INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

Los hombres y pueblos en decadencia viven acordándose de dónde vienen; los hombres geniales y pueblos fuertes sólo necesitan saber a dónde van. José Ingenieros

FUNCION CUADRATICA

DESEMPEÑOS Identificar, graficar y aplicar las funciones cuadráticas en la solución de problemas del entorno. Demostrar interés por la asignatura colocando cuidado en clase a las indicaciones y actividades propuestas por el docente y cumpliendo con las tareas y trabajos oportunamente, además de cumplir con el proceso de autoevaluación del estudiante.

INDICADORES DE DESEMPEÑOS    

Conoce e interpreta la forma parabólica de una ecuación cuadrática. Interpreta correctamente una ecuación cuadrática y cada una de sus partes. Interpreta adecuadamente ecuaciones cuadráticas. Construye ecuaciones cuadráticas a partir de una situación problema.

CONTENIDOS: Función cuadrática (Parábola). Utilidad de la parábola. Raíces solución, vértice e intercepto de la función cuadrática.

Método por factorización. Método de completar el cuadrado. Método con fórmula cuadrática. Problemas de aplicación de la ecuación cuadrática. Una función de la forma f(x) = ax² + bx + c con a, b, c € R y a 0 recibe el nombre de función cuadrática o función de segundo grado que representa una curva llamada parábola cuyo eje es

paralelo al eje de las coordenadas.

LA PARÁBOLA Una parábola es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. La recta que pasa por F y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El punto V que está en la mitad entre la directriz y el foco de la parábola se llama vértice. Cualquier segmento que una dos puntos de la parábola se llama cuerda y cualquier cuerda que pase por el foco se llama cuerda focal. La cuerda focal que es perpendicular al eje se llama lado recto. Si P es un punto de la parábola, el segmento PF se llama radio focal o radio vector.

Observa en la figura siguiente las partes de la parábola:

Evalúa y compara las ecuaciones con la siguiente tabla de datos:

Y = 2x² X Y Y = - 2x² X Y

-3

-2

-3

-1

-2

0

-1

Grafica los datos encontrados en un mismo plano cartesiano:

+1

0

+1

+2

+2

+3

+3

UTILIDAD DE LA PARÁBOLA

El estudio de la parábola es de gran interés en el área de la arquitectura, pues numerosos arquitectos en templos y otros edificios, así como en puentes y represas, tienen forma de parábola. Para capturar las señales de televisión emitidas desde un satélite, se utiliza una antena parabólica.

Los astrónomos y los expertos en óptica han estado investigando la posibilidad de elaborar espejos a partir de líquidos. Cuando un líquido es centrifugado en un recipiente, su superficie asume una forma parabólica.

SOLUCION GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRATICA Para resolver ecuaciones de la forma de la siguiente manera.

, gráficamente se procede

1. Se dibuja la gráfica de la función. 2. Se determina los puntos donde la curva corta el eje x 3. Las abscisas de estos puntos son las soluciones de la ecuación

RAÍCES SOLUCIÓN, VÉRTICE E INTERCEPTO DE LA PARÁBOLA Raíces Solución Las raíces o ceros de una función cuadrática son los puntos donde la gráfica de la función corta al

eje x, se presentan tres casos. La gráfica de la función corta al eje x en un solo punto. En este caso, se dice que la función tiene una sola raíz real y está ubicada en el vértice. La grafica de la función corta al eje x en dos puntos, en cuyo caso se dice que la función t iene dos raíces reales diferentes. La grafica de la función no corta al eje x, en cuyo caso se dice que la función no tiene solución real. Es decir, sus raíces son números complejos. Las raíces solución se pueden calcular por medio de tres métodos fundamentales la factorización, completando cuadrados o por la fórmula cuadrática.

