HACIA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Tomás Ortega Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid [email protected]

Introducción El primer objetivo fundamental de este trabajo es dar a conocer una metodología de resolución de problemas para que pueda ser aplicada en las aulas de Educación Primaria, metodología que se aplicará a ejemplos de problemas concretos. El segundo objetivo es mostrar las posibilidades de uso de la calculadora básica, para que se utilice como herramienta didáctica en este nivel educativo. Finalmente se proponen cuatro problemas de geometría para que sean resueltos por los alumnos utilizando la calculadora.

Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura

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1. UN MODELO DE RESOLUCIÓN Los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas (PAVOC) son problemas que se resuelven con más de una operación y requieren un proceso de resolución en el que se tiene que elaborar una estrategia de resolución con estas fases: 1. Qué operaciones se tienen que realizar. 2. Que datos intervienen en cada una de ella,. 3. En qué orden intervienen las operaciones. 4. Si se tienen que utilizar resultados parciales intermedios. También conviene saber que en problemas de una etapa, con números pequeños, los niños pueden resolverlos con estrategias personales, y que tales estrategias dejan de ser efectivas cuando los números tienen varias cifras. En la resolución de estos problemas es fundamental el proceso de traducción del enunciado verbal al lenguaje aritmético, y la instrucción que se lleve a cabo, además, tiene que dotar de significado a las operaciones. El hecho de que los procesos de traducción aritmética y la significación de las operaciones no sean biunívocos con el campo semántico verbal implica unos niveles cognitivos de los lenguajes implicados que sean adecuados, que les permitan construir unos enunciados esquemáticos (verbal, gráfico o simbólico) en los que se pueda identificar la estructura del problema. Desde la época griega (Euclides, 300 a C, Pappus 320 d C) es conocido el método de Análisis-Síntesis, método que es eficaz para resolver problemas aritméticos y que básicamente consiste en los siguiente: I. Análisis 1. Identificar la incógnita del problema (cantidad desconocida que hay que calcular y que resuelve el problema). 2. Determinar qué datos son necesarios para hacer ese cálculo 3. Si están todos hay que hacer el cálculo final 4. Si falta alguno, se considera como una incógnita intermedia. 5. Determinar qué datos son necesarios para calcular la incógnita intermedia y aplicar el proceso anterior a esta incógnita. 6. Iterar el proceso las veces necesarias hasta que: -

O bien se tienen todos los datos para calcular la incógnita del problema. En este caso se calcula y el problema termina felizmente

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O bien alguno no se puede calcular, o se llega a contradicciones. En este caso el problema no tiene solución

II. Síntesis: es la acción resolutora.

EJEMPLO DE ANÁLISIS-SÍNTESIS Y RESOLUCIÓN Problema 1. El pasado lunes llegaron al aeropuerto de Valladolid cuatro aviones procedentes del extranjero. El primero venía de Londres y trajo 218 pasajeros, el segundo procedía Bruselas y en él vinieron 95 personas menos que en el de Londres, el tercero venía de París y de él se bajaron el doble de personas que del avión procedente de Bruselas, el cuarto venia de New York y el número de pasajeros era el mismo que juntando los pasajeros de Bruselas y la tercera parte de los de París. ¿Cuántas personas llegaron a Valladolid en estos aviones? Análisis: 1. ¿Cuál es la incógnita del problema? El número de personas llegaron a Valladolid 2. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de personas que llegaron en cada avión. 3. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Se sabe el número de pasajeros que llegaron en el avión de Londres, pero no los demás. Por tanto, el número de pasajeros de estos aviones son incógnitas intermedias. A. ¿Cuál es la primera incógnita intermedia? El número de personas que llegaron de Bruselas. B. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de personas que llegaron de Londres. C. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Son todos conocidos. a) ¿Cuál es la segunda incógnita intermedia? El número de personas que llegaron de París. b) ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de personas que llegaron de Bruselas. c) ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Es necesario que se haya calculado el número de pasajeros que procedían de Bruselas. a. ¿Cuál es la tercera incógnita intermedia? El número de personas que llegaron de New York. b. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de personas que llegaron de Bruselas y la tercera parte de los que llegaron de París. 2

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c. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Es necesario que se hayan calculado el número de pasajeros que procedían de Bruselas, pero no se conoce cuántos son la tercera parte de los viajeros que venían de París. Por tanto esta es una cuarta incógnita intermedia. -

¿Cuál es la cuarta incógnita intermedia? Cuál es la tercera parte del número de personas que llegaron de París.

