Story Transcript
C O L U M N A S EN
L I Q U I D A S
I N G R A V I D E Z
INFORME FINAL 198 5
Lamf-E.T.S.I.A, Laboratorio de Aerodinámica, E. T. S. I. Aeronáuticos, Ciudad Universitaria, 28 04 0-MADRID
Expediente CONIE: 285/85
Madrid, Diciembre de 1985 Ref.: Lamf 8412
-1-
EXPEDIENTE CONIE No. 285/85
COLUMNAS LIQUIDAS EN CONDICIONES DE INGRAVIDEZ
Convenio de Investigación entre la Comisión Nacional de Investigación del Espacio (CONIE) y la Universidad
Politécnica
de Madrid (UPM), desarrollado por el Laboratorio de Aerodinámica de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Aeronáuticos
(ETSIA), durante el año 1984.
Director del trabajo: Ignacio DA RIVA DE LA CAVADA Colaboradores
: Isidoro MARTÍNEZ HERRANZ José MESEGUER RUIZ Ángel Pedro SANZ ANDRÉS Damián RIVAS RIVAS José Manuel PERALES PERALES Juan Carlos LLÓRENTE GÓMEZ Luis Antonio MAYO MUÑlZ Alberto FERNANDEZ HERRERO Jesús LÓPEZ DIEZ
i
-11-
M E M O R I A
Siguiendo con el Proyecto de Investigación sobre el comportamiento de "Columnas liquidas en ingravidez", que desde 1975 se viene desarrollando en el Laboratorio de Aerodinámica de la Universidad Politécnica de Madrid, subvencionado por la Comisión Nacional de Investigación del Espacio, en 1985 se está realizando un amplio programa de actividades que van, desde los necesarios estudios de base, hasta los múltiples experimentos a bordo de diferentes plataformas espaciales.
Para empezar, a finales de Enero tuvo lugar en Bruselas la reunión de revisión de resultados de los primeros ensayos en vuelos parabólicos, realizados en Diciembre de 1984 en Houston
(Texas)
a bordo del avión KSC-135 de la NASA. Varios de los investigadores europeos de física de fluidos aprovecharon esta oprtunidad para conducir ellos mismos sus experimentos. Aunque en estos vuelos a penas se consigue unos 25 segundos de ingravidez (en cada uno de los 20 o 25 saltos que el avión puede realizar en cada vuelo) estos ensayos proporcionan al investigador una alta relación calidad/precio, y cabe recordar que el Laboratorio de Aerodinámica ya habla pedido a la CONIE en 1976 que estudiase la posibilidad de llevar a cabo pruebas de este tipo con aviones españoles.
A principios de Marzo tuvo lugar en ESTEC una prolongada sesión
-iiide entrenamiento de los astronautas para la misión Spacelab-Dl (prevista del 30 de Octubre al 6 de Noviembre de este año) para ejercitarse en el manejo del Módulo de Física de Fluidos, que ha sido sustancilmente modificado respecto al que voló a bordo del Spacelab-1 en 1983.
El dia 6 de Mayo fue lanzado desde la base de Kiruna (Suecia) el cohete alemán TEXUS-12, que transportaba la Célula para Columnas Liquidas para el experimento español "Máximum Injection Rate in a Floating Zone". Se recordará que este aparato ya voló en 1984 en el TEXUS-10, pero alli, la dilatación que sufrió el liquido de trabajo durante un anormal calentamiento antes del despegue, impidió que el motor de inyección de liquido llegase a funcionar, con lo que el experimento ni siquiera fué iniciado. Esta vez, en cambio, el desarrollo del experimento fue perfecto, habiendo significado un rotundo éxito el conseguir formar, por primera vez en cohetes de sondeo, columnas liquidas de 3 0 mm de diámetro por 8 0 mm de longitud.
En Junio se realizó una segunda sesión de vuelos parabólicos en el avión KSC-135, en la que se ensayaron los discos de trabajo que van a ser usados en el Spacelab-Dl. Aunque no se pudieron conseguir
zonas largas por el movimiento
aeronave, se
lograron
detectar
posibles
residual de la problemas
de
compatibilidad de materiales en otros experimentos que hacen uso común del Módulo de Física de Fluidos.
-ivA principios de Agosto tuvo lugar el ensayo general de la misión Spacelab-Dl desde el Centro de Control de Operaciones Espaciales de Alemania (GSOC) en Oberpfaffenhofen
(Munich), con conexión
directa con el Centro de Control de la Misión en Houston y, a través de este último, con los astronautas situados en el simulador del Spacelab en Colonia (Alemania). Como se sabe, este vuelo del Spacelab está fletado integramente por Alemania y el control de los experimentos se realizará en directo desde GSOC via Houston.
Pese a que los equipos de comunicaciones y tratamiento de datos son más modernos que los pioneros equipos utilizados en Houston para el Spacelab-1 en 1983, todavía se observaron muchas deficiencias técnicas, por lo que los investigadores solicitaron una nueva simulación de la misión, aunque lo apretado del calendario hizo impracticable su realización.
Posteriormente, y conocido ya el plan de vuelo nominal para el Spacelab-Dl, el astronauta encargado del experimento español en Física de Fluidos (en este segundo vuelo habla dos experimentos españoles) se desplazó a Madrid para recibir un entrenamiento más detallado, y practicar en las instalaciones de microgravedad simulada del Laboratorio de Aerodinámica de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos.
Por fin el 30 de Octubre, a las 5 de la tarde (hora española), como estaba previsto, el transbordador espacial Challenger de la
-vNASA era lanzado desde Cabo Kennedy en Florida, llevando en su interior el laboratorio Spacelab, fletado enteramente
por
Alemania.
Por lo que respecta al experimento español de física de fluidos, el objetivo era básicamente repetir los ensayos previstos para el primer vuelo (en 1983), con dos modificaciones principales: primero, con la experiencia ganada entonces, se simplificó la secuencia de ensayos para adaptarse a la realidad (en un par de horas de agitada preparación en un ambiente hostil, una persona no puede realizar todos los experimentos que se han imaginado durante varios años los componentes de un equipo investigador). La segunda modificación fue para evitar el desparramamiento del liquido de trabajo; se cambiaron los discos y el sistema de inyección, y ha sido todo un éxito.
En resumen, y a falta de analizar las imágenes tomadas a bordo, puede decirse que esta vez se ha conseguido controlar el anclaje de la columna liquida a los discos, y se han realizado todos los ensayos previstos. Hay que destacar el anormalmente alto nivel de ruido mecánico en este vuelo, pero el análisis mostrará si se trata de algo anormal o es debido a la extrema sensibilidad de las columnas liquidas tan esbeltas que se llegaron a manejar: cilindros perfectos de 35 mm de diámetro por 100 mm de longitud, las columnas liquidas más esbeltas conseguidas hasta ahora en el espacio!.
-vi-
Í N D I C E
VOLUMEN 1
MEMORIA
ii
1. LA CIENCIA DE LOS MATERIALES EN EL ESPACIO
2 . COLUMNAS LIQUIDAS NO AXILSIMETRICAS
1
37
2.1. Introducción
38
2.2. Planteamiento general del problema
39
2.3. Orden de la bifurcación con gravedad transversal o con discos no coaxiales
42
2.4. Bifurcación para una pequeña excentricidad de los ejes de los discos
48
2.5. Resultados y conclusiones
49
2.6. Referencias
51
3 . COLUMNAS LIQUIDAS COMPUESTAS
53
Apéndice 1. One-dimensional linear analysis of the compound jet
57
Apéndice 2. Experiments with liquid bridges in simulated microgravity
84
-vii-
VOLUMEN 1 (cont.)
4. UTILIZACIÓN DE LA ZONA FLOTANTE EN LA PURIFICACIÓN DE MATERIALES
113
4.1. Introducción
114
4.2. Modelo matemático
115
4.3. Conclusiones
121
Bibliografía
124
-VI11-
VOLUMEN 2
OSCILACIONES NO AXILSIMETRICAS
1
5.1. Introducción
2
5.2. Ecuaciones generales
5
5.3. Análisis lineal
8
5.4. Oscilaciones libres
16
5.5. Resultados
18
5.6. Conclusiones
34
Referencias
35
DATOS DE ALTA PRECISIÓN PARA EL LIMITE DE ESTABILIDAD DE ZONAS FLOTANTES
37
6.1. Introducción
38
6.2. Formulación
40
6.3. Forma de equilibrio
42
6.4. Estabilidad
45
6.5. Puntos singulares
46
6.5.1. Limite de estabilidad de zonas catenoidales
52
6.5.2. Limite de estabilidad de zonas con pendiente nula en el disco mayor
54
6.5.3. Limite de estabilidad de zonas con lal mínimo
56
-ix-
VOLUMEN 2 (cont.)
6.6. Algoritmo para el cálculo del mínimo volumen y de la forma de equilibrio
58
6.7. Ajuste polinómico de la solución
61
Referencias
64
ENSAYOS EN EL COHETE TEXUS-12
71
7.1. Introducción
72
7.2. Resultados del vuelo
73
7.3. Evaluación de los resultados
85
7.3.1. Análisis de las características globales 86 7.3.2. Análisis de las formas
93
7.4. Conclusiones
106
Referencias
108
Apéndice 1. Long liquid bridges aboard sounding rockets
109
Apéndice 2. Eccentric rotation of a liquid bridge.. 116 Apéndice 3. Ajuste de los datos experimentales. Cálculo de la curvatura y del campo de velocidades
EXPERIMENTOS EN EL LABORATORIO SPACELAB-Dl
8.1. Introducción
122
132
133
-x-
VOLUMEN 2 (cont.)
8.2. Modificaciones respecto a los ensayos en el Spacelab-1
135
8.3. Preparación de la misión
137
8.4. Resultados preliminares
139
Apéndice 1. Agenda de trabajo del astronauta en Madrid Apéndice 2. Transcripción del registro de voz
141 143
Apéndice 3. Secuencia de actividades realizadas en el Spacelab
155
i
-1-
1. LA CIENCIA DE LOS MATERIALES EN EL ESPACIO
-2 1. LA CIENCIA DE LOS MATERIALES EN EL ESPACIO
Í N D I C E
1.1. Introducción: la investigación espacial hoy dia 1.1.1. Condiciones ambientales en el espacio 1.1.2. El estudio
de los p r o c e s o s
de m a t e r i a l e s
en e
espacio 1.2. Efecto de la gravedad sobre la materia 1.2.1. Efectos a nivel macrosclpico 1.2.1. Efectos a nivel microscópico 1.2.3. Punto critico 1.3. La convección en el procesos de materiales 1.4. Procesos sin paredes 1.5. Zonas liquidas
flotantes
1.6. Lineas de investigación 1.6.1. Física de fluidos 1.6.2. Solidificación y crecimiento
cristalino
1.6.3. Combustión y reacciones químicas 1.6.4. Separación biológica por elee troforesis 1.6.5. Procesos en levitación 1 7. Resultados y conclusiones
R E S U M E N
El objetivo de este trabajo es el de hacer una revisión tado de las investigaciones
en ciencia
y tecnología,
del es poniend
énfasis
en los aspectos
sos de m a t e r i a l e s ambientales puede
equipos horas
las
existentes
decirse
Spacelab-1
bajo
permitieron
durante
uno de ellos
novísimas
en los
que es ya
a finales
t e r m o d i n á m i c o s , de
de
" c o r r i e n t e " desde 1 9 8 3 , donde
realizar
e n g l o b a b a varias
uno de los cuales
era
con p r e f e r e n c i a
des de cada
contrarse
en
las
ASTP,
S p a r , TEXUS y S p a c e l a b .
Aunque
a principios
beneficios
el vuelo
grandes
(cada
experimentos,
fenómenos
espectro
de
que no se conocen
de
y
consigo
de
los
el proceso es
que
los de
s u f i c i e n t e m e n t e , y no en
que b u s c a r l o s
experimentos
la
en
de en-
NASA
Skylab, pre-
1985.
70 se h a b l a b a
por un c o n o c i m i e n t o más p r o f u n d o
n a d o a través de c u i d a d o s o s
ESA
los e x p e r i m e n t o s
d e s c o n o c i d o s . Al m e n o s habrá
la
éstos
en los v u e l o s A p o l l o ,
a finales
traerla
estudios
interés
un
experimentales
exóticos
de
fin de p r e s e n t a r
están en los v a l i o s o s
guiados
12
peculiarida-
Se m e n c i o n a n
de los años
los b e n e f i c i o s
de
de
realizados
que
de
presente
siglo,
turnos
a una e n u m e r a c i ó n
Spacelab-Dl
inmediatos
de m a t e r i a l e s
en
experimentos
les en el e s p a c i o , la r e a l i d a d
rrestres
del
sofisticados
de p e q u e ñ o s
publicaciones
los e x p e r i m e n t o s
para
uso
de
serie de e j e m p l o s , pudiendo
sobre
vistos
cuyo
el h i s t ó r i c o v u e l o
operando
descriptivo
frente
que una
fácilmente
condiciones
espaciales,
6 toneladas
decenas
a p l i c a c i ó n , con el
p o s i b i l i d a d e s , más
70
proce-
español).
Se ha elegido un t r a t a m i e n t o general
peculiares
laboratorios
a 4 científicos,
10 d i a s ,
y
los m ú l t i p l e s
fabulosos de m a t e r i a beneficios
procesos la
obtención
en lo que queda la T i e r r a ;
te-
de
eso
si,
de los m a t e r i a l e s ,
ga-
en el
espacio.
