Historia del Marc Un homenaje a Pedro Vicente Marcal

“Pedro Marcal opened my eyes to computational mechanics” James Rice (en su discurso de aceptación de la Medalla Timoshenko en 1994)

ÍNDICE 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Prólogo ....................................................................................................................................... 4 Introducción ................................................................................................................................ 5 El comienzo de la historia: el Solid Mechanics Group de la Universidad de Brown ................ 6 Fundación de MARC Analysis Research Corporation ............................................................. 11 Adquisición de MARC Analysis por MacNeal-Schwendler Corp. .......................................... 14 Marc y Abaqus: dos programas con historias muy entrecruzadas ........................................... 15 La “era post-Marcal” y presente de Marc. Características actuales notables ........................... 17 Lo último del “viejo” Marcal ................................................................................................... 23 Agradecimientos ....................................................................................................................... 24 Referencias ............................................................................................................................... 25

0. Prólogo Cierto día Miguel Angel, con la gentileza que le caracteriza, me comentó que le gustaría saber más detalles acerca de los orígenes del programa Marc. Aparte, esto coincidió con mis reflexiones que por entonces tenía sobre los profundos cambios que estaba experimentando Ingeciber, en particular sobre los nuevos software que se iban a distribuir, y más en concreto, el contrato de distribución y colaboración tecnológica con la empresas pionera del CAE MSC.Software. Uno de sus programas, el cual se va a convertir en la herramienta de análisis para ingeniería y en el motor de cálculo o solver para el Structural Designer, es un programa tan desconocido para nosotros como legendario en la historia de los elementos finitos: Marc. Fue así como decidí bucear a grandes profundidades para documentarme todo lo posible y poder contar (a grandes pinceladas) la historia de un programa que ha sido testigo y banco de pruebas de algunos de los logros más importantes en la mecánica no lineal. Como ya veremos, pese a que fue concebido en la costa Este, prácticamente todos su progresos tuvieron lugar en California, más en concreto, en la localidad de Palo Alto, cerca de la mítica Universidad de Stanford donde MARC Analysis Research Corp. tuvo sus oficinas hasta su adquisición por MSC (actual MSC Software Corp.). Es por ello por lo que en una muy genuina clasificación, a este códice (perdón, código) lo encuadro dentro de la llamada “Escuela de California”. Como indica el subtítulo, este trabajo también es un homenaje a Pedro Vicente Marcal, no sólo por ser el creador de Marc y al que bautizó con su apellido; también por una larga y muy fructífera trayectoria científica y comercial que le ha hecho formar parte del Olimpo de los creadores de programas de elementos finitos: John Swanson (Ansys), John Hallquist (LS-Dyna), Klaus J. Bathe (Adina), David Hibbitt (Abaqus) y Richard MacNeal (MSC/Nastran). Sino además, porque pese a su “breve” pero muy influyente carrera como profesor en Brown, fue mentor de su más brillante alumno de doctorado: David Hibbitt, creador junto con Marcal de la primera versión de Marc, y también creador y “mano de hierro” hasta su retiro del mítico Abaqus. Tal vez, y esto es una suposición muy personal no exenta de romanticismo, la decisión de Marcal de dejar su puesto de profesor y trasladar la compañía a California, tuvo mucho que ver con la decisión de Hibbitt de montar la suya propia y por lo tanto con la existencia de Abaqus (al que algunas veces me refiero, llevado por mi fanatismo, como “obra de arte”). La duda queda... A título muy personal, diré que las figuras de Hibbitt y Bathe han influido profundamente en mi manera de entender el uso y la implementación de los métodos no lineales en elementos finitos Salvo las muy personales opiniones y “sentires” expresados en este prólogo, en el resto de este breve trabajo no ha habido cabida a opiniones o consideraciones que no estuvieran perfectamente documentadas. En eso he sido inflexible, como dejan bien claras las diversas referencias empleadas. Finalmente, espero y deseo profundamente que este trabajo cumpla su objetivo: dar a conocer a un formidable programa, y si es posible, a acogerlo con entusiasmo. Para esto último, reconozco que son necesarios otros factores que están fuera de mi control y alcance. En lo que a mí respecta he disfrutado enormemente haciéndolo y he puesto todo mi cariño. Una última cosa, esta es una historia de pioneros, y pionera del CAE en España lo es esta casa, tengámoslo presente…