-

¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de personas que llegaron de París.

-

¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Haber calculado el número de pasajeros que procedían París.

Síntesis (lo redacto en primera persona, como si yo fuera el alumno): 1) Como sé el número de pasajeros que llegan de Londres, 218, y que de Bruselas llegaron 96 personas menos, para hallar el número de personas que llegaron de Bruselas sólo tengo que hallar 218-95=123. 2) Como ya conozco los pasajeros procedentes de Bruselas, 123, puedo calcular los que venían de París, ya que sólo tengo que calcular 123·2=246 3) Como sé el número de personas que venían de París, 246, para hallar su tercera parte tengo que calcular 246:3=82 4) Como ya he calculado los pasajeros que venían de Bruselas, 123, y la tercera parte de los que venían de París, 82, para calcular los que llegaron de New York sólo tengo que calcular 95+82=177 5) Ahora ya conozco todos los datos necesarios para calcular la incógnita del problema y para ello sólo tengo que hacer esta suma: 218+123+246+177=754.

LA ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS La cadena deductiva que conecta los datos del problema con la incógnita es la estructura del mismo y se puede elaborar un diagrama que recoja el proceso de resolución que, en suma, debe contemplar los siguientes entes: Las etapas necesarias para ir desde la incógnita a los datos, el número de incógnitas auxiliares, las conexiones entre los datos y las operaciones que hay que realizar.

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En definitiva se trata de crear un esquema que facilite la traducción del lenguaje verbal al lenguaje aritmético junto a al proceso de resolución. Éste está implícito al consignar qué operaciones, con qué datos y en qué orden. La figura 1 muestra el diagrama de resolución que corresponde al problema enunciado. En él se puede apreciar el número de incógnitas auxiliares, las operaciones que hay que realizar, el orden de las mismas y los datos que intervienen en cada una de ellas. Se trata de un problema de cinco etapas y, por tanto, ya no es un problema fácil de resolver dentro del nivel de estudios que corresponde a todos los conceptos que están presentes en él, y la complejidad del diagrama de estructura es un fiel reflejo de la dificultad del problema correspondiente.

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Figura 1.Diagrama estructura asociado al problema1.

Problema 2. Para organizar la merienda de cumpleaños de Luis, a su mamá la cobran 8,65 euros por cada niño. Fueron 13 niños y su mamá pagó con un billete de 100 € y con otro de 50 €. ¿Cuánto dinero la tienen que devolver? La figura 2 corresponde al diagrama estructural del problema 2, problema de dos etapas, y que, como es evidente, tiene una estructura más sencilla. La dificultad del mismo está asociada a la complejidad de los números que intervienen, pero el uso de la calculadora palia estas dificultades sin mermar los aprendizajes de resolución (pero no las algorítmicas).

Figura 2.Diagrama estructural del problema 2.

Problema 3. Se ha organizado una rifa en el colegio para recaudar dinero y así poder hacer una excursión. Se han hecho 500 papeletas para venderlas a 1,5 euros cada una,

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pero sólo se consiguieron vender las tres quintas partes1. Al final van a la excursión 45 niños y se quiere saber el dinero que se ha ahorrado cada niño2. Haced el diagrama estructural correspondiente en el recuadro de la figura 3 y resolver el problema. Cuando se trata de problemas contables, la estructura de tabla proporciona una organización muy adecuada para ir anotando los resultados parciales (soluciones de las Figura 3. Recuadro para el incógnitas intermedias) y llegar al resultado diagrama estructural del problema3. final (solución de la incógnita del problema). El problema siguiente es un ejemplo de este tipo.

