Implicancias de una paradoja y un episodio de la Historia de las Matemáticas en la Formación de Profesores que enseñan Matemáticas. Dr(c) Roberto Vidal Cortés Universidad Alberto Hurtado Chile. Resumen En este artículo, presentamos dos breves ejemplos de una forma de abordar la Historia de la Matemática para contextualizar o recuperar la vida de los objetos matemáticos, mostrando cómo es posible a partir de situaciones ocurridas en la Historia, desarrollar escenarios de aula basados en episodios que pueden aprovecharse ya sea como simulación de lo ocurrido o bien como explicación de la génesis y evolución del quehacer matemático. Ilustramos las implicancias que creemos pueden tener en la formación de profesores que enseñan matemáticas y en su propia concepción de éstas, la discusión de una de las paradojas del Infinito propuestas por David Hilbert a comienzos del siglo XX para evidenciar cómo la intuición puede a veces obstaculizar el aprendizaje y el profesor entonces cuidar el tipo de actividades que propone. En la segunda parte, mostramos cómo puede introducirse el concepto de sumatoria simple, aprovechando el episodio que Carl Friedrich Gauss vivió a los 10 años frente a una tarea escolar y que sentara las bases de la demostración algebraica de la expresión que permite hallar la suma de los primeros n números naturales. Palabras claves: Paradoja, Historia de la Matemática, Infinito, Números naturales, Sumatoria.

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Introducción. Desde fines del siglo XIX y gran parte del XX, una de las mayores preocupaciones de los matemáticos cercanos a la filosofía y a la lógica matemática, fue el tratar de establecer “los fundamentos de las matemáticas”, necesarios para ellos por la aparición de paradojas o antinomias que en cierta forma ponían en crisis algunos conocimientos matemáticos, desarrollándose un plan de matemáticas formales que repercutiría también en su enseñanza, que se puede evidenciar en libros de texto posteriores a los años 60’, que tienen como modelo presentar los saberes matemáticos a partir de rigurosas definiciones y cuidadoso lenguaje, seguido de una buena cantidad de ejercicios mecánicos y unos cuantos de aplicación en su mayoría descontextualizados de la realidad. Esto lleva a una imagen absolutista de la Matemática, como dice De Lorenzo1 (1998): “El Hacer Matemático no es un saber ya plenamente cristalizado, sino un saber vivo, en constante proceso ...quizá lo que quede fosilizado sea lo que se plasme en algún libro de texto, donde las definiciones se presenten con radical precisión y como punto de partida, las demostraciones se muestren “completas” y sólo una por teorema, la estructura del texto aparece cerrada y de tal forma que se llega a la convicción de que en la Matemática ya no queda nada nuevo por hacer”.

Con esta cita queremos ilustrar lo que pretende este artículo: mostrar cómo es posible utilizar elementos provenientes de la Historia de la Matemática, como construcción humana que es, de modo que tales elementos permitan un acercamiento a esta ciencia, dando en el aula las posibilidades para que los estudiantes se apropien de conocimientos con historia, donde han existido y siguen existiendo pugnas entre matemáticos, intentos fallidos, avances pero tan bien retrocesos2. Es así como hemos seleccionado una paradoja acerca del infinito, que servirá para mostrar cómo la intuición basada en los sentidos puede limitar el paso a la abstracción, y cómo entonces ponerla en debate con estudiantes de secundaria, para comprender por ejemplo propiedades de conjuntos finitos que no se mantienen cuando se consideran los de tipo infinito, por lo que damos dos ejemplos; el primero, desde la propia paradoja que habita en el conjunto de los números naturales y su consecuencia en geometría, específicamente con relación a la cardinalidad del conjunto de los puntos que determinan de un trazo y lo que hizo llegar al matemático Alemán G. Cantor a la hipótesis del continuo. Además de la paradoja, hemos escogido el episodio que según diversos historiadores de la matemática consultados (Boyer, Bell, Cajori, entre otros), vivió el denominado “Príncipe de las Matemáticas” Carl Friedrich Gauss cuando tenía tan sólo 10 años de edad, sobre la suma de los primeros 100 números naturales. Al respecto cabe señalar, que siendo una anécdota bien conocida, en el sentido que la citan muchos libros de texto, desgraciadamente no queda más que en eso, una anécdota, pero no se le da el 1

Javier de Lorenzo escribe esta frase en su obra: “La Matemática: de sus fundamentos y crisis” Esto no significa que el profesor de Matemática deba convertirse en historiador, sino conocer los orígenes y la evolución de su ciencia y los objetos que enseña.