-4-
1.1. I N T R O D U C C I Ó N :
Con el
LA I N V E S T I G A C I Ó N
fin de dar una v i s i ó n
ciencia
de los m a t e r i a l e s
interés
en
las
las m a y o r e s
de
las p a r t i c u l a r í s i m a s emplazamiento en
de conjunto
condiciones para
de
DÍA
la p o s i c i ó n
las
seguidas
que
han
el estudio
de la
disciplinas
e s p a c i a l e s , conviene
investigación
favorable
sobre
en el c o n t e x t o
investigaciones
lineas
E S P A C I A L HOY
hoy
hecho
resumir
dia, del
de aqui
asi
como
espacio
de p r o b l e m a s
un
de
interés
actividades
humanas
la T i e r r a .
Desde
la P r e h i s t o r i a
relacionadas pero hasta podido salir
modo
tiene
con el estudio
esta
romper
la atadura
noticia
del
siglo
impuesta
nuevos
global, aprovechar
por
XX
la
el
(Astronomía),
hombre
gravedad
i n t e r e s e s : observar
las p a r t i c u l a r e s
para el estudio del c o m p o r t a m i e n t o que este
l e s , pero d e s a p a c i b l e materia
exterior
no
habla
terrestre
y
exterior.
entonces
las c o n s e c u e n c i a s
de
del espacio
segunda m i t a d
al espacio
Aparecieron
se
el
viva y la fisiología
condiciones
(favorable
hombre)
puede
del o r g a n i s m o
para
un
predecir
los m a t e r i a -
producir
humano
de
ambientales
de los m a t e r i a l e s , y
ambiente
para
la T i e r r a
sobre
la
a corto y lar-
go p l a z o .
Aunque
todavía no se ha a c e p t a d o
materias agrupar
de interés en cuatro
para
grandes
la
una
división
investigación
grupos:
definida
espacial,
se
de
las
pueden
-5-
A s t r o f i s i c a : estudio netas.
de n e b u l o s a s , g a l a x i a s , Este es un campo
de teorías
sobre
idóneo
la formación
el
Sol
para
y
el
los
pla-
desarrollo
de e s t r e l l a s ,
fisión
nuclear, radiaciones, plasmas, etc.
Geofísica:
estudio
del
interior
de
la Tierra
(movimientos
magma y m a n t o
terrestre, geomagnetismo, geodesia) y
estudio
biosfera
de
la
(ciclos
vitales,
naturales, población, contaminación, El panorama
que ofrece
oportunidades eran de tipo típico
de
ejemplo
Métrica
investigación,
de
los p r o c e s o s
de
que
infinitas
hasta
las g l a c i a c i o n e s
es
de turbina
"células
solares
rendimiento
ciencia
de
la
Cámara
20
m,
lo
en
que
marítimas
podrán
y material
más
ya
han
predicciones
de
"materiales
trabajar
electrónico
a m u c h o menor la
condicio-
"espacial"
resistentes",
que
fuera de toda duda
de
con
trabajo. A u n q u e
las o p t i m i s t a s
para alabes
(un
de c o s e c h a s , e t c .
este
100 veces más
ahora
globalistas
obtenida
la
"materiales
queda
es
de m a t e r i a l e s
es
trata
a la historia
cho m a y o r
de
recursos
meteorología).
la c a r t o g r a f í a , p r o s p e c c i o n e s
m o d e r n a ; de ella
°C",
son
del S p a c e l a b - 1
nes e s p a c i a l e s . Esta
pasado
ya
resolución
y terrestres, seguimiento
estudio
campo
es el estudio
a bordo
revoluciona
este
local y ahora
la T i e r r a ) . La
Materiales
del
precio",
incomparable
a
2000
de m u etc. ,
utilidad
-6-
que
tiene
mejor
Biología:
la
experimentación
comprensión
de
proceso
de m a t e r i a l e s
estudio
de
los
espacial
fenómenos
humana
vivas
y transformaciones
tidad
de procesos
termoqulmicas
son más p r o p i a m e n t e
espacial gran
da
lugar
importancia
brimiento
vección
natural
1.1.1. C o n d i c i o n e s
dirección gunos:
gravedad,
y campos dando
más
en el
efectos
relevante
como
en la ciencia
de
transacuosa.
(sistema
el
ambiente
fue
de
descu-
mostrar
ocular
ocasio-
debido
a
la
se
con-
se c r e í a .
espacio
que
tienen
fácilmente
estáticos
con m a t e r i a l e s . La ausencia
que
can-
en el o í d o ) también
siendo
ambientales
y m a g n é t i c o s , son
gran
a n a l i z a r . Un
en órbita y en la s u p e r f i c i e
lugar a i n t e r e s a n t e s
procesos
de calor
(ma-
y modificaciones
t e m p e r a t u r a , p r e s i ó n , radiación
eléctricos
al
células
disolución
Spacelab-1
vestibular,
ambientales
Una
son más
(oscilación
i n g r a v i d e z , no
los p a r á m e t r o s
distintas
en el
térmico
las
fluidodinámicos
a cambios
nada por a p l i c a c i ó n en
en
de
sobre unos y otros
importante
produce
no
que es preciso
que el n i s t a g m u s
Son b a s t a n t e s
genéticas.
biológicos
c i r c u l a t o r i o ) , pero
inherentes
en i n g r a v i d e z
reo, d e s c a l c i f i c a c i ó n ) , d e s a r r o l l o
Otros
una
en la T i e r r a ,
la fisiología
formaciones
para
magnitud
terrestre. cósmica
Alsolar
identificables,
y dinámicos
de gravedad
y
y
es el
en
los
parámetro
los m a t e r i a l e s . Los d e m á s : a t m ó s -
-7fera rarificada, bajas temperaturas, baja presión, alta ción, etc., pueden conseguirse
con mayor
o menor
radia-
facilidad
en
periodos
de
los laboratorios terrestres.
La obtención de gravedad
reducida
durante
tiempo puede conseguirse en tierra mediante
cortos calda
libre
en to-
rres de vacio (2-3 segundos), vuelo parabólico de aviones segundos), calda libre desde globos estratosféricos tos) y vuelo balístico de cohetes estratosféricos
(15-25
(1-2 minu-
(4-6 minutos),
pero los lentos procesos de relajación termodinámicos que suelen intervenir en la obtención de las condiciones
de equilibrio
los sistemas heterogéneos de i n t e r é s , requieren
tiempos
mayores, por lo que el laboratorio orbital es la única
de
mucho
solución
aceptable.
Aunque se habla a menudo de "ingravidez", conviene recordar
que
se trata en realidad de una gravedad reducida, y que, en el mejor de los casos, hay que contar con una perturbación (en magnitud y sentido) del orden m.s
de 5.10
, la aceleración de la gravedad
aleatoria
g (siendo g =
en la superficie
9.8
terres-
tre). Esta perturbación es debida al movimiento del personal
de
a bordo, pero hasta en los vehículos no tripulados se alcanza un valor del orden de 10
g (con una frecuencia entre 0.1
y 10 Hz)
por causa de la resistencia aerodinámica y maniobras de mantenimiento de órbita y actitud.
1.1.2. El estudio de los procesos de materiales en el espacio
-8-
La ciencia
y tecnología
estudiadas
con gran d e t a l l e ; no es p r o b a b l e
teorías der
de los m a t e r i a l e s
científicamente
trabajar
te un gran bilidad
en c o n d i c i o n e s
interés de
por
la gravedad
"experimentación fuerzo
que
riales
en el
De entre gravidez,
teorías
los
han
que a p a r e z c a n
sido nuevas
r e d u c i d a . Aun a s i , e x i s -
científica
por
simples m e d i a n t e
terrestre.
no p e r t u r b a d a " lo que
se está d e d i c a n d o
la T i e r r a
por el mero hecho de po-
de gravedad
la comunidad
de c o n t r a s t a r
perturbados
revolucionarias
en
Es
tener
experimentos
no
oportunidad
de
esta
justifica
hoy dia a la
la p o s i -
el
ciencia
enorme
de
los
es-
mate-
espacio.
fenómenos
se pueden
. Aparición
que m e r e c e n
estudio
en c o n d i c i o n e s
de in-
citar:
de
las c o r r i e n t e s
de c o n v e c c i ó n
y
acoplamiento
c o n v e c c i ó n - d i fus ion. . Convección
durante
y su interacción pecialmente
de
fase y r e a c c i o n e s
los p r o c e s o s
de
transformación
aquéllos
responsables
de
la
de
la c o m p o s i c i ó n
en d i s o l u c i o n e s
. Propiedades fases:
composición . Interacción
y temperatura
superficial
de m e n i s c o s
en
la
distri-
y difusitividades
y fenómenos
y concentración
b o r d e , ángulos
microestructura
térmica
y fundidos.
de e q u i l i b r i o
tensión
(es-
sólidos).
bución de d e n s i d a d , v i s c o s i d a d y másica
químicas
con
de los m a t e r i a l e s . Influencia
cambios
en de
dinámicos
función de la
en
inter-
temperatura,
contaminantes.
con p a r e d e s
sólidas:
efectos
de c o n t a c t o , m o j a d o y h u m e c t a c i ó n .
de
-9. Parámetros termodinámicos cerca de los puntos críticos de transformación.
La simplificación del análisis de modelos teóricos sencillos sistemas tan complejos como
los anteriores
siguientes efectos
a la gravedad
debidos
drástica de la convección
natural
está basada reducida:
inducida
por
disminución de la sedimentación, disminución
los
reducción
flotabilidad,
de la estratifi-
cación por gradiente de densidad en las proximidades critico y posibilidad de aislamiento
en
de
y levitación
del
de
punto
muestras
(ausencia de paredes).
Como contraposición a este amplio espectro
de posibilidades
estudio ventajosas en ingravidez, hay que tener presente ambiente espacial introduce
tantos
o más problemas
de
que el
de los
que
resuelve: seguridad, sofisticacion de los e x p e r i m e n t o s , fiabilidad, disponibilidades, accesibilidad, etc. Ya está pasada
la
época aventurera en que el mero hecho de realizar cualquier "experimento" a bordo de una nave espacial era razón suficiente
de
valla. El uso de esos costosos laboratorios
la
espaciales
para
investigación y desarrollo de materiales debe ser racionalmente limitado a los casos de especial interés científico en los que, tras un exhaustivo análisis teórico-experimental en laboratorios terrestres, aparezca esta necesidad y, aun asi, se trabajará paralelo para separar nítidamente
el efecto
de la
en
ingravidez.
-101.2. EFECTO DE LA GRAVEDAD SOBRE LA MATERIA
1.2.1. Efectos a nivel macroscópico
El manejo de materiales en gravedad terrestre requiere un soporte (si son sólidos) o un recipiente
(si son
fluidos);
en gene-
ral, se puede decir que necesitan un apoyo o un medio de levitación y, además, un procedimiento de posicionado
(mantenimiento o
cambio de su situación relativa a otros cuerpos).
Por otra parte, la gravedad
ocasiona
un estado
deformaciones en los sólidos, una presión
de esfuerzos y
hidrostática
fluidos en equilibrio, y una pérdida de estabilidad estratificados con gradiente de densidad
opuesto
en
en
los
fluidos
al campo gra-
vitatorio (inestabilidad de Rayleigh-Taylor), entre otros
efec-
tos; tal vez uno de los más curiosos sea el de la posición
que
adopta la superficie libre de un liquido en ingravidez.
La presencia de un campo de fuerzas másicas, como el gravitatorio, da lugar a fuerzas de flotabilidad en fluidos estratificados, siendo la fuerza proporcional a la intensidad del campo y a la diferencia de densidades. El efecto de la flotabilidad
sobre
las inclusiones en un fluido es el de sedimentar las
partículas
más pesadas (partículas sólidas
en
o gotas
de liquido
sión) y elevar las más ligeras (burbujas o gotas menos Si las partículas son de tamaño m i c r o s c ó p i c o
suspendensas).
o coloidal
que añadir otros efectos, como el movimiento browniano
habrá
(fluctua-
ciones moleculares) que hace más lentos estos procesos de decan-
-11tac i¿n.
El efecto de la flotabilidad
sobre masas
fluidas
densidades es el de originar una estratificación
de
diferentes
(grradiente
de
densidad en la dirección del campo gravitatorio). Si los fluidos son inmiscibles aparecen interfases de separación perpendiculares al campo, que se presentan como superficies de discontinuidad (a nivel macroscópico), y cuyo estudio ciado con la experimentación
en gravedad
se verá muy
benefi-
reducida. Cuando
alguna razón el gradiente de densidades no está alineado campo, aparece
un movimiento m a c r o s c ó p i c o
por
con el
de convección
del
fluido, que se suele llamar convección natural.
La convección natural es crucial en casi
todos
los procesos
de
materiales con alguna fase fluida debido a su influencia
en el
transporte de masa (varia la concentración) y de energía
(varia
el campo de temperaturas). El problema es tan complejo que entre los técnicos metalúrgicos la convección natural se tenia por un hecho incontrolable, caprichoso (impredecib 1e ) e indeseable la mayoría de las ocasiones
(aunque en otras ayudaba
en
a un buen
mezclado).