Problema 4. Calcula el importe total de la siguiente compra hecha en el supermercado: 3 Kg de naranjas a 0,95 euros el kilo (0,95 €/kg), 4 Kg de plátanos a 1,25 €/Kg. 16 litros de leche a 0,79 €/l, 6 litros de aceite a 3,24 €/l (Solución 42,03 €). Concepto

Unidades

Precio por unidad

Naranjas

3

0,95

Plátanos

4

1,25

Leche

16

0,79

Aceite

6

3,24

Totales

Coste total Se puede y se debe utilizar la calculadora para hacer estos cálculos, y se procede así:

Sucesión de Teclas de calculadora que facilitan los cálculos.

La figura 4 presenta la estructura de este problema, y se puede pensar que también está en la propia tabla. No es así, ya que en ésta no figuran las opera-ciones que hay que realizar.

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En este enunciado intervienen representaciones numéricas muy diferentes: naturales, fracciones y decimales.

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Aquí los números casan muy bien pero conviene pensar en la dificultad que conlleva unos resultados parciales y finales que no sean tan ajustaditos.

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En este tipo de problemas contables, cuando hay una inversión en el flujo de resolución del problem, la dificultad aumenta de forma considerable. El problema 5, que está relacionado con el anterior, Figura 4. Estructura del problema 4. es un ejemplo en el que la disposición de los datos en la tabla facilita los cálculos. Tanto en el caso directo como en el inverso, hay que hacer una traducción del lenguaje verbal, el enunciado del problema, al lenguaje numérico, que es el de las tablas, que ordena los cálculos y que siempre tienen que hacerlo los alumnos. Siempre son los alumnos y no el profesor quienes tienen que hacer las tablas.

Problema 5. El coste total de la compra hecha en el supermercado ha sido de 42,03 €. Se ha comprado una bolsa de 3 Kg de naranjas que valía 2,83 €, plátanos a 1,25 €/Kg que valían 5,00 €, 16 litros de leche a 0,79 €/l, un “pack” de 6 litros de aceite. Con éstos datos se pregunta cuál es el precio del litro de aceite. Concepto

Unidades

Naranjas

3

Precio por unidad

2,85

Plátanos

1,25

Leche

16

Aceite

6

Totales 6,00

0,79

Coste total

42,03

Este problema tiene dos incógnitas intermedias, que en ocasiones se formulan de forma explícita, incluso se pide que se calculen todos los conceptos que corresponden a huecos en blanco en la tabla: el precio del Kg de naranjas, los Kg de plátanos que se compraron, el importe de la leche, el importe del aceite y, finalmente, el precio del litro de aceite. Sinceramente, con esta formulación no es un problema, sino un ejercicio de cálculo. La estructura del problema evidencia lo que se acaba de decir y se pide que se haga en el recuadro adjunto.

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Figura 5. Estructura del problema 4.

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Otra aplicación para la que es apropiedo el uso de tablas y calculadora son los cálculos estadísticos. Cuando, por ejemplo. se trata de calcular una media aritmética de una variable, la estructura es siempre la misma y lo más importante es ordenar los datos y las operaciones.

Problema 6. Las puntuaciones que han alcanzado los alumnos de 5º curso en la prueba de matemáticas han sido las siguientes: 3 sólo sacaron 3,25 puntos; 5 alumnos han obtenido 4,75; 4 alumnos han sacado 6,00; 6 alumnos llegaron a 7,25; 3 obtuvieron 8,50, 2 alumnos 9,75. Halla la puntuación media de la clase. Puntuaciones (valores: x)

alcanzadas Número de (frecuencias: n)

alumnos Productos: x*n

3,25

3

9,75

4,75

5

23,50

6,00

4

24,00

7,25

6

43,50

8,50

3

25,50

9,75

2

19,50

Sumas de frecuencias y de productos

23

145,75

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Los problemas de geometría

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LOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA Es evidente que en muchas ocasiones la interpretación de los datos de los problemas de geometría permite hacer ciertas transformaciones geométricas que convierten la figura dada en otra que tiene la misma superficie, pero que simplifica muchísimo los cálculos. Este el caso del problema PR1 y, antes de hacer la correspondiente traducción aritmética, hay que hacer un análisis del esquema gráfico que reproduce los datos del problema.

