Escalares Ejemplo de cantidades escalares: ` Longitud ` “tiempo” ` Volumen ` Masa ` Temperatura
VECTORES MATEMATICAMENTE
P
Esta es la representación de un vector vector. Tiene una magnitud… la cual no conocemos aun, y tiene una dirección la cual no podemos definir
VECTORES MATEMATICAMENTE
P
Para determinar su magnitud debemos emplear una escala conocida. Por ejemplo podríamos utilizar la cuadrícula de una hoja de papel y alinearlo para medir su magnitud
VECTORES MATEMATICAMENTE
Para determinar su magnitud debemos emplear una escala conocida. Por ejemplo podríamos utilizar la cuadrícula de una hoja de papel
VECTORES MATEMATICAMENTE
VECTORES MATEMATICAMENTE
VECTORES MATEMATICAMENTE
VECTORES MATEMATICAMENTE
VECTORES MATEMATICAMENTE
VECTORES MATEMATICAMENTE
Vemos que la magnitud del vector es de 5 cuadritos!!!
VECTORES MATEMATICAMENTE Vemos que la magnitud del vector es de 5 c adritos!!! cuadritos!!! La magnitud la podemos calcular también usando:
b
P
a
a +b 2
2
VECTORES MATEMATICAMENTE Vemos que la magnitud del vector es de 5 c adritos!!! cuadritos!!! La magnitud la podemos calcular también usando:
b
P
a
a +b = 2
2
3 +4 =5 2
2
VECTORES MATEMATICAMENTE
Hipotenusa !!
b
P
a
Vemos que la magnitud del vector es de 5 c adritos!!! cuadritos!!! La magnitud la podemos calcular también usando:
a +b = 2
2
3 +4 =5 2
2
VECTORES MATEMATICAMENTE
Hipotenusa !!
b
P
a
Si cada cuadrito representa 1 metro Entonces H= H 5 metros Si cada cuadrito representa 60 km/h Entonces H=300 km/h
VECTORES MATEMATICAMENTE Para conocer el ángulo podemos usar alguna de las sig siguientes ientes relaciones
tan θ = b / a b
P
a
(b / a ) −1 θ = tan ( 4 / 3) = 53.13º θ = tan
−1
VECTORES MATEMATICAMENTE Para conocer el ángulo podemos usar alguna de las sig siguientes ientes relaciones
cos θ = a / H b
P
a
(a / H ) −1 θ = cos ( 3 / 5 ) = 53.13º θ = cos
−1
VECTORES MATEMATICAMENTE Para conocer el ángulo podemos usar alguna de las sig siguientes ientes relaciones
senθ = b / H b
P
a
(b / H ) −1 θ = sen ( 4 / 5 ) = 53.13º θ = sen
−1
VECTORES MATEMATICAMENTE Como representamos matemáticamente el vector? ector?
P = 5 ≺ 53.13 53.13º
b
P
a
P = 5 ≺ 53.13º
VECTORES MATEMATICAMENTE
b
P
a
Por definición el vector es un segmento de recta determinado p por dos p puntos que se dan en cierto orden. Uno de los puntos se llama origen y el otro extremo. extremo Si llamo (0,0) el origen El extremo estará en (3,5): 3 cuadros a la derecha y 5 hacia arriba!!!
VECTORES MATEMATICAMENTE A la derecha (x) y arriba (y) son sentidos indicados por los ejes. j La unidad de cada eje se llama vector unitario
y
b
P
∧
∧
x o i
∧
∧
y ó j
x
a
P = (3, 4) ó P = 3iˆ + 4 ˆj
VECTORES MATEMATICAMENTE A la derecha (x) y arriba (y) son sentidos indicados por los ejes. j La unidad de cada eje se llama vector unitario
y
b
P
∧
∧
x o i
∧
∧
y ó j
x
a
P = (3, 4) ó P = 3iˆ + 4 ˆj
VECTORES MATEMATICAMENTE A la derecha (x) y arriba (y) son sentidos indicados por los ejes. j La unidad de cada eje se llama vector unitario
y
b
P
∧
∧
x o i
∧
∧
y ó j
x
a
P = (3, 4) ó P = 3iˆ + 4 ˆj
VECTORES MATEMATICAMENTE A la derecha (x) y arriba (y) son sentidos indicados por los ejes. j La unidad de cada eje se llama vector unitario
y
b
P
∧
∧
x o i
∧
∧
y ó j
x
a
P = (3, 4) ó P = 3iˆ + 4 ˆj
VECTORES MATEMATICAMENTE A la derecha (x) y arriba (y) son sentidos indicados por los ejes. j La unidad de cada eje se llama vector unitario
y
b
P
∧
∧
x o i
∧
∧
y ó j
x
a
P = (3, 4) ó P = 3iˆ + 4 ˆj
VECTORES MATEMATICAMENTE A la derecha (x) y arriba (y) son sentidos indicados por los ejes. j La unidad de cada eje se llama vector unitario
y
b
P
∧
∧
x o i
∧
∧
y ó j
x
a
P = (3, 4) ó P = 3iˆ + 4 ˆj
VECTORES MATEMATICAMENTE A la derecha (x) y arriba (y) son sentidos indicados por los ejes. j La unidad de cada eje se llama vector unitario
y
b
P
∧
∧
x o i
∧
∧
y ó j
x
a
P = (3, 4) ó P = 3iˆ + 4 ˆj
VECTORES MATEMATICAMENTE y
b
P
a
OJO: LAS DIMENSIONES EN EL EJE X Y Y DEBEN SER LAS MISMAS PARA PODER REPRESENTAR VECTORES!!!
