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Curso 2007–2008

GUIÓN 4. DIFRACCIÓN

Objetivos En esta práctica se analiza el fenómeno de la difracción. En particular - se estudia la difracción de un haz láser por un hilo delgado - se emplea la técnica conocida como difractometría láser para la medida de diámetros de hilos en base al patrón de difracción

Materiales Banco óptico con 2 jinetillos. Láser de He-Ne. Hilos metálicos a medir (2 uds.), montados sobre un marco de diapositiva. Montante para diapositivas. Pantalla rígida vertical con base. Papel blanco y cinta adhesiva. Flexómetro. Regla.

Introducción

1. Difracción por una abertura rectangular. La propagación de un haz de luz monocromática se ve perturbada cuando se interpone en su camino un objeto opaco. La distribución de intensidad luminosa en la zona de propagación inmediatamente posterior al objeto, que se puede observar directamente sobre una pantalla, se caracteriza por la aparición de una zona de sombra con la misma geometría que el propio objeto. A medida que observamos la sombra sobre la pantalla a mayor distancia del objeto aparecen con mayor claridad unas fluctuaciones (máximos y mínimos) de intensidad alrededor de los bordes de la sombra Guión 4: Difracción- 1

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geométrica que la enmascaran, resultando cada vez más difícil identificar su forma original. Si se sigue aumentando la distancia de observación llega un momento en el que la distribución de intensidad ya no recuerda en absoluto a la sombra del objeto interpuesto. Estos fenómenos, que se denominan de difracción, son característicos de los movimientos ondulatorios en general. Se producen siempre que una onda (de cualquier naturaleza) interacciona con un obstáculo durante su propagación (ver referencia R1).

X'

X P

S

Z'

Z Y

Y'

Fig. 1. Difracción por una abertura.

Para realizar un análisis cuantitativo de los fenómenos de difracción consideraremos el caso sencillo de una fuente puntual monocromática que emite una onda esférica que incide sobre una pared plana en la que se ha practicado una abertura rectangular de ancho b (fig. 1). La onda incidente, al atravesar la abertura se difracta. Según el principio de Huygens (ver referencia R2), cada punto de la abertura se convierte en un emisor de ondas secundarias esféricas. La perturbación total en un cualquier punto P al otro lado de la pared será el resultado de la superposición de estas ondas secundarias. El fenómeno de la difracción es, por tanto, una manifestación más de los fenómenos de interferencia y para que se produzca de manera observable debe ocurrir que (ver referencia R3) C1) Las oscilaciones de las ondas en P se superponen sobre la misma base. C2) Las oscilaciones de las ondas en P son coherentes (tienen la misma frecuencia y diferencia de fase independiente del tiempo).

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Asumiendo que esto es así en nuestro caso, y para obtener el valor de la perturbación total en primera aproximación, descomponemos la abertura en N zonas de ancho constante b N

∆x =

[1]

El n-ésimo tramo de la abertura genera una perturbación en P dada por

ξ n ( P , t ) = ∆ A n sen [ϕ n (P , t )]

[2]

cuyo vector rotatorio asociado es ∆ A n ( P , t ) = ∆ A o (cos [ϕ n ]⋅ aˆ x + sen [ϕ n ]⋅ aˆ x )

n = 0 ,1, 2 , 3 ..., N − 1

[3]

De la misma forma que en la interferncia por N aberturas (ver referencia R3), la perturbación global en P es armónica y se puede escribir como

ξ ( P , t ) = A ⋅ sen [ϕ (P , t )]

[4]

cuyo vector rotatorio asociado el la suma A (P, t) =

N

∑

n =1

∆A n (P,t)

[5]

X P rN x

β

b

r1

β

Y

Z

D

Fig. 2. Difracción por una abertura en la aproximación de Fraunhofer

Buscaremos una expresión analítica explícita para el módulo del vector [5] en la llamada aproximación de Fraunhofer en la que se considera que el punto P está en un plano de observación paralelo a la pared y situado a una distancia D de ella en las siguientes condiciones (fig. 2): H1) La fuente S está muy alejada de la pared y la onda incidente sobre la abertura puede considerarse plana.

Guión 4: Difracción- 3

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H2) El plano de observación está muy alejado de la abertura (es decir, D >>b). H3) La zona de observación en el plano está próxima a la zona central de interferencia (es decir nos interesan puntos P con coordenadas (x,y) tales que D >> x, y).

