ÍNDICE Preliminares. Abstract Símbolos y notaciones Tablas de verdad – Leyes lógicas Conceptos preliminares Teoremas preliminares

9 11 15 16 21

Primera parte. Aritmética elemental. Algoritmo de la división Algoritmo de Euclides Bezout – Identidad de Bezout Corolario Cataldi – Teorema de Cataldi Observación del Dr. Natalio H. Guersenzvaig Condición unívoca de primalidad Criterios de divisibilidad Diofanto – Ecuación Diofántica Corolario: Solución general Ecuación lineal en congruencias Factorización de los naturales Función phi – La función 𝜙 es multiplicativa Fórmula del Binomio de Newton Fórmula generadora de las ternas pitagóricas Funciones Tau y Sigma. Multiplicatividad Fermat – Los números de Fermat son coprimos Fórmula para los números perfectos pares Fibonacci. Término general de la sucesión Lagunas de naturales compuestos Los números 𝜋 y 𝑒 son irracionales Los números primos son infinitos Propiedad del 𝑚𝑐𝑑 y 𝑚𝑐𝑚 Propiedad de la división entera Pequeño Teorema de Fermat Raíz cuadrada de un número natural

31 35 37 37 39 40 42 43 49 49 51 52 54 56 58 61 63 64 67 71 72 77 79 80 81 83

Sumatoria de las imágenes de la función 𝜙 Teorema de Wilson Teorema Chino del Resto Teorema de Euler – Fermat Teorema Fundamental de la Aritmética Teorema de Krönecker Segunda parte. Cálculo diferencial e integral. Barrow – Teorema de la integral definida Bolzano – Teorema del Valor Medio de Bolzano Cauchy – Teorema del Valor Medio generalizado Criterio de convergencia de D’Alembert Cauchy Raabe Leibniz Comparación Criterio de la segunda derivada Derivadas Fermat – Teorema de los Extremos Relativos Lagrange – Teorema del Valor Medio L’Hôpital – Teorema de L’Hôpital Límite de una función polinómica Longitud de una curva Propiedades de las derivadas Linealidad Derivada del producto de funciones Derivada del cociente de funciones Derivada de la composición de funciones Derivada de la potencia de funciones Derivada de la función inversa Propiedades de los límites Unicidad Suma de dos límites Producto de dos límites Límite de la inversa multiplicativa

87 89 92 94 96 98

103 104 106 108 111 113 116 118 120 122 128 130 132 134 136 138 139 141 142 143 143 145 146 147 148

Límite de un logaritmo Potencia de dos límites Corolarios Relación entre la derivada y el crecimiento Relación entre la segunda derivada y la concavidad Rolle – Teorema de Rolle Teorema del Sándwich Corolario – Infinitésimo por acotada Series Convergencia de la serie geométrica Divergencia de la serie armónica Condición necesaria para la convergencia Radio y entorno de convergencia Sólido de revolución – Volumen Sólido de revolución – Superficie Suma de una sucesión Aritmética Geométrica Armónica Taylor – Fórmula de Taylor y Resto de Lagrange Serie de Taylor Teorema del Valor Medio Integral Teorema Fundamental del Cálculo Integral Teorema de las subsucesiones Toda función derivable es continua Weierstrass – Teorema de las funciones acotadas Corolario Tercera parte. Geometría métrica. Arco capaz Brahmagupta – Fórmula del área de un cuadrilátero Corolario – Área de un cuadrilátero cíclico Ceva – Teorema de Ceva Cuadrilátero cíclico Recíproco Herón – Fórmula del área de un triángulo

148 148 149 151 153 155 157 158 160 161 161 162 167 168 170 172 174 176 178 180 182 184 185 186 186