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1. Introducción Existen numerosos documentos relacionados con la historia del MEF, algunos de ellos escritos por sus propios protagonistas [1, 2]. Sin embargo, la mayoría de estos trabajos se centran en la primera etapa de la evolución del método, la cual podríamos fechar desde mediados de los años 50 hasta 1970. No hay un estudio sistemático de la evolución del método en los años posteriores a esta última fecha pese a los grandes avances que tuvieron lugar desde entonces y que la han convertido en la técnica tan poderosa que es hoy en día. Así por ejemplo, la forma definitiva de las formulaciones incrementales lagrangianas a principios de los „70, la tecnología de elementos hasta llegar al grado de robustez de nuestros días, los algoritmos de integración para comportamiento no elástico o el desarrollo de formulaciones y sus correspondientes algoritmos de resolución para contactos en la década de los ‟80 y principios de los ‟90. Cualquier intento de abordar dicho estudio teniendo sólo en cuenta las contribuciones procedentes del mundo académico sin considerar las aportaciones de la industria del software, sería incompleto. Dado que importantes contribuciones teóricas y prácticas fueron realizadas por desarrolladores (J. Nagtegaal, N. Rebelo, D. Hibbitt, P. Marcal, R. MacNeal, etc.) quienes siempre estuvieron vinculados a compañías privadas dedicadas al desarrollo de códigos de elementos finitos, llegando incluso a patentar algunos de sus desarrollos [3, 4]. Tal vez fue Belytschko [5] el primero en describir la evolución de los métodos no lineales en elementos finitos a través de la historia de los propios programas, tanto académicos (Sap, Nonsap), de centros de investigación (Dyna3D, Pronto) o comerciales (Abaqus, Adina, Ansys o Marc). Dado que en opinión del autor y usando sus propias palabras: “... in this information-computer age, the software often represents a better guide to the state of the art than the literature”. Este breve trabajo no pretende ser tan ambicioso, es decir, no acomete un estudio del desarrollo de los métodos no lineales en elementos finitos y sólo se centra en la historia del más antiguo de sus protagonistas: Marc. Considerado como el primer programa no lineal de elementos finitos comercial, este venerable código en sus 40 años de historia, ha sido uno de los principales protagonistas del desarrollo y devenir de los métodos no lineales en elementos finitos. De hecho, como veremos posteriormente, ha sido un verdadero laboratorio donde por primera vez se implementó la formulación lagrangiana actualizada [7], la simulación de conformado de metales empleando contactos [8] o se implementaron las formulaciones hiperelásticas en plasticidad [9]. Para contar la historia de Marc se ha creído conveniente dividir ésta en varias partes que en cierta medida tratan de seguir un orden cronológico. En la primera se habla del Solid Mechanics Group de la División de Ingeniería de la Universidad de Brown, verdadero semillero de ideas donde se incubaron las primeras versiones no comerciales de Marc (¿hasta Marc 2?). A continuación se habla de la fundación por Pedro Marcal de MARC Analysis Research Corp. Se hace hincapié en la característica que la convertía en una empresa genuina: su plena dedicación a labores de investigación, tal vez al precio de dejar en segundo plano objetivos comerciales, de tal manera que sus principales desarrolladores publicaban sus trabajos en revistas internacionales. En una tercera se describe la adquisición de MARC Analysis por MacNeal-Schwendler Corp. (actualmente MSC Software Corp.). En la siguiente sección se hace un breve análisis de las similitudes con su gran competidor: Abaqus. Posteriormente se analiza el periodo comprendido entre lo que aquí se ha llamado la etapa “postMarcal” hasta la actualidad, haciendo una descripción de los avances más importantes del programa. Finalmente se hace un repaso a las más recientes líneas de investigación y de trabajo de Marcal, quien como ya veremos, ¡sigue plenamente activo!.