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provecho que trae a la enseñanza en el sentido de la gran contribución que Gauss hiciera con su “método” para encontrar la mencionada suma dada por su profesor como tarea y emplearla para por ejemplo, construir el concepto de sumatoria en la Matemática escolar.

1. Una Paradoja del Infinito: El Hotel de Hilbert. Como ocurre con muchas paradojas, la sólo existencia de ellas pone de manifiesto la existencia de crisis en los fundamentos de las matemáticas. Así ocurre con la paradoja del Hotel Infinito propuesta por David Hilbert, uno de los matemáticos alemanes más importantes de los siglos XIX y XX. Nació en la ciudad de Königsberg3, el 23 de enero de 1862. Por ese entonces se trabaja fuertemente en la Teoría de Conjuntos introducida por Georg Cantor. En especial la atención se puso sobre los conjuntos infinitos, a tal punto que Cantor propuso una “aritmética transfinita” David Hilbert para extender el concepto de cardinal que ya manejaban para conjuntos finitos y que en la escuela los estudiantes aprenden al realizar el proceso de “contar”. Cuando los niños aprenden a “contar”, establecen correspondencias uno a uno entre una parte del conjunto de los números naturales y una colección de objetos. De este modo, el significado cardinal del Georg Cantor número 3, está en que ese 3 es el último número de la secuencia de naturales que nombró el niño, y por tanto 3 son los objetos que tiene el conjunto inspeccionado. Si el cardinal de un conjunto es 100, significa que tiene 100 elementos, y al contar, es decir al asociar cada objeto o elemento con cada número de la secuencia de naturales a partir del 1, el último en nombrar será precisamente 100. Para los conjuntos infinitos, el trabajo de Cantor consistió en extender el concepto de cardinal, lo que hizo presentar a Hilbert una paradoja que creemos, puede ser útil para dar espacios de creatividad e imaginación, como también atentar al mismo tiempo sobre una de las más preciadas formas humanas de acceder al conocimiento: La Intuición, que como veremos aquí, es a veces, la culpable de frenar experiencias con la abstracción.

3

A propósito de Königsberg: recomendamos investigar el “problema de los 7 puentes de Königsberg”, resuelto por el Matemático Suizo Leonhard Euler (1707-1783). Con este problema, extraído de la vida real, Euler da las bases de la Teoría de Grafos de las Matemáticas Discretas. En Internet, pueden encontrar información en http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/15-1-o-p.html