Vértice de La Parábola Es claro que el vértice es un punto en donde la parábola cambia de dirección y está confo rmado por un par ordenado (x, y); de tal manera que dichas coordenadas se pueden hallar mediante las ecuaciones:

Intercepto Basta con observar el término independiente (c) de la ecuación cuadrática: Y = ax² + bx + c, seleccionamos el valor de c. De tal punto correspondiente será (x, c). f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c

( 0,c)

Ejemplo. Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 1. Vérti ce

x v = − (−4) / 2 = 2

y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1

V (2, −1)

2. Puntos de corte con el eje X (3, 0)

(1, 0)

manera que

el

3. Punto de corte con el eje Y (0, 3)

Ejercicios Representa gráficamente las funciones cuadráticas:

1

y = x² − 5x + 3

5

y = −x² + 4x − 3

2

y = 2x² − 5x + 4

6

y = x² + 2x + 1

3

y = x² − 2x + 4

4

y = −x² − x + 3

SOLUCIÓN ANALITICA DE ECUACIONES CUADRATICAS Resolver o solucionar una ecuación de segundo grado es hallar las raíces de la de ecuación. Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes: b o c, o ambos, son iguales a cero, por tanto podemos encontrarnos con tres tipos de ecuacione s de segundo grado incom pletas. 1. ax 2 = 0

La soluc ión es x = 0.

Ej emp lo s

2. ax 2 + bx = 0

Extraemos factor común x: Com o tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.

ej erc ic io s 1.

2.

.

3. ax 2 + c = 0 Ej erc ic ios 1. 2.

MÉTODO POR FACTORIZACIÓN Recordemos que si (a) (b) = 0, entonces alguna de ellas, a ó b ó ambas, es cero. En consecuencia, si logramos factorizar la expresión ax² + bx + c = ( a)( b), en donde a y b son factores de ax² + bx + c , entonces podemos resolver la ecuación ax² + bx + c = 0 solucionando los casos a = 0 ò b = 0.

Ejemplo Problema Resolver r. r2 – 5r + 6 = 0. (r – 3)(r – 2) = 0

Usar factorización para hallar los factores

r–3=0

r–2=0

Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0

r=3

r =2

Resolver la ecuación

Solución r=3or=2

Ejercicios. Ahora resolveremos por el método de factorización.

Las raíces de la ecuación original son 3 o 2

1. 2m2 + 10m = 48 2

2. 5b + 4 = -12b

3. 5a2 + 15a = 0 4. b2 - 8 = 2b

MÉTODO DE COMPLETAR AL CUADRADO Hay veces que una [ecuación cuadrática] es imposible de factorizar. Para resolver ese tipo de ecuaciones cuadráticas, son necesarias otras estrategias. Completar el cuadrado es una de ellas. Convierte un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto, el cual es más fácil de graficar y resolver. Completar el Cuadrado" consiste exactamente en eso — tomar algo que probablemente no es un cuadrado y convertirlo en uno”. Podemos ilustrar esta idea usando el modelo de área de un 2 binomio x +bx:

En este ejemplo, el área de todo el rectángulo está dada por x(x + b). Ahora vamos a convertir este rectángulo en un cuadrado. Primero, dividimos el rectángulo rojo con área bx en dos rectángulos iguales cada uno con área . Luego rotamos y cambiamos de posición uno de ellos. No hemos cambiado el tamaño del área roja — sigue siendo bx.

Los rectángulos rojos ahora forman dos lados de un cuadrado, mostrado en blanco. El área de ese cuadrado es la longitud de los rectángulos rojos elevada al cuadrado

. Aquí viene lo interesante — ¿puedes ver que cuando el cuadrado blanco es sumado a las regiones azul y rojas, el área total también es un cuadrado? En otras palabras, ¡hemos "completado el cuadrado"! Al sumar la cantidad

Al binomio original, hemos creado un cuadrado, un cuadrado con lados

:

