HIDRÁULICA FLUVIAL Prof. Ada Moreno Barrios

TEMA N° 7. FLUJO DE AGUA EN EL SUELO

El flujo de agua en un medio poroso cumple con la ley de Bernoulli y así, aplicando dicha ecuación entre una sección 1 y 2, se tiene:

𝑍1 +

𝑃1 𝑉1 2 𝑃2 𝑉2 2 + = 𝑍2 + + + ∆𝑕 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔

Donde h es la pérdida de carga hidráulica entre las dos secciones. En general, la magnitud de las velocidad media del agua en el suelo V, es muy pequeña (del orden de 0.1 m/s), por lo tanto la carga de velocidad V2/(2g) es de menos de 5x10-4 m. Así, despreciando dicho término, la ecuación anterior queda de la siguiente manera: ∆𝑕 = (𝑍1 +

𝑃1 𝑃2 ) − (𝑍2 + ) 𝛾 𝛾

Ley de Darcy La velocidad de descarga V en suelos de granos finos saturados, donde la circulación del agua no afecta la estructura del material, puede establecerse como: 𝑉=

𝑘 𝑖 𝜇 𝑝

Donde µ: Viscosidad absoluta del fluido K: Permeabilidad del suelo ip: Gradiente de presión 𝑖𝑝 = −

𝑑𝑢 𝑑(𝛾𝑕) =− 𝑑𝑠 𝑑𝑠

Donde u: Sobrepresión hidrostática ds: Medido a lo largo de la trayectoria media del flujo Para fluido incompresible: 𝑖𝑝 = −𝛾

𝑑𝑕 = 𝛾𝑖 𝑑𝑠

Donde i es el gradiente hidráulico Luego: 𝑉=

𝑘 𝑖 𝜇

Donde k/µ es igual al coeficiente de permeabilidad del suelo K, por lo tanto la ecuación de Darcy queda: 𝑉 = 𝐾𝑖 Valores Típicos del coeficiente de permeabilidad Tipo de suelo Intervalo de K (m/s) Gravas limpias 100-1 Arenas limpias 1-10-3 Arenas muy finas, limos y mezclas de ambos 10-3-10-7 Arcillas 10-7-10-9 FUENTE: Marsal y Resendiz, 1975 citado por Flórez

Ecuación de Laplace 𝜕2 𝑕 𝜕2 𝑕 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 La solución a la ecuación anterior está representada, geométricamente, por 2 familias de curvas mutuamente ortogonales que dan origen a lo que se conoce como red de flujo. Las líneas equipotenciales o líneas que unen puntos de igual carga hidráulica constituyen una de dichas

familias de curvas, y la otra está conformada por las líneas de corriente o líneas de flujo, que serán definidas como curvas tangentes en todos sus puntos al vector velocidad. Para la deducción de la ecuación anterior se han planteado 6 hipótesis: -

Relación de vacíos constante Fluido Incompresible Validez de la ley de Darcy Suelo homogéneo Suelo isotrópico Flujo Bidimensional

Analizando el flujo a través de un elemento diferencial de suelo:

Si se considera la relación de vacíos constante en el volumen de suelo y que el fluido es incompresible, el caudal de entrada será igual al caudal de salida: 𝑄𝑒 = 𝑄𝑠 El caudal de entrada Qe será igual a: 𝑄𝑒 = 𝑉𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 Donde Vx, Vy y Vz son los componentes del vector velocidad en las tres direcciones, y dx, dy y dz son las dimensiones del volumen de control. El caudal de salida Qs está dado por: 𝑄𝑠 = 𝑉𝑥 +

𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧 + 𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Donde 𝑉𝑥 +

𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑥

𝑑𝑥 , 𝑉𝑦 +

𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑦

𝑑𝑦 , 𝑉𝑧 +

𝜕𝑉𝑧 𝜕𝑧

𝑑𝑧 , son las velocidades a la salida en las

direcciones X, Y y Z. Igualando ambos caudales quedaría lo siguiente: 𝑉𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑧 = 𝑉𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧 + 𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Eliminando los signos de agrupación: 𝜕𝑉𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑉𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑧

𝑉𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑉𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +

𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑥

+

𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑦

+

𝜕𝑉𝑧 𝜕𝑧

=0

+ 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 +

𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑉𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 +

Ecuación 1. Continuidad para flujo permanente

Suponiendo, ahora, la validez de la ecuación de Darcy, se tiene: 𝑉𝑥 = 𝐾𝑥 ∗ 𝑖𝑥 = 𝐾𝑥 ∗