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2. El comienzo de la historia: el Solid Mechanics Group de la Universidad de Brown A mediados de los años 60 y en plena explosión del MEF existían tres lugares en los que se concentraban buena parte de los avances fundamentales en elementos finitos: a) la Universidad de Berkeley, con Ed Wilson, Ray Clough y Bob Taylor, b) la Universidad de Swansea, con Olgierd Zienkiewicz, y c) la Universidad de Stuttgart, con John Argyris. Todos estos grupos de investigación tenían en común dos cosas:  estar formados por ingenieros civiles y  centrar sus investigaciones en las aplicaciones estructurales del método. Paralelamente en la Universidad de Brown, en torno al departamento de mecánica del sólido de la división de ingeniería se congregaba un buen número de especialistas a nivel mundial en mecánica teórica y aplicada. Entre ellos se encontraban Daniel Drucker, William Prager, Morton Gurtin [11], Harry Kolsky, Josep Kestin, Alan Pipkin, Ronald Rivlin, Paul Symonds, James Rice [12, 13], Alan Needleman y Robert Asaro. Este grupo multidisciplinar estaba constituido por físicos e ingenieros de diversas ramas cuyos temas de investigación cubrían numerosos tópicos, todos ellos relacionados con aspectos fundamentales de la mecánica del sólido deformable: modelos constitutivos, termo-mecánica de medios continuos, plasticidad, mecánica de la fractura (la integral J proviene de “J”ames Rice), fatiga, propagación de ondas, etc. Ninguno de ellos relacionados con elementos finitos. Una nueva línea de investigación en este grupo se abrió con la llegada en 1967 de Pedro Vicente Marcal, un joven y entusiasta profesor procedente del Imperial College de Londres, muy interesado en la aplicación de los elementos finitos a problemas de mecánica del sólido. Marcal, quien ya había realizados trabajos pioneros sobre plasticidad computacional durante su etapa en el Imperial College [14, 15], despertó el interés de Rice por lo elementos finitos y juntos atrajeron estudiantes con los que crearon un equipo de investigación dedicado al desarrollo de técnicas de elementos finitos para problemas del continuo. Uno de aquellos primeros estudiantes fue David Hibbitt, quien procedente de la Universidad de Cambridge fue a Brown, textualmente, “to learn more mechanics”, y quien años más tarde crearía Abaqus.

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Figura 1. Uno de los primeros trabajos sobre aplicación del método de elementos finitos en plasticidad.

Marcal y Hibbitt iniciaron la implementación de Marc como banco de pruebas de los desarrollos que en mecánica computacional realizaba el equipo que ellos lideraban. Dichas trabajos fueron numerosos y ejercieron enorme influencia, otorgando a Brown un gran prestigio en cuanto al desarrollo de métodos no lineales para elementos finitos a comienzos de los 70. Así arranca la historia de Marc: un código de investigación, pensado para la resolución de complejos problemas no lineales utilizando para ello las formulaciones que se venían desarrollando en ese momento en la universidad de Brown.

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Figura 2. Uno de los magníficos trabajos que a finales de los años 60 y principios de los 70 dieron forma casi definitiva a las formulaciones incrementales en elementos finitos tal y como se emplean hoy en día [6, 16, 17]. En particular este artículo trata sobre la aquí llamada formulación lagrangiana, desde [17] conocida como lagrangiana total.