De cualquier modo, hay que puntualizar que los efectos
que
ori-
gina la gravedad no pueden ser evaluados
tan
sólo
considerando
las fuerzas gravitatorias, sino que es necesario recurrir
a una
comparación con el resto de las fuerzas actuantes y analizar importancia
relativa. Como
indicadores
de este
aparecen los números adimensionales del análisis
su
sopesamiento de
semejanza,
-12tales como:
el numero de Reynolds
(relación
entre
las
fuerzas
de
inercia y las viscosas), que nos da idea de la "amplitud" del movimiento.
el número
de Strouhal
(relación
entre
las
fuerzas
de
inercia locales y convectivas), que muestra la influencia del tiempo (procesos no estacionarios).
el número de Prandtl (relación entre las difusi t i v idades viscosa y térmica), que indica la relativa importancia de ambos fenómenos de transporte.
el número
de Grashoff
(relación
entre
flotabilidad y las fuerzas v i s c o s a s ) ,
las
fuerzas
de
que determina
la
aparición de la convección libre (suele usarse también el número de Rayleigh que es el producto Gr.Pr).
el número de Nusselt (relación entre
los transportes
de
calor por convección y conducción), etc.
Un cuidadoso análisis adimensional nos permite experimentos en tierra que no estén dominados
también por
la
diseñar
gravedad,
por ejemplo trabajando con longitudes características pequeñas o con materiales de características más adecuadas (mayor viscosidad, menor coeficiente de dilatación, e t c . ) ,
aunque
ello
suele
añadir otros problemas secundarios, por lo que es preciso
adop-
-13tar una solución de compromiso. En general, las posibilidades de llevar a cabo tales simulaciones disminuye al aumentar el número de parámetros que intervienen simultáneamente
(existen numerosos
fenómenos de combustión, solidificación y separación en los cuales es éste el caso).
1.2.2. Efectos a nivel microscópico
El efecto del campo gravitatorio a nivel de la energía atómica y molecular es despreciable; en estas dimensiones los campos eléctricos y magnéticos debidos a las demás partículas
dan
lugar a
fuerzas mucho mayores, y, como la experimentación demuestra, la no inclusión de las fuerzas gravitatorias en la teoría da a resultados aceptables
(aunque se han apuntado
algunas
lugar excep-
ciones que tienen lugar en experimentos de resonancia que tratan de fenómenos hiperfinos).
Se puede dar una sencilla explicación del porqué de esa insensibilidad al campo gravitatorio con el átomo de hidrógeno, para el cual existe una concordancia total entre la teoría sin
gravedad
y la experimentación en tierra. Estimaciones rudimentarias indican que dentro del átomo de hidrógeno la energía potencial vitatoria es del orden de 10 - 3 8 julios, mientras que la
gra-
energía
_ 1 O
potencial eléctrica es de unos 10
julios.
Aunque los niveles de energía para átomos y moléculas grandes no son conocidos con tanta precisión como para el átomo de hidrógeno, el efecto de la gravedad es también despreciable. La idea es
-14que cualquier propiedad medible de un gran conjunto de moléculas experimeenta fluctuaciones térmicas que enmascaran totalmente el efecto local de la gravedad. La medida de una propiedad
local,
tal como la temperatura, supone un promedio extendido a unas 10 moléculas como mínimo, con una fluctuación
térmica
en el valor
medido de un 1 °L aproximadamente, lo que supone una
fluctuación
_ o1
en
energía
potencial
del
orden
de
gravitatoria
10
julios,
asociada
al
mientras
tamaño
que
energía
característico
A
m uestra (unas 10
la
de
la
_ o O
moléculas) no es más que de unos 10
julios.
Es decir, las ecuaciones de estado del equilibrio local, los ángulos de contacto en las lineas triples de unión
de fases
dis-
tintas, los coeficientes de transporte, etc., son independientes de la gravedad
(al menos hasta
centrifugadoras actuales).
los niveles
alcanzados
Sin e m b a r g o , existe una
con
las
excepción:
los fenómenos en las proximidades de los puntos críticos.
1.2.3. Punto critico
Hasta mediados del siglo pasado se pensaba
que habla
diferentes de gases, según que al comprimirlos licuasen o no (se llamaba gases
permanentes
Pero en 1869 Andrews publicó un trabajo
dos
tipos
isotérmicamente
a estos
últimos).
experimental
sobre
el
punto critico del dióxido de carbono, estableciendo que la curva de presión de vapor tiene un punto limite lo cual, a partir de una cierta
(punto c r i t i c o ) ,
temperatura
(temperatura
tica) por mucho que se comprima el gas no aparece una definida gas-liquido. Apenas
cuatro
años más
tarde
por cri-
interfase (1873) van
-15der Waals publicó su célebre tesis doctoral explicando nómeno con una teoría sencilla sobre la interacción
En cierto sentido, el punto critico puede
nivel de medio continuo. Cerca de un punto el coeficiente
(l/o)( o/ p)
va creciendo
como un
y fenómenos a
critico, al ir dis-
de c o m p r e s i b i l i d a d hacia
molecular.
considerarse
punto de unión entre fenómenos a nivel molecular
minuyendo
este fe-
isotermo,
infinito, por
lo que
ligera variación de presión por efecto hidrostático enormes variaciones de densidad, originando una
da
k =
la más lugar a
estratificación
que impide tener una fase homogénea. La explicación es que al ir acercándose al punto critico, el tamaño de la masa de
moléculas
que interviene en las fluctuaciones térmicas va aumentando y las diferencias de energía potencial empiezan a ser importantes, con lo que las ecuaciones de estado, los coeficientes de transporte, etc., se hacen dependientes de la gravedad
(el modo en que
esto
ocurre todavía no se entiende bien).
En estos procesos el tiempo es un parámetro más
cerca
del punto
c r i t i c o , más
lentos
importante: son
cuanto
los procesos
de
transporte que llevan al equilibrio. Por ejemplo, para un experimento cuya escala de longitud es de un c e n t í m e t r o , el
tiempo
de aproximación al equilibrio es de varias horas. Los coeficientes de difusión tienden a cero y para lograr equilibrio
de con-
centraciones en un sistema de varios componentes se pueden necesitar dias.
-161.3. LA CONVECCIÓN EN EL PROCESO DE MATERIALES
En los procesos con masas fundidas o con vapores se suele rar una gran cantidad de energía en el frente de
solidificación
y en el de reacción, si los h u b i e r a . Esta energía libera en una capa delgada, más
o menos
libe-
interna
curva, a través
se
de la
cual existe un salto brusco de las propiedades físicas y químicas (sobre todo si existen reacciones de c o m b u s t i ó n ) .
El
salto
de densidades a través del frente tiene una importancia
capital
en presencia de la gravedad
másicas
(u otro
campo
de fuerzas
cualesquiera); este salto de densidades va acompañado
de dife-
rencias de concentración debido al cambio de fase y a la segregac ion.
Aun con gravedad, si no hubiera salto de densidades, las transformaciones tendrían
lugar
sin que apareciesen
corrientes
de
convección, desplazándose el frente a través de la masa de material sin originar más que un proceso de difusión inherente
a la
diferencia de composición a uno y otro lado. Pero la acción conjunta de la gravedad y el gradiente de densidades da lugar aparición de corrientes de convección que aceleran
a la
perpendicu-
larmente el fluido en contacto con el frente y curvan
la
inter-
f ase .
Si se pudiesen conseguir configuraciones de gran simetría nas, cilindricas, e s f é r i c a s ) la variación
(pla-
en la curvatura
no
seria difícil de estudiar. Es sencillo generar dichas configuraciones simples a partir de un plano, una linea o un p u n t o , pero
-17mantenerlas un tiempo suficiente ya es otro problema; en efecto, en presencia de la gravedad
t e r r e s t r e , sólo
la forma plana
se
conservarla (si el campo fuese perpendicular). Con e l l o , parece que la convección serla sencilla de estudiar (movimiento irrotacional con lineas de corriente rectas), pero un análisis más detallado nos dice que no es todo tan simple: la primera
dificul-
tad es que interesan sobre todo los procesos no isotermos en los que la energía cedida en el frente va calentando el material, lo cual, si la fase de arriba (respecto a la gravedad) es
fluida,
será inestable (inestabilidad de Rayleigh-Taylor).
La segunda dificultad
surge de la diferencia
de composición
el frente, que tanto puede oponerse, como reforzar el
en
gradiente
de densidades de origen térmico (si se opone, y éste era
esta-
ble, puede desestabilizarlo). La tercera dificultad
inex-
está
cusablemente ligada al sistema de confinamiento del material: en un experimento real, cualquier frente plano llegando a las paredes de la cámara capa limite fluidodinámica
adherida
acaba
lateralmente
y en la unión
aparece
a la pared, dentro
cual la convección es importante siempre
(este efecto de
ocasione también inhomogeneidades en las temperaturas
una
de la borde
y presio-
nes cuyo efecto no se conoce todavía bien).
Los efectos de borde impiden una completa lindrica, pero no aparecen
simetría
en la configuración
plana
esférica.
tanto, para comprobar las teorias propuestas para los de cristalización, quemado y otros procesos
de
o ciPor
fenómenos
transformación,
es conveniente idear experimentos en los cuales se puede obtener
-18-
y mantener porque
simetría
el campo
e s f é r i c a . En la T i e r r a
de fuerzas
cional) y aparecerían simetría
la rapidez
del proceso
Cuando
cortos
l i b r e , vuelo
la v e r i f i c a c i ó n
conveniente
unidirec-
que r o m p e r í a n
que o r i g i n a r á Trabajando
de
son
es-
debido
convección del
en
y
sea
han
ingra-
permite
cohetes),
por
experi-
importantes
lo
a
experimento,
característico
parabólico,
sobre
de p r o p a g a c i ó n
crecer
cristales lo
por d i f e r e n c i a
imperfecciones
e
toda corriente
nómenos
que
inestabilidades de
la
(to-
haciendo
a baja velocidad cual
es
una
de d e n s i d a d e s
se evitarla
esta
pero
fuente
a lo largo
el
en
convección
que eso no quiere
de una
gradiente interfase
uni-
de
con
de
(si hay
es un
movi-
gravedad)
el por
decir
de c o n v e c c i ó n , pues hay otros
la i n d u c e n , c o m o
y no
solidificación,
inestabilidades
que tener p r e s e n t e
suprima
concentración
la
si el e x p e r i m e n t o
teorías
en ingravidez
dad, pero hay
de
del
a la e x p e r i m e n t a c i ó n
de t e m p e r a t u r a ,
convectivo
moderada,
la
espacial.
frente
hacer
gran g r a d i e n t e miento
(gravedad
dimensión
de la gravedad
que acudir
uso de un laboratorio
del
que el tiempo
los efectos
sea en tiempos
formidades
en una p r o p o r c i ó n
o a la pequeña
es mucho m e n o r
rres de calda
Para
imposible
de c o n v e c c i ó n
que el tiempo de d e s a r r o l l o
de ser e v i t a d o s , hay videz,
corrientes
o presentarse
de tal m a n e r a
mento.
es casi p a r a l e l o
es
e s f é r i c a . A v e c e s , sin e m b a r g o , pueden no a p a r e c e r
tos efectos
gravedad
e esto
frente. graveque
se
muchos
fe-
temperaturas
y/o
(convección
de
Maran-
goni).
A veces
el análisis
es t o d a v í a
más
complicado,
porque
existen
-19partículas en suspensión con tendencia a la sedimentación
(en un
campo de fuerzas). Muchos procesos de solidificación, de quemado de combustibles pulverizados, de separación de moléculas y células biológicas, etc., son de este tipo.
1.4. PROCESOS SIN PAREDES
Para ciertos experimentos científicos y tecnológicos de propiedades o de proceso de materiales una muestra, en general un
se requiere
liquido, sin contacto
(para evitar la contaminación
de
medida
mantener
con
paredes
por e l l a s , o la r e a c c i ó n , o el
simple contacto térmico y mecánico). Con gravedad, seria necesario oponer una fuerza másica de la misma intensidad que el peso; esto
se ha hecho
con campos
e l e c t r o m a g n é t i c o s , pero es
aplicable a ciertos materiales y bajo condiciones
muy
sólo
restric-
t ivas .
Aunque ya no sea tan b u e n o , se puede
compensar
el peso de la
muestra mediante fuerzas de superficie: hidrostáticas tro), aerodinámicas
(baño neu-
(corriente de aire) o acústicas (ondas esta-
cionarias), aunque ello da lugar a una convección forzada
en la
superficie por efecto de la capa limite. En cualquier
caso, las
posibilidades de estos dispositivos están severamente
limitadas
en cuanto a tamaño de la muestra, ya que todos los efectos judiciales son proporcionales
a la fuerza
de levitación
tanto al peso. Conviene, pues, disminuir el peso.
pery por
-20Aunque en un laboratorio espacial la muestra "flota", siempre es necesario disponer de un procedimiento de control
de
ya que, la experiencia adquirida en vuelo, muestra
posición,
que
las pe-
queñas perturbaciones en órbita y actitud de la nave y la velocidad residual de posicionado de la muestra originan una hacia las paredes de la cámara de ensayo. Para evitar riva y para controlar la posición
relativa
esta de-
de dos o más
tras, se han ideado dispositivos electromagnéticos cuyos efectos secundarios
deriva
y
(convección inducida) son
mues-
acústicos desprecia-
bles por la baja intensidad del campo (que ahora ya no
soporta
tanta carga como en tierra).