3

Los hoteles de nuestro mundo tienen un número bien determinado (finito) de habitaciones. Si un hotel tiene 50 habitaciones para alojar a sus pasajeros, no nos basta como dato suficiente para conocer la cantidad de pasajeros que puede recibir. Bien es sabido que hay recámaras simples, dobles, cuádruples, etc. Para simplificar la situación, supondremos que en el hotel en el cual centraremos la atención, no hay habitaciones compartidas o lo que es igual, todas las habitaciones son simples. Si el hotel tiene bajo esta condición 50 habitaciones, ahora el lector estará de acuerdo que sí se puede conocer el número exacto de pasajeros cuando el hotel está totalmente ocupado. ¡Muy fácil!, 50 habitaciones, cada una con exactamente 1 pasajero (pues está completo), nos da un total de 50 pasajeros. ¿Qué sucede si llega de pronto un nuevo pasajero y en la entrada tiene un cartel que dice: “lo sentimos, está completo”… Claramente, no hay posibilidad alguna de darle una recámara. Eso ocurre por que el hotel tiene un número finito de habitaciones. Supongamos ahora que se construye un hotel con infinitas habitaciones. ¡He aquí el despegue de nuestra imaginación… espero que nos acompañe…! La historia seria algo así: Existe un Hotel llamado “Hotel Infinito”, que tiene infinitas habitaciones, numeradas con los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, … y así ilimitadamente, en el cual sólo hay recámaras simples. En un momento el Hotel Infinito tiene infinitos pasajeros. Llega una persona con el propósito de quedarse allí, pero el recepcionista le dice que es imposible porque el hotel ya tiene todas sus habitaciones “ocupadas”, a lo que el cliente le responde: “pero si este es un hotel infinito, siempre podrán haber habitaciones…, creo que le tengo la solución… ¿Cuál será la solución que le propondrá al recepcionista?. Efectivamente, es posible conseguir una recámara pero, ¿cuál?. Si está pensando en la última, recuerde que “hay infinitas habitaciones e infinitos pasajeros en el hotel”, pues no se puede hablar de la última habitación o de aquella que está después de “infinito”. Si habría algo después de infinito, caeríamos en la contradicción de que el infinito es alcanzable y por tanto finito.

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La solución, está en dar al pasajero la habitación número 1. ¿Cómo debe hacer el recepcionista para desocuparla?. Simple para los ojos de Hilbert: El pasajero que está en la 1, le pedimos que se mude a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4 y así sucesivamente. Este hecho lo justifica no solo la infinitud del hotel, sino la posibilidad de encontrar siempre sucesores en el conjunto de los números naturales. Por muy grande que sea un natural, siempre existe el siguiente. En general, si n es natural, está asegurada la existencia del natural (n + 1). En la construcción axiomática de los Números Naturales, por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) el axioma 2 dice: “Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural (llamado el Giuseppe Peano sucesor de a)”. Pongamos ahora el caso en que llegan 10 pasajeros al hotel que tiene infinitas habitaciones y atiende en él a infinitos pasajeros cada uno en una recámara. La solución probablemente ya la advierte. El recepcionista debe pedir que el pasajero de la habitación 1 se mude a la 11, el de la 2 a la 12, el de la 3 a la 13, etc. Así un pasajero de la habitación n debe cambiarse a la de número n + 10, la que siempre existe, cualquiera sea el n natural. Para el lector quedará las siguientes situaciones, mayores pero no por ello más difíciles. Si llegan 1.000 pasajeros al hotel infinito, estando éste con infinitos pasajeros, ¿Cómo se le puede dar una recámara a cada uno de los 1000 nuevos clientes?, ¿Y si llegara 1.000.000 ó 100.000.000 de clientes?. Parece ser que ya se torna fácil la solución, sin embargo, Hilbert aportó una excelente propuesta para el final. Se trata de dar solución al problema que se genera cuando bajo las condiciones que ya conocemos, llegan infinitos clientes a hospedar al hotel infinito, que ya cuenta con infinitos pasajeros. Lo más increíble, es que también es posible dar alojamiento a estas personas, sin romper las condiciones del hotel. ¿Cómo es posible que ya se tengan infinitas personas, en infinitas habitaciones, una por habitación, y todavía se puedan ingresar infinitas personas más? La brillante solución, está en indicar a los movidos pasajeros actuales que cada uno se mude a la habitación cuyo número corresponda al doble de la de su número actual. ¿Qué se consigue con eso?. ¿Qué habitaciones quedarán desocupadas y cuáles ocupadas?. ¿Serán suficientes las habitaciones para recibir a infinitos nuevos huéspedes?. He aquí los movimientos de cada uno de los infinitos pasajeros actuales: Nº de la Habitación actual Nº de la habitación a la que se debe mudar

1

2

3

4

5

…

n

n+1

…

2

4

6

8

10

…

2n

2n+2

…

Quedan desocupadas así las habitaciones de numeración impar. Como hay infinitos números impares, pueden alojarse en estas recámaras los nuevos infinitos pasajeros. 5