P = 3iˆ + 4 ˆj
VECTORES MATEMATICAMENTE y
b
P
a
OJO: LAS DIMENSIONES EN EL EJE X Y Y DEBEN SER LAS MISMAS PARA PODER REPRESENTAR VECTORES!!!
La resultante es la suma de dos cantidades vectoriales i l
Vectores con igual dirección: 6 N
4 N
=
10 N
=
10 10 m
6 m 4 m
Vectores con dirección opuesta: 6 m s-1
10 m s-1
=
4 m s-1
6N
10 N
=
4N
Ley del Paralelogramo Cuando desea sumar dos vectores
`
Completa el paralelogramo
`
La resultante es la diagonal del paralelogramo
`
`
`
Cuando se desplaza un vector colocando el origen de uno en el extremo del otro La resultante se da al completar el cuadrado uniendo el origen libre con el extremo libre
Problema: Resultante de 2 Vectores Se aplican dos fuerzas a un cuerpo como se muestra en la figura. Cuál es la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo?
Solución: ` `
`
Complete el parelologramo(rectángulo) La diagonal del paralelogramo ac representa la fuerza resultante La magnitud de la resultante se encuentra usando sob el triangulo abc el teorema de pitágoras p g g
Magnitud = ac = 122 + 52 ac = 13 N
5N
12 Dirección de ac : tan θ = 5 12 ⇒ θ = tan t −1 = 67° 5
12 N
a
θ
b
`
d
Resultante 13 N 67º
5 12
c
DEFINICIONES MATEMATICAS Una cantidad se llama escalar (la recta de los reales) cuando el conjunto de sus valores se puede poner en correspondencia biunívoca y coontinua con el conjunto de los números reales o una parte de ello. Una cantidad se llama vectorial cuando el conjunto de sus valores puede ponerse en correspondencia viunívoca y continua con el conjunto de los segmentos orientados que parten de un mismo origen (o una parte del mismo). En física hay otras cantidades que no pueden ser descritas por estas cantidades… las tensiones de un cuerpo según las distintas direcciones que pasan por un cuerpo son cantidades tensoriales. Los tensores juegan un papel muy importante en la física.
CAMPOS Un campo esta conformado por una distribución de valores vectoriales a lo largo del espacio Cómo es el campo gravitacional alrededor de la tierra? Alrededor de una partícula, qué fuerza sienten las partículas a su alrededor?
m E = −G r r 1
2
q E=k r r 1
2
CAMPOS
m E = −G r r 1
2
3
m G = 6.672 × 10 s kg k −11
2
m = 5.98 × 10 kgg 24
1
r = 6.4 × 10 m 6
r = 12 × 10 m 6
r = 24 × 10 m 6
CAMPOS
m E = −G r r 1
2
3
m G = 6.672 × 10 s kg k −11
2
m = 5.98 × 10 kg g 24
1
r = 6.4 × 10 m 6
r = 12 × 10 m 6
r = 24 × 10 m 6
m E = −9.74 s 2
CAMPOS
m E = −G r r 1
2
3
m G = 6.672 × 10 s kg k −11
2
m = 5.98 × 10 kg g 24
1
r = 6.4 × 10 m 6
r = 12 × 10 m 6
r = 24 × 10 m 6
m E = −9.74 s m E = −2.7 s 2
2
CAMPOS
m E = −G r r 1
2
3
m G = 6.672 × 10 s kg k −11
2
m = 5.98 × 10 kg g 24
1
r = 6.4 × 10 m 6
r = 12 × 10 m 6
r = 24 × 10 m 6
m E = −9.74 s m E = −2.7 s m E = −0.6 s 2
2
2
DIBUJAR LINEAS
CAMPOS ELECTRICOS q E=k r r
q = −1.6 × 10 C −19
1
1
2
kg ⋅ m k = 9 × 10 sC 9
2
r = 2 × 10 m −10
r = 4 × 10 m −10
r = 8 × 10 m −10
2
3
CAMPOS ELECTRICOS q E=k r r
q = −1.6 × 10 C −19
1
1
2
kg ⋅ m k = 9 × 10 sC
3
9
2
2
DIBUJAR LINEAS
r = 2 × 10 m −10
r = 4 × 10 m −10
r = 8 × 10 m −10
m E = −3.6 × 10 kg sC 10
2
CAMPOS ELECTRICOS q E=k r r
q = −1.6 × 10 C −19
1
1
2
kg ⋅ m k = 9 × 10 sC
3
9
2
2
DIBUJAR LINEAS
r = 2 × 10 m −10
r = 4 × 10 m −10
r = 8 × 10 m −10
m E = −3.6 × 10 kg sC m E = −0.9 × 10 kg sC 10
2
10
2
CAMPOS ELECTRICOS q E=k r r
q = −1.6 × 10 C −19
1
1
2
kg ⋅ m k = 9 × 10 sC
3
9
2
2
DIBUJAR LINEAS
r = 2 × 10 m −10
r = 4 × 10 m −10
r = 8 × 10 m −10
m E = −3.6 × 10 kg sC m E = −0.9 × 10 kg sC m E = −0.2 × 10 kg sC 10