ÍNDICE

MATEMÁTICAS Geometría Trigonometría Números Complejos Geometría Analítica del Espacio Reglas Generales de Derivación Tablas de Integrales Vectores Integrales Múltiples Fórmulas Misceláneas

1 1 2 2 3 4 6 10 11 13

14

FÍSICA Cinemática Dinámica Trabajo, Energía y Conservación de la Energía Impulso e Ímpetu Electricidad y Magnetismo Constantes Factores de conversión

14 14 15 15 15 18 19

20

QUÍMICA Formulario de química Tabla Periódica de los Elementos Serie Electroquímica de los Metales Tabla de Pesos Atómicos

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

20 21 22 23

1

FORMULARIO DE MATEMÁTICAS

Geometría

Volumen  43  r

r

3

Área de la Superficie  4  r 2

r

Volumen

  r 2h h

Área de la superficie lateral  2  rh

r

Volumen  13  r 2 h h

l

Área de la superficie lateral   r r  h   r l 2

2

Volumen  13  h a 2  ab  b2 

   a  b h   b  a  2

Área de la superficie lateral

a

2

   a  b l

l h

b

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

2

Trigonometría sen2 A  21  21 cos 2 A cos2 A  21  21 cos 2 A sen 2 A  2 sen A cos A cos 2 A  cos2 A  sen2 A

sen2 A  cos2 A  1 sec2 A  tan2 A  1 csc2 A  cot 2 A  1 sen A cos A cos A cot A  sen A tan A 

sen  A  B  sen A cos B  cos A sen B cos  A  B  cos A cos B  sen A sen B tanA  tanB tan  A  B  1  tanAtanB

sen A csc A  1 cos A sec A  1

A 1  cos A  2 2 A 1  cos A cos   2 2

tan A cot A  1

sen

sen   A   sen A cos   A  cos A

tan  A  tan A

sen A sen B 

1 2

sen A cos B 

1 2

cos A cos B 

1 2

 cos A  B  cos A  B  sen A  B  sen  A  B  cos A  B  cos A  B

Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos

a b c   sen A sen B sen C A

Ley de los cosenos

c

c2  a 2  b2  2 ab cos C Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes a  b tan 21  A  B  a  b tan 21  A  B Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

b

C

B

Números Complejos Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que  r cos  i sen  p  r p  cos p  i sen p  Sea n cualquier entero positivo y p  1 n , entonces 1 1  r cos  i sen  n  r n  cos  n2 k  i sen  n2 k  XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

a

3

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo k  0,1,2, , n  1

Geometría Analítica del Espacio Considerando P1   x1 , y1 , z1  y P2   x2 , y2 , z2  Vector que une P1 y P2 :

PP 1 2   x2  x1  ,  y2  y1  ,  z2  z1    l, m, n

Distancia entre dos puntos:

d

x

Recta que pasa por dos puntos: - Forma Paramétrica: x  x1  l t

2

 x1    y2  y1    z2  z1   l 2  m2  n2 2

2

y  y1  mt

-Forma Simétrica: t

x  x1 l

t

Cosenos Directores: x x l cos   2 1  d d

2

cos  

z  z1  nt

y  y1 m

t

y2  y1 m  d d

cos  

z  z1 n

z2  z1 n  d d

donde , ,  denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Ecuación del Plano: 

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a  a1 ,a 2 ,a 3 : a1 x  x1   a2  y  y1   a3  z  z1   0

-Forma General:

Ax  By  Cz  D  0 cos2   cos2   cos2   1

o

l 2  m2  n2  1

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0 Ax 0  By 0  Cz0  D d  A2  B2  C 2 en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

4

Coordenadas cilíndricas:   2 2 x  r cos  r  x  y  y  y  r sen  o    tan 1 x z z   z  z 

z

{



P

(x,y ,z) (r,z)

z

O

y r

x

 y

x

Coordenadas esféricas:

z

  x  r sen  cos   r  x2  y2  z2   y  y  r sen  sen  o    tan 1 x   z  r cos  1 z    cos  x 2  y 2  z 2 