1.5. ZONAS LIQUIDAS FLOTANTES
Un procedimiento intermedio
entre
la utilización
llenos de material a tratar y la levitación lada es el de mantener una masa liquida
de
cartuchos
de la muestra
ligeramente
una superficie sólida. De entre las diferentes
ais-
apoyada
formas
de
en
hacer
esto, la que está siendo más estudiada es la de una columna
li-
quida entre dos discos paralelos coaxiales
si,
separados
debido por una parte a la sencillez de la geometría al alto grado de control y m a n i p u l a c i ó n
entre y por
que permite. Ya
otra se ha
construido varios aparatos para el estudio experimental con esta técnica (zona flotante) a bordo del Spacelab. Con esta ración se pueden estudiar numerosos
fenómenos
inestabilidades de interfase, tensiones ción de Marangoni, efectos macroscópicos
configu-
fisicoquimicos :
int e r f aci a 1es, de las fuerzas
convecinter-
-21moleculares, electroforesis, dinámica del mojado de sólidos
por
líquidos, hidrodinámica de burbujas y partículas en suspensión, difusión de solutos, etc. Esta técnica de trabajo no es n u e v a ; en metalurgia se usa para el crecimiento y purificación de cristales (método de Czochra1ski), en las acerías nua, etc.; su estudio en ingravidez promete
de colada
conti-
perfeccionar
y po-
tenciar su utilización en la Tierra.
1.6. LINEAS DE
INVESTIGACIÓN
Una vez presentado el análisis de las particulares
condiciones
del ambiente espacial y su influencia sobre los procesos teriales, se trata de identificar las áreas de estudio meten resultados más halagüeños
en las
de ma-
que
investigaciones;
proéstas
pueden agruparse, con cierto orden de importancia, en: física de fluidos, solidificación, combustión, y eletrofores is , aunque
se
puede añadir un apartado más, la levitación, debido a las especiales oportunidades que ofrece en otras áreas.
Conviene aqui volver a insistir en el carácter básico del
enfo-
que dado a este trabajo, por lo que no se hablará de
materiales
sino de fenómenos. A este respecto se puede comentar
la dicoto-
mía existente quieren
entre
ensayar
con
los i n v e s t i g a d o r e s : unos
"reactores
técnicos)
silicio, g e r m a n i o , h i d r a c i n a , etc.;
otros hablan de "fluidos newtonianos nolds",
(los
a bajos números
c a t a l í t i c o s " , e t c . , y, aunque
los
de Rey-
siempre
es
preferible trabajar con el material de mayor aplicación, no debe
-22ser éste un condicionante.
1.6.1. Física de fluidos
Los líquidos y gases forman parte fundamental de los equipos todos los vehículos expaciales
de
(combustibles, fluidos vitales en
vuelos tripulados). Ademas de este interés
per
se, los
fluidos
son una parte fundamental en la mayoría de los procesos de materiales sólidos (cambios de fase). En realidad, todos los experimentos propuestos en el área de m a t e r i a l e s , sean básicos aplicación, incluyen fases los experimentos
fluidas. En
a realizar
la Tabla
en el Spacelab-Dl
Tabla 1. Experimentos de física
de fluidos
1 se
muestran
en este
previstos
o de
campo.
para
el
Spacelab-Dl.
- Capacidad
térmica y formación de fases cerca del pun-
to critico - Mínimo de la tensión superficial con la temperatura - Convección de Marangoni en canal, en zona
flotante y
en mezcías - Separación de fases por gradiente térmico - Separación de líquidos con miscibilidad
parcial
- Fuerzas capilares y electrostáticas - Estabilidad de la zona flotante - Interdi fus ion en sales y metales
fundidos
-23La acción de la gravedad es tan importante que se hace necesario un estudio minucioso
del estado
termodinámico
y la
evolución
(fenómenos de transporte) en su ausencia. El desglose de
puntos
a tratar puede ser:
Diferentes fases fluidas
Dentro del volumen considerado puede haber fases fluidas separadas por interfases
(aunque no se aprecien bien, como en el
caso
de espumas, aerosoles y suspensiones de partículas). El equilibrio termodinámico en la interfase es de importancia
capital
en
la ciencia de los materiales y en la biología. Asimismo, hay que estudiar las lineas triples (intersección de interfases),
sobre
todo desde un punto de vista dinámico. Todos estos fenómenos son complicados y la ingravidez puede simplificar su estudio.
Los tipos de fluidos a estudiar van desde los líquidos newtonianos neutros de un sólo componente, hasta quidos elásticos y cristalinos, mezclas
los
s upe rf1uidos , lí-
r e a c t i v a s , fluidos
po-
lares y cargados, etc.
Estado
termodinámico
La gravedad influye
en el estado
de equilibrio
sistemas fluidos como ya se ha explicado del punto
critico
esta
estudiarla desde ambos
influencia puntos
estadística) y macroscópico
global
de
anteriormente.
los
Cerca
es decisiva, y es
preciso
de v i s t a : microscópico
(física
(física de medios continuos).
-24-
Evoluc ion
En g e n e r a l , c u a n d o fenómenos
de
un
fluido
transporte
no
(de
está
masa,
e n e r g í a ) por d i f u s i ó n , c o n v e c c i ó n generación/desaparición químicas, grados
ionización
de libertad
rientación
De entre
(cambios
de la i n t e r f a s e ,
soluciones de gravedad
ción de las interfases en fenómenos cerca
de
o radiación,
internos, polarización,
las muchas
fenómenos
cantidad
de
aparecen
movimiento y
fenómenos
fase,
de
reacciones
(excitación
magnetización,
etc.)
y
para
de
reo-
cualquiera
presentes.
gar en condiciones
téresis
masa
equilibrio,
y d i s o c i a c i ó n ) y de energía
en las capas
de las especies
de
en
del
particulares reducida,
en el e q u i l i b r i o
se pueden
critico,
que
investi-
citar:
situa-
(y su e s t a b i l i d a d ) , h i s -
capilares, propagación punto
que hay
de
discontinuidades,
coa 1 e s c e n c i a , n u c l e a c i ó n ,
ebullición, electrólisis, etc.
1.6.2. S o l i d i f i c a c i ó n
El estudio
de
los m a t e r i a l e s
yos de s o l i d i f i c a c i ó n T i e r r a , el proceso asociado
y crecimiento
convección
de s o l i d i f i c a c i ó n
complicado
que alteran
temperaturas.
Es
en el e s p a c i o
en los vuelos A p o l l o
un transporte
tremadamente
cristalino
la
importantísimo
los
ensa-
6 0 . En la
inherentemente
por d i f u s i ó n ) se ve ex-
superposición
grandemente
con
en los años
(al cual va
de masa y energía por
empezó
de
corrientes
el campo de c o n c e n t r a c i o n e s aislar
los
efectos
de y
primarios
-25-
( d i f u s i ó n ) de los secundarios
( c o n v e c c i ó n ) , para
teorías b á s i c a s , sin la cuales pasar
En
de una mera
la Tabla
área
en
el
subdividir
Frente
2 se
fase
resumen
los
experimentos
Spacelab-Dl.
Los
pro-
f u s i ó n , predice
quido ya lejos del
riales
varias
entre
en
de una
están
la posibilidad
el
ASTP
con
sirviendo
en
se
este
podrían
para
sólido y
llegar
germanio
la
li-
ensayos
con
solidi-
lo que se c o r r o b o r ó y
recientemente
los
que
del
a conseguir
c o m p u e s t o s . Estos de
por d i -
de difusión
se h i c i e r o n
y otros
estudios
tica,
gravedad
no
es que
casi
del el
orden espesor
ción
compuestos
tiene
movimiento).
limite
la s o l i d i f i c a -
(si el liquido
menor
controlada
de
en
con el
expemate-
espacio.
f a s e s , en general
d i f u s i ó n , que
de
de p r o m o c i ó n
eutéctico
mucho
a tratar
del
de c o n v e c c i ó n ,
se está e s t u d i a n d o
la
capa
la c o m p o s i c ó n
con silicio y otros
en el
También
a realizar
de la s o l i d i f i c a c i ó n
sin c o r r i e n t e s
ensayos
rimentos
blemas
f r e n t e . En el Skylab
que m o s t r a r o n
Spacelab-1
puede
plano
la e x i s t e n c i a
sirve de transición
otros
no
asi:
de s o l i d i f i c a c i ó n
ficaciones
conocimiento
las
empírica.
La teoría u n i d i m e n s i o n a l
In-Sb
cualquier
contrastar
exactamente
influye, del de
fuera
ya
presencia
del
que
la
de
las
la
limite
de
porcentaje
la c o m p o s i c i ó n
espesor capa
en
capa
eutéc-
limite
de
laminillas,
es
de
de
cantidad
-26-
Frente no
Las
plano
situaciones
plana
en
las
que h a s t a
difusión
es el proceso
por
ahora
interfase
o dendritica)
todas
de
difícil
o r i e n t a c i ó n , o usando cindible
entonces
2.
de
recurrir
só1 ido - 1 i q u i d o son
teorías
tan
es
difíciles
de
consideran
en tierra
que
Para
la
estas
es muítid i r e c c i o n a 1 y (ni
aun
cambiando
e l e c t r o m a g n é t i c o s ) . Se hace
a la e x p e r i m e n t a c i ó n
de
no
predominante.
contrarrestar
campos
Experimentos
las
transporte
c o m p l e j a s , la c o n v e c c i ó n
tanto, muy
Tabla
la
(por e j e m p l o , celular
estudiar
formas
que
solidificación
a
en
la
impres-
ingravidez.
realizar
en
el
Spacelab-Dl.
- Crecimiento
de Si en zona
- Crecimiento
de InSb, G a l n S b , G a S b , C d T e , Be y
- Crecimiento
desde vapor
- Crecimiento
desde
flotante
de HgCdTe
disolución
de
PbSnTe
y Ge-l2 grandes
cristales
orgánicos - Solidificación
de a l e a c i o n e s
- Solidificación
de s u s p e n s i o n e s
- Solidificación
dendritica
- Solidificación
direccional
- Difusión
en el frente de
- Morfología
celular
- Fusión con
cascara
inmiscibles metálicas
de aleaciones de e u t é c t i c a s
solidificación
en a l e a c i o n e s
PbTl
Al-Cu de
InSb
-27 Solidificación de materiales
compuestos
La posibilidad de aprovechar la ingravidez para la obtención
de
compuestos con fases de densidades muy diferentes, uniformemente dispersas, parece muy atractiva. Un estudio más detallado tra que para partículas muy seria pequeña
(para
finas
la segregación
tiempos m o d e r a d a m e n t e
en la
muesTierra
largos) ya que
la
aglomeración y decantación están gobernadas en este caso por el movimiento browniano. Para partículas
m a y o r e s , pueden
ensayos en la Tierra con fundidos inmiscibles
hacerse
de la misma
den-
sidad, o, si son de densidades diferentes, mezclando el disperso una vez que la matriz ha empezado a solidificar.
1.6.3. Combustión y reacciones químicas
La combustión está estrechamente ligada a la termodinámica, cinética química y la mecánica de fluidos y su utilidad ponderante en los procesos
técnicos
de conversión
de
es
la
pre-
energía,
sin olvidar su incidencia sobre la contaminación y seguridad
de
bienes e individuos.
En la Tierra la combustión está controlada
por
los procesos
de
y gradiente
de
la verificación
de
convección natural (efecto conjunto de gravedad densidad) lo cual dificulta
en gran medida
teorías básicas relativas a los procesos ción química y al transporte
difusivo
caso es tan complicado que el único
inherentes
a la reac-
de masa y energía.
camino
seguro
separando efectos mediante un diseño cuidadoso
de
El
es el de ir experimentos
-28que aislen unos parámetros
de o t r o s ; a este
fin, el
ambiente
espacial puede proporcionar una inestimable ayuda.
Llamas de difusión
La velocidad de muchas reacciones químicas, y ciertamente las de combustión, es tan grande (órdenes de magnitud velocidades de transporte de masa y energía bles comunes en condiciones
típicas) que
mayores
para
los
se supone
equilibrio químico en cada instante, por lo que, si y oxidante no están premezc1ados, la reacción
que
combustique
existe
combustible
está
controlada
por el acceso de oxidante a la zona de quemado. En teoría transporte
seria por difusión, pero
Tierra muestran
sin
lugar
a dudas
los e x p e r i m e n t o s
que aparecen
las
este en
la
corrientes
de
convección natural.
Para gotas aisladas, con la ayuda han
conseguido
régimen
llamas
estadionario
de torres
de calda
e s f é r i c a s , pero no se puede debido
a la corta
(unos segundos). Los
laboratorios
estos primeros vuelos
en los que
mentar con combustibles, vendrá
duración
libre
se
llegar
al
de la
o r b i t a l e s , una vez la seguridad
a suplir
estas
impide
caida
pasados experi-
deficiencias y
permitirá un análisis exhaustivo de estos p r o c e s o s . A d e m á s , se han observado en la Tierra
otros
efectos
que
también
merecen
atención: interferencia de llamas entre gotas próximas, inflamabilidad y extinción en combustibles
pulverizados
(función
tamaño medio de las partículas y de su distancia m e d i a ) ,
del etc.
-29 Llamas premezcladas
Una de las parcelas más desarrolladas de las teorías
sobre
com-
bustión es la de propagación de llamas en gases reactantes
pre-
mezclados en ausencia de gravedad, pero basta
gran
diferencia
que existe
en el perfil
observar
de la llama
la
según
que
el
frente se propague hacia arriba o hacia abajo, para darse cuenta de la importancia de la gravedad. En el estudio de llamas
lami-
nares se han detectado tres tipos de inestabilidades cuyo análisis conviene separar: 1) inestabilidades de Rayleigh-Tay1 o r , si las capas más densas están por encima de capas más inestabilidades
f 1 uidodinámicas
Markstein, y 3) inestabilidades
del
ligeras, 2)
tipo de las de Landau
asociadas
al proceso
o
de difu-
sión, descritas por Sivashinsky.
