Bloque: An´ alisis Matem´ atico Tema: Aplicaciones de la integral HEDIMA

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Introducci´ on ´ Areas Una curva Dos Curvas

auto-aprendizaje para Matem´aticas

Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

HEDIMA, Grupo de Innovaci´ on Did´ actica Departamento de Matem´ aticas Universidad de Extremadura

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Bloque: An´alisis Matem´atico

´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

Tema: Aplicaciones de la integral

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´Indice

Introducci´ on ´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

Introducci´ on C´ alculo de ´ areas de superficies planas Longitud de un arco de curva plana Volumen de un s´ olido de revoluci´ on

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Introducci´ on

Introducci´ on Bloque: An´ alisis Matem´ atico Tema: Aplicaciones de la integral HEDIMA Introducci´ on

En muchos fen´ omenos f´ısicos, econ´ omicos, sociales,... el ´ area bajo la curva de una funci´ on representa una magnitud relevante que conviene saber medir. Por ejemplo, si representamos la velocidad de un m´ ovil en funci´ on del tiempo, el ´ area bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.

´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

En esta lecci´ on usaremos el c´ alculo integral para formalizar conceptos sencillos e intuitivos como el de ´ area de una regi´ on, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas planas.

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C´ alculo de ´ areas de superficies planas

C´ alculo de ´ areas de superficies planas Bloque: An´ alisis Matem´ atico Tema: Aplicaciones de la integral HEDIMA

´ I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f (x) b

Z Si f (x) ≥ 0, entonces el valor del ´ area es

f (x)dx. a

Introducci´ on ´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

b

Z Si f (x) ≤ 0, entonces el valor del ´ area es −

f (x)dx. a

C´ alculo de ´ areas de superficies planas Bloque: An´ alisis Matem´ atico Tema: Aplicaciones de la integral HEDIMA Introducci´ on ´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

´ I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f (x) Si la funci´ on tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar los intervalos donde f (x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Por ejemplo, si f (x) ≥ 0 en [a, c] y f (x) ≤ 0 en [c, b], entonces el valor del ´ area es: Z

c

b

Z f (x)dx −

a

f (x)dx. c

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´ II. Area determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f (x) e y = g(x) Si f (x) ≥ g(x), entonces el valor del ´ area es:

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a

Z

(f (x) − g(x))dx. b

Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

En otro caso, hay que separar [a, b] en intervalos y actuar como antes en cada intervalo.

C´ alculo de ´ areas de superficies planas Bloque: An´ alisis Matem´ atico

´ Ejemplo: Area del c´ırculo

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Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que el c´ırculo tiene su centro en el origen de coordenadas. Gracias a la simetr´ıa de la figura, el ´ area ser´ a igual a cuatro veces el ´ area de la parte del c´ırculo encerrado en el primer cuadrante. La curva que define el contorno de un c´ırculo de centro (0, 0) y radio r es √ x2 + y 2 = r2 , luego y = r2 − x2 y el ´ area ser´ a r

Z 4

Z p r2 − x2 dx = 4r

0

= 4r2

0

Z 0

π 2

cos2 tdt = 4r2

π 2

Z 0

r

s

   Cambio de variable  x2 x = sent 1 − 2 dx = = r  dx  r = rcost

1 + cos(2t) dt = 4r2 2



t sen(2t) + 2 4

 π 2 0 = πr2

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Longitud de un arco de curva plana

Longitud de un arco de curva plana Bloque: An´ alisis Matem´ atico

Longitud de un arco de curva

Tema: Aplicaciones de la integral

Sea f : [a, b] ⊂ D −→ R una funci´ on derivable en D y tal que su derivada f 0 es continua en [a, b]. Entonces la longitud L del arco de curva L = {(x, y) ∈ R2 :

HEDIMA Introducci´ on ´ Areas

viene dada por

Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

Z L= a

b

p 1 + f 0 (x)2 dx

x ∈ [a, b]},

Longitud de un arco de curva plana Bloque: An´ alisis Matem´ atico Tema: Aplicaciones de la integral HEDIMA Introducci´ on ´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

Ejemplo √ Calculemos la longitud L del arco de curva y = x3 entre los puntos (0, 0) y (4, 8). Se tiene que Z 4r Z 4r √ 3 1 9 8 1 + ( x 2 )2 dx = 1 + x dx = (10 10 − 1). 2 4 27 0 0

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Volumen de un s´ olido de revoluci´ on

Volumen de un s´ olido de revoluci´ on Bloque: An´ alisis Matem´ atico Tema: Aplicaciones de la integral

S´ olidos de revoluci´ on Los s´ olidos de revoluci´ on son cuerpos que se generan al girar una regi´ on plana alrededor de un eje.

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Por ejemplo: El cilindro surge al girar un rect´ angulo alrededor de uno de sus lados.

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Volumen de un s´ olido por secciones ∀x ∈ [a, b], sea A(x) el ´ area de la secci´ on de obtenida al cortar un s´ olido como el de la figura por un plano transversal al eje OX.

´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco

El volumen del mismo vendr´ a dado por

Volumen de revoluci´ on

b

Z V =

A(x)dx a

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Volumen de un s´ olido de revoluci´ on Sean f : [a, b] −→ R una funci´ on continua en [a, b] A(x) la secci´ on transversal al eje x del s´ olido generado al girar la funci´ on alrededor del eje OX. Se tiene que: A(x) = πf (x)2

∀x ∈ [a, b]

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Volumen de un s´ olido de revoluci´ on Teniendo en cuenta que A(x) = πf (x)2 ∀x ∈ [a, b], se tiene que el volumen del s´ olido obtenido al girar y = f (x) alrededor del eje OX viene dado por

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Z V =π a

b

f (x)2 dx

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Ejemplo El volumen del cuerpo de revoluci´ on engendrado al girar el trozo de par´ abola √ y = x, para los valores x ∈ [0, 4], alrededor del eje OX, viene dado por:

´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

4

Z

Introducci´ on

V =π 0

√ ( x)2 dx = π

4

Z

 x dx = π

0

x2 2

4 = 8π 0

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Ejemplo: C´ alculo del volumen de una esfera de radio r Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que su centro se encuentra en el origen de coordenadas. √ En ese caso la esfera es generada al girar el semic´ırculo y = + r2 − x2 , x ∈ [−r, r], en torno al eje OX, por tanto

´ Areas Una curva Dos Curvas Longitud de arco Volumen de revoluci´ on

Z

r

π −r

Z p 2 r2 − x2 dx = π

 r x3 4 (r2 − x2 )dx = π r2 x − = πr3 . 3 −r 3 −r r