{

P

(x,y ,z) (r,  

r



 z

O x

y

 y

x

Ángulo entre dos rectas en el plano tan  

m2  m1 1  m1m2

Reglas Generales de Derivación d dw dv du  uvw  u v  u w  v w dx dx dx dx du dv d  u  v dx  u dx   dx  v  v2

d ( c)  0 dx d  cx   c dx d  cx n   ncx n1 dx d du dv dw  u  v  w     dx dx dx dx

d n du  u   nun1 dx dx

d du  cu  c dx dx

dF dF du (Regla de la cadena)  dx du dx

d dv du  uv  u  v dx dx dx

du 1  dx dx du



XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

 



5

dF dF du  dx dx du

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

6

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas log a e du d log a u  a  0, a  1 dx u dx d d 1 du ln u  loge u  dx dx u dx d u du u a  a ln a dx dx d u du e  eu dx dx d v d v ln u d du dv u  e  ev ln u v ln u  vuv 1  uv ln u dx dx dx dx dx

Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas

d du sen u  cos u dx dx d du cos u   sen u dx dx d du 2 tan u  sec u dx dx d 1 du sen1 u  2 dx 1  u dx d 1 du cos1 u  dx 1  u2 dx d 1 du tan1 u  dx 1  u2 dx d 1 du cot 1 u  dx 1  u2 dx

d du cot u   csc2 u dx dx d du sec u  sec u tan u dx dx d du csc u   csc u cot u dx dx  2  sen1 u 

 2

0  cos1 u    2  tan1 u 

 2

0  cot 1 u  

d 1 du 1 du sec1 u   dx u u 2  1 dx u u 2  1 dx

  si    si 

  1  sec u   

d 1 du 1 du csc1 u   dx u u 2  1 dx u u 2  1 dx

  si 0  csc1 u    2   1    si  2  csc u  0  

0  sec 1 u   2



2

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

d du senh u  cosh u dx dx d du cosh u  senh u dx dx d du tanh u  sec h2u dx dx

d du coth u   csc h 2 u dx dx d du sec h u   sec h u tanh u dx dx d du csc h u   csc h u coth u dx dx XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

7

d 1 du sen h-1u  2 dx u  1 dx    

d 1 du cos h -1u  dx u 2  1 dx

d 1 tanh1 u  dx 1  u2 d 1 coth1 u  dx 1  u2

du dx du dx

si si

cosh 1 u  0, u  1  1 cosh u  0, u  1

1  u  1

 u  1 o   si    si 

d 1 du sec h -1u  dx u u 2  1 dx

 u  1 0  u  1  0  u  1

sec h 1u  0, sec h 1u  0,

d 1 du 1 du csc h-1u   2 dx u 1  u dx u 1  u 2 dx

 

u  0,

si



si

 u  0

Tablas de Integrales

 u dv  uv   v du 1  u du  n  1 u  C n1

n

n  1

 u  ln u  C  e du  e  C du u

 sec udu  ln sec u  tan u  C  csc u du  ln csc u  cot u  C

u

au  a du  ln a  C  sen u du   cos u  C u



 cos udu  sen u  C  sec

 csc

2

2

u du  tan u  C

u du   cot u  C

 sec u tan u du  sec u  C  u

a 2  u 2 du  2

a 2  u2 du 

 csc u cot u du   csc u  C  tan udu  ln sec u  C  cot u du  ln sen u  C

du

u C a a u du 1 1 u  a 2  u 2  a tan a  C du 1 u  2 2  a sec1 a  C u u a du 1 ua  a 2  u2  2a ln u  a  C du 1 ua  u2  a 2  2a ln u  a  C 2

u 2 a2 a  u 2  ln u  a 2  u2  C 2 2 u 2 a2  a  2u2  a 2  u2  ln u  a 2  u2  C 8 8