¿Qué implicancias tiene esta paradoja histórica propuesta a comienzos del siglo XX por Hilbert en la Formación de Profesores básicos y también de Matemáticas escolares?. Un profesor de matemáticas escolares, sea de educación primaria o secundaria, debe estar siempre atento a conocer más allá de lo que enseña a sus alumnos y esto le conduce necesariamente a mejorar en forma constante su relación con el saber matemático. Es posible que la última solución dada por Hilbert cuando llegan infinitos clientes al hotel, ocasione ciertas contradicciones con lo que nos dice la intuición. Pero es precisamente esa la idea, remecer lo que nos puede parecer trivial y que es así en un contexto finito pero no lo es en el ámbito de los conjuntos infinitos. Veamos esto en detalle. Al comparar el conjunto de los números naturales: {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12 ,13, 14,…} digamos en “cantidad” con el conjunto de los números naturales pares: {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}, sabemos que los últimos son subconjunto de los primeros, y esto nos lleva a pensar que “hay el doble de números naturales que de números naturales pares” o dicho de otra forma “la cantidad de números naturales que son de naturaleza par, son la mitad de la cantidad de números naturales, pues así la otra mitad corresponde a los números impares”. Esta es una Falacia. ¿Por qué? Hilbert ilustró con su Hotel Infinito, que se puede establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números naturales y la parte de ellos comprendida por el conjunto de los números naturales pares. El siguiente diagrama de flechas permite visualizar esto: 1

2

3

4

5

…

2

4

6

8

10

…

Note que a cada número natural le corresponde un único número par (su doble) y a la inversa, que a cada número natural par a le corresponde un único número natural (su mitad) que también es única. Esta correspondencia biunívoca permite concluir entonces que “hay la misma cantidad de números naturales pares que de números naturales”, lo que atenta contra la intuición. ¿Por qué se produce este atentado?. La razón radica en la extensión que solemos hacer de una propiedad que se cumple en un contexto de conjuntos finitos a otro de conjuntos infinitos, extensión que no permanece. En efecto; si contamos con conjuntos finitos de números naturales consecutivos como {1,2,3,4,5,6,7,8} cuya cardinalidad, es decir, número de elementos es 8, claramente se ve que en este conjunto hay la mitad de números pares, esto es 4. Dicha relación caduca si trabajamos con conjuntos infinitos que protagonizaron el último acto del Hotel de Hilbert. 6

El cuidado que hay que tener y que procuramos evidenciar con este ejemplo, para la formación de profesores de Matemática escolar, es que no incurran en errores provocados por la intuición. De la misma forma se podrá pensar que muchos menos aún que los números naturales serán los múltiplos de 10, o los números primos. Los siguientes esquemas de flechas, muestran que “hay tantos múltiplos de 10, como números naturales, y como tantos números primos, aunque la correspondencia entre naturales y primos no es clara en el sentido que no existe una relación algebraica entre ellos.

Correspondencia entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los múltiplos de 10

1

2

3

4

5

…

10

20

30

40

50

…

Correspondencia entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números primos

1

2

3

4

5

…

2

3

5

7

11

…

Cantor en su “Aritmética Transfinita” publicada en 1895 y 1897 en Mathematische Annalen (Anuales de Matemática), incorpora los números cardinales transfinitos, esto es, nuevos números que representarán la idea de “cantidad” de elementos que tienen los conjuntos infinitos. Aunque no es el propósito abordar estos números aquí, nos parece importante señalar que el símbolo que representa la cardinalidad de los números naturales es ℵ0 (Aleph – cero). La letra Aleph ( ℵ ) es la primera del alfabeto hebreo. Esta misma cardinalidad la tienen los múltiplos de cualquier natural, los números pares, los impares y también los números enteros, haciendo la siguiente correspondencia con los naturales: Correspondencia entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números enteros

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-1

1

-2

2

-3

3

-4

…

En definitiva, todo conjunto que se pueda poner en correspondencia con el conjunto de los números naturales, se dice que es contable o numerable.