Con estas hipótesis podemos asumir las siguientes aproximaciones como válidas: 1) Las perturbaciones en todos los puntos de la abertura están en fase. 2) Las amplitudes de todas las ondas secundarias que se superponen en P son iguales (∆A1=∆A2=.....=∆AN=∆A0) de forma que cuando la interferencia es destructiva se produce

X'

ξ

β

bN

O b

∆x

β

θ/2

Z'

β

θ/2

C ∆ AN

ξ

β b1

R

A ∆ Ai

B

r1-rN

∆ A1

Fig. 3. Detalle de la geometría de los rayos en la abertura en la aproximación de Fraunhofer

θ η

Fig. 4. Diagrama del vector rotatorio para la difracción por una abertura en la aproximación de Fraunhofer

ausencia total de perturbación. 3) Los ángulos que intervienen en la geometría del problema son pequeños de forma que las ondas que llegan a P viajan prácticamente en la misma dirección β (fig. 3). En estas condiciones, la máxima diferencia de camino entre las ondas secundarias, que se establece entre las que generan los bordes superior (b1) e inferior (bN) de la abertura, puede evaluarse como r1 − r2 ≅ b ⋅ sen β ≅ b ⋅ tan β = b

x D

[6]

lo que se corresponde con un desfase máximo

θ =

2π

λ

b ⋅ sen β =

2π

Guión 4: Difracción- 4

λ

b

x D

[7]

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Por lo tanto, si tomamos cada vez un mayor número N de segmentos en la abertura con anchos ∆x cada vez más pequeños (es decir, hacemos tender N a infinito y ∆x a cero con Ν ∆x=b constante) la suma [5] tiende a la integral A (P, t) =

∫ dA (P , t)

[8]

Ω

donde d A ( P , t ) = dA (cos [ϕ ] ⋅ aˆ x + sen [ϕ ] ⋅ aˆ y )

[9]

es el vector rotatorio infinitesimal asociado a la perturbación en P que genera un tramo de ancho dx. Geométricamente la integral [8] se corresponde con la suma de vectores infinitesimales [9]. Estos, a su vez, se apoyan en un arco de circunferencia BC de radio R (fig. 4) que subtiende respecto a un punto O un ángulo θ dado por [7] (valor del desfase máximo entre ondas secundarias generadas por la abertura). Con esta perspectiva resulta claro que el módulo del vector suma se puede evaluar como A = 2 R sen

θ

[10]

2

que es la longitud de la cuerda asociada al arco BC. La longitud del propio arco BC ⎛ θ ⎞ A max = 2 ⎜ R ⎟ ⎝ 2⎠

[11]

se corresponde con la máxima amplitud posible en el patrón de difracción (cuando todos los vectores infinitesimales se superponen en fase). Empleando [10] y [11] obtenemos para la amplitud del patrón de difracción la expresión

A (θ ) = A max

⎡θ ⎤ sen ⎢ ⎥ ⎣2⎦

θ

[12]

2

donde θ viene dado por [7]. La distribución de amplitud de difracción [12] (fig. 5) está caracterizada por un máximo central en x=0 (máximo de orden cero) rodeado de máximos secundarios de mucha menor amplitud. Los mínimos se producen en las posiciones x =

nD λ b

n = ± 1, ± 2 ,

Guión 4: Difracción- 5

[13]

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A/Amax 1

xb/λD -3

-2

0 +1

-1

+2 +3

∆x1 Fig. 5. Distribución de amplitud en el patrón de difracción de una abertura rectangular. El valor de n se conoce como orden y se utiliza para identificar cada mínimo. La distancia entre mínimos de orden +n y –n viene dada por ∆xn =

2 nD λ b

[14]

Consideremos ahora el caso particular de la difracción de ondas luminosas por un hilo de diámetro b. La teoría demuestra que si el diámetro del hilo no es ni tan grande que se aproxime al diámetro del haz de iluminación, ni tan pequeño que apenas intercepte energía luminosa del mismo, el patrón de difracción del hilo será prácticamente el mismo que el de una abertura de ancho b excepto en puntos muy cercanos al centro del patrón (normalmente la zona en la que el modelo de la rendija no es aplicable al hilo se reduce al máximo de orden cero). En estas condiciones el diámetro del hilo puede evaluarse midiendo la distancia entre mínimos de orden +n y –n como b =

2 nD λ = 2Dλyn ∆xn

[15]

Este es el fundamento de la técnica de medida conocida como difractometría láser que ensayaremos en esta práctica.

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Sistema experimental. El elemento central del sistema experimental es un láser de He-Ne (λ=633nm) montado sobre un jinetillo en un banco óptico. El láser ilumina el hilo que se pretende medir que está colocado vertical u horizontalmente en un portadiapositivas. El patrón de difracción del hilo se observa y caracteriza sobre una pantalla rígida vertical con base.

Procedimiento de medida. Una vez situado el hilo en posición vertical se debe girar suavemente el láser respecto al eje vertical (la misma barra cilíndrica que soporta el láser permite este movimiento) hasta que el hilo intercepta el haz. Se debe realizar un ajuste fino en la posición del haz láser de modo que la figura de difracción sobre la pantalla sea simétrica. Para caracterizar la figura de difracción sobre la pantalla fijamos con cinta adhesiva un papel en ella. Sobre el papel trazamos una pequeña raya vertical en la posición de cada mínimo de intensidad. En el caso de que el hilo se sitúe en posición horizontal será necesario modificar la altura del láser o del hilo. El ajuste fino en altura se realiza desplazando el soporte del hilo a lo largo del banco aprovechando que el haz láser no está exactamente paralelo al banco.