2

 sen 1





1 a 2  u2  a   ln C a u u a 2  u2 du

a 2  u2  C a 2u a 2  u2 du

u2

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

8



a u a a u du  a 2  u 2  a ln C u u



a u a u du    ln u  a 2  u 2  C 2 u u du  ln u  a 2  u 2  C a 2  u2

2

2

2



2

2

u 2 du

2

2

2

u 2 a2 a  u 2  ln u  a 2  u 2  C 2 2



a



du 2

u



2 3/ 2



a 2  u 2 du 

u

2

u a

2

a 2  u2

C

u 2 a2 u a  u 2  sen 1  C 2 2 a

a 2  u 2 du 

u a4 u  2u2  a 2  a 2  u2  sen1  C 8 8 a



a 2  u2 a  a 2  u2 2 2 du  a  u  a ln C u u

a 2  u2 1 2 u du   a  u 2  sen 1  C 2 u u a



u 2 a2 2 u  a du  u  a  ln u  u 2  a 2  C 2 2

u 2 du

u a2 u  2 2   2 a 2  u2  2 sen1 a  C a u du 1 a  a 2  u2 C  2 2   a ln u u a u

u 2 2 2 2 a4  u u  a du  8  2u  a  u  a  8 ln u  u2  a 2 C



u2  a 2 a du  u 2  a 2  a cos1  C u u



1 a 2  u2  C a 2u



u 3a 4 u  2u2  5a 2  a 2  u2  sen1  C 8 8 a



u2  a 2 u2  a 2 du    ln u  u 2  a 2  C u2 u du  ln u  u 2  a 2  C 2 2 u a u 2 du u a2 2 2  u a  ln u  u 2  a 2  C 2 2 2 2 u a





du u

2

a



a 2  u2

2

a u 2

2





 u2  2 du   3

du

 a 2  u2 

3

 2

u a 2 a 2  u2

C

2

2



2

2

2

u2  a 2  2 2 2  a 2u  C u u a du u  2 2 32   2 2 2  C a u a u  a  du

udu 1  a  bu  b2  a  bu  a ln a  bu   C u 2 du 1  a  bu  2b3  a  bu 2  4a a  bu  2a 2 ln a  bu   C

 u

u 2 du 2  8a 2  3b2u2  4abu a  bu  a  bu 15b 3 du 1 a  bu  a  ln  C, si a  0 a  bu a a  bu  a

2 a  bu tan1  C , si a  0 a a a  bu du du  2 a  bu  a  u u a  bu a  bu a  bu b du du     2 u u 2 u a  bu 

 u a  bu  a ln a  bu  C du

1

u

 u  a  bu   au  a du

2

1

b 2

ln

a  bu C u

 

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

udu a 1   a  bu 2  b2  a  bu  b ln a  bu  C

 u a  bu du

u 2 du

 a  bu 

u 

2

2





u

1 1 a  bu  2 ln C a a  bu a u   a2  a  bu   2a ln a  bu   C a  bu  

1 b3

a  budu 

n

a  bu du 



9

2u n a  bu 2na u n1 du   b 2n  1 b 2n  1 a  bu a  bu   du a  bu b 2n  3 du  un a  bu   a n  1 un1  2a n  1  un1 a  bu



u n du



2 3    2 C 2 3bu  2a a  bu 15b

udu 2  2  bu  2a  a  bu a  bu 3b

 sen  cos

2

udu  21 u  14 sen 2u  C

2

u du  21 u  41 sen 2u  C

 tan  cot

 sen

2

u du  tan u  u  C u du   cot u  u  C

2

3

u du   13  2  sen2 u cos u  C

3

u du  13  2  cos2 u sen u  C

 cos

 tan udu  tan u  ln cos u  C  cot u du   cot u  ln sen u  C 3

3

 sec

3

2

1 2

1 2

2

u du  21 sec u tanu  21 ln sec u  tanu  C

 sen au cosbu du  

cos a  b u cos a  b u  C 2 a  b 2 a  b

 u sen u du  sen u  u cos u  C

 u cos u du  cos u  u sen u  C u

n

sen u du  un cos u  n un1 cos u du

 csc  sen

u du   21 csc u cot u  21 ln csc u  cot u  C n 1 n u du   n1 senn1 u cos u   senn2 u du n n 1  cosn u du  n1 cosn1 u sen u  n  cosn2 u du 1 n n 1 n2  tan u du  n  1 tan u   tan u du 1  cot n u du  n  1 cot n1 u   cot n2 u du 1 n2  secn u du  n  1 tanu secn2 u  n  1  secn2 u du 1 n2  cscn u du  n  1 cot u cscn2 u  n  1  cscn2 u du sen a  b u sen a  b u  sen au sen bu du  2 a  b  2 a  b  C sen a  b u sen a  b u  cos au cosbu du  2 a  b  2 a  b  C  un cos u du  un sen u  n un1 sen u du 3