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Cantor investigó también sobre la cardinalidad de los números reales, para lo cual es previo investigar sobre la cardinalidad del conjunto de puntos de un segmento. Volvamos a luchar contra nuestra intuición. Dispongamos de dos segmentos de igual medida, es decir, que sean congruentes. El lector estará de acuerdo en que ambos tienen la “misma cantidad de puntos”. A

B

C

D

¿Tendrán la misma cantidad de puntos dos segmentos de distinta medida?. Sean PR y ST dos segmentos no congruentes. Dispongámoslos uno paralelo al otro para simplificar las cosas. (Para efectos de rigor, siempre es posible copiar segmentos para poder utilizar representantes de estos en el plano que cumplan la condición del paralelismo). R

P

T

S

Ahora tracemos dos rectas: la que contiene a P y S y la que contiene a R y T. Como los segmentos son no congruentes y paralelos, las rectas determinarán un punto de intersección que llamaremos O.

O

P

S

R

T

8

A continuación, seleccionemos un punto X cualquiera de PR , es decir, un punto X genérico, y tracemos la recta OX , la que cortará al segmento ST en un único punto que podemos llamar Y (que también es genérico pues dependerá de X).

O

P

S

x

R

T

Y

La correspondencia uno a uno aquí establecida, está dada por: P

X

R

S

Y

T

La “movilidad o elección arbitraria de X”, permite determinar la correspondencia biunívoca (genérica) que tiene con Y. ¿Qué segmento tiene más puntos?. Para gran sorpresa, hemos probado que ambos segmentos tienen la misma cardinalidad, aún así un segmento sea muy largo respecto al otro. ¡Sin duda un terremoto para la intuición!. Cantor observó que no es posible poner en correspondencia el conjunto de los números naturales con el conjunto de los puntos de un segmento de recta. Por tanto, el cardinal debía ser otro, del que sólo diremos que lo simbolizó por c y lo llamó el continuo. Luego, al indagar sobre los números reales, observó que éstos se corresponden biunivocamente con los puntos de una recta geométrica, (que es lo que fundamenta el hecho de que podamos utilizar la recta numérica como recurso visual de los números reales), por lo que el conjunto de los reales contaría con la misma cardinalidad de los puntos de una recta, es decir, el continuo c. La idea es por una parte, controlar posibles actividades que puedan conducir a errores originados por no considerar el cambio de contextos en que se cumplen ciertas propiedades numéricas o geométricas manteniendo al día la relación entre el saber matemático y el profesor, mientras que por otra parte, se favorezca con estos ejemplos el paso a la abstracción que ha permitido avances innumerables en las matemáticas y sus aplicaciones.

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2. Un episodio en la Historia de la Matemática para Introducir el concepto de Sumatoria: Un ingenioso algoritmo de Gauss. Cuentan los diversos autores de libros de Historia de la Matemática, que Carl Friedrich Gauss, Matemático alemán nacido en la hoy ciudad de Brunswick en 1777, que estando en una clase de matemáticas en su escuela, su profesor que lo encontraba bastante inquieto, le dio una tarea para que se quedara tranquilo. Le pidió que encontrara la suma de los primeros 100 números naturales, es decir, 1 + 2 + 3 +…+ 100. El maestro pensó que con esto podía tenerlo un buen tiempo concentrado, pues imaginaba probablemente que el cálculo lo realizaría sumando los dos primeros números y luego tal suma con el tercer número y así sucesivamente, es decir, siguiendo un esquema como este:

Carl Friedrich Gauss

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +…+ 100 3

+3 6

+4 10

+5

…etc.