PR1. El dibujo de la figura 7 representa un solar a escala 1:750. Mide lo que necesites y calcula el área del solar. Expresa el resultado en m2.

Figura 7. Plano de un solar a escala 1:750

La incógnita del problema es el cálculo del área. La expresión del resultado en m2 es un ejercicio de “ajuste de unidades” del que se tiene una tabla de conversión. -

La idea fundamental es hacer transformaciones geométricas orientadas a construir el menor número de rectángulos y triángulos posibles. Hallar las áreas parciales y finalmente a total.

-

Estos problemas tienen una estructura fundamental de tres etapas, como se muestra en la figura 8, pero la etapa intermedia tiene una subestructura asociada a la aritmética de las formas que intervienen en la figura transformada. Figura 8. Estructura.

PR2. Determinar la longitud del circuito de la figura 9, sabiendo que la escala del dibujo es 1:12.500. El análisis debe combinar las estrategias de medición y de cálculo, y cuándo, como en este caso, hay que efectuar muchos cálculos, la ordenación de los mismos forma parte de la estrategia de solución. La elaboración, por los alumnos, de una tabla de cálculo (o de resultados parciales) puede garantizar el éxito o fracaso en la resolución., ya que se trata de un problema similar a los “problemas contables”. Aquí no se calcula con dinero sino con metros; hay una factor constante, que es el factor de escala, y salvo los tramos 7-11 y 14-1 , que son iguales, los demás son diferentes y, por tanto, los cálculos son 8

Los problemas de geometría

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distintos. Para ser más ordenados y evitar errores (confusión de un tramo con otro, u olvido o repetición de alguno) conviene poner letras en los puntos de tangencia (A, B, C, ...) y en los centros de las circunferencias (O, P, Q, R, S, T). Los puntos de tangencia delimitan los “tramos de medida y cálculo” en el propio dibujo (los segmentos son tramos de medida y los arcos son tramos de cálculo). Una vez que se tengan las medidas para poder hacer los cálculos sería conveniente hacer El recorrido del circuito es el marcado por las flechas. Los coches entran en el tramo circular del puente por debajo de éste. Recorren la circunferencia completa y salen por encima del puente.

Figura 9. Plano de un circuito automovilístico a escala 1:12500.

el correspondiente diagrama estructural. Todavía surge otra pregunta a nivel metodológico. Se recuperan las longitudes reales aplicando a cada medida el factor de escala y se hacen los cálculos con éstas o, por el contrario, se hacen los cálculos con las medidas del dibujo y después se tiene en cuenta la escala. La respuesta es obvia desde la propia matemática y para elegir la opción adecuada sólo hay que pensar en la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

PR3. Suponiendo que se trate de un circuito plano, se puede determinar el área delimitada por el propio circuito. Todas las consideraciones hechas en el problema anterior son válidas en éste, pero además hay que tener el cuenta que el funcionamiento de la escala en las áreas es

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Los problemas de geometría

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cuadrático; es decir, si la escala de un plano es E, la razón entre el área de un recinto en ese plano y la correspondiente área en la realidad es E2.

PR4. Determinar las dimensiones y el área del salón que está representada en el plano de la figura 10.

El diagrama del análisis del problema, figura 11, indica que lo primero que hay que hacer es determinar la escala con la que se ha hecho el plano, y para ello lo primero que hay que hacer es un análisis de los elementos que están representados, e identificar aquellos cuya medida es estándar y que se conoce o se puede conocer. Por razones de “errores en la medida” convine medir más de un elemento y aplicar a cada uno la correspondiente regla de tres.

Figura 10. Plano de una vivienda

Figura 11. Estructura del problema PR4.

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Hacia la resolución de Problemas. La calculadora básica

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