunas funciones conocidas. Veamos un ejemplo de cómo calcular la incertidumbre de una medida indirecta. Teóricamente puede mostrarse que, para pequeñas oscilaciones, el período de un péndulo está relacionado con su longitud según la expresión: T = 2p Ö (l/g) 2.3.1 A partir de las medidas de T y l obtenidas en 2.1 y 2.2 y de la expresión anterior, calcule un valor para g. 2.3.2. Ahora, considere las incertidumbres D T y D l encontradas en 2.1 y 2.2, como componentes de incertidumbre de D g. Identifique la regla de combinación de la sección 2.2.2 del Laboratorio Cero que corresponda y determine la incertidumbre D g del resultado hallado en 2.3.1:

g ± Dg = 2.3.3 Halle la incertidumbre relativa y discuta la calidad de su medida:

Dg = g 2.3.4 Con métodos más confiables que el de esta práctica se ha encontrado que la gravedad en Cali es g = 9,77 m/s2 + 0,10 m/s2. A partir de este valor halle error y el porcentaje de error del resultado obtenido en 2.3.1. DDEEPPAARRTTAAM MEENNTTOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOOSS GGUUIIAASS DDEE FFIISSIICCAA II

2.3.5. Compare sus resultados, discuta acuerdos y diferencias y haga sus conclusiones.

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Tabla No. 1 Medida Nº

T i (s)

Ti (s) (ordenado)

(Ti - T )(s)

(Ti - T )2(s2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 DDEEPPAARRTTAAM MEENNTTOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOOSS GGUUIIAASS DDEE FFIISSIICCAA II

Medida Nº

Ti (s) (ordenado)

T i (s)

(Ti - T )2(s2)

(Ti - T )(s)

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 n

å (Ti ) = i =1

n

å (Ti - T ) = i =1

n

å (Ti - T )

2

=

i =1

1 n T = å Ti = n i =1

1 n s = (Ti - T ) 2 = å n - 1 i =1 2

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Tabla No. 2 Variable de influencia (Nombre de la variable)

Componente de incertidumbre (Valor estimado)

INCERTIDUMBRE COMBINADA D l (m):

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