191 193 194 196 199 200 201

Menelao – Teorema de Menelao Pick – Teorema de Pick Pitágoras – Teorema de Pitágoras Recíproco Potencia de un punto Propiedad del baricentro de un triángulo Propiedades de los ángulos en una circunferencia Ptolomeo – Teorema de los cuadriláteros cíclicos Recta de Euler Relación entre lados y ángulos de un triángulo Relación entre el volumen del prisma y del tetraedro Suma de ángulos interiores del triángulo Corolario Teorema del Seno Teorema del Coseno Teorema de la Tangente Thales – Teorema de Thales Triángulo órtico Varignon – Teorema de los puntos medios

203 206 212 215 217 219 221 223 225 226 228 230 231 233 235 238 240 246 248

Cuarta parte. Clásicos. Algoritmo de la división de polinomios Desigualdad triangular Corolario Fibonacci – Límite del cociente Gauss – Teorema de Gauss Teorema de las clases laterales

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Bibliografía

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ABSTRACT El Diccionario de Teoremas es la primera compilación escrita con más de cien teoremas seleccionados por el autor. El lector encontrará el listado de conceptos preliminares, definiciones y los teoremas ordenados alfabéticamente, para facilitar su búsqueda. Entonces la lectura no tiene porqué seguir un orden lineal; los teoremas no están secuenciados sino agrupados en cuatro partes: Aritmética Elemental, Cálculo Diferencial e Integral, Geometría Métrica y un anexo con Teoremas Clásicos. Cada teorema está precedido por el enunciado en lenguaje coloquial, la hipótesis, la tesis, los conocimientos previos, los lemas y corolarios. Además encontrarán una o más demostraciones íntegramente explicadas y desarrolladas, abordadas desde distintos dominios de la matemática, con los comentarios de los especialistas convocados por el autor. El Diccionario de Teoremas es muy útil para estudiantes de Licenciaturas, Maestrías, Doctorados, Profesorados de Matemática y Física, Estudiantes de Ingeniería, Ciencias Económicas y de otras carreras en las que se dicten cursos de Análisis Matemático, Álgebra, Matemática Discreta, Geometría Métrica, Aritmética Elemental y materias afines, así como para profesores y profesionales que necesiten el acceso rápido a un libro de consulta permanente.

POR QUÉ DEMOSTRAMOS EN MATEMÁTICA El conocimiento matemático se sustenta en dos modos de comprensión y expresión: uno se realiza de forma directa, que corresponde a la intuición y el otro se lleva a cabo de forma reflexiva, es decir lógica. Estos modos de conocimiento, aunque de naturaleza distinta, son complementarios e indispensables en la matemática. El primero es creativo y subjetivo, mientras que el segundo es analítico y objetivo. ...“Quien sabe repetir una demostración, pero no sabe hacerlo si se cambian las letras o la disposición de los elementos, significa que ha aprendido la demostración de memoria y esto sí no tiene ningún valor. Mejor dicho: tiene un valor altamente negativo, pues significa que, no solamente ignora tal demostración, sino que desconoce lo que es la Matemática y que ha desperdiciado el uso de la memoria con un objetivo inútil y nada educativo”.1 Creo que éste es el mejor argumento. La posibilidad de afirmar algo sin ningún lugar a la duda, sin que dependa del punto de vista, de los gustos, de la cultura, o de la religión es el argumento más poderoso para reconocer la necesidad de la demostración en Matemática.

1

Luis Santaló, 1962

La demostración tal como la consideramos hoy difiere (en su estructura) de lo que se consideraba hace dos mil años; pero la esencia, la idea estructural y sobre todo el propósito sigue siendo el mismo. Según Thales de Mileto, “el ser humano puede llegar a comprender la naturaleza por medio de la penetrante luz de la razón”. Y qué mejor forma de presentar tal razón, que la de una demostración lógica. En la actualidad no discutimos que, en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. Sin embargo hace casi trescientos años tratamos de dilucidar si es cierto que todo número par mayor que dos es suma de dos números primos. La principal y más relevante diferencia entre estos enunciados es que de uno existen cientos de demostraciones. El otro, por ahora, sigue sin encontrar una.