En los experimentos en la Tierra se observa, además, que los limites de inflamabilidad y extinción de las
llamas varian
según
ésta se propague hacia arriba o hacia abajo.
1.6.4. Separación biológica por electroforesis
Las macrornolécu1 as y células
vivas
se mueven
acuosas donde existen además infinidad
en
disoluciones
de pequeñas moléculas e
iones. Un gran número de estudios sobre identificación, análisis de estructura y propiedades de estas partículas una adecuada separación de las especies
está basado
de interés
gran numero de compuestos presentes. La introducción
de entre
en el
de la téc-
nica de electrofores is (separación por e l e c t r i c i d a d ) por Tise-
-30lius en los años 30 para la separación de proteínas
del
plasma
marca el inicio de una nueva era en este campo (es sorprendente que en tan pocos años haya pasado a ser un análiis rutinario
en
la mayoría de los centros clínicos).
La elect rof ores is se basa en el movimiento
de partículas
gadas en un fluido bajo la acción de un campo eléctrico
car-
aplica-
do. La separación de componentes en una mezcla tiene lugar debido a que la carga o el tamaño es diferente de unas partículas a otras, por lo que la movilidad es también diferente. Sin go, en presencia
de la gravedad
terrestre
viene distorsionada por las corrientes
embar-
la e 1 ectroforesis
de convección
Actualmente se disminuye este efecto trabajando
con
natural.
substratos
más viscosos, o reduciendo el tamaño de la m u e s t r a , pero soluciones disminuyen aparatos se eleva calentamiento
la velocidad
la diferencia
de separación. En
ambas
algunos
de potencial m o t r i z , pero el
(efecto Joule) que ello produce acelera aún más el
proceso convectivo. Modernamente se trabaja a voltajes y con baja concentración de iones en la disolución es posible, ya que para
células v i v a s , la baja
iónica puede no ser capaz de mantener
elevados
(cuando
ello
concentración
el metabolismo
fisioló-
gico) .
Eliminando o reduciendo drásticamente la convección, se trabajar con muestras mayores
y a mayor velocidad;
el
podría voltaje
motriz puede ser pequeño, permitiendo el uso de disoluciones gran conductividad, acercándose a la tonicidad fisiológica.
de Sin
embargo, los ensayos previos en ingravidez indican que es nece-
-31-
sario un vasto programa
de i n v e s t i g a c i ó n
definción
antes
de o b j e t i v o s
de
en
tierra
embarcarse
en
y una
el
mejor
laboratorio
espac ial.
1.6.5. P r o c e s o s en
levitación
A v e c e s es importante paredes
del
reaccionen
el c o n t a c t o
o recipiente
químicamente,
nucleación,
En
crisol
evitar
de
la m u e s t r a
contenedor
se c o n t a m i n e ,
se
para
altere
con
las
impedir
que
el
proceso
etc.
la Tierra
sólo
se consigue
la l e v i t a c i ó n
licas
conductoras
en un campo
e l e c t r o m a g n é t i c o , y aun
recen
problemas
(ondas
nes
de presión
demasiado
orbitales
estacionarias) o fluidodinámicos
n a v e ) por trol
de
a d e c u a d o s , dando
importantes
(perturbaciones
lo que bastará posición
de
disponer
la m u e s t r a
f l u i d o d i n á m i c o , e incluso como
(convección
la fuerza neta que actúa
es p e q u e ñ í s i m a
para m u e s t r a s
lugar
sobre
iniciales de un
(corriente
En
ligero
secun-
a
ensayar
maniobra sistema
(electromagnético,
de c o n t a c t o , como utilizar
de
condicio-
la m a s a
o de
apa-
acústicos
a efectos
forzada).
metá-
asi,
de c a l e n t a m i e n t o . Los p r o c e d i m i e n t o s
a i r e ) son todavía m e n o s darios
de
de
de
la
con-
acústico, una
varilla
soporte) .
De entre trabajo física
los procesos sin paredes
que
aparte
se b e n e f i c i a r í a n
de estas
de los ya m e n c i o n a d o s
de f l u i d o s , se pueden
citar:
en
técnicas
de
la
de
parte
-32-
Suspensión
de
aerosoles
En cierto m o d o , un aerosol de
pequeños
mantenidas
contenedorres
aisladas
por
medicina
y biología
procesos
simultáneos.
aerosoles
puede
considerarse
(gotas
las fuerzas
es a veces En
la
con el t i e m p o : para
de
una
de
tensión
deseable
Tierra gotas
como
décima
un de
gravedad
de unas
milímetro
superficial).
experimentar
la
conjunto
con
este
po de " v i d a " es de tan sólo unas h o r a s . Las n e c e s i d a d e s e m b a r g o , m a y o r e s : por e j e m p l o , para cos
se requiere m a n t e n e r
neo de gotas de unas ble en ingravidez
la p r o d u c c i ó n
durante varios
(y si los choques
de
entre
no
tiem-
antibiótihomogé-
sólo p a r e c e
gotas
los
son, sin
días un a e r o s o l
50 a 100 m i e r a s , lo cual
muchos
precipita
10 mieras
En
dan
posi-
lugar
a
aglomerados).
Preparación
de v i d r i o s
Los v i d r i o s
se forman
masa
fundida
nucleación utilizadas yoría
y materiales
cuando
la velocidad
es lo s u f i c i e n t e m e n t e y crecimiento
con el platino
de
los v i d r i o s
este
ataque
da
lugar
e j e m p l o , se t r a t a
de
no
es
obtener
como para
de
Las con
como c r i s o l e s ;
(de los u t i l i z a d o s
en los
una
la
ma-
incluso
silicatos.
importante,
vidrios
la
mezclas
o r d i n a r i o s , la c o n t a m i n a c i ó n muy
de
impedir
reaccionan
que puedan usarse
comerciales
de e n f r i a m i e n t o
apreciable.
vidrios
si se trata de v i d r i o s
Para
alta potencia
rápida
cristalino
en la p r e p a r a c i ó n
de las sustancias
cerámicos
para
pero
lentes
a
que
cuando,
por
de
experimentos
láser de
de
fusión
-33nuclear con láser) los requerimientos de calidad
están
encima de las posibilidades actuales, que es preciso las ventajas que ofrecerla la ausencia de crisol
tan
por
investigar
trabajando
en
ingravidez.
Existen varias teorías sobre la formación de vidrios
de un
solo
componente en las que se proponen curvas de transformación
tem-
peratura-tiempo, mostrando el tiempo necesario
para
la nuclea-
ción homogénea para una temperatura elegida, y el grado de
cre-
cimiento cristalino
Para
(hasta una fracción de la masa t o t a l ) .
conseguir esta nucleación homogénea habría que evitar la nucleación en las paredes del crisol, lo cual no es posible en la Tierra, pero si en el espacio, donde se podrán
obtener
los vidrios perfectos que exige la tecnología
y
óptica
estudiar avanzada.
Por otra parte, algunos materiales cerámicos que se obtienen por sinterización a alta temperatura resultan muy
contaminados
por
las paredes en los procesos en la Tierra.
Termodinámica a altas
temperaturas
Los estudios con líquidos a alta temperatura han estado
limita-
dos por los efectos contaminantes de los contenedores. Es necesario completar las tablas termodinámicas de entalpias, específicos, calores de transformación y densidades, y el equilibrio de fases por encima de 1000
C para
calores estudiar
prácticamente
todos los líquidos, en especial para el silicio, los óxidos fractarios, carburos y nitruros.
re-
-34Además, la posibilidad
de alcanzar muy
muestras no confinadas
permite
altas
temperaturas
purificar materiales
poración de las impurezas más v o l á t i l e s . Existen tante d e s a r r o l l a d a s , que
incluso
tienen
por eva-
teorías
en c u e n t a
en
bas-
posibles
reacciones químicas durante la evaporación.
1.7. RESOLTADOS Y CONCLUSIONES
Nos vamos a limitar aquí a comentar algunos de los espectaculares resultados obtenidos en el Spacelab-1. Pero antes
conviene
precisar que este vuelo no era "operacional", sino de verificación del acoplamiento Shut t le/ Space lab y de d e m o s t r a c i ó n , asi se acordó en el protocolo de colaboración NASA/ESA En efecto, el 28 de Noviembre de 1983, tras varios
como
de 1973.
años de re-
traso, tuvo lugar el primer vuelo del Spacelab, que duró 10 dias (los vuelos normales son de una semana). De los 70 grandes experimentos programados, uno era el de "Ciencia de los materiales", bajo cuyo nombre se realizaron cientos de pequeños (entre ellos uno español, sobre
estabilidad
experimentos
de zonas
liquidas
flotantes).
Se lograron dos muestras de cristales grandes de proteinas, 30 y 1000 veces mayores
que en la Tierra, r e s p e c t i v a m e n t e ,
lo que
aquí es imposible debido a su fragilidad, pues las corrientes de convección o la estructura del gel usado, los rompen. La
impor-
tancia es enorme, pues se posibilita con ello el estudio de su complicada estructura por difracción con rayos X.
-35-
Tampoco se pueden obtener en la Tierra ciertas aleaciones de metales muy diferentes, debido a la segregación microscópica la gravedad causa
durante
la solidificación.
que
Sin e m b a r g o , en
este caso los resultados mostraron que se trata de una
segrega-
ción intrínseca, no dominada por la gravedad. Otro hallazgo más.
En otro experimento se observó un fuerte aumento de la velocidad de migración térmica en ingravidez, lo que hace pensar separación de isótopos en fase
que
liquida, que actualmente
la
es un
proceso muy ineficiente, puede mejorarse mucho.
En resumen, muchos de los métodos usados actualmente
en el pro-
ceso de materiales, sobre todo en las técnicas modernas
de
cre-
cimiento de cristales de semiconductores, han sido desarrollados empíricamente con una falta de entendimiento teórico que se hace notar cada vez más. Los procesos son complicados porque en ellos intervienen varias fases, geometrías de poca simetría, campos de temperaturas no uniformes, etc.; además, la gravedad
terrestre
introduce complicaciones adicioales por las inestabilidades origina en las fases fluidas, en las que aparecen corrientes convección que enmascaran en gran parte La experimentación en las condiciones
los fenómenos
de
básicos.
de m i c r o gr avedad
laboratorios orbitales permite la contrastación
que
de
de teorías
los bá-
sicas que no tienen en cuenta corrientes de convección ni efectos hidrostáticos.
Se podría mencionar como ultimo ejemplo que
las variaciones
de
-36la resistividad a través de una lámina de silicio comercial
(que
vale a 50 000 Pts/kg) puede ser del 10% o el 2 0 % , mientras
que
los requerimientos para aplicaciones comunes (transistores, diodos, sensores y circuitos integrados) van aumentando
sin
cesar.
El volumen de consumo de estos materiales crece a un ritmo vertiginoso, y en orden a mejorar la relación calidad/precio, necesario un diseño apropiado de experimentos
sencillos
será
y cla-
ros, en un esfuerzo conjunto de científicos y técnicos para lograr un entendimiento más perfecto de los procesos
fundamentales
de obtención y tratamiento de materiales en la Tierra.
Finalmente, conviene recordar que, aparte de estos logros
cien-
tíficos que se van consiguiendo y su influencia en la tegnologia terrestre a ellos asociada, existe un beneficio tecnológico
pa-
ralelo que en este caso, por ejemplo, ha contribuido a que Europa, que no supo despertar a tiempo a la revolución microelectrónica, siga siendo competitiva en tecnología aeroespacial.
-37-
2. COLUMNAS LIQUIDAS NO AXILSIMETRICAS
-3 8-
2. COLUMNAS LIQUIDAS NO AXILSIMETRICAS
2.1. INTRODUCCIÓN
Recientemente
han
sido publicados
un número
significativo
de
artículos tanto teóricos como experimentales relacionados con el comportamiento
de puentes
gravedad. El interés
líquidos
de tales
en
condiciones
publicaciones
reside
de
baja
en que
la
configuración estudiada es, desde un punto de vista estrictamente mecánico, semejante a la que aparece en el proceso de producción de monocristales mediante la técnica En la mayoría de los trabajos publicados la literatura Sanz
en este
campo
(1985)) se consideran
sometidos a perturbaciones
se puede puentes
de la zona
(una breve revisión
encontrar líquidos
en Meseguer
de &
axi 1 s i m é t r i c o s
a x i 1 s imé t r i c a s , y tan sólo en unos
pocos casos se han tenido en cuenta
efectos
no axi 1simétricos
tales como el modo C en rotación (Vega y Perales pequeña microgravedad
flotante.
transversal
(1983)) o una
(Coriell, H a r d y
&
Cordes
(1976, 1977)).
Tanto
los análisis
teóricos
como
la evidencia
experimental
parecen apuntar que los efectos de las perturbaciones no axilsimétricas son mucho menos
importantes
que
los asociados
a las
perturbaciones axi1simétricas. Por e j e m p l o , en el articulo Coriell et al (1976) se demuestra que el efecto
de una
gravedad transversal sobre el limite de estabilidad
de
de
pequeña puentes
líquidos esbeltos de volumen cilindrico es del orden del cuadrado de la perturbación, siendo por tanto de menor importancia que
-agios efectos producidos por perturbaciones
axi 1simétricas
tales
como el exceso o defecto de volumen respecto al cilindrico microgravedad axial o la pequeña desigualdad
y la
en el diámetro
los discos, cuyos efectos son del orden de la perturbación
de
para
el primer caso y del orden de la perturbación elevada a 3/2 para los otros dos (Meseguer
(1984)).