 sen

n



2 3 un  a  bu 2  na  un 1 a  bu du b 2n  3

u cosm u du

sen n1 u cosm1 u n  1   senn2 u cosm u du nm nm sen n1 u cosm1 u m  1    senn u cosm2 u du nm nm 2u 2  1 1 u 1  u2 1 u cos u du  cos u  C  4 4 u 2 1 u 1 u tan u du  tan 1u   C  2 2 

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

 sen

10 1

 cos

1

 tan

1

u

u du  u cos1 u  1  u2  C

1





u du  u tan 1u  12 ln 1  u 2  C

 u sen1 u du 

 ue

1  n1 1 u sen u   n  1 1   un cos1 u du  n  1un1 cos1 u  

u du  u sen u  1  u  C 2

e

au

2u 2  1 1 u 1  u2 sen u  C 4 4

 un ln u du  1

 sech udu  ln tan u  C  sech udu  tanh u  C  csch udu   coth u  C  sech u tanh u du  sech u  C  csch u coth udu  csch u  C 1 2

2

2



2u  au  3a 2 a 3 1 a  u  2  C 2au  u  cos   u 2au  u du   a  6 2



2



2a u  u 2 a  u  C du  2a u  u 2  a cos1 2  a  u



2a u  u 2 2 2a u  u 2 a  u  C du    cos1 2  a  u u



2au  u 2



u n1  n  1 ln u  1  C  n  1 2

 u ln u du  ln ln u  C

ua a2 a  u  C 2au  u 2  cos1  a  2 2

u 2du

 , n  1 

eau  a cos bu  b sen bu  C a  b2

1

2au  u 2 du 

1  n 1 1 u n 1 du u tan u    1 u 2 n 1 

2

 senh u du  cosh u  C  cosh u du  senh u  C  tanh udu  ln cosh u  C  coth u du  ln senh u  C  sech udu  tan senh u  C



u du  , n  1 1  u2  u n1du  , n  1 1  u2 

 ln u du  u ln u  u  C

du 

cos bu du 

sen 1 u du 

n 1  u tan u du 

1   au 2 au  1 e  C a 1 n  uneau du  a uneau  a  un1eaudu eau au  a sen bu  b cos bu  C e sen bu du   a 2  b2 au

n

n 1

u  3a  2

2au  u 2 

a  u  C  cos1  a  2a u  u u du a  u  C   2a u  u 2  a cos1 2  a  2au  u du

2

2a u  u 2  C  au u 2a u  u 2 du

3a 2  a u cos 1 C 2  a 

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

11

Vectores A  B  A B cos

0  donde  es el ángulo formado por A y B

A  B  A1 B1  A2 B2  A3 B3 





donde A  A1 i  A2 j  A3 k , B  B1 i  B2 j B3 k Son resultados fundamentales: 





i

j

k

Producto cruz: A  B  A1 B1

A2

A3

B2

B3

  A2 B3  A3 B2 ˆi   A3 B1  A1 B3 ˆj   A1 B2  A2 B1 kˆ

Magnitud del Producto Cruz

A  B  A B sen 

El operador nabla se define así: 

 i

     j k x y z

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales. Gradiente de U = grad U

        U  U  U   U  i  j  k U  i j k  z x y z  x y              A1 i  A2 j A3 k  j k y  z    x

Divergencia de A = div A    A   i 

A1 A2 A3   x  y z

            j k Rotacional de A = rot A   A   i  x  A1 i  A2 j A3 k  y  z    x









i

j

k

 x

 y

 z

A1

A2

A3

 A A    A A    A A     3  2  i   1  3  j  2  1  k   y z   z x   x  y

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

12

Laplaciano de U =  2U    U  

 U  U  U    x2  y2  z2 2

2

2

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

13

Integrales Múltiples b

f2 ( x )

x a

y  f1  x 

  

b x a



F  x, y  dydx

f2 ( x ) y  f1  x 



F  x, y  dy dx

donde y  f1 x e y  f 2  x son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así: d

g2 ( y )

y c

x  g1  y 

 

F  x, y  dxdy  

d y c



g2 ( y ) x  g1  y 



F  x, y  dx dy

donde x  g1 ( y) , x  g2 ( y) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones. t

s  s(t )   r (t ) dt a

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a , t .