X

Pantalla

I/Imax

Hilo

1

Láser

∆x1 D

Fig. 6. Montaje experimental de la técnica de difractometria láser.

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Actividad En base a medidas de la distancia entre mínimos del patrón de difracción de un hilo determinaremos su diámetro.

Toma de datos 1.

Montaje y verificación del sistema experimental.

1.1

Realizar el montaje de la figura 6. Realizar un esquema del sistema experimental real tal y como está montado en el laboratorio en el que se reflejen los detalles que se consideren relevantes (Esquema 1.1). AVISAR AL PROFESOR/A

NO PROSEGUIR CON LAS ACTIVIDADES HASTA OBTENER SU VISTO BUENO. 1.2

Conectar el láser. Girar suavemente el láser respecto al eje vertical (la misma barra cilíndrica que soporta el láser permite este movimiento) hasta que el hilo intercepta el haz. Se debe realizar un ajuste fino en la posición del haz láser de modo que la figura de difracción sobre la pantalla sea simétrica. Anotar la información que se considere relevante (Esquema 1.1). En el caso de que el hilo se sitúe en posición horizontal será necesario modificar la altura del láser o del hilo. El ajuste fino en altura se realiza desplazando el soporte del hilo a lo largo del banco aprovechando que el haz láser no está exactamente paralelo al banco.

2.

Caracterización del patrón de difracción del hilo 1.

2.1

Fijar un papel con cinta adhesiva a la pantalla y situar ésta perpendicularmente al haz láser, a una distancia del hilo de aproximadamente 1 m. Medir con la mayor precisión posible dicha distancia que denominaremos Di. Trazar sobre el papel una pequeña raya vertical en la posición de cada mínimo de intensidad, en el mayor número posible de mínimos que se puedan ubicar con claridad sin omitir ninguno intermedio. Ojo con no mover la pantalla durante este proceso. Al terminar medir de nuevo la distancia hilo-pantalla Df y escribir en el propio papel los valores Di, Df y el valor nominal del diámetro del hilo b (el marcado en la diapositiva).

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2.2

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Repetir el mismo procedimiento con el hilo 1 pero con una distancia hilo-pantalla del orden de 2m (se puede emplear el mismo papel desplazando la pantalla lateralmente o cambiando la posisición del papel sobre la pantalla para que la nueva figura de difracción esté en una posición diferente) (at. 2.2).

2.3

Anotar en las tablas 2.1 y 2.2 los valores de Di, Df y b y las correspondientes distancias entre los ceros de intensidad de ordenes +n y -n. para cada una de la series 2.1 y 2.2.

3.1

Caracterización del patrón de difracción del hilo 2.

3.1

Repetir los apartados 2.1, 2.2 y 2.3 con el hilo 2 (at. 3.1 y 3.2)

Tratamiento de datos 4.

Evaluación del diámetro de los hilos.

4.1

Completar la tabla 2.1 con el valor medio de la distancia de trabajo D , las distancias entre mínimos normalizadas yn, su valor medio y y su desviación típica sN-1. Repetir el procedimiento para las tablas 2.2, 3.1 y 3.2. Calcular también los correspondientes errores sistemáticos y aleatorios para D , yn e y . N es el número de datos y la columna marcada con Σ puede emplearse para anotar las sumas de todos los valores de una fila, cuando así interese para realizar los cálculos.

4.2

Trasladar a la tabla 4.2 los valores obtenidos en 4.1 para D y y en las cuatro series de datos los correspondientes errores sistemático, aleatorio y total en cada caso (ver referencia R4). Para cada serie de datos, evaluar el diámetro del hilo bd empleando el modelo [15] con el valor medio y . Evaluar el error total en bd asumiendo que el error en λ es despreciable.

Discusión y análisis 5.

Discusión de los resultados.

5.

Realizar una breve discusión de los resultados considerando los siguientes aspectos: -

¿Son coincidentes los valores del diámetro obtenidos por difractometría láser con el diámetro nominal de los hilos?

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-

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¿Cuál de las dos distancias empleadas para la medida parece más aconsejable?

Referencias R1

M. Alonso, E.J. Finn, “Física”, Cap. 35, pp. 793-809, Adisson-Wesley Iberoamericana, 1995.

R2

Material en fotocopiadora: Transparencias del tema 1 “Movimiento ondulatorio”. Apartado 1.8, pp1.36-1.37.

R3

Material en fotocopiadora: “Interferencia y difracción I”.

R4

Material en fotocopiadora: “Magnitudes físicas y medidas. Teoría de errores”. Apartado “Medidas directas repetidas numerosas veces en condiciones prácticamente idénticas”, pp. 14-16.

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