Sin embargo, en muy poco tiempo, Gauss llevó la respuesta al profesor. ¡Son 5.050 profesor!. Su forma de trabajar en su tarea, hizo pensar al profesor que estaba frente a un eminente futuro matemático, y por cierto que no se equivocó. Asombraba de tal manera a la gente con su precocidad matemática, que el Duque de Brunswick le costeó sus estudios secundarios y universitarios, lo que permitió a este hijo de un humilde albañil, doctorarse en 1799 en la Universidad de Helmsted. Después de más de 2000 años que Euclides escribiera Los Elementos, época en que los griegos estudiaban dedicadamente las construcciones con regla y compás, en 1796, Gauss encuentra la manera de construir un polígono regular de 17 lados con sólo regla y compás, y más aún, luego encontraría la manera general de construir los demás polígonos regulares. Realizó la suma pedida por su profesor sorprendentemente, estableciendo la base del concepto de sumatoria y una de sus formas más conocidas. Este episodio histórico, lo hemos seleccionado precisamente para mostrar un camino “contextualizado” de la génesis de la sumatoria de los primeros n números naturales. Veamos esto en detalle.

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Gauss comenzó observando que la expresión 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +…+ 100 podía reescribirla como 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +…+ 98 + 99 + 100. ¿Para qué?. La suma del primer y último término es 101, la suma del segundo y penúltimo término es 101, la suma del tercer y antepenúltimo término también es 101, y así, podemos llegar a formar 50 parejas de números cuya suma sea 101. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 96+ 97 + 98 + 99 + 100

De este modo, formamos 50 parejas de números, cada una con una suma de 101. La suma total pedida, se reduce entonces a la multiplicación 50 • 101, lo que da 5.050. La expresión 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 96+ 97 + 98 + 99 + 100 se abrevia mediante una simbología que utiliza la letra “sigma” mayúscula del alfabeto griego y utilizando un contador i que recorre los números naturales hasta el último sumando n, y ubicando a la derecha de sigma, la expresión que se sumará en función del contador i. De esta forma, se expresa la sumatoria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 96+ 97 + 98 + 99 + 100 como

100

i , lo que indica que: hay que sumar los i, desde i =1 hasta i = 100.

i =1

Siguiendo esta configuración Gaussiana para sumar los primeros 100 números naturales, podríamos ahora emplear la misma técnica, pero en lugar de juntar parejas entre los términos extremos y equidistantes, escribimos dos veces la expresión que examinamos, pero en la segunda invertimos el orden: 100 i =1 100

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 96+ 97 + 98 + 99 + 100 i = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + …+ 5 + 4 + 3 + 2 +

1

i =1

y ahora podemos sumar a cada lado de la igualdad, notando que los miembros de la derecha, al sumar por parejas, nos da siempre 101, tantas veces como parejas tengamos, en este caso, son 100.

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100

i=

i =1 100

+

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 96+ 97 + 98 + 99 + 100

i = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + …+ 5 + 4 + 3 + 2 +

1

i =1

2

100

i = 101+ 101 +101 +101+101 + … +101+101+101+101+101.

i =1

100 sumandos iguales a 101 Es decir: 2

100 i =1 100 i =1

i = 100 • 101, y entonces, dividiendo a cada lado por 2, tenemos: i=

100 • 101 =5.050. 2

Gauss con su forma de abordar un entonces simple pero largo ejercicio dado por su profesor, sienta las bases con las que hoy en día demostramos algebraicamente la fórmula n n(n + 1) . de sumatoria simple: i= 2 i =1

En efecto, podemos proponer otros ejemplos similares a los estudiantes como: determinar la suma de los primeros 1.000 números naturales, o de los primeros 50 mil. Interesa además proponer que encuentren la suma de los primeros 605 números naturales, es decir, intencionando variaciones en que los alumnos y alumnas puedan pensar cómo pueden aplicar la práctica gaussiana cuando se tiene un número impar de sumandos y por tanto quedará un sumando fuera al formar parejas. Podría ser el momento oportuno para que ellos mismos descubrieran lo que se debe hacer y generalizar el algoritmo para cualquier otro caso. Si se introduce el símbolo sumatorio de este modo, aparecerán sus propiedades y su concepto desde las aplicaciones, en oposición a las prácticas habituales de comenzar con lo general y ejemplificar por medio de casos particulares sin considerar el contexto histórico y lo peor aún, al no contemplar su origen en Gauss, se alimenta la visión de las matemáticas muertas, sin sentido y hábitat de mágicas fórmulas. Finalmente, presentamos la generalización a la que se llega con la suma de los primeros n números naturales, mediante la expresión simbólica: n