Para obtener los limites de estabilidad y las formas de equilibrio en este articulo se emplea un método asintótico
de pertur-
baciones con la ayuda de la idea de la ecuación de b i f u r c a c i ó n , ya utilizada
para
obtener
el limite
de estabilidad
de
flotantes en isorotación por Vega y Perales (1983). Este simplifica grandemente aparece
la obtención
una bifurcación
discernir
el carácter
de
los puntos
(subcritico
método
en los
de la solución, p e r m i t i e n d o
de ésta
zonas
que
además
o supercritico) y
obtener las formas de equiibrio tanto estables como inestables.
A d e m á s , con el estudio
de las simetrías
problema es posible obtener
el orden
que
aparecen
de la m o d i f i c a c i ó n
en
el
de la
máxima longitud estable de una zona debido a un tipo determinado de perturbación
sin resolver
el problema
propiamente
dicho.
2.2. PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA
Se considera el caso de una columna entre
dos discos
circulares
de
liquida
radio
(Fig.
1) situada
R Q separados
distancia L cuyos ejes son paralelos entre si y están
por
una
separados
- 4 0-
una
d i s t a n c i a
2E .
correspondiente base
uno
TTRQL)
Sea
.
de
La
los
en
de
volumen
una
discos
columna
R = R(Z,6)
encuentra
al
El
está
la
y
por
del
de
la
a
e s t a
una
la
de
en
que
la
gravedad
i n t e r f a s e .
equilibrio
columna
cilindrica
altura
sometida
forma
reposo,
columna
de
el
es
el
tuviese
por
columna
(V
transversal
Si
interior
el
fluido
de
la
zona
= g.
se se
ob t i e n e
P
(2.1)
- pgy = P(
y teniendo en cuenta que en la interfase y = Rcos0, del
equili-
brio de ésta se deduce
o(l/R1
+ 1/R2) + P Q + pgRcose = 0
(2.2)
PQ es una constante, desconocida en principio, que fija el nivel de presiones dentro de la zona, para obtener su valor hará falta fijar el volumen del liquido contenido en la zona. L/2
r2n
dZ R 2 (Z,9)d6 = 2TTLR 0 -L/2 0 La condición de anclaje
(2.3)
en los bordes
de los discos
se
puede
expresar como:
R( L/2,6) =
R(-L/2,0) =
EcosS +
-Ecos6
V«T
+VRQ
E2sin26
(2.4)
E2sin26
(2.5)
-41-
Además, la forma de la interfase ha de ser periódica en 9
R(Z,6) = R(Z,e+27T)
Ahora
se
adimensiona1 izan
(2.6)
todas
las
longitudes
con
RQ y
se
define
A =
L/2R,
(2.7)
E =
E/Rf
(2.8)
B =
PgRo/a
(2.9)
z =
Z/Rr
P =
(P0
F(z,e)
M[F]
(2.10)
-
(2.11)
Pa)R0/a
= R(z,e)/R
= R0(l/R1
+
( 2 . 12)
o 1/R2)
donde A es la esbeltez de la zona, E la excentricidad
(2.13)
adimensio-
nal, B el número de Bond debido a la gravedad y P es la
presión
de referencia adimensional.
El problema en forma adimensional queda:
M[F] + P + BFcose = 0
(2.14)
•42
(-27T
•A
dz
F
-A
2
(z
5
e)d6
= 4TTA
( 2 . 15)
O
F( A , e )
=
F(-A,e)
= -Ecose
F(z,6)
Ecose
+ ^ 1
-
+ \ / l - E
E^sin26
(2.16)
2
(2.17)
s i n
2
e
= F(z,e+2Tr)
F
( 2 . 18)
(1+FzHFee"F)+FFZz(F2+FÍ)-2Fe(Fe+FFzFez)
M[F] =
—
(2.19)
(F2(l+F2)+F2)3/2
ORDEN DE LA BIFURCACIÓN
CON GRAVEDAD TRANSVERSAL
O CON
DISCOS NO COAXIALES
Si se buscan soluciones del tipo
F(z,e) = l + ef(z,e) + o(e)
P=
l+ep
+ o(e)
El problema lineal a resolver en este caso será:
f + f
+ f 2z
ee+ P " °
f(±A,e) = 0
(3
-1} (3.2)
•43-
f(z,e) = f(z,e + 2TT) A
(3.3)
(2TT
dz f(z,e)de = o -A Jo
(3.4)
Todas las soluciones a este problema son axi1simétricas. Las hay de dos tipos, para A = kiT , (k=l,2,...)
f(z,6) = sin(k7Tz/A)
y para A = A k
con A k
(3.5)
p = 0
tal que cumpla Ai. - tanAu = 0
(3.6)
f(z,9) = -p(l-cosz/cosA)
La bifurcación
a formas
de equilibrio
no cilindricas
axi 1 s imé tricas) ocurrirá por tanto cerca de A = ku o A embargo el mayor
interés
lo tiene
para el menor de estos valores
la bifurcación
críticos
(aunque =
que
de la esbeltez
que para este valor las formas de equilibrio
casi
^k" ^''"n aparece puesto
cilindricas
pasan de ser estables a ser inestables, las demás bifurcaciones no serán alcanzables en la realidad puesto
que
la zona
romperá
antes.
Por tanto la inestabilidad
aparecerá
para A
= T
y las
formas
inestables serán de la forma:
p = 0
f(z,0) = sinz
La presencia de una pequeña
gravedad
transversal
(3.7)
o de una no
-44-
coaxialidad aparece nuevo
la
de
los
rotura.
parámetro
discos Es
disminuye
conveniente
medir
la
esbeltez
dicha
para
la
disminución
que
con
un
X.
A = ( TT - A c ) / *
(3.8)
En lugar de utilizar la variable z es conveniente utilizar simplificar una nueva variable x, (cuya introducción
para
normaliza
las condiciones de contorno) definida por:
x = z/(l - X)
(3.9)
Con estos cambios el problema queda en la forma
M[F]
+ P + BFcose
(3.10)
27T
TT
dx -TT
= 0
F
2
(x,e)d6
4TT 2
( 3 . 11)
+ 2TT)
( 3 . 12)
=
'
F(x,0)
= F(x,6
F(TT , 6 ) =
Ecos6
+ Vi
-
E2sin26
=
1 + Ecos6
-
(l/2)E
2
sin
2
0
+
(3.13)
F(-^,e)=-Ecos6 +
1 - E 2 s i n 2 6 = 1 - EcosG - ( l / 2 ) E 2 s i n 2 6
+
(3.14)
Si ahora se prueban soluciones del tipo
-45-
F ( x , 0 ) = 1 + esinx +
g(x,0)
P = 1 + p
el problema
M[l
+
se reduce
esinx
a:
+ g(x,6)]
+
1 + p + B(l
+
esinx
+ g(x,6))cos0
= 0
(3.15) 2TT
dx
(1 +
• ir
esinx
+ g(x,0))¿de
= g(x,e
( TT ,6) =
+ 2TT)
(3.17)
- E2sin20
Ecos6 + V i
- E2sin26
g(-7T,e) = -Ecos6 + V i
es n e c e s a r i o
quede u n í v o c a m e n t e TT
(3.16)
0
g(x,e)
además
= 4TT'
- 1
(3.18)
- 1
añadir una c o n d i c i ó n
(3.19)
para
que el p a r á m e t r o
£
definido:
,2TT
dx g ( x , 0 ) s i n x d 9 = 0
(3.20)
-TT J 0 El
problema
términos
de
asi
planteado
B y E.
Para
permite
B - ^ 0 y E - ^ 0 e l
resolver m e d i a n t e
técnicas
anticipar
propiedades
utiliza
ciertas
calcular
de p e r t u r b a c i ó n ,
la idea de la ecuación
e, g ( x , 6 )
problema pero
de la s o l u c i ó n . de b i f u r c a c i ó n
ésto
Para
se
y p
puede
obliga
evitarlo
(Matkowski
en
a se
& Reiss
-46(1977),
Vega y Perales
(1983).
En
lugar
de
la
Ec.
3.15
se
considera la ecuación:
M[l + esinx + g(x,6)] + 1 + p + B(l + esinx + g(x,e))cos6 + 0sinx = 0
(3.21)
obsérvese que en esta ecuación si 0 = 0 se recupera el
problema
original.
Como el sistema de ecuaciones 3.16-3.21 definen únicamente
0, g
y p
0 = 0(e,B,E,X)
g = g(x,0;£,B,E,X)
p = p(e,B,E,A) (3.22)
las soluciones de este sistema serán las del sistema original si £,B,E,X
cumplen:
0(e,B,E,X) = 0
(3.23)
que es la ecuación de bifurcación del problema.
El problema es invariante bajo las simetrias
x
-v -x
x ->- -x
£ -> - £
6-+9+TT
E ^ - E
0 -> -0
£->--£
B ^ - B
0->-0
-47-
e->e+7T
B ^ - B
E ^ - E
de donde se deduce que
0(e,B,E,A) = -0(-e,B,-E,X)
(3.24)
0(e,B,E,A) = -0(-e,-B,E,A)
(3.25)
0(e J B,E,A) =
(3.26)
0(e,-B,-E,A)
Vamos a analizar por separado los casos B=0, E^O y B^O, E=0
sin
tomar en consideración efectos cruzados entre B y E. Para B = 0 , E^O de las relaciones anteriormente obtenidas se deduce
0(e,O,E,A) = e ) á 1 (e 2 ,E 2 ) A) « 0 3 O O O e 3
+
(Í
1020£E2
+0
lOOleA
+
(3.27)
y análogamente para B^O, E=0
0(e,B,O,A)
= £(á2(£2,B2,A ) = 0 3 o o O e 3
+
e>
1200eB2
+0
lOOleA
+
(3.28)
La esbeltez critica variará por tanto en la forma
A
= -(0m o n / 0^1001 inni)E2 1020'
"
( 0 11200 - > n n/,ü / 0 1001 i n m ) B2 +
como cabe esperar que disminuya por el efecto baciones 0 1 0 2 0 ^ 1 0 0 1 y ^ 1 2 0 0 ^ 1 0 0 1 deben de
ser
...
de estas
(3.29)
pertur-
ambos negativos
-48-
2.4. BIFURCACIÓN PARA UNA PEQUEÑA EXCENTRICIDAD
DE LOS EJES
DE
LOS DISCOS
Si en las ecuaciones
0(e,B,E,A)
=
se introducen
£ÍBjEkA10
l
los desarrollos:
(4.1)
X
i , 3=1 k ,1= 1 g(x,e5e,B,E,X)
=
eiü'Í-Ek\1gi
l
(x,9)
i k l
(4.2)
k,l =l p(e,B,E5A)
=
£ Í
l
BjEkA1p.
(4.3)
i,:=i k,l =l y
se
iguala
sistema 0
ijki>
el
coeficiente
de p r o b l e m a s gijki
( x
»
e )
y
de
cada
lineales
potencia
recursivos
a cero que
se
obtiene
permite
un
calcular
Pijki-
Los resultados que se obtienen son:
SlOOO^'9^
=
g
9 )
=
"
gOOOl(x'0)
=
°
g0010^x'9^
=
g
1 0 1 0
(x,e)
=
g
0 0 2 0
(x59)
= (l/47T2)cos20(x2
g
0 1 0 0
(x,e)
=
2000
( x
'
s i n x
( 1
/
4 )
(1/2)(TT
g
=
-(ir2/4)(l +(l/4)(x
2
+ cosx) -
+
(1/TT)COS6(1
= -(xcosx
(x,e)
(l/4)cos2x
(x/fOcose
gi-iQQ(x,0) 0 2 0 0
+
2
-X
2
+ 1 -
Ch/3x/Ch/3ir)
-
(1/4TT2)
2 X
)COS6
+ x -
-(1/16)(TT
+
2
cosx)
-
[(1/16)(TT
3sinx)cos8 x
2
2
-
TT2Ch/Jx/Ch/JiT) ] c o s 2 6
)
2
x
(3/4)(x2
+ 2
)
2
+
+
(1/6)(1
TT2COSX)
-
-
Ch/Jx/Ch/J
TT) +
•M-9 -
0
1000
0
0
OO11
=
0
3OOO
=
0
1001 =
0
2OOO ~ 0 OOO1 ~
OO2O
=
0
O1OO
=
0
0
OOO2 ~ 0 OO1O " 0 1O1O " °
O1O1
=
0
llOO
=
0
O2OO
=
°
"3/2 2
2 0in9n 1020 = -3/2-ff .2 7T^/2 1200
2.5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES
De
los resultados
anteriores
se
deduce
que
la
ecuación
de
b i furcae ion es
e(-(3/2)e 2 + 2A - (3/2^ 2 )E 2 - ( T T 2 / 2 ) B 2 + ...) = 0
(5.1)
Para E = cte y B = cte las curvas e = f(A) están esquematizadas en la figura 2.
Para
e ~ 0 la esbeltez cambia en la forma:
X = (3/4u 2 )E 2 + U 2 / 4 ) B 2 + ...
(5.2)
Además del estudio de la simetría de la configuración, se
puede
deducir que no existe un término de orden BE. Este estudio independiente del ángulo que existe entre el plano los ejes de los dos
discos
y
la
dirección
de
que la
definen gravedad
transversal. Por tanto la expresión obtenida anteriormente siendo válida
aunque
dicho ángulo
sea d i s t i n t o
de
es
sigue
cero.