Nota que el área de este cuadrado puede ser escrita de dos maneras, como

, y como

Completando el Cuadrado 2

Para completar el cuadrado en una expresión de la forma x + bx, sumar

. Y la expresión se vuelve

Ejemplo Problema Resolver Dividir ambos lados de la ecuación entre el

coeficiente de 2

, que es

Reescribir la ecuación de forma que el lado izquierdo tenga la forma

Sumar ambos lados para completar el cuadrado

a

Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado Sacar las raíces cuadradas de ambos lados, con ambas posibilidades positiva y negativa Resolver x. Esto nos da las coordenadas en x de las raíces, o las soluciones de la ecuación cuadrática

Solución o Ejercicios. Ahora resolveremos por el método de completar cuadrados

1. 2.

.

4. 5.

3. MÉTODO CON FÓRMULA CUADRÁTICA El método geométrico de completar al cuadrado evolucionó con los años, para dar como resultado una fórmula que nos permite hallar las soluciones de una ecuación cuadrática. En este método vemos que las raíces se obtienen por medio de operaciones algebraicas, adición sustracción, multiplicación, división y radicación, efectuadas sobre los coeficientes del polinomio. Recordemos que un polinomio cuadrático tiene siempre dos raíces y estas pueden ser:  Reales y distintas.

 

Complejas y conjugadas. Una real, pero repetida.

Partiendo de: ax² + bx + c = 0, obtenemos la denominada fórmula cuadrática para las soluciones de la ecuación ax² + bx + c = 0, que nos da las dos raíces de la ecuación. Cuando b² - 4ac  0 y a  0. Estas son:

La cantidad b² - 4ac recibe el nombre de discriminante del polinomio ax² + bx + c. En la fórmula cuadrática el discriminante se encuentra dentro del radical, y es precisamente esta cantidad la que decide el tipo de soluciones (raíces) de la ecuación. Si el discriminante es cero, tampoco existen problemas porque, en ese caso, las raíces son iguales, es decir, hay una sola raíz, pero decimos que es de multiplicidad 2.

Pero si el discriminante es menor que cero, entonces sus soluciones son imaginarias y por eso las raíces de la ecuación no pueden estar sobre el eje x. Pero si el discriminante es mayor que cero, entonces sus soluciones son raíces reales y distintas.

Ejemplo Resolvamos la ecuación x² + 7x – 8 = 0 utilizando la fórmula cuadrática. En esta ecuación x² + 7x – 8 = 0 Utilizando la fórmula cuadrática.

En esta ecuación, a= 1, b= 7 y c= -8. Al escribir estos valores en la fórmula cuadrática, obtenemos:

Ejercicios. Ahora resolveremos por el método de la cuadrática 1. 2x2 – x – 1 = 0 2. 9x2 – 6x + 1 = 0 3. x2 + x + 1 = 0

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 1. Divide el número 40 en dos valores positivos, tales que el cuadrado de una de ellas sea igual al doble de la otra. Solución El problema plantea: x + y = 40 Sea x una de las partes, y = 40 – x la otra parte. Entonces expresamos en términos algebraicos la proporción: “El cuadrado de una de ellas es igual al doble de la otra”. x² = 2y, pero y = 40 – x, entonces, x² = 2(40 – x). Efectuamos operaciones: x² = 80 – 2x x² + 2x – 80 = 0 Resolviendo para x tenemos que: x 1 = -10, x2 = 8 El valor que satisface la propuesta en el problema es x = 8. 2. La diferencia entre el cuadrado de un número entero positivo y su doble es 15. Calcula el núm ero. Solución Sea: x el número buscado, x² el cuadrado del número buscado y 2x su doble o su doble. Luego: x² - 2x = 15; Ahora igualando a cero x² - 2x - 15 = 0; Resolvemos para x: x1= 5, x2= -3. Descartamos: x2= -3. Porque el problema propone un número entero positivo, luego: x = 5.