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Figura 3. Artículo en el que se muestra el empleo a problemas de láminas de las formulaciones lagrangianas desarrolladas por el equipo de Marcal [18] (ver Figura 2. Uno de los magníficos trabajos que a finales de los años 60 y principios de los 70 dieron forma casi definitiva a las formulaciones incrementales en elementos finitos tal y como se emplean hoy en día [6, 16, 17]. En particular este artículo trata sobre la aquí llamada formulación lagrangiana, desde [17] conocida como lagrangiana total.). Abajo se muestra la referencia a Marc.

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Figura 4. Artículo en el que por primera vez se desarrolla una formulación, aquí llamada euleriana, para problemas de plasticidad con grandes deformaciones. El término euleriana, desde [17], corresponde a lo que en la actualidad se denomina lagrangiana actualizada. Hoy en día es la formulación empleada en exclusividad por todos los programas, en problemas con comportamiento no elástico y grandes deformaciones [19]. Abajo se muestra la referencia a Marc.

A continuación se indican las tesis doctorales que dirigió Marcal durante su etapa de profesor en Brown (1967-1974). También se ha incluido la que dirigió W. Prager a Joop Nagtegaal, ya que como veremos con posterioridad, Nagtegaal años después llegaría a ser director de desarrollo de MARC Analysis, y tras su posterior marcha a Hibbitt, Karlsson and Sorensen Inc. (HKS), un verdadero gurú de Abaqus. 

Hugh David Hibbitt (Ph.D.: Engineering, 1972) Título: A numerical thermo-mechanical model for the welding and subsequent leading of a fabricated structure Director: Pedro V. Marcal

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John Francis McNamara (Ph.D.: Engineering, 1972) Título: Incremental stiffness method for finite element analysis of the nonlinear dynamic problem Director: Pedro V. Marcal

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Richard H. Messier (Ph.D.: Engineering, 1975) Título: A finite element algorithm for the determination of dynamic stability Director: Pedro V. Marcal

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Erik Paul Sorensen, (M.Sc.: Engineering, 1975) Título: A solid mechanics approach to the solution of fluid-solid vibration problems by finite elements Director: Pedro V. Marcal

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Johannes Catharinus Nagtegaal (Ph.D.: Engineering, 1973) Título: Use of optimality conditions in structural design Director: William Prager

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3. Fundación de MARC Analysis Research Corporation En 1971 Marcal funda MARC Analysis Research Corp. con la idea de comercializar el programa Marc. La sede de la compañía estaba en Providence, cerca de la Universidad de Brown, y su primer y único empleado fue su alumno de doctorado Hibbitt [20]. Tiempo después se les uniría otro estudiante de Brown, Paul Sorensen, quien estuvo poco tiempo y dejó la compañía para completar su tesis que dirigió el propio Marcal. Finalmente, a este equipo de los comienzo de MARC Analysis se les unió en 1976 Bengt Karlssonn, quien trabajaba en la sede de Control Data Corporation en Suecia (CDC). Karlsson y Sorensen, junto a Hibbitt, serían los que años después fundarían HKS para desarrollar Abaqus. Alrededor de 1976 y siguiendo el halo del Silicon Valley, Marcal decide trasladar su compañía a Palo Alto, California. Hibbitt y Karlssonn deciden no proseguir y optaron por montar su propia compañía. La nueva andadura comercial del programa MARC no supuso un detrimento de la labor de investigación de la propia compañía. Muy al contrario, en su equipo de desarrollo se encontraban gente tan prestigiosa como Robert Melosh (director de desarrollo) o M. Burke (profesor de Stanford), cuyos desarrollos para MARC Analysis eran publicados en revistas internacionales. Un ejemplo muy ilustrativo de esta labor fue la creación en 1978, en colaboración con la Universidad de Stanford, del sistema SACON, uno de los primeros sistemas expertos para el análisis estructural, basado en elementos finitos. Aquí es interesante comentar que tal vez este proyecto despertó el interés de Marcal por el empleo de la inteligencia artificial en los elementos finitos y que le ha acompañado hasta la actualidad. Figura 5. Un ejemplo de la labor investigadora de MARC Analysis durante la etapa de Melosh [21].