El
efecto
para
Cordes
Como
E=0,
B^O y a
habla
sido
obtenido
por
Coriell,
Hardy &
(1976).
consecuencia
bifurcación principio serán
es
del
observa
s u b c r i t i c a
cambio
estables
Ac=
se
para
de
por
esbelteces
-
U
2
en
las
menores
/4)B
todos
tanto,
estabilidad
(3/4^2)E2
TT(1 -
y
que,
2
de
+
la
casos,
acuerdo
formas que
los
casi
la
con
el
cilindricas
critica,
de
valor
...)
(5.3)
Las formas estables de equilibrio serán de la forma:
F(x,e) = i + Eg0010(x,e) + E2g0020(x,e) + + Bg0100(x,e) + B2g0200(x,e) + . . .
Se
puede
una
no
observar
por
puede
otros ser
axi1simétrica
afecta
dinámica
Todo en
lo
los
tipos
de
de
la
en
la
esbeltez
discos
es
siempre
e x i s t a
de
los
de
perturbaciones en
que
el
pudiéndose
discos
apreci ab1 emente
a
la
mayor
pequeña parte
orden
de
alguna la
debido
a
que
el
y
por
axilsim¿tricas
a n á l i s i s
hacer
o una
critica
resultados
p e r t u r b a c i ó n
hipótesis gravedad
de
que
un
transversal
axi 1simétrica
de
la
zona.
anterior
reposo.
efecto
de
relevante,
descentramiento
cambio
despreciado
experimentales
no
el
coaxi 1i a 1idad
producido tanto
que
(5.4)
Debe
acoplado
ha de
sido
teniendo
considerarse
entre
la
en en
rotación
cuenta
que
la
posteriores y
las
zona
se
halla
estudios
el
perturbaciones
no
-51axi1simetricas . Este
efecto
es de esperar
que amplifique
deformaciones producidas por las perturbaciones y que
las
disminuya
aun más la esbeltez critica.
2.6. REFERENCIAS
1. Meseguer, J. and Sanz, A., "Numerical and experimental of the dynamics
of axisymmetric
liquid
b r i d g e s " , J.
study Fluid
Mech. 153, 83-101, 1985
2. Vega, J.M. and Perales, J.M.,
"Almost cylindrical
isorotating
liquid bridges for small Bond numbers", in Materials
Sciences
under Microgravity ESA SP-191, 247-252, 1983.
3. Coriell, S.R., Hardy, S.C. and Cordes, M.R., weightless crystal growth", NBS
Space
"Melt
Processing
shape
in
Research,
NBSIR 76-980, 1976.
4. Coriell, S.R., Hardy, S.C. liquid zones", J. Colloid
and
C o r d e s , M.R.,
Interface
"Stability
of
Sci 6 0 , 126-136, 1977.
5. Meseguer, J., "Stability of long liquid columns", in Material Sciences under Microgravity ESA SP-222, 297-300, 1984.
6. Matkowsky,
B.J.
R e i s s , E.L., "Singular
pert u r b a ti ons
bifurcations", SIAM J. Appl. Math. 33, 230-255, 1977.
of
•52-
Fig. 1. Geometría, nomenclatura y sistema de coordenadas utilizado.
\ ^ B = E =0
\
E*0
N TI
y/ y
Fig. 2. Modificación de la bifurcación para un d e s c e n t r a m i e n t o o una pequeña gravedad t r a n s v e r s a l . Se r e p r e s e n t a l a amplitud de l a deformación adimensional, £ , frente a l a esbeltez de l a zona, A=L/D, con E=E/R n , y B^pgf£/o-.
-53-
3. COLUMNAS LIQUIDAS COMPUESTAS
-54
3. COLUMNAS
LIQUIDAS
Prosiguiendo quidas lidad
con el análisis
de
columnas
consiste
discos
liquidas
en una
La n a t u r a l e z a de las
con
condiciones
el análisis
primera
fase
En
el
trabajo
estabilidad
lineal
unidimensional resultados cuanto
en el m a n e j o
a
lo m á s la
al
L
otra
esperado
en
a tenor
of
vista
estudia de un
la
modelo Los
sorprendentes
por
de
la
empleado
se
experiencia
siguiendo
a la critica
este
Fluid
de
simples.
pues,
realizado
infinita-
afines.
por el m o d e l o
inglés
posible,
Journal
se
problemas
líquidos
esta
compuestos.
c o m p u e s t o , a través
predicho
aconsejó y en
punto
a continuación,
en
columna
la c o m p l e -
discos,
un
capilares
en
(Fig. 1 ) .
compuestas
desde
estabi-
mantenida
condición,
extremadamente
el trabajo
revista
que,
de puentes
amplio
D^
los
esta
con éxito
son
presenta
de someter
científico enviado
no
en
colummnas
chorros
ya u t i l i z a d o
se
de
la
li-
configuración
en su interior
contorno
de un chorro
obtenidos
manuscrito
política
longitud
presenta
razonablemente
adquirida
flotante
relajando
que el c o m p o r t a m i e n t o
ajusta
El
teórico
se
de
en e s t u d i o , p r i n c i p a l m e n t e de
llamarse
que
estudio La
configuraciones
f o r m a l , deberian
de c o l u m n a s
compuestas.
se han c o n s i d e r a d o
largas,
el
la p r i m e r a , de d i á m e t r o
del p r o b l e m a
iniciar
mente
zona
ahora
de d i á m e t r o D que aloja
l i q u i d a , coaxial
jidad
del c o m p o r t a m i e n t o
en i n g r a v i d e z , se aborda
estudio entre
COMPUESTAS
la
de un
foro
ha
sido
donde
será
manuscrito
Mechanics,
con
-55 publicado próximamente October
1985).
(J. Fluid
M e c h . , V o l . 159, pp.
Por esta razón, y a efectos
publicación, se ha intentado
relacionar
de
55-68,
facilitar
el problema
su
analizado
con otros problemas semejantes de interés, tal es el caso de la técnica de impresión llamada de chorro c o m p u e s t o , sobre
la que
existe un numero significativo de trabajos publicados.
En el apartado
e x p e r i m e n t a l , los resultados
obtenidos
sido los esperados. El manejo de columnas compuestas isodenso presenta tal cumulo de dificultades
no han
en un baño
que, hoy
por
hoy,
no es posible la experimentación cuantitativa. El mayor problema en el manejo de una configuración fluida tan sofisticada como es una columna compuesta, aparte de las dificultades
de
formación
del puente compuesto, aspecto éste casi totalmente
solucionado,
es el control del nivel de microgravedad residual y la forma
en
que esta microgravedad afecta a las diferentes entrefases.
Como consecuencia de lo expuesto, y a la vista de las
precarias
condiciones e x p e r i m e n t a l e s , se abrió un periodo
de
reflexión
para reconsiderar los objetivos del plan experimental
propuesto
y su posible redefinición. La conclusión
fue
la de
previo
en el
intrínsecos
de la
alcanzada
reconocer la necesidad de un programa experimenal que se analizaran indicadores de estabilidad zona flotante y teniendo en cuenta
efectos
resultados
en
obtenidos
"Experiments with
se m u e s t r a n
liquid
bridges
aceptado para su publicación
el
gravitatori os . Los segundo
in simulated
en el Journal
manuscrito
microgravity",
of Crystal
Growth.
56-
3
2
Fig. 1. Columna liquida compuesta. 1) Liquido
3
de trabajo
rior; 2) liquido de trabajo exterior; 3) ambiente.
inte
-57-
Apéndice 1: ONE-DIMENSIONAL LINEAR ANALYSIS OF THE COMPOÜND JET
-58-
One-dimensional linear analysis of the compound jet
BY ÁNGEL SANZ AND JOSÉ MESEGUER Laboratorio de Aerodinámica, E.T.S.I. Aeronáuticos, Universidad Politécnica, 28040 Madrid, Spain.
The stability of an infinitely-long compound liquid column is analyzed by using a one-dimensional inviscid slice model. Results obtained from this dimensional linear analysis are applicable to the study of compound
one-
capillary
jets, which are used in the ink-jet printing technique. Stability limits and the breaking regimes of such fluid configurations are established and, whenever possible, theoretical results are compared with experimental ones.
1. Introduction During the last two decades fine jets of ink have been increasingly used for printing purposes. Developments in ink-jet technology have motivated scientist to investigate the details of the breaking
numerous
of capillary
jets
emanating from nozzles. A review of the state of the art in this field at the end of the 70's can be found in Bogy (1979). This review should be completed by adding some significant papers published further: Chaudhary & Redekopp
(1980),
Bogy (1981), Entov & Yarin (1984), among others. Recently, a new ink-jet printing method
(the compound
j e t ) has
been
developed at the Lund Institute of Technology in Sweden (Hermanrud & Hertz 1979, Hermanrud 1981, Hertz & Hermanrud 1983). A compound jet, as sketched in figure 1, is generated as follows: assume a fine nozzle submerged below the surface of a stationary fluid
(ink). By forcing a suitable "inner" fluid
through this nozzle under high pressure a liquid-onto-liquid
jet is generated
in the stationary fluid (the "outer" fluid). Due to viscous forces the outer fluid will be accelerated by the inner fluid cióse to the interface between the
-59-
two fluids. Therefore, when the jet emerges into the air it consists of a cylindrical core of fluid (the inner jet) surrounded by a concentric layer of different fluid (the outer jet) both traveling at essentially the same speed. Published papers concerning compound jets deal mainly with experimental work. Theoretical developments in this field are limited to rough analyses which are quite far from the sophisticated studies on single capillary
jets.
However, regarding the partial similarity between compound jets and compound liquid columns, the work of Bauer (1982) and Sanz (1983) should be quoted. In the first paper the linear stability of a infinitely-long liquid column is analyzed by using a three-dimensional model based on previous work of Tomotika (1935), whereas the second is devoted to the study of liquid bridges surrounded by another liquid. In this paper the linear stability of the compound jet is studied through a one-dimensional inviscid model which is a generalization of that of Lee for single capillary jets. This model has been selected instead
(1974)
of more
complicated one-dimensional models (Weber 1931, Green 1976, Entov & Yarin 1984) because, in spite of its relative simplicity, the results obtained are in agreement with experimental evidence either in the case of single capillary jets (Pimbley & Lee 1977) or in the case of slender liquid bridges 1983, Meseguer & Sanz 1984). Amongst the different types of appearing in a compound jet (Hertz & Hermanrud instability only, which
is the more
(Sanz
instability
1983) we analyze capillary
interesting
in ink-jet
printing
applications in order to predict the size of the resulting drops after the jet breaking. The remaining instabilities (sinuous and varicose instability) are out of the scope of this paper, and they seem to be more easily faced by means of an experimental approach than a theoretical one. We assume that viscosity effects (if low viscosity liquids are involved) are important only in the nozzle región, where the compound jet is set up, and that these effects can be neglected in the study of capillary instability, which appears in a región far from the nozzle. A similar hypothesis is used in, for instance, the analysis of
-60-
the response of a boundary layer to a small disturbance: it is assumed not to be affected by the viscosity of the fluid, even though viscosity was of course essential for the seting up of the velocity distribution in the undisturbed boundary layer. Finally, theoretical results have been compared with available experimental results (Hertz & Hermanrud 1983) and a reasonable agreement has been found.
2. General equations for the one-dimensional compound jet According to Bogy (1979) the studies on capillary jet instability could be classified in two main categories: temporal instability and spatial instability analyses. Keller et al. (1973) stated the suitability of spatial
instability
analyses in describing the behaviour of capillary jets. These authors also verified the agreement between results obtained from the temporal or the spatial approach when the jet velocity is much higher than the capillary velocity, which is the case of the ink-jet printing. So that, in this paper we analyze temporal instability, since its formulation is simpler than that of spatial instability. To perform this study it must be assumed
that
the
reference system is moving with a velocity equal to the mean jet velocity, so that equations of motion become similar to that of a compound liquid column. Let us consider a compound jet as sketched in figure 1, and concéntrate on the región far enough from the nozzle. To carry out the analysis of this liquid configuration several assumptions are introduced: (a) internal movement in the compound jet is due only to capillary-pressure gradients generated by the deformation of interfaces; (b) the dynamics of the compound jet is not affected by the surrounding air; (c) since only axisymmetric configurations are considered, the problem is independent of the azimuthal coordinate; (d) both liquids are inviscid*, with constant and uniform
properties
(density and surface tensión); (e) in each of the liquids the axial velocity, as well as the pressure,
-61-
depends on the axial coordínate and the time, but not on the radial coordínate. This last hypothesis, which is the more drastic assumption introduced by the one-dimensional model, is justified in the case of compound jets because perturbation wavelenths involved in jet breaking are generally larger than the jet radius (Meseguer 1983, Sanz 1983). Under these hypotheses the equations of motion are drastically reduced. The radial momentum equation becomes uncoupled and the problem formulation reduces to the continuity equation and axial momentum equation, plus suitable
initial
and boundary conditions. To genérate the equation set for the compound jet the process is similar to that already described in Lee (1974), Meseguer (1983) and Sanz (1983). In the following, F^ stands for the interface radius, W^ for the axial velocity and P^
for pressure; p ^ and a^
are density
and
interfacial tensión, respectively. The superscript j denotes the liquid
("i"
for inner and " o " for outer, see figure 1) whereas the subscripts t and z indicate time and spatial derivatives, respectively. The equations for the compound jet are: (a) inner jet (al)
continuity equation ( F i 2 ) t + ( W i F i 2 ) z = 0.
