Hoja de problemas nº 2 2, 3, 5, 7, 11, 13,11,

…2003, 2011, 2017,… Hojas de Problemas

La Divisibilidad

Hoja nº 2 Divisibilidad

A. Ariza/A. Sánchez/R. Trigueros

1. Calcular todos los divisores de 60. 2. Calcular los divisores comunes de 60 y 45. 3. Calcular según la definición el M.c.d. y el M.c.m. de los números: 240 y 288. 4. Calcular el M.c.d. aplicando el Algoritmo de Euclides de los números 1320 y 2860. 5. Hallar dos números sabiendo que su M.c.d. es 11 y los cocientes que se obtienen al aplicar el Algoritmo de Euclides son en orden inverso 3, 1, y 1. 6. Hallar los números comprendidos entre 501 y 600 que son a la vez divisible por 3 y por 8. 7. Hallar los números comprendidos entre 500 y 600 que son a la vez divisible por 4 y por 10. 8. Calcular el M.c.d. y el M.c.m. de los números 240, 288, y 1200. 9. Hallar el menor número de cinco cifras que sea a la vez divisible por 182 y 2156. 10. Hallar el menor número de cuatro cifras que dividido por cuatro, siete y once da de resto tres. 11. Hallar el mayor número que divide a 2.000 dando de resto once y que divide a 2.708 dando de resto diecisiete. 12. Hallar el menor número por el que hay que dividir 108.675 para obtener un cuadrado perfecto 13. Calcular todos los números posibles que verifiquen que {

(

)

14. Calcular todos los números posibles que verifiquen que 1

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(

{

)

15. Calcular todos los números posibles que verifiquen que (

{

)

16. Calcular todos los números posibles que verifiquen que (

{

)

17. Calcular todos los números posibles que verifiquen que (

{

)

18. Calcular todos los números posibles que verifiquen que ( (

{

) )

19. Calcular todos los números posibles que verifiquen que (

{

)

20. Calcular todos los números posibles que verifiquen que (

{

) (

)

21. Calcular todos los números posibles que verifiquen que {

(

)

(

)

22. Calcular dos números naturales sabiendo que la suma de sus inversos es 5/84 y que su M.c.d. es 8. 23. Hallar todos los pares de números naturales que verifican que el producto de su M.c.d. por su M.c.m. es 504 y el cociente entre el M.c.m. y el M.c.d. es 14. 2

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24. Deducir el criterio de divisibilidad por 4. Aplicarlo a los números 501.736 y 561.134. 25. Determinar a para que el número 12a4 sea divisible por 3. 26. Determinar a y b para que el número “aba” sea divisible por los números 3 y 11. 27. Un libro tiene entre 400 y 500 páginas, si las contamos de dos en dos, sobra una, si las contamos de tres en tres sobran dos, si las contamos de cinco en cinco sobran cuatro y si las contamos de siete en siete sobran seis. Calcular el número de páginas que tiene el libro. 28. En un campo de forma trapezoidal de medidas 72, 96, 120, y 132 metros respectivamente cada lado, se quieren plantar árboles en su contorno, de manera que estén igualmente espaciados. Calcular el número de árboles plantados, sabiendo que hay uno en cada vértice y sabiendo que la distancia entre dos consecutivos es la máxima posible. 29. Se desea construir un depósito tan pequeño como sea posible, pero de manera que se pueda llenar con un número exacto de botellas de capacidad: 64cl.; 150cl.; 200cl.; 350cl. ¿Cuál será la capacidad del depósito y cuántas botellas de cada clase caben en el depósito? 30. Calcular la arista de la menor caja cúbica en la que se pueden colocar sin dejar huecos, cajas iguales de dimensiones 44 x 22 x 12 c.c. ¿Cuántas cajas caben en la caja cúbica? 31. Las ruedas delanteras de una locomotora tienen 54cm. de diámetro y la trasera 104cm. Las ruedas de los vagones 86cm. ¿Al cabo de cuántas vueltas todas estas ruedas tomarán la misma posición? 32. Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos, y otra situada en una plaza cercana cambia cada 250