En 1980, tras la marcha de Melosh, se incorpora como nuevo jefe de desarrollo J. Nagtegaal, quien hasta entonces dirigía desde Holanda las oficinas de MARC Analysis en Europa. Hasta su marcha a HKS en 1987, Nagtegaal lideró los nuevos desarrollos de Marc, haciendo importantes contribuciones en la implementación de algoritmos para problemas de plasticidad y de contactos. Figura 6. Dos ejemplos de las contribuciones de Nagtegaal en plasticidad computacional [22, 23].

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En 1984 se incorpora al equipo de desarrollo Nuno Rebelo, quien junto a Nagtegaal harían de Marc el primer programa de elementos finitos capaz de simular problemas de conformado de metales en 3D. Rebelo fue desarrollador de manera simultánea de Marc y Abaqus hasta 2001, fecha en la que se incorporó plenamente al equipo de desarrollo de este último. Aquí hay que llamar la atención sobre el hecho de que a mediados de los 80 las formulaciones para problemas de contacto, en especial para grandes deformaciones, todavía no estaban desarrolladas del todo y eran objeto de activa investigación. Figura 7. Trabajo en el que se describe el sistema desarrollado por MARC Analysis para simular problemas de conformado de metales [24].

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4. Adquisición de MARC Analysis por MacNeal-Schwendler Corp. Aunque nunca llegó a ser una empresas líder en el mercado del CAE, Marc Analysis en el periodo desde su fundación hasta 1992 se caracterizó por ser una compañía muy respetada pero con un mercado pequeño. Tal vez la principal explicación a esto, estuviera en la propia filosofía que había regido el funcionamiento de la compañía desde sus orígenes hasta entonces: la investigación y el desarrollo, en detrimento de nuevas capacidades requeridas por los usuarios (al contrario de lo que hizo HKS con Abaqus). En 1992, la compañía nombró a Lou Crain como presidente y CEO. Crain había estado en PDA Engineering desde 1975 hasta 1989, a quien como director de la división encargada del desarrollo de Patran se le reconoce como su principal artífice. Durante su gestión la compañía trata de aumentar su base de clientes con el desarrollo de aplicaciones específicas como MARC/Autoforge, para laminado en frio o caliente de aceros, o mediante el desarrollo de su propio pre- y post-procesador Mentat. De este modo la compañía llegó a la cifra de 20 millones de dólares en ingresos en 1996, cifra que se mantendría durante los siguientes años. Finalmente los accionistas de la compañía decidieron que ésta había tocado su techo comercial y Crain dejó su puesto directivo a finales de 1998. Finalmente, en mayo de 1999 la compañía es adquirida por MSC por un valor de 36 millones de dólares. Aquí acaba la historia de MARC Analysis como compañía independiente. A comienzo de los años 90 MSC contaba con varios programas estructurales con capacidades no lineales de diversa amplitud:  MSC/Nastran, con no linealidad geométrica y un número limitado de modelos de material, ambos superpuestos a posteriori al antiguo solver lineal.  MSC/Dytran, para dinámica explícita y cuyo solver era LS-Dyna y  MSC/Aries FEM con capacidades no lineales mucho más amplias e integradas, cuyo solver era Abaqus/Standard [25]. Finalmente MSC en su deseo de tener un solver propio no lineal de propósito general, adquiere MARC Analysis como ya se indicó en el párrafo anterior.