𝜕𝑕 𝜕𝑥 𝜕𝑕

𝑉𝑦 = 𝐾𝑦 ∗ 𝑖𝑦 = 𝐾𝑦 ∗ 𝜕𝑦 𝑉𝑧 = 𝐾𝑧 ∗ 𝑖𝑧 = 𝐾𝑧 ∗

𝜕𝑕 𝜕𝑧

Donde Kx, Ky y Kz son los coeficientes de permeabilidad en las direcciones X, Y y Z. Suponiendo suelo homogéneo, es decir, la permeabilidad es igual en todos los puntos, se puede escribir que:

𝜕

𝜕2𝑕

𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑥

= 𝜕𝑥 (𝐾𝑥 𝜕𝑥 ) = 𝐾𝑥 𝜕 𝑥 2

𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑦

=

𝜕𝑉𝑧 𝜕𝑧

= 𝜕𝑧 (𝐾𝑧 𝜕𝑧 ) = 𝐾𝑧 𝜕𝑧 2

𝜕 𝜕𝑦 𝜕

𝜕𝑕

(𝐾𝑦

𝜕𝑕 ) 𝜕𝑦

𝜕𝑕

= 𝐾𝑦

𝜕2𝑕 𝜕𝑦 2

𝜕2𝑕

Ecuaciones 2.

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones 2, en la ecuación 1, se obtiene lo siguiente: 𝐾𝑥

𝜕2 𝑕 𝜕2 𝑕 𝜕2 𝑕 + 𝐾𝑦 + 𝐾𝑧 =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

Asumiendo ahora la hipótesis del suelo isotrópico, en donde la permeabilidad en todas las direcciones es la misma, entonces Kx=Ky=Kz=K, la ecuación anterior puede reescribirse: 𝜕2 𝑕 𝜕2 𝑕 𝜕2 𝑕 + + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 Suponiendo que el análisis se haga para flujo bidimensional, la ecuación definitiva es: 𝜕2 𝑕 𝜕2 𝑕 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

Ecuación de Laplace, válida para flujo bidimensional

Condiciones de borde y Línea Superior de Flujo Condiciones de borde El primer paso para resolver un problema de trazado de redes de flujo es establecer las condiciones de borde, de contorno o de frontera. En medios homogéneos e isotrópicos se pueden presentar cuatro diferentes fronteras:  Frontera Suelo Infiltrado – Suelo Impermeable: A través de esta frontera el agua no puede fluir, por lo tanto las componentes de velocidad normales a dicha línea son nulas. Se define como una línea de flujo, porque el vector velocidad es tangente a ella en todos sus puntos.

 Frontera Agua – Suelo Infiltrado: En cualquier punto de esta frontera la carga hidráulica es constante e igual a H, por lo tanto se trata de una línea equipotencial.

 Frontera Suelo Infiltrado – Suelo Permeable No Infiltrado: Este tipo de contorno es una línea de corriente, concretamente la Línea Superior de Flujo (LSF), ya que no hay componentes de velocidad normales a ella. Sin embargo, esta línea de corriente tiene características especiales ya que, a todo lo largo de ella, la presión es constante e igual a la presión atmosférica, es decir, presión relativa nula. Como además la velocidad de flujo es despreciable, la carga hidráulica total es H = Z, donde Z es la cota; por lo tanto la carga hidráulica de las equipotenciales que cortan a la LSF será igual a la cota del punto de intersección.

 Frontera Suelo Infiltrado – Aire: En cualquiera de sus puntos la carga hidráulica es igual a la cota, ya que la presión relativa es nula, pero como no es constante no es una equipotencial. Hay flujo a través de ella, por lo que tampoco es una línea de corriente. Es una cara de descarga libre.

Línea Superior de Flujo (LSF) Cuando el flujo es confinado no existe LSF, pero en aquellos casos en los que la región de flujo no está completamente definida, se debe trazar la LSF para delimitarla. La LSF es la traza de una superficie libre.

Trazado de la Línea Superior de Flujo para α≤60°: -

Localizar el punto C, sabiendo que CC’=0.3M, donde M es la longitud de la proyección del talud mojado de aguas arriba, sobre una horizontal que pasa por O. 0.3M T C

C’

H M

O d

-

Ubicar el punto D, empleando cualquiera de los siguientes métodos: o Analítico: 𝑎 = 𝑆𝑜 − 𝑆𝑜 2 −

𝑕2 𝑠𝑒𝑛2 ∝

Donde 𝑎 es la longitud de la cara de descarga libre, medida sobre el talud mojado de aguas abajo, So es la longitud de la parábola de Dupuit más la cara de descarga libre igual a 𝑆𝑜 = 𝑕2 + 𝑑2 ; h es la carga hidráulica y α es el ángulo de inclinación del talud mojado de aguas abajo. 0.3M T C

C’

H

D

a

M

O d

o

Gráfico: a. Proyectar el talud mojado de aguas abajo sobre la cresta. B1 Paso a.