Vector tangente unitario

En parámetroarbitrario:  r (t ) t (t )   r (t )

Vector normal principal

n (t )  b (t )  t (t )

b (t ) 

Vector binormal

r   r (t ) r   r (t )

En parámetro s:

  t ( s)  r ( s)  r( s)  n ( s)   r ( s) b ( s) 

r ( s)  r ( s) r ( s)

            Los vectores unitarios t , n , b forman un triedo positivo  b  t xn , n  b xt , t  nxb  Recta tangente en t 0 Ecuación vectorial:    r    r  t0   r  t0 

Ecuación paramétrica x  x0 y  y0 z  z0   x0 y0 x0

  Plano osculador  t , n  en t 0 Ecuación vectorial

 r  r t     r t  xr t    0 0

0

0

Ecuación paramétrica x  x0 y  y0 z  z0 x 0 y 0 z 0  0 x 0 y 0 z 0

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

14

Curvatura y Torsión

  r  t  xr  t  t   3 r  t 

y´´



3

1  ( y´) 2  2

d T  kN ds

 s  r s

   r  t    r  t  xr  t     t    2 r  t  xr  t 

d N   B  kT ds

d B   N ds

Plano Normal Ecuación vectorial:    r  r  t0   r  t0   0



Ecuación paramétrica: x0  x  x0   y0  y  y0   z0  z  z0   0



  Plano Rectificante  t , b  en t 0 Ecuación vectorial:



Ecuación paramétrica: x - x0 y - y0 x 0 y 0 y 0 z 0  y 0z 0 z 0 x 0  z 0x 0



   r  r  t 0   n t 0   0

z - z0 z 0 0 x 0 y 0  x 0y 0

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración

a

T







 a T 



 . a 

 

a

N





 x a



aN 





Propiedades de la Divergencia 







i) div ( F + G ) = div ( F ) +div ( G ) 





ii) div (  F ) =  div( F ) + ( grad  )  F 



iii) div ( F + G ) = G 





rot ( F )

-





F  rot ( G )



XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

15

Fórmulas misceláneas x  at  sen t 

Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t  Trabajo

W



b

a

y  a1  cos t     a b Comp b a   b

  F  dr

 a, b    a

Longitud de arco de

y  f  x

m     x, y dA

M x    y x, y dA

R

b

en

1  ( y) 2 dx

M y    x x, y dA

R

R b

 

x

Centro de gravedad de una región plana

a b a

Longitud de arco en forma paramétrica L  





1 b 2  f ( x) dx  a y 2 b  f ( x)dx

xf ( x)dx

, f ( x)dx

2

a

2

 dx   dy       dt  dt   dt 





Momento de inercia de R respecto al origen  I o    x 2  y 2  x, y dA R

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x

S  2 F ( x) 1 f ( x)  d x b

2

a

Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y b

V   2  t F (t )d t a

b

V     f  x  dx

b

V  A( x)dx

Cálculo del volumen

2

a

a

y   P( x) y  Q( x)

Ecuación diferencial de primer orden Solución

ye 



P ( x ) dx

  Q( x)e 

P ( x ) dx

dx  k

t 2

Ecuación del resorte helicoidal

r (t )  cos t ,sen t ,

Derivada direccional

  Du f  x, y, z  f  x, y, z  u ( u vector unitario)

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Fuerza ejercida por un fluído

Lq  Rq 

1 q  E t  C

b

F    y  L( y)dy a

Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo

F   A 2 x0 g   A 2 x g

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012

16

Ley de Torricelli

v=

2gh

XIX Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2012