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5. Marc y Abaqus: entrecruzadas

dos

programas

con

historias

muy

Como ya se ha visto, los creadores de Abaqus, en especial Hibbitt, estuvieron muy vinculados a los comienzos de Marc. Ambos comparten el hecho de ser programas concebidos desde su inicio para la resolución de complejos problemas no lineales, y esto se refleja en su estructura interna y manera de organizar los tipos de análisis y la información del modelo. Así a modo de ejemplo, Abaqus organiza los datos en dos bloques perfectamente diferenciados, que empleando su nomenclatura son: A. Model data: que agrupa toda la información independiente del tipo de análisis (mallado, materiales, condiciones de contorno fijas) y del tiempo. B. History data: tipos de análisis, información de control diversa para la resolución y postproceso, cargas temporales, etc. Por otro lado Marc organiza la información de idéntica manera, que en su nomenclatura son: A. Model definition B. History definition Aquí uno puede sospechar de la mano de un mismo (y extraordinario) arquitecto… ¿Hibbitt? Otro punto en común es el hecho de haber compartido desarrolladores (Nagtegaal y Rebelo), los mismos que tras implementar en Marc el sistema para el análisis de conformado de metales (Figura 7) pocos años después harían lo mismo en Abaqus.

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Figura 8. Trabajo en el que se describe el sistema desarrollado en Abaqus para simular problemas de conformado de metales [26].

Finalmente, señalar el hecho de ser los primeros programas en haber desarrollado un sistema basado en el lenguaje Python para interactuar con sus bases de datos y archivos de resultados.

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6. La “era post-Marcal” y presente de Marc. Características actuales notables En el momento de realizar el presente trabajo no se ha podido determinar la fecha exacta de la marcha de Marcal de MARC Analysis. La fecha más antigua que se ha podido datar es 1990, cuando aparece como consultor independiente en un congreso de la ASME. Como ya hemos visto Marc tuvo su propia interfaz gráfica, Mentat, en 1994, lo cual vino a cubrir una importante carencia respecto a su competidor más directo Abaqus. Por otro lado, los desarrolladores de Marc continuaron dando muestras de su alto nivel científico como se demuestra en [9] (ver Figura 9. Trabajo presentado en el 4º Congreso de la Asociación de Mecánica Computacional de Estados Unidos USACM (1997). Actualmente Choudhry forma parte del equipo directivo y Wertheimer es principal developer de MSC Software.). Así por ejemplo, fue el primer programa comercial en implementar una formulación hiperelástica en plasticidad [10]. Además es el único programa que permite la formulación lagrangiana actual en hiperelasticidad, la cual también se ha comprobado que es más robusta en problemas de grandes deformaciones aunque más costosa numéricamente para frente a la total para este tipo de comportamiento material. Finalmente y como buena muestra del carácter pionero de Marc, es la nomenclatura sui géneris y un tanto arcaica que emplea para dominar a los elementos con formulación mixta: elementos Herrmann. Estos elementos están diseñados para comportamientos de material con incompresibilidad total o cuasiincomprensibilidad como ocurre en ciertos modelos de hiperelasticidad o en plasticidad perfecta. El profesor L. R. Herrmann en una serie de trabajos publicados a mediados de los años 60 desarrolló una formulación variacional para abordar este tipo de comportamientos. Marc, basándose en esta formulación, fue el primer programa en tener elementos que soportasen este tipo de comportamientos materiales.

Figura 9. Trabajo presentado en el 4º Congreso de la Asociación de Mecánica Computacional de Estados

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Unidos USACM (1997). Actualmente Choudhry forma parte del equipo directivo y Wertheimer es principal developer de MSC Software.

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Figura 10. En 1995 MARC Analysis y Axel Products crean el primer curso sobre análisis experimental de elastómeros combinado con técnicas de simulación. Daniel Wolf sigue formando parte de MSC Software.

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Figura 11. Avances más importantes de Marc desde su creación. Se han recuadrado aquellos que se han estimado más significativos [27].