3. La suma de un número entero positivo y su reciproco es 26/5. Calcula el número. Solución. Sea: x el número buscado, su inverso multiplicativo (reciproco), planteamos la ecuación: Efectuamos las operaciones indicadas: . Hacemos producto cruzado y efectuamos las operaciones:

5(x² + 1) = x (26) 5x² + 5 = 26x 5x² - 26x + 5 = 0 Resolviendo para x, obtenemos que x 1 = 5, x2 = 1/5.

Descartamos que x2 = 1/5 porque el problema plantea que el número sea entero positivo. Luego, el valor que satisface el problema es x1 = 5.

4. Supongamos que María y José pueden pintar su casa en 10 días trabajando juntos. Si José la pinta solo, tarda 4 días más que lo que demora María sola. ¿Cuánto tarda cada uno en pintar la casa?

Solución.

Si decimos que María puede pintar la casa en x días, entonces 1/x representa la fracción de la casa que María puede pintar por día. En forma semejante, 1/(x + 4) representa la fracción de la casa que José pinta por día. En total, realizar el trabajo completo, pintar la casa (el cuál representamos por 1) les toma 10 días y, por tanto:

¿Cuál es el valor de x? Hallando un común denominador en la expresión anterior tenemos:

Finalmente:

20x + 40 = x² + 4x, luego: x² - 16x – 40 = 0. Solucionando la ecuación con la fórmula cuadrática tenemos que x 18.2 días. Por consiguiente, José tardará aproximadamente 22.2 días en pintar la casa. ¡No olvides verificar! 5. Se tienen dos caminos, uno en forma de parábola, x² + 10x + 5, y el otro en forma de recta, 6x + 2. ¿En qué puntos se intersecan esos dos caminos?

Para hallar los puntos de intersección de los caminos, debemos solucionar la ecuación: x² + 10x + 5 = 6x + 2. Esto es equivalente a solucionar: x² + 10x + 5 – (6x + 2) = 0

x² + 4x + 3 = 0

x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) = 0

De esta forma tenemos (x + 1) = 0, luego x = -1 o (x + 3) = 0, entonces x = -3. Para hallar la segunda coordenada de los puntos de intersección de los caminos simpl emente reemplazamos en cualquiera de los términos que forman la ecuación. Comprobemos esto. Para x = -1, si remplazamos en x² + 10x + 5 tenemos: (-1)² + 10(-1) + 5 = 1 -10 + 5

=-4. Si reemplazamos en 6x + 2, tenemos: 6(-1) + 2 = -4. Por tanto, un punto de intersección es (-1, -4). Para x = -3 tenemos: (-3)² + 10(-3) + 5 = 9 – 30 + 5 = -16 Y 6(-3) + 2 = -18 + 2 = - 16; por ende, concluimos que el otro punto es (-3, 16). Ejercicios 1.

El producto de dos números enteros positivos consecutivos es 600. Calcular los números. 2. El producto de dos números enteros positivos consecutivos es 240. Calcula los números. 3. El producto de dos números enteros pares positivos y consecutivos es 24. Calcula los números. 4. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Halla los números. 5. Divide 156 en dos partes tales que una de ellas sea igual al cuadrado de la otra. 6. Las raíces de la ecuación son 1 y -8, construye la ecuación de la parábola. 7. Divide 15 en dos partes tales que el cuadrado de una de ellas sea el cuádruple de la otra. 8. El cuadrado de un número disminuido en 7 equivale a 3 veces el exceso del número sobre ¿Cuál es el número? 9. Una pelota de tenis se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. La altura h de la pelota en cualquier instante, t en segundos, está dada por h (t) = -16t² + 64t. 1.

Realizar una gráfica que describa el movimiento de la pelota.

2.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

3.

¿En qué momento alcanza la altura máxima?

4.

¿En qué momento la pelota alcanza 32m?

5.

¿Qué relación existe entre el tiempo de subida y el tiempo de bajada de la pelota?

DIEGO ALONSO CASTAÑO ALZATE DOCENTE