Paso Pasod.d. B Paso c.

Paso b. T C

Paso e.

C’

H D O

-

b. Con radio OC y centro en O intersecar la línea del paso anterior en B. c. Trazar la semicircunferencia de diámetro OB. d. Con radio OT y centro en O intersecar la media circunferencia del paso anterior en el punto B1. e. Con centro en B y radio BB1 intersecar el talud mojado de aguas abajo en D. Dibujar la parábola base o de Dupuit entre los puntos C, D y T. o Dividir en 4 tramos iguales los segmentos CT y TD. o Enumerar los puntos de subdivisión en sentido contrario a las agujas del reloj. o Trazar horizontales por los puntos que se encuentran ubicados sobre el tramo TD. o Trazar cuerdas desde el punto D hasta cada uno de los puntos ubicados sobre el segmento CT.

o

Finalmente, unir puntos con igual numeración. C

3

2

T

1

3 2 1

D

-

Completas la LSF dibujando a mano alzada la curva de transición de entrada y salida, de acuerdo a las siguientes condiciones:

Condiciones de entrada:

90°

90° >90°

=90°

DIQUE

DIQUE

60°: -

Localizar el punto C, sabiendo que CC’ = 0.3M, donde M es la longitud de la proyección del talud mojado de aguas arriba sobre una horizontal que pasa por O. Calcular Yo: o Analíticamente: 𝑌𝑜 =

𝑕2 + 𝑑 2 − 𝑑

o

Gráficamente:  Proyectar hasta la horizontal que pasa por O el punto C, con un arco de circunferencia de radio OC y centro en O.  Proyectar con una vertical el punto C hasta la horizontal que pasa por O.  Yo será la longitud que separa ambas proyecciones. Dibujar la parábola base a través de la siguiente ecuación, válida para 0≤Y≤h:

-

𝑥= -

𝑌 2 − 𝑌𝑜 2 2𝑌𝑜

Con el ángulo de la cara de descarga α, obtener la corrección de Casagrande (Cc) de la siguiente figura:

𝐶𝑐 =

∆𝑎 (𝑎 + ∆𝑎)

∆𝑎 = 𝐶𝑐(𝑎 + ∆𝑎)

-

Llevar a, a partir del corte entre la parábola base y la cara de descarga para obtener el punto real de descarga de la LSF. Trazar a mano alzada las correcciones a la entrada y salida de la LSF, recomendadas previamente.

Determinación de presiones y caudal de infiltración en base a la red de flujo. Considerando un canal de flujo cualquiera, el correspondiente caudal por unidad de ancho es:

𝑞 = 𝑉 𝐴 = (𝑘 𝑖 ) (𝑎)

a

Si: 𝑖 =

q

a Líneas de flujo Líneas equipotenciales

∆𝑕 𝑎

∆𝑕

Entonces: ∆𝑞 = 𝐾 𝑎 (𝑎) ∆𝑞 = 𝐾∆𝑕 𝑕 Pero: ∆𝑕 = 𝑛𝑒 Donde ne es el número de caídas de potencial 𝑕 Luego: ∆𝑞 = 𝐾 𝑛𝑒

Considerando todos los canales de flujo nf de la red de flujo: 𝑞 = 𝑛𝑓∆𝑞 =

𝑛𝑓 𝐾𝑕 𝑛𝑒

Donde nf/ne es el factor de forma de la red de flujo.

Para estimar, de forma analítica, la presión de poros en un punto cualquiera de la red de flujo se aplica la ecuación de Bernoulli entre dicho punto y otro sobre la superficie libre: 𝑃0 𝑉0 2 𝑃1 𝑉1 2 𝑍0 + + = 𝑍1 + + + 𝑕𝑓0−1 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 Po = 0; Vo y V1 son despreciables, adicionalmente 𝑕𝑓0−1 = 𝑛𝑒0−1 ∗ ∆𝑕 , por lo tanto: 𝑃1 = 𝑍0 − 𝑍1 − 𝑛𝑒0−1 ∗ ∆𝑕 𝛾 𝑃1 = 𝛾(∆𝑍 − 𝑛𝑒0−1 ∗

𝑕 ) 𝑛𝑒

La metodología gráfica de la estimación de presiones requiere trazar una equipotencial que pase por el punto de interés, e interceptarla con la LSF, para observar el desnivel existente entre dicha de intersección y el punto donde se quiere estimar la presión.

a Pm =  Z

Pm/=Z

m

Línea Superior de flujo Líneas equipotenciales