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7. Lo último del “viejo” Marcal Desde que dejó su corta pero brillante etapa como profesor en Brown para iniciar su andadura empresarial con MARC Analysis hasta la actualidad, Pedro Marcal ha demostrado ser una persona con sobrado entusiasmo e iniciativa para embarcarse en nuevos proyectos, siempre relacionados con la mecánica computacional. En 1992 se convierte en presidente de Phoenics North America, donde tiene oportunidad de introducirse y adquirir experiencia en el mundo de la CFD, alguien que como él siempre se movió en el campo del sólido deformable. En 1995 fundó PVM Corp. (nuevamente su nombre) con el objeto de desarrollar Feva, programa de propósito general para multifísica. En 2004 fundó MPACT Corp. (http://www.actact.co.jp/index.php?MPACT%20English), esta vez para desarrollar MPave (Multiphysics Adaptive Visual Environment), un pre y post-procesador escrito enteramente en Python (http://www.actact.co.jp/index.php?Mpave%20English). Marcal es fellow de la ASME desde 1975 y fue director de la Pressure Vessel and Piping Division en donde fue galardonado en 1989 con el premio Pressure Vessel Medal por sus contribuciones a los métodos no lineales en elementos finitos. Hasta la fecha ha publicado alrededor de 80 trabajos científicos relacionados con elementos finitos, fatiga, fractura e inteligencia artificial. Trabajador incansable, ha ayudado a organizar numerosos congresos científicos. Aparte de los códigos de elementos finitos Marc, Feva, MPave y Sage (Superconvergent Adaptive General Elements), también ha desarrollado el sistemas de inteligencia artificial ANLAP: capaz de generar datos de entrada para códigos de elementos finitos o a de análisis estadístico a partir de informes de datos de ensayos de resistencia y fatiga escritos en japonés o inglés.

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8. Agradecimientos Varias personas de forma directa o indirecta han intervenido en este trabajo, y a quienes va dedicado. A Miguel Ángel, cuyo humanismo (en el sentido más amplio del término) impregna el espíritu de Ingeciber y da sentido a proyectos de este tipo. A los “saletes”: Eduardo “Padre” y Eduardo “Hijo”, por darme la oportunidad y toda su confianza en abordar problemas difíciles. En especial a Eduardo “P” por sus sabios consejos, uno de los cuales: “lo mejor es el peor enemigo de lo bueno” he tenido muy presente al elaborar este trabajo. A Jorge Corpas, por compartir conmigo sus conocimientos del mercado del CAE y contarme cosas que tal vez “no debería oír”. A Conchita, directora de la biblioteca de la Escuela de Caminos, quien de forma amable y generosa acepta todas mis propuestas de adquisición de libros para la escuela, y me consigue libros y artículos difíciles de encontrar. En concreto la presentación de los desarrolladores de MARC Analysis para el 4º Congreso de la USACM. A mi amigo Pablo, quien desde su puesto en la Oficina de Patentes me consiguió las dos patentes que poseen Hibbitt y Nagtegaal en elementos finitos. Y por último, de manera muy especial, a ella, que en cierta ocasión con una ingenuidad que me enterneció pensó que tal vez pudiera ser otro Bathe.

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9. Referencias [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

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[24] J. C. Nagtegaal, N. Rebelo, “On the development of a general purpose finite element program for analysis of forming processes”, Int. J. Num. Meth. Eng., Vol. 25, pp. 113-131 (1988). [25] H. D. Hibbitt, “Production oriented nonlinear analysis of solids and structures”, MSC 1994 World Users‟ Conference, Los Angeles, California. [26] N. Rebelo, J. C. Nagtegaal, H. D. Hibbitt, “Finite element analysis of sheet forming processes”, Int. J. Num. Meth. Eng., Vol. 30, 1739-1758 (1990). [27] MSC.Software Whitepaper: “Nonlinear finite element analysis of elastomers”. [28] D. E. Weisberg, The Engineering Design Revolution (http://www.cadhistory.net/). [29] H. H. Fong, “From FEA to MCAE today – A 40-year personal Odyssey”, FEA News, April 2007, FEA Information Inc.

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