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5... + (n − 1) + n

i =1

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Trabajando tal como lo hicimos para n = 100, tenemos: n i =1 n

+

i= 1

+

i=

+ (n-1) + (n-2) + … +

n

2

+ 3

+ … + (n-2) + (n-1) + 3

+

2

+

n 1

i =1

_____________________________________________________ n

2

i = (n+1) + (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) + (n+1)

i =1

n sumandos iguales a (n+1) Es decir: 2

n i =1 n i =1

i = n(n+1), y entonces, dividiendo a cada lado por 2, tenemos: i=

n(n + 1) . 2

Conclusiones Al finalizar este artículo, queremos dejar abierta la invitación para que el lector se introduzca en el apasionante campo de la Historia de las Matemáticas, sin la necesidad de convertirse como ya hemos señalado, en un historiador, sino con el propósito de investigar y encontrar el sentido de los objetos matemáticos del saber a enseñar. Muchos estudiantes huyen de las matemáticas por desconocimiento de su historia, por ser enseñadas desde la rigurosidad, la axiomatización y la problematización dentro de ella misma, sin permitir las aplicaciones que permiten comprender e interpretar el mundo real incluyendo aquellos episodios que más que anécdotas o curiosidades, se pueden utilizar en el aula de clases para hacer que los estudiantes se apropien de los conocimientos, construyéndolos desde el escenario preparado por el profesor. ¿Cuáles son las implicancias a las que hicimos referencia?. Podemos nombrar algunas y probablemente en el camino, el lector agregue otra más, pues ésta es la idea. • • • • • •

Unificar el saber del profesor y del alumno, en relación a posibles fragmentaciones de los conocimientos matemáticos e interdisciplinarios. Aprovechar la Historia de la Matemática como una rica fuente de experiencias concretas ya sea para simular en el aula, recrearlas y/o considerar para preparar escenarios de enseñanza – aprendizaje y evaluación. Contextualizar los aprendizajes en conjugación con los contextos propios del que aprende como del objeto que se enseña. Esclarecer el paso a la abstracción, favoreciendo a ésta desde cómo ha sido abordada por los propios matemáticos, humanizando la matemática como ciencia en desarrollo. Dar a conocer pasajes de la Matemática, más allá de los clásicos griegos (Thales, Pitágoras, Euclides). Acercar a los estudiantes a la Matemática, por medio de una visión humanista de la ciencia formal.

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Bibliografía Bell, E.T. (1965): Men of Mathematics, Simon and Schuster. New York, Boyer. C. (1968): Historia de la Matemática. John Wiley & Sons. New York. Cajori, F. (1919): A History of Mathematics. The MacMillan Company, California. Chevallard,Y. (1997): La transposición didáctica. Buenos Aires, Aique. De Lorenzo, J. (1998): “La Matemática: de sus fundamentos y crisis”. Tecnos, Madrid. De Lorenzo, J. (1977): “La Matemática y el problema de su Historia”. Tecnos, Madrid Fauvel, J. (1990): “History in the mathematical classroom”. The IREM papers. The Mathematical Association. Francia. Lavine S. (2005): Comprendiendo el Infinito. Fondo de Cultura Económica, México. McLeish J. (1994): The Story of Numbers. Fawcett Columbine, New York. Ortíz, J. (1994): El concepto de Infinito. Boletín Vol. I, Año 1994, Asociación Matemática Venezolana. Nº2. pp 59 – 81. Smith D.E. (1951): History of Mathematics. Vol.I Dover Publications, Inc. New York.

Sitios Web: http://ar.geocities.com/paginadeprueba2005/Cantor/georg_cantor_y_la_teoria_de_transfinitos.htm http://www.temakel.com/artborgesbabel.htm www.cartesio-episteme.net/mat/aritm-trans.doc

http://www.comoves.unam.mx/articulos/hotel/hotel.html

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Gauss.html http://platea.pntic.mec.es/aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20Gauss.htm

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