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segundos. Si a las 9 de la mañana coinciden las dos fuentes con el mismo programa. ¿A qué hora volverán a coincidir? 33. Dos cometas se acercan al Sol, uno cada 100 años y otro cada 75 años. Si se han aproximado juntos al Sol en 1990. ¿Cuándo se volverán a encontrar? 34. Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan. Traduciendo a decímetros, mcd (80, 64) = 16 dm de manera que harían falta 80:16 = 5 de largo y 64:16 = 4 de ancho, en total 5 x 4 = 20 baldosas. 35. Hallar un número “n” sabiendo que tiene 24 divisores, que 5n tiene ocho divisores más que n, que 8n tiene 18 divisores más que n y que en su descomposición en factores primos solo entran el 2 el 5 y el 7. 36. Hallar un número “n” cuyos factores primos son 2, 3, y 5, sabiendo que 125n tiene el doble número de divisores que n, 81n tiene el triple y 4096n el cuádruple. 37. Hallar dos números naturales "a" y "b" sabiendo que su máximo común divisores 18, que "a" tiene 21 divisores y "b" 10 divisores. Solución: a =576 b = 162 38. Hallar un número que contengan exclusivamente al 2 y al 3 como factores primos y tal que el número total de sus divisores sea la tercera parte del total de divisores de su cuadrado. Solución: 144 y 324 39. Encuentra los números capicúas de cuatro cifras que empiezan por 1 y son múltiplos de 3 pero no de 9. 4

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40. Una plaza triangular cuyos lados miden 153 m; 221 m y 221 m, Tiene sembrado un árbol en cada vértice. Se quieren sembrar árboles en el perímetro de forma que todos queden igualmente espaciados. a. Averigua la distancia posible si ésta ha de ser un número

entero de metros mayor a 1.

b. Averigua la distancia posible si ha de estar comprendida entre 3’5 y 5’5 metros (la distancia no tiene porqué ser un número entero). 41. Utiliza el criterio de divisibilidad por 11, para hallar el valor de a, sabiendo que el número a0aa al dividirlo por 11 da de resto 8.

42. En dos clases de sexto de primaria se le ha dado a cada niño la misma cantidad de dinero. Si en la primera clase se han repartido 570 € y en la segunda 750 €. a. Averigua cuántos niños puede haber en cada clase y cuánto dinero puede haber recibido cada niño, si sabemos que cada niño recibió un número entero de euros mayor de 20 €. b. Averigua cuántos niños hay en cada clase si cada niño recibió más de 7 € y menos de 10. 43. Encuentra un criterio de divisibilidad por 17 valido para el número “a01105” anterior. Calcula el valor de la cifra a para que el resto de la división del número anterior por 17 sea 1. 44. Una habitación rectangular tiene de dimensiones 20

4m x 3m. Queremos enlosarla usando dos tipos de losas rectangulares cuyas dimensiones son 14cm

16 14 7

x 20 cm y 7cm x 16 cm. ¿Se podrá enlosar la 5

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habitación sin tener que cortar ninguna de las losas? (el número de losas de cada tipo no tiene porqué ser igual) 45. Comprueba que cualquier número entero “n” es primo con el número 2n - 1. 46. Halla un número de dos cifras igual al doble del producto de sus cifras. 47. Una plaza rectangular tiene de dimensiones 12m x 30 m. Dos personas parten de una de las esquinas marchando siempre a la misma velocidad. Una camina por el lado corto y la otra por el lado largo, de manera que cuando llegan a la esquina opuesta vuelven por el mismo camino hasta llegar a la esquina de partida y repiten la situación sucesivamente. Calcula cuánto han de recorrer cada una de las personas hasta que se encuentran en el punto de partida. 48. Halla el criterio de divisibilidad por 101. Encuentra las cifras a y b para que el número 7a1b4 sea múltiplo de 11 y de 101. 49. Un paquete de azúcar pesa 220 gramos. Queremos hacer paquetes más pequeños que pesen todos iguales y que tengan más de 20 gramos de peso cada uno ¿Cuánto pueden pesar estos paquetes y cuántos paquetes van a resultar en cada caso? 50. Juan no recuerda las dos últimas cifras del teléfono de su amigo. Si recuerda que es de la forma 9547023ab, y que dicho número es múltiplo de 11 y de 3. Averigua cuántas llamadas como máximo ha de realizar para contactar con su amigo. 51. Calcula los posibles valores de un número N, sabiendo que M.C.D.(N , 51) = 1020

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SOLUCIONES. 1.

(

)

2.

(

)

*

+ (

3.

( (

4.

(

)

*

+

) ) )

5. 6.

Múltiplos de 24 entre

*

7.

Múltiplos de 20 entre

*

8.

(

)

((

)

+ +

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 7

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20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

) )

41. 8

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42.

A. Ariza/A. Sánchez/R. Trigueros

) )

43. 44.

Habrá que cortar alguna losa (

45.

)

(

)

46. 47.

Tendrán que recorrer 4 veces el lado largo y 10veces el lado corto

48.

49. Las posibilidades son: 1 paquete de 220 gr, 2 paquetes de 110 gr, 4 paquetes de 55gr, 5 paquetes de 44 gr y 10 paquetes de 22 gr. 50. 51.

N será:

.

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