(2.1)
* The effect of viscosity within the one-dimensional model used could be accounted for through an unsteady boundary layer at the interface between the two liquids, to accommodate the shear stresses and the velocity jump. The 1/2 thickness of this boundary layer would be 6 ^ ( V / T ) '
(Schlichting
1960),
where x is a characteristic dimensional growth factor and v the kinematic viscosity (almost the same in both liquids). As we shall see T ^ (p°/o°R° ) ' , where a°, p ° , and R° are the surface tensión, density, and radius of the outer jet, respectively. Thus t
+
[w o (F o2
_ Fi2)]z
= 0>
(2>3)
(b2) axial momentum equation W° + W°W° = -P°/p°. where P1, P Pi
_ po
(2.4)
and the external pressure P e are related through =
P° - P e = a°?(F°),
C^PCF1),
(2.5)
J>(FJ) = [1 + (FJ)2]"3/2{[1 + (FJ)2]/FJ - FJ z }.
(2.6)
To put these equations in non-dimensional form we take as reference the properties of the outer liquid: undisturbed interface radius R , density p°, and surface tensión a°. To that purpose, let introduce Fj
= RoFJ5
z
= R o- }
WJ = (a°/R°p°)1/2 WJ,
t = (p o R o3 /a o ) l/2- j
PJ = (a°/R°)pJ,
(2.7)
where the barred quantities are dimensionless. We introduce also the parameters R = R W ,
P
= pVp0,
a
= 0^-/0°,
(2.8)
R 1 being the undisturbed inner jet radius. Then, (2.1)-(2.6) yield the following dimensionless equations (with the bars dropped from now on) (F i 2 ) t + (W i F i 2 ) z = 0,
(2.9)
W* + W % ^ = -P^/P»
(2.10)
(Fo2 _ F i 2 ) t
+
[w o (F o2
_ F i2)] z
(2.11)
= 0j
W° + W°W° = -P°, Pi
. po
(2.12)
= a p( F i) s
(2.13)
P° - Pe =P(F°),
(2.14)
P(FJ) = [1 + (F z ) 2 ] -3/2 {[l + (Fz)2]/FJ - F z z } .
(2.15)
Note that F^ , W-*, t, etc. are now dimensionless variables, and that the undisturbed interface shapes are F In c o n c l u s i ó n , differential
the
problem
= R and F
formulation
e q u a t i o n s w h i c h , once i n i t i a l
=1. consists
of
four
and b o u n d a r y c o n d i t i o n s
non-linear are
fixed,
-63-
would allow calculating F 1 , F°, W 1 and W°.
3. Linear analysis Let e be a small parameter, measuring, for instance, the initial deviation of the outer interface shape from the cylindrical one. If e is small enough, leaving apart e
terms, the variables involved
in the problem may
be
rewritten as F 1 = R + ef 1 ,
F° = 1 + ef°, W 1 = ew 1 ,
W° = e w °, etc.
(3.1)
TP(F^) now takes the form
PíF1) = -| - £(fjz + fVR 2 ),
(3.2)
P(F°) = 1 - e(f°z + f°).
(3.3)
After substituting these expressions in (2.9)-(2.14) the following
linearized
problem is obtained 2f£ + Rw* =0, Pwt = « 0 (the compound jet becomes a
- with a single jet) the optimum condition for breakup is reached at m - I =r /2 máximum growth factor T
= 1//8", which are the same valúes that
those
calculated by Lee (1974) for the single jet. If R > ¿2 (R = /2 means both inner and outer Jiets have the same cross sectional área) Tm occurs at m
> 1 no
matter the valué of a; this seems to indicate that the breaking process will be determined by the outer interface. On the contrary, when R < / 2 the máximum growth factor occurs at m
< 1, roughly, and the breaking process is mainly
driven by the inner interface. II) Between ABC and A'BC', for each couple (R,a) there are two relative máxima. Since the inflection curve ABC vanishes at m points of the two máxima región can be only
reached
=1
when R = / 2 ,
from compound
jet
configurations having R < ¿2 and low valúes of cr. Of this two optimum breakup conditions, that having the highest valué of x
will develop faster and will
become dominant in the breaking process. When o -> 0 the highest x m~
% i/2~, but as a increases both valúes of x
occurs at
become of the same order
and, in a general case, elucidation of which one is dominant would require a more detailed analysis. When p f
1 the behaviour of the compound jet is similar to the described
above, the main discrepancies appearing cióse to m
= v2 where, even when
a ->• 0, the compound jet does not behave as a single jet. In this case, x increases as R grows when
P < 1 and the contrary occurs when p > 1. This
behaviour can be explained because of inner jet inertial effects which cause time evolution to be slow as the density ratio p grows.
-66-
4. Breaking regimes To discuss the possible breaking regimes of the compound jet we introduce two new parameters: the amplification, A = f1/f°, defined as the ratio of the máximum (or minimum) inner interface deformation to the máximum (or minimum) outer interface deformation, and the linear breaking time t-^. The amplification is calculated by eliminating w° between (3.6) and (3.7) as explained above. Thus, the following relationship is obtained Rf
tt = f?t+ t ( 1 - R 2 ) ( f - z Z + f z Z > - >
(4 1}
'
therefore, for each pair (x,m) = _ ! [ ! + ^ - R ? ( m 4 . m 2)]. (4.2) T . Concerning t^, according to expressions (3.1), (3.9) and (4.2), the time A
evolution of minimum inner and outer jet radius are, respectively F¿ = R - C6:AeTt,
F° = 1 - C e e xt .
(4.3)
In the following we assume C = 1, so that initial conditions are fixed only by the small parameter e. Inner jet breaking time is reached when the minimum radius vanishes, F* = 0, in consequence tí = -iln-S . D
T
(4.4)
EA
On the other hand, there are two possibilities in calculating t° depending on b whether the outer interface reaches the inner one or not, as sketched in figure 4. In the former case the breaking condition for the outer jet is 1 - eexp(xti ) = R - eAexp(xti), and the breaking time results i* = — l n 1 " R N , m x e(1-A) whereas in the second case the breaking condition is F° = 0, and then t¿ = Aln-i . The variation with m
(4.5)
(4.6) of the amplif ication A corresponding to máximum
growth factors x is represented in figure 5. It must be stated that A can be either positive or negative. According to (4.2) A = 0 implies x2 = -J(l - R2)(m2 - m 4 ) ,
(4.7)
o the highest valúes of x being obtained when R = 0, henee x2 = -i(m2 - m 4 ) .
(4.8)
-67-
This zero amplification curve coincides with the upper boundary AC of the lower branch root región (see figure 3). Points within this región give A < 0, which means that outer and inner interface deformations are just in phase opposition. However, as already stated, lower branch máxima are not significant because they produce slower evolutions than upper branch máxima. As figure 5 shows, most of the compound jet configurations have A > 1. Inner interface deformations are larger than outer interface deformations, which seems to indicate that the inner jet will break before the outer jet. However, _i
as m
_1
increases A decreases, in such a way that cióse to m
.
= v2 is
A < 1. This means that inner interface deformations are smaller than those of the outer interface and could indicate that there is another breaking regime in which the outer interface reaches the inner interface before mínimum inner interface radius vanishes. Some A < 1 cases have a quite clear meaning. For instance, when p = 1, a - 0 (single jet) the amplification is A = R < 1: fluid surfaces distort like the outer interface, the deformation being proportional to the undisturbed fluid surface radius. When P ^ 1 the explanation is not so simple and we should compare breaking time of both inner and outer jets, t and b t°, respectively. Outer interface will reach inner interface when t¡t - t ? > 0 b b b or, according to (4.4) and (4.6), A/R = k, 0 < k < 1, that is A = kR < 1. As shown in figure 5, this breakup by interface meeting would be possible if the breaking perturbation wavelength is large enough. Additional insight can be obtained from equation (4.2). After substituting A by kR results 1 _izRÍ(m2 _ m 4 } . A_^_2T2 (4.9) 2 1-kR2 1-kR2 ° This expression gives, for each valué of m, R and k, the growth factor x r for T2 = r
which a breakup by interface increases, the highest valúes, x
meeting would occur. x r = x
increases as k
being obtained when k = 1 (A = R ) .
Therefore, if for a given wave number m the máximum growth factor x smaller than x contrary, if x
the breakup by interface meeting > x
is
could occur. On the
the inner jet will break faster than the outer one.
According to figure 3 the former breaking regime would only take place in the
-68-
case p > 1. In figure 4c the región of breakup by interface meeting (A o, R) has been plotted.
5. Experimenta versus theory In order to evalúate the suitability of the one-dimensional
model
in
predicting the behaviour of compound jets, theoretical results here obtained have been compared with experimental results reported by Hertz & Hermanrud (1983). Two different compound jets are considered, in the first one a mixture of water (80 %) and glycerol
(20 %) is used as outer liquid, and the same
mixture, but dyed, as inner liquid. In the second compound jet the inner liquid is the same as in the first jet whereas the outer fluid is a dimethyl silicone oil. For the first jet (a = 0,
p = 1, R = 0.488) theory predicts
behaviour as the single jet: breaking should occur at the optimum m
the
same
= /2~
(see Table 1) which is in agreement with the valué measured in figure 5 from Hertz & Hermanrud (1983), m that figure, A ^ R :
= 1.4. Furthermore, as it can be observed in
inner jet deformations are proportional to outer
jet
deformations. The second jet (o % 2.6, P ^ 1, R = 0.488) seems to be more interesting for comparison purposes. In this case the corresponding theoretical valué for the optimum m
is 0.72, and the valúes for m
& Hermanrud (1983) are m
measured in figure 6 from Hertz
= 0.64 (in the first wave) and m
= 0.60
(mean
valué along the j e t ) , cióse enough to theoretical valué to consider
the
agreement between theory and experiments as significantly good, in spite of the errors involved in these estimations. Concerning the amplification A, mainly two factors prevents us for making definitive conclusions on this point. The first one is the magnitude of the errors involved in measuring it from photographs shown in figure 6 from Hertz & Hermanrud (1983), especially the deformation of the outer interface, even if a cathetometer is used. The second factor concerns the lack of data on the outer
-69-
liquid refractive Índex, needed to correct the optical distortion of the inner interface. An indicative valué A ^ 3 could be guessed in the last two waves before inner jet breaking (to which linear model would not be suitable), the theoretical prediction for optimum breaking condition being A = 2.59.
6. Conclusions The behaviour of compound jets has been analyzed by using a one-dimens ional inviscid model which includes the main characteristics of such capillary jets. The influence of the parameters involved (R, p, a) has been studied through a linearized analysis and, amongst other features, the existence of two breaking regimes should be pointed out. A better definition of these breaking regimes would require the extensión of the analysis to non-linear approximations of the model presented in §2, or even the numerical integration of the complete set of equations, but these tasks are out of the scope of this paper and should be undertaken in future work. In addition, theoretical results have been compared with experimental ones and, concerning the inverse wave number m with those of Hertz & Hermanrud
, the results here obtained agree
(1983). An interesting point for
future
experiments could be the exploration of jets lying in the coupled breaking región (the most part of the graphics shown here) and specially the interface meeting región.
-70-
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-72-
OPTIMUM BREAKUP CONDITION
CASE
a -> co a= O
a=0
COMMENTS T m
m
A
ao
/2~ R
1/R
z 2 1-P1 (1 /-, + R r, ¿ i^) 8 p
O
R = 1
^ 8p
R = O
— 8 1-R2
/2 p + R2(l-p) /2~.R
ao
O < R <
1//2
/2
1
Single
Í7
oo
Single jet
/2~
O
Solid core jet
jet
-I
p -> oo
Table 1
-73
FIGURE CAPTIONS
FIGURE 1. Geometry and coordinate system for the compound jet.
FIGURE 2. Qualitative influence of a (inner to outer surface tensión ratio) and P (inner to outer density ratio) on the variation with the inverse wave number —1
m
9
9
of the roots of eq. (3.10) T, and T2- Arrows indicate the variation of
the root curves as a or p increase.
FIGURE 3. Máximum growth factor x„ versus inverse wave number m ° m
of
compound jets with a inner to outer density ratio p = 0.5 (a), p = 1 (b) and p = 2 (c). Numbers on the curves indicate the valúes of the inner to outer radius ratio R (solid lines) and the inner to outer surface tensión ratio a (dashec lines). Details on the box outlined in (c) are shown in (¿). FIGURE 4. Minimum jet radius F_ versus time t. Inner-jet breaking time t¿ b is obtained when its minimum radius F „ m, vanishes. In the outer jet case there are two possibilities and breaking time t? is reached when its minimum radius F° vanishes (a) or when the outer interface reaches the inner one (b).
FIGURE 5. Amplification A versus inverse wave number m
of compound jets
with a inner to outer density ratio p = 0.5 (a), p = 1 (b) and p = 2 (c). Numbers on the curves indicate the valúes of the inner to outer radius ratio R (solid lines) and the inner to outer surface tensión ratio a (dashed lines). The shaded área in (c) indicates the región in which breakup occurs by the meeting of the inner and outer interfaces.
•74-
tVl
+ ~T3
3
V O)
c c
O
t/\rf
W
FIG. 1
•75-
z
F/6. 2.
•76-
v\ \ \
0.8
~
\ \
YY\
0.6
\ \ \ VI
A\s
\
1
f\ N
^
V-~^
^ ^
\
^
